Dekart koordinatalar tizimi

Dekart koordinata tekisligining tasviri. To'rt nuqta koordinatalari bilan belgilanadi va belgilanadi: (2, 3) yashil rangda, (−3, 1) qizil rangda, (−1.5, −2.5) ko'k va kelib chiqishi (0, 0) binafsha rangda.
A Dekart koordinatalar tizimi (Buyuk Britaniya: /kɑːˈtiːzjən/, BIZ: /k.rˈtmenʒən/) a koordinatalar tizimi bu har birini aniqlaydi nuqta noyob a samolyot to'plami tomonidan raqamli koordinatalar, qaysi imzolangan ikkitadan belgilangangacha masofalar perpendikulyar yo'naltirilgan chiziqlar, xuddi shu bilan o'lchangan uzunlik birligi. Har bir mos yozuvlar liniyasi a deb nomlanadi koordinata o'qi yoki shunchaki o'qi (ko‘plik) o'qlar) tizimning, va ular uchrashadigan nuqta uning kelib chiqishi, buyurtma qilingan juftlikda (0, 0). Koordinatalarni ham ning pozitsiyalari sifatida aniqlash mumkin perpendikulyar proektsiyalar nuqtaning ikki o'qga, boshidan belgi qo'yilgan masofalar sifatida ko'rsatilgan.
Har qanday nuqtaning o'rnini belgilash uchun bir xil printsipdan foydalanish mumkin uch o'lchovli bo'shliq uchta dekartiy koordinatalari bo'yicha, uning uchta o'zaro perpendikulyar tekislikgacha (yoki teng ravishda, uchta o'zaro perpendikulyar chiziqqa perpendikulyar proektsiyasi bilan) imzolangan masofalari. Umuman, n Dekart koordinatalari (ning elementi haqiqiy n- bo'shliq ) nuqtasini an n- o'lchovli Evklid fazosi har qanday kishi uchun o'lchov n. Ushbu koordinatalar teng, gacha imzo, nuqtadan masofalarga n o'zaro perpendikulyar giperplanes.

Qizil rang bilan belgilangan kelib chiqishi markazida radiusi 2 doirasi bo'lgan dekartiyali koordinatalar tizimi. Doira tenglamasi: (x − a)² + (y − b)² = r² qayerda a va b markazning koordinatalari (a, b) va r radiusi.
17-asrda dekartiy koordinatalarini ixtirosi Rene Dekart (Lotinlashtirilgan ism: Kartesiuso'rtasida birinchi tizimli bog'lanishni ta'minlash orqali matematikani inqilob qildi Evklid geometriyasi va algebra. Dekart koordinatalar tizimidan foydalanib, geometrik shakllar (masalan chiziqlar ) tomonidan tavsiflanishi mumkin Dekart tenglamalari: algebraik tenglamalar shaklda yotgan nuqtalarning koordinatalarini o'z ichiga olgan. Masalan, tekislikning kelib chiqishi markazida joylashgan radiusi 2 bo'lgan aylana, koordinatalari bo'lgan barcha nuqtalarning to'plami sifatida tavsiflanishi mumkin. x va y tenglamani qondirish x² + y² = 4.
Dekart koordinatalari poydevor hisoblanadi analitik geometriya kabi matematikaning boshqa ko'plab sohalari uchun ma'rifiy geometrik talqinlarni taqdim etadi chiziqli algebra, kompleks tahlil, differentsial geometriya, ko'p o'zgaruvchan hisob-kitob, guruh nazariyasi va boshqalar. Tushunarli misol funktsiya grafigi. Dekart koordinatalari, shuningdek, geometriya bilan shug'ullanadigan ko'plab qo'llaniladigan fanlarning muhim vositalari hisoblanadi astronomiya, fizika, muhandislik va boshqa ko'plab narsalar. Ular ishlatiladigan eng keng tarqalgan koordinata tizimi kompyuter grafikasi, kompyuter yordamida geometrik dizayn va boshqalar geometriya bilan bog'liq ma'lumotlarni qayta ishlash

Misol. Berilgan a to‘g‘ri chiziqning gorizontal va frontal izlari chizilsin, hamda uning fazoni qaysi choraklaridan o‘tishi aniqlansin (48, 49 - chizmalar). 48 chizma. [1] 49 chizma. [1]Masala quyidagi bosqichlarda yechiladi: 1. Fazoda a to‘g‘ri chiziq H-proyeksiyalar tekisligi bilan kesishib aH (aH,aH) -nuqta, ya’ni gorizontal izini hosil qiladi. Epyurda a – to‘g‘ri chiziq [ox)-o‘qi bilan kesishib, aH - nuqtani hosil qiladi . Uning aH – gorizontal proyeksiyasi a to‘g‘ri chiziqqa tegishli bo‘ladi. aH - nuqtaning davomidagi a to‘g‘ri chiziq fazoning IV-choragida joylashadi. [1] a ∩ [ox) = aH ∧ aH ∈ a. 2. Fazoda a to‘g‘ri chiziq V - proyeksiyalar tekisligi bilan kesishib aV(aV,aV) - nuqta, ya’ni frontal izini hosil qiladi. Epyurda a to‘g‘ri chiziq [ox) o‘qi bilan kesishib, aV - nuqtani hosil qiladi . Uning aV – frontal proyeksiyasi a to‘g‘ri chiziqqa tegishli bo‘ladi. aV – nuqtaning davomidagi a to‘g‘ri chiziq fazoning II-choragida joylashadi. a to‘g‘ri chiziqning aH-gorizontal va aV-frontal izlari orasidagi qismi I – chorakda joylashgan. [1] a ∩ [ox) = aV ∧ aV ∈ a. Javob. a ∩ H = aH (aH, aH) va a ∩ V = aV (aV, aV). Kesishuvchi to‘g‘ri chiziqlar Agar fazoda ikki (AB) va (CD) to‘g‘ri chiziqlar o‘zaro kesishib bitta umumiy K nuqtaga ega bo‘lsa, ushbu ikki toʻgʻri chiziq kesishuvchi toʻgʻri chiziqlar deyiladi. K nuqtaning K-gorizontal va K-frontal proyeksiyalari bitta [ox)-o‘qqa perpendikulyar bo‘lgan bog‘lash chiziqda yotadi (52, 53-chizmalar). [2] (AB)∩(CD)=K⟹[KK]⊥[ox). 52 chizma. [2] 53 chizma. [2]

1-§. Fazoda to‘g‘ri chiziqlar va tekisliklar Ta’rif: Fazodagi ikkita a va b to‘g‘ri chiziq bir tekislikda yotsa va kesishmasa, ular parallel to‘g‘ri chiziqlar deyiladi. a va b to‘g‘ri chiziqlarning parallelligi a b kabi yoziladi. Tekislikda bo‘lgani kabi, fazoda quyidagi teorema o‘rinli. 1– teorema. Fazoning berilgan to‘g‘ri chiziqda yotmagan nuqtasidan shu to‘g‘ri chiziqqa parallel yagona to‘g‘ri chiziq o‘tkazish mumkin. Isbot: a- berilgan to‘g‘ri chiziq va M- bu to‘g‘ri chiziqda yotmagan nuqta bo‘lsin. Isbotlangan teoremaga ko‘ra, a- berilgan to‘g‘ri chiziq va unda yotmagan M nuqta orqali yagona a tekislik o‘tkazish mumkin. a tekislikda esa M nuqta orqali a- berilgan to‘g‘ri chiziqqa parallel yagona b to‘g‘ri chiziqni o‘tkazish mumkin. Xuddi shu- b to‘g‘ri chiziq izlangan yagona to‘g‘ri chiziq bo‘ladi. Teorema isbotlandi. Parallellik alomatlari • Agar a b, ac bo‘lsa, a c bo‘ladi.6 Nuriddin XUSHVAQTOV • Agar α∩β =b, a⊂α va αβ bo‘lsa, β α bo‘ladi. • Agar α∩β =b, aα va aβ bo‘lsa, αβ bo‘ladi. Fazodagi to‘g‘ri chiziqlar uch xil bo‘lishi mumkin: • 1. Kesishuvchi to’g’ri chiziqlar. • 2. Parallel to’g’ri chiziqlar. • 3. Parallel bo’lmagan va kesishmaydigan to’g’ri chiziqlar.Geometriya Nuriddin XUSHVAQTOV 7 Ta’rif: Fazodagi o‘zaro parallel bo‘lmagan va kesishmaydigan to‘g‘ri chiziqlar ayqash to‘g‘ri chiziqlar deyiladi. Ta’rif: Fazoda bitta tekislikda yotmaydigan to‘g‘ri chiziqlar ayqash to‘g‘ri chiziqlar deb ataladi. Planimetriyadan sizga ma’lumki, ikki to‘g‘ri chiqizlarning har biri uchinchi to‘g‘ri chiziqqa parallel bo‘lsa, ular o‘zaro parallel bo‘ladi. Bu xossa fazoda ham o‘rinli bo‘lib, u to‘g‘ri chiziqlarning parallellik alomati deb yuritiladi. 2– teorema (to‘g‘ri chiziqlarning parallellik alomati). Uchinchi to‘g‘ri chiziqqa parallel ikkita to‘g‘ri chiziq o‘zaro paralleldir. Isbot. Aytaylik, m va n to‘g‘ri chiziqlar p to‘g‘ri chiziqqa parallel bo‘lsin. m va n to‘g‘ri chiziqlarning bitta tekislikda yotishi va o‘zaro kesishmasligini, ya’ni parallel ekanligini ko‘ramiz. m to‘g‘ri chiziqda A nuqtani olamiz va bu nuqta va n to‘g‘ri chiziq orqali α tekislik o‘tkazamiz. m to‘g‘ri chiziqning α tekislikda yotishini isbotlaymiz. Aytaylik, bunday bo‘lmasin. m to‘g‘ri chiziq α tekislik bilan umumiy nuqtaga ega bo‘lgani uchun, u tekislikni kesib o‘tadi. Avvalgi teoremaga ko‘ra, bu tekislikni m to‘g‘ri chiziqqa parallel bo‘lgan p to‘g‘ri chiziq ham, p to‘g‘ri chiziqqa parallel bo‘lgan n to‘g‘ri chiziq ham kesib o‘tadi. Lekin, buning bo‘lishi mumkin emas, chunki n to‘g‘ri chiziq α tekislikda yotadi. Demak, mvanto‘g‘ri chiziqlar α tekislikda yotadi. Endi bu to‘g‘ri chiziqlarning kesishmasligini isbotlaymiz. Yana teskarisini faraz qilamiz. m va n to‘g‘ri chiziqlar qandaydir B nuqtada kesishsin.8 N

1.To’g’ri chiziqning burchak koeffitsientli tenglamasi y k  kx b  b tenglama to’g’ri chiziqning burchak koeffitsientli tenglamasi deyiladi. U ikki parametr va ga bog’liq. To’g’ri chiziqning tekislikdagi vaziyati shu parametrlar bilan to’liq aniqlanadi. k  tg  y  0 x2.Ikki to’g’ri chiziq orasidagi burchak Tekislikda ikki to’g’ri chiziq berilgan bo’lib, ularning burchak koeffitsientli tenglamalari bo’lsin. Bunda Bo’lishini e’tiborga olsak, unda 2211 bxkybxky2211 tgktgk 21 21 211)( tgtg tgtgtgtg 2211 ktgktg 21 21 1kk kktg  22 bxky 11 bxkyy x02   1 2.Ikki to’g’ri chiziq orasidagi burchak3.Ikki to’g’ri chiziqning parallellik hamda perpendikulyarlik sharti Tekislikda ikki to’g’ri chiziq berilgan bo’lib, ularning burchak koeffitsientli tenglamalari y  k 1 x  b 1 y  k 2 x  b 2 bo’lsin. Bu to’g’ri chiziqlar orasidagi burchakning tangensi bo’ladi. tg   k  k 1 1 kk  1 2 2Agar ikki to’g’ri chiziqlar orasidagi burchak  k 1  k 2 1  k k  0 bo '  0 lib 1 2 bo’lsa, bu , unda k 1  k to’g’ri chiziqlar o’zaro parallel bo’ladi yoki ustmaust tushadi. 2• •   2  Agar ikki to’g’ri chiziqlar orasidagi burchak bo’lsa, bu to’g’ri chiziqlar o’zaro perpendikulyar bo’ladi k 1  k 2 1  1  ya ' k 1 k k 1 ni 2   k k 1 2 tg   0  2 1  k 2

9-teorema (perpendikulyarga parallel). Agar ikkita parallel toʻgʻri chiziqdan biri tekislikka perpendikulyar boʻlsa, boshqa toʻgʻri chiziq ham shu tekislikka perpendikulyar boʻladi. Berilgan: gim ǁ b va gim gim a.
Hujjat - t: b gae a
Hujjatda:
1. b ⋂ a = B (3.3-band lemmasi bo'yicha).
Ikkita imkoniyat mavjud: 1) b ⊥ a; 2) b ⊥ a;
2. Faraz qilaylik, ikkinchisi ijro etilmoqda.
Keyin B nuqta orqali ⊥ a bo'lgan to'g'ri chiziq o'tkazamiz (7.3-masala).
c||a perpendikulyarlari uchun parallellik teoremasi bo'yicha.
B nuqtadan parallel ravishda ikkita to'g'ri chiziq o'tishi ma'lum bo'ldi
to'g'ridan-to'g'ri a, bu mumkin emas.
Shunday qilib, b ⊥ a.