Differenciallíq teńlemeler” kafedr

ÓZBEKSTAN RESPUBLIKASÍ JOQARÍ BILIMLENDIRIW, ILIM HÁM INNOVACIYALAR MINISTRLIGI

BERDAQ atındaǵı QARAQALPAQ MÁMLEKETLIK UNIVERSITETI

MATEMATIKA FAKULTETI
“DIFFERENCIALLÍQ TEŃLEMELER” kafedrası

“MATEMATIKALÍQ FIZIKA TEŃLEMELERI” páninen

«Tardıń terbelis teńlemesin Fure usılı menen sheshiw» atamasındaǵı
KURS JUMÍSÍ

ORÍNLADÍ: 5130100 - “Matematika” tálim baǵdarınıń 3- V2 kurs studenti
Orımbaev Dauletyar Azatbayevich
ILIMIY BASShÍ: Differenciallıq teńlemeler» kafedrası docenti
Nurjanov Berdaq Orınbayevich

Nókis – 2023
JOBASI:

1. 
   Kirisiw
   
2. 
   Tiykarǵı bólim ……………………………………… 3
   

1§. Úshlari bekkemlengen tardıń birtekli terbelis teńlemesi ushın aralas máselelerdi sheshiwdiń Fure usılı ………………………………… 4
2§. Úshlari bekkemlengen tardıń birtekli emes terbelis teńlemesi ushın aralas máselelerdi sheshiwdiń Fure usılı ………………………………… 12
3§. Úshlari bekkemlenbegen tardıń birtekli emes terbelis teńlemesi ushın aralas máselelerdi sheshiwdiń Fure usılı …………………………. 20

3. 
   Juwmaqlaw …………………………………………. 23
   
4. 
   Paydalanılǵan ádebiyatlar …………………………. 24
   

Tema: Tardıń terbelis teńlemesin Fure usılı menen sheshiw
1§.Tardıń birtekli terbelis teńlemesi ushın aralas máselelerdi sheshiwdiń Fure usılı.
Meyli ushlarınan qattı bekitilgen birtekli tardıń erkin terbelisi haqqındaǵı máseleni qarastırayıq, yaǵnıy ushın

teńlemeniń

shegaralıq hám

baslanǵısh shártlerin qanaatlandıratuǵın sheshimin tabıw máselesin qarastırayıq. (1) teńlemeniń (2) shegaralıq shártlerin qanaatlandıratuǵın nollik emes Sheshimin

kóbeymesi túrinde izleymiz. (4) ni (1) ge qoysaq

yamasa bolǵanlıqtan, bunnan

boladı. Bul teńliktiń shep tárepi tek t ǵa, oń tárepi bolsa tek x qa baylanıslı, demek teńlik orınlanıwı ushın onıń oń jaǵıda, shep jaǵıda hám x qa hám t ǵa ǵárezli bolmawı kerek. Demek, (5) teńliktiń eki jaǵıda bir turaqlı sanǵa teń bolıwı kerek. Bul turaqlını sońǵılıqta qolaylı bolıwı ushın dep alamız. Solay etip,

Bunnan

túrindegi ádettegi differenciallıq teńlemelerge iye bolamız, bul jerde (2) den

teńligi kelip shıǵadı. Nátiyjede tómendegi Shturm-Liuvill máselesine kelemiz: parametrdiń sonıńday mánisleri payda bolsın, bul mánisler ushın (7),(8) másele nollik emes sheshimge iye bolsın. parametriniń bunday mánisleri (7),(8) máseleniń menshikli mánisleri (yamasa xarakteristikalıq sanları) dep ataladı. Olarǵa sáykes keliwshi sheshimler bolsa menshikli funkciyaları dep ataladı. parametri ushın ush jaǵdaydı qaraymız.
a) bolsa, (7), (8) máseleniń nollik emes sheshimi joq. Haqıyqattanda, (7) niń ulıwma sheshimi

boladı hám (8) boyınsha

yamasa

Bunnan bolıp, yaǵnıy .
b) bolsa, (7) teńlemeniń ulıwma sheshimi bolıp, (8) boyınsha boladı, yaǵnıy bunday halda da (7),(8) máseleniń nollik emes sheshimi joq.
v) bolǵanda (7) teńlemeniń ulıwma sheshimi

bunı (8) shártke qoysaq X(x) tıń nollik emesliginen bolıwı kerek. Onday bolsa

bul jerde k qálegen pútin san. Demek, (7), (8) másele niń

mánislerinde ǵana nollik emes sheshimlerge iye. Bul menshikli mánislerge sáykes keliwshi menshikli funkciyalar

boladı. (6) teńlemeniń mánislerine sáykes keliwshi sheshimleri

boladı, bul jerde hám erikli turaqlılar. Solay etip hám turaqlılar qanday bolmasın

funkciyası (1) teńlemeni hám (2) shártlerdi qanaatlandıradı. (1) teńleme sızıqlı hám birtekli bolǵanı ushın

qatarıda sheshim boladı. Bunıń ushın (9) qatar x hám t boyınsha eki márte aǵzama-aǵza differenciallanıwshı bolıwı kerek.
Haqıyqattanda da (9) nı (1) ge qoyıp, aǵzama-aǵza differenciallasaq hám funkciyalarınıń (1) hám (2) ni qanaatlandıratuǵınlıǵın esapqa alsaq, bul nátiyjeniń durıslıǵın kóriwge boladı.
Endi hám koefficientlerdi sonıńday anıqlaymız, (9) funkciya (3) shártlerdi qanaatlandırsın. (9) dan

Bunnan t=0 desek hám (3) ni esapqa alsaq

ańlatpalarǵa iye bolamız. Bul bolsa hám funkciyalardıń sinuslar boyınsha (0;l) aralıqtaǵı Fure qatarına jayılması bolıp, Fure koefficientleri

formulalar menen esaplanadı.
Demek, egerde hám funkciyaları (0;l) aralıqta sinuslar boyınsha Fure qatarına jayılǵan bolsa (1)-(3) túrindegi birinshi shegaralıq máseleniń regulyar sheshimi (9) qatar kórinisinde boladı hám onıń koefficientleri (10) formula menen anıqlanadı. Bunıń ushın

bolıp, hám tuwındıları shekli bolıwı kerek.
Mine usı shártler (1)-(3) máseleni sheshiwde Fure usılın qollanıw ushın jeterli shártler bolıp esaplanadı.
TEOREMA-1. Eger funkciya [0, l] aralıqta ush márte úzliksiz differenciallaniwshi hám tómendegi

Shártlerdi qánaatlantirsa, funkciya bolsa [0, l] aralıqta eki márte úzliksiz differenciallaniwshi hám

Bolsa, onda (9 ) formula menen anıqlanǵan funkciya jabıq D oblastta eki márte úzliksiz tuwındılarǵa iye hám D oblastta (1) bir tekli tar terbelis teńlemesin hám (2) baslanǵısh hám (3) bir tekli shegaralıq shártlerdi qanaatlantıradı.
Dálilleniwi. Teoremani tastıyıqlaw ushın aldın (10) formula menen anıqlanǵan integraldı ush márte bóleklep integrallaymız. (11) teńliklerge tiykarlanıp

ańlatpanı alarniz.
(10) formulanıń ońın tap sonday (12) teńliklerdi esapqa alıp, eki márte bóleklep integrallaw nátiyjesinde

teńlikke iye bólemiz. Bunda

Baslanǵısh shártlerge boyınsha , funkciyalar [0, l] segmentte úzliksiz, onda matematikalıq analiz kursinan belgili bolǵan Bessel teńsizligi boyınsha bul qatarlar

jıynaqlı qatarlar boladı.
Endi (13 ) hám (14) ańlatpalardı (9) qatarǵa qoyıp, tómendegi

qatardı alamız.
Payda bolǵan (16) qatardıń hár bir aǵzası jabıq D oblasttıń noqatında bul jıynaqlı

Sanlı qatardıń hadlari menen shegaralanǵan. Onda veyershtrass belgisi boyınsha (9) qatar jabıq D oblastta absolyut hám tegis jiynaqli. Sonday eken, u(x,t) funkciya jabıq D oblastta jiynaqli qatardıń jıyındısı retinde úzliksiz boladı. Endi (9) qatardı x hám t ózgeriwshiler boyınsha eki márte formal túrde aǵzama-aǵza differensiallaw múmkin ekenligin kórsetemiz. Onıń ushın (6) qatardı aǵzama-aǵza differensiallawdan payda bolǵan qatarlardıń jabıq D oblastta absolyut hám tegis jiynaqliliǵin tastıyıqlaymız. (16) qatardı aǵzama-aǵza differensiallap, bul


qatarlarǵa iye bólemiz. Bul qatarlar oblastta

Qatarǵa majorant boladı. Aqırǵı (19) qatardıń jiynaqli bolıwı (15) qatarlardıń jiynaliwinan hám tómendegi

teńsizliklerden kelip shıǵadı. Onda (17) hám (2) qatarlar Veyershtrass belgisine tiykarlanıp jabıq D oblastta absolyut hám tegis jiynaqli boladı.
Sonday eken, hám funkciyalar jabıq D oblastta úzliksiz eken. Endi (17) hám (18) qatarlardi (1) teńlemege qoysaq, (9) formula menen anıqlanǵan u(x,t) funkciya tar terbelis teńlemesin qanaatlandiriwina isenim kámil qılıw múmkin. Sonday etip, 1-teorema dálillendi.