Birhadlar orbitasi

Birhadlar orbitasi.
Biz elementar simmetrik ko’phadlar orqali darajali yig’indilarni ifodalash mumkin ekanini keltirib chiqardik.
Ixtiyoriy o’rin almashtirganda ham o’zgarmaydigan simmetrik birhadlar mavjud. Aniq ravshanki, barcha o’zgaruvchilari bir xil darajaga ega bo’lishi kerak, ya’ni ko’paytma bilan ustma-ust tushishi kerak (bu ko’paytmada qanaqadir sonli koeffisientlar ham bo’lishi mumkin).
Agar birhadimizning o’zgaruvchilari kabi turli xil darajali bo’lsa, bu birhadlar simmetrik bo’lmaydi. birhadni o’z ichiga olgan simmetrik ko’phadni hosil qilish uchun unga boshqa birhadlarni ham qo’shish kerak. Qo’shiluvchilaridan biri ko’rinishida bo’lgan eng kichik sonli hadlardan iborat ko’phad bu birhadning orbitasi deyiladi va u ko’rinishida belgilanadi. birhadning orbitasini hosil qilish uchun bu birhadga , , o’zgaruvchilarning o’rin almashtirishlardan hosil qilingan barcha birhadlarni qo’shish kerak. Agar barcha uchta , , darajalar turli hil bo’lsa, unda orbita birhadning o’zgaruvchilarining o’rin almashtirishlaridan iborat bo’lgan oltida hadlarga ega bo’ladi. Misol uchun

Agar birhadda ikkita daraja ko’rsatkichi mos tushib, uchinchisi ulardan farq qilsa, ya’ni (lekin ), unda birhadning , o’zgaruvchilarining o’rin almashtirishlari o’zgarmaydi. Bu orbita faqat uchta hadga ega bo’ladi:
, .
Misol uchun,

Xususiy holda quyidagi orbita darajali yig’indini ifodalaydi:

Va nihoyat, agar bo’lsa, unda bu orbita birhaddan iborat bo’ladi:

Biz ixtiyoriy birhadning orbitasini va darajali yig’indilar orqali ifodalanishini ko’rsatamiz. Ravshanki, ixtiyoriy darajali yig’indilar lar orqali ifodalaniladi, buning natijasida shuni aytishimiz mumkinki, ixtiyoriy birhadning orbitasini lar orqali ifodalash mumkin. Bu asosiy teoremani isbotlashimiz uchun ikkinchi qadam bo’ladi.
Agar birhadimiz faqat bitta o’zgaruvchidan iborat bo’lsa, bu orbita darajali yig’indini beradi, ya’ni
Birhadimiz ko’rinishdagi ikki o’zgaruvchili bo’lgan holni qaraylik. Agar bo’lsa, u holda quyidagi formula o’rinli:
(1)
Haqiqatdan ham,

Agar bo’lsa, (1) formula quyidagicha bo’ladi:
(2)
Agar birhadning orbitasini qarasak, larning eng kichigini birhadning darajasi qilib, qavsdan tashqariga chiqarish mumkin.
Masalan:




Umumiy holda, agar masalan, bo’lsa, u holda:
(3)
O’tkazilgan mulohazalardan biz nafaqat, har bir birhadning orbitasini lar orqali ifodalanishini isbotladik, balki umumiy holda orbitaning lar orqali ifodalanishing algoritmini hosil qildik. Bu algoritm (1), (2) va (3) formulalardan kelib chiqadi.
Masalan,


Endi ni lar orqali tasvirlangan ba’zi ifodalarini keltirib o’tamiz.
,
,
,
,
,
,
,
,