Bir nomalumli algebraik va transcendent tenglamalarni kesmani teng ikkiga boʻlish usulida yechish

Bir nomalumli algebraik va transcendent tenglamalarni kesmani teng ikkiga boʻlish usulida yechish
Amaliyotda ko’pincha

F(x)=0 (1.1)

Kabi tenglamalarning ildizini taqribiy hisoblab topishga to’g’ri keladi.

1.1-teorema . Aytaylik,

F(x) funktsiya [a,b] kesmada uzluksiz va (a,b) intervalda hosilaga ega bo‘lsin;
F(a).f(b)<0, ya’ni f(x) funktsiya kesmaning chetlarida har xil ishoraga ega bo‘lsin;
F’(x) hosila (a,b) intervalda o‘z ishorasini saqlasin.
U holda, (1.1) tenglama [a,b] oraliqda yagona yechimga ega bo‘ladi.

F(x)=0 tenglama berilgan bo‘lsin. [a,b] kesmada u=f(x) funktsiya 1.1-teoremaning barcha shartlarini qanoatlantirsin.

1. 
   Bu holda, [a,b] kesmani t₀=(a+b)/2 nuqta yordamida teng ikkiga bo‘lamiz: agar f(t₀)=0 bo‘lsa, x=t₀ yechim bo‘ladi. f(t₀) 0 bo‘lgan holda, agar f(a)f(t₀)<0 bo‘lsa, 1.1-teoremaga ko‘ra, x=t ildiz [a₁,b₁]=[a,t₀] oraliqda, aks holda [a₁, b₁]=[t₀, b] oraliqda yotadi.
   
2. 
   x=t₀ aniq yechim bo‘lmagan holda [a₁,b₁] oraliqni t₁=(a₁+b₁)/2 nuqta yordamida teng ikkiga bo‘lamiz: agar f(t₁)=0 bo‘lsa, x=t₁ yechim bo‘ladi. f(t₁) 0 bo‘lgan holda, agar f(a₁)f(t₁)<0 bo‘lsa, 1.1-teoremaga ko‘ra x=t ildiz [a₂,b₂]=[a₁, t₁] oraliqda, aks holda [a₂, b₂]=[t₁, b₁] oraliqda yotadi. 
   
3. 
   Bu jarayonni takrorlash natijasida biror qadamda ma’lum aniqlikdagi taqribiy ildizni olamiz. Aniq ildiz olinmagan taqdirda, jarayonni takrorlashni cheksiz davom ettirib, {t_n} ketma-ketlikni olamiz. Hosil qilingan ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo‘lib, uning limiti f(x)=0 tenglamaning ildizidan iborat bo‘ladi.
   

Berilgan aniqlikdagi taqribiy ildizni olish uchun jarayonni shart bajarilguncha davom ettirish kifoya bo‘lib, taqribiy ildiz sifatida
x= (a_n +b_n)/2
ni qabul qilamiz.
1.1-masala. e^x -10x -2=0 tenglama yechimi kesmani teng ikkiga bo‘lish usulida e=0,01 aniqlik bilan toping. 
Yechish. f(x)=e^x-10x-2 funktsiya [-1,0] oraliqda 1.1-teoremaning barcha shartlarini qanoatlantiradi. Shuning uchun tenglamaga kesmani teng ikkiga bo‘lish usulini ishlatish mumkin.

1. 
   [-1,0] oraliqni t₀=(-1+0)/2=-0.5 nuqta yordamida teng ikkiga bo‘lamiz. 
   

f(t₀)=e^-0.5 + 5 – 2 >0 , f(-1)=8.386>0 , f(0)=-1<0
bo‘lganligi uchun yechim [-0.5, 0] oraliqda yotadi.

2. 
   bu oraliqni t₁=(-0.5+0)/2=-0.25 nuqta yordamida teng ikkiga bo‘lamiz. 
   

f(-1)^.f(-0,25)=8,386^.1,279>0
bo‘lganligi uchun yechim [a₂, b₂]=[-0.25, 0] oraliqda yotadi.
Aniqlik |b₂-a₂|=0.25>2e etarli bo‘lmagani uchun [-0.25, 0] oraliqni
t₂=(0-0.25)/2=0.125
nuqta yordamida teng ikkiga bo‘lamiz. 
3) f(-0.125)=0.132 >0 bo‘lganligi uchun yechim [a₃,b₃]= [-0.125, 0] oraliqda yotadi. Aniqlik |a₃-b₃|=0.125>2e=0.02 etarli bo‘lmagani uchun [-0.125,0] oraliqni
t₃=(0.125+0)/2= =-0.063
nuqta yordamida teng ikkiga bo‘lamiz.

4. 
   f(-0.063)=-0.461<0, f(-0.125)=0.132>0 bo‘lgani uchun yechim [a₄,b₄]=[-0.125, -0.063] oraliqda yotadi. |a₄ –b₄|=0.062 >2e=0.02 etarli bo‘lmaganligi uchun [-1.125,-0.063] oraliqni
   

t₄= (-0.125 - 0. 063)/2=-0.094
nuqta yordamida teng ikkiga bo‘lamiz.

5. 
   f(-0.094)=-1.841<0, f(-0.125)=0.132>0 bo‘lgani uchun yechim [-0.125, -0.094] oraliqda yotadi
   

t₅= (-0.125- 0.094)/2= -0.1095
|a₅-b₅|=0.031>2e=0.02, bo‘lgani uchun yechim [-0.125, -0.1095] oraliqda, f(-0.1095)=-0.00872<0
t₆= (-0.125- 0.1095)/2= -0.11725
bundan f(-0.11725)=0.0623, yechim [-0.1173, -0.1095] oraliqda bo‘ladi, bu yerda
|-0.1095 – (-0.1173)| = | 0.1173 – 0.1095| = 0.008<2e=0,02
bo‘lgani uchun taqribiy ildiz
bo‘ladi.
Quyida e^x-10x-2=0 tenglamani kesmani teng ikkiga bo’lish usuli bilan yechishning blok-sxemasi va Delphi dasturlash tilida yozilgan dasturi keltirilgan:
1.1-rasm. e^x-10x-2=0 tenglamani kesmani teng ikkiga bo’lish usuli bilan yechishning blok-sxemasi.
e^x-10x-2=0 tenglamani kesmani teng ikkiga bo’lish usuli bilan yechishning Delphi dasturlash tilida tuzilgan dasturi:
unit kesmau;
interface
uses
Windows, Messages, SysUtils, Variants, Classes, Graphics, Controls, Forms,
Dialogs, StdCtrls;
type
TForm1 = class(TForm)
Label1: TLabel;
Label2: TLabel;
Label3: TLabel;
Label4: TLabel;
Label5: TLabel;
Label6: TLabel;
Button1: TButton;
Edit2: TEdit;
Edit3: TEdit;
Edit1: TEdit;
Edit4: TEdit;
Edit5: TEdit;
Edit6: TEdit;
procedure Button1Click(Sender: TObject);
private
{ Private declarations }
public
{ Public declarations }
end;
var
Form1: TForm1;
implementation
{$R *.dfm}
procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);
var a,b,x,f,f1,f2,E:real;
var i:integer;
label 1,2;
begin
a:=strtofloat(Edit1.Text);
b:=strtofloat(Edit2.Text);
E:=strtofloat(Edit3.Text);
i:=0;
1:
i:=i+1;
x:=(a+b)/2;
f:=Exp(x)-10*x-2;
if F=0 then goto 2
else begin
f1:=Exp(a)-10*a-2;
f2:=Exp(b)-10*b-2;
if (ABS(f2-f1)<2*E) then
begin
x:=(a+b)/2;
goto 2
end
else
begin
if (f*f1>0) then a:=x
else b:=x;
goto 1;
end;
end;
edit4.Text:='Yechim topildi';
edit5.Text:=inttostr(i);
edit6.Text:=floattostr(x);
end;
end.
1.2-rasm. e^x-10x-2=0 tenglamasini kesmani teng ikkiga bo’lish usuli bilan yechish dasturi oynasining ko’rinishi.