Bu holda ekanligini hisobga olib, bizga lozim bo’lgan, = y-1/2

Masalalarning yechilishi..

1. 
   Bu holda ekanligini hisobga olib, bizga lozim bo’lgan,
   

= y^-1/2 ,
=2y^,y^1/2,
xususiy hosilalarni I”(0) ikkinchi variatsiya ifodasiga keltirib qo’yamiz:
I’(0)= +2y’y^1/2 ]dx.
Endi
= ,



= y’,
=2

Xususiy hosilalarni I’’(0) ikkinchi variatsiya ifodasiga keltirib qo’yamiz:
I’’(0)= ²+2 y’ +2 ’²]dx.

2.Biz qavslarni ochgandan so’ng, y(x)=c₁+1)x+(c₂-c₁)x²-x³ funksiyani hosil qilamiz va
y’(x)=(c₁+1)+2(c₂-c₁)x-3c₂x
^{bo’lishini hisobga olib, undan}
(y’(x))²=(c₁+1)(c₂-c₁)-6x²c₂(c₁+1)+4x²(c₂-c₁)²-12x³c₂(c₂-c₁)9c₂²x⁴
Ifodani hosil qilamiz.Shunday qilib, biz endi J(y) ni integrallab, uning qiymatini (yechimni) c₁ va c₂ lar orqali ifodalashimiz mumkin:
²dx= (c₁+1)²+ (c₁+1)(c₂-c₁)- c₂(c₂-c₁)+ (c₂-c₁)² c₂-c₁)+ c₂².
Minimumni olish uchun biz,
J_c1=0,
J_c2=0
Sistemani yechishimiz lozim. Sistemaning chap tomonidagi xususiy hosilalarni olib va soddalashtirgandan so’ng,
J_c2= c₁+ c₂- =0,
J_c1=c₁+ c₂-
Sistemaga kelamiz. Uni matrisa-vektor shaklida yozamiz va Kramer qoidasidan foydalanib,
C₁ 0.42 , c₂ -1.5
c₁ 0.42 , c₂ -1.5
qiymatlarni olamiz va J(y) ga minimum beruvchi y(x) funksiya,

y(x)= x+ ²+ x³= 1.42x-0.57x²+0.15x³
ko’rinishda bo’lishi kelib chiqadi.
Ikkinchi tomondan, qaralayotgan funksional uchun Eyler-Lagranj tenglamasini tuzib, J(y) ning ekstremali
y(x)= In(1+x)
bo’lishini olishi mumkin.Bu funksiyani x=0 nuqta atrofida yoyilmasini yozsak, u
y(x) = x- x²+ x³+R(x) 1.44x-0.72x²+0.48x³+R(x)
ko’rinishini oladi.

Variatsion masalalar 1.

1. 
   Quyidagi
   

1. 
   F=(y’)²-k²y² b.F=(y’)²+2y; c.F=(y’)²+4xy’; d.F(y’)²+yy’+y²;
   

5. 
   F=x(y’)²-yy’+y; f.F=a(x)(y’)²-b(x)y²; g.F=(y’)²+k² cos y(k- o’zgarmas) hollarning har biri uchun ekstremallari topilsin.Kompaniya xaqida
   

Norsafarova Iroda