Elliptik, giperbolik va sferik geometriyalari

Elliptik, giperbolik va sferik geometriyalari.
Bugungi kunga qadar, Koshi muammosini o'rganishda biz giperbolik turdagi tenglamalarni ko'rib chiqdik. Keling, elliptik turdagi eng oddiy tenglamaga, ya'ni Laplas tenglamasiga ikkita mustaqil o'zgaruvchiga e'tibor qarataylik:
(1)
Biz ushbu tenglamaning har qanday qarorini ba'zi analitik funktsiyaning haqiqiy qismi deb bilamiz: koordinatalarni boshlash uchun qabul qilishimiz mumkin bo'lgan ma'lum bir nuqta atrofida tenglama (1) qarorini ko'rib chiqing. Ushbu nuqtada va uning atrofida ikkinchi tartibga qadar uzluksiz hosilalari borligini hisobga olsak, biz kuch-quvvat ketma-ketligining kengayishiga ega bo'lamiz:

ba'zi doiralarda birlashib, ba'zi murakkab raqamlarning mohiyati. Bir qator a'zolarni ajratish

haqiqiy qism, biz bir xil polinom uchun bir qator shaklda taqdim etamiz 
(2)
va bu ketma-ketlik mutlaqo bir-biriga yaqinlashadi, agar biz oxirgi qatorni butun ijobiy daraja uchun ikki qatorli shaklda yozsak 
(3)
va agar u haqiqiy qiymatlar nolga etarlicha yaqin bo'lsa, u ham bir-biriga yaqinlashishini ko'rsatamiz. Haqiqatan ham, ketma-ket (3) a'zolarining mutlaq qiymatlari ketma-ketlikdan olingan ikki qatorli a'zolardan oshmaydi

Lekin

u bir-biriga yaqinlashadi va bu erdan to'g'ridan-to'g'ri ketma-ket (3 )shart bilan mutlaqo yaqinlashadi. Bu qator olamiz guruh a'zolari va qabul qilasiz, shuning uchun qator (2), ya'ni so'm bo'lgan ketma-ket (3) teng , Shuning uchun har bir yechim tenglama (1) representable tomonidan bir kuch ketma-ket bir mahalla har qanday nuqtasi bo'lsa, bu nuqtada, bu qaror qildi no xususiyatlari, ya'ni, boshqacha aytganda, har bir yechim tenglama (1) bir tahliliy funksiyasi . Shuning uchun to'g'ridan-to'g'ri Garmonik funktsiyaning hosilalari bor barcha buyruqlar va agar ikkita Garmonik funktsiya samolyotning ikki o'lchovli qismiga to'g'ri keladigan bo'lsa, ular hamma joyda bir xil bo'ladi. Giperbolik turdagi tenglama uchun mutlaqo boshqa rasm mavjudligini unutmang:
(4)
bu erda a-berilgan haqiqiy raqam. Bu tenglik aniq qarorga ega [II; 177]:
(5)
qaerda ikkinchi tartibda uzluksiz sanab chiqing ega o'zboshimchalik vazifasi. Haqiqiy o'zgaruvchining funktsiyalari nazariyasida, uzluksiz birinchi va ikkinchi hosilalari qurish mumkin va hech qanday ma'noda uchinchi darajali t hosilaga ega emasligini isbotlaydi. Bunday yechim uchun (4) uchinchi darajali derivativlarga ega bo'lmaydi va shuning uchun analitik funktsiya (x, y) bo'lishi mumkin emas. Tenglama uchun (1) Koshi vazifasi qo'yilishi mumkin. Misol uchun, agar berilgan bo'lsa va ularning hosilasi bo'lsa, tenglama echimini (1) izlashingiz mumkin 
(6)
bu erda analitik vazifalari y [29]. Bu vazifa mahallada aniq bir qarorga ega bo'ladi. Biroq, bu vazifa, ular aytganidek, noto'g'ri: bu Koshi kichik o'zgarishlar bilan uning echimlari sezilarli darajada o'zgarishi mumkin.
Darhaqiqat, keling
(7)
bu erda-berilgan ijobiy raqam. Ushbu dastlabki ma'lumotlarga mos keladigan tenglama (1) echimini tekshirish qiyin emas:
(7)
Ruxsat bering . Shu bilan birga, dastlabki ma'lumotlar y ga nisbatan bir xil nolga teng bo'ladi, chunki hal (7) ko'plikdan mukammal bo'lsa, abadiylikka intiladi . Haqiqatan ham, agar, masalan, indikativ funktsiya shu tarzda tezroq o'sib borayotgan bo'lsa, dastlabki ma'lumotlarning nolga bo'lgan talabiga binoan, qarorning o'zi cheksiz ko'payadi. Boshqacha qilib aytganda, yuqoridagi misoldan biz Koshi muammosini hal qilishni ko'rib turibmiz tenglama uchun (1) dastlabki ma'lumotlarga uzluksiz qaramlik xususiyatiga ega emas. Giperbolik turdagi tenglama uchun bunday doimiy qaramlik, bir ma'noda, har doim sodir bo'ladi .Biz ikki mustaqil o'zgaruvchining ishi uchun Laplas tenglamasi echimlarining tahliliyligini isbotladik. Xuddi shu uchta mustaqil o'zgaruvchining holatida ham bo'lishi kerak

Ushbu bayonotning isboti. Ushbu tenglamani koordinatalar boshida va uning atrofida ikkinchi tartibga qadar uzluksiz hosilalari hal qiling. Funktsiya va shunday bo'ladi, boshida markazi va Radius R. bilan ba'zi yopiq sohada Garmonik funktsiyasi, biz formula bilan sohasida yuzasida nuqtalarda uning qiymati orqali , sohada ichida joylashgan har qanday nuqtada, bu funktsiya qiymatini ifoda mumkin [II; 207]:
(8)
Nolga juda yaqin bo'lgan har bir kishi uchun biz funktsiyani kengaytira olamiz

Nyuton binomi formulasidan foydalanib, barcha ijobiy darajlarda kuchli bir qatorda. Shu bilan birga, integral (8) ning barcha podyntegral funktsiyasi, ushbu ketma-ketlikni s ga mos ravishda integratsiyalashga bog'liq bo'lgan koeffitsientlar bilan baxtli bo'lib, biz uchun kuchli qatorni olamiz Xuddi shunday, tenglama echimlari ham ko'rsatilishi mumkin

biz keyingi bobda muhokama qilinadi nima o'zgaruvchilar analitik vazifalari bor. S. N. Bernshteynning asarlarida elliptik tipdagi tenglamalarning keng klassi uchun echimlarning analitik dalillari berilgan Hozirgacha biz klassik, ya'ni ikki marta doimiy ravishda differentsiatsiya qilingan, elliptik tenglamalar echimlari haqida gapiramiz. Keling, ushbu tenglamalarning umumiy (yirtilgan) echimlari qanday xususiyatlarga ega ekanligini ko'rib chiqaylik. Tenglama (1) ni ko'rib chiqing va unga mos keladigan Laplas operatori operator uchun [43] va [44] da tuzilgan va quyidagi xulosaga o'xshash argumentlarni amalga oshirishi mumkin: tenglama (1) zaif tanaffuslarga ega echimlar, shuningdek, kinematik va dinamik sharoitlarni qondiradigan kuchli tanaffuslar bilan echimlar mavjud emas birgalikda ishlash. Bu tushunarli, chunki bu va boshqa echimlar uchun zaif va kuchli bo'shliqlarning sirtlari faqat tenglamaning xarakterli yuzasi bo'lishi mumkin va bunday elliptik tenglamalar mavjud emasligi aniqlandi. Biz umumiy haqiqatni isbotlaymiz: Teorema. Laplas tenglamasi sinfining har qanday umumiy echimi klassikdir.Bu bayonot har qanday mustaqil o'zgaruvchilar uchun amal qiladi. Faqat ravshanlik uchun tenglamani (1) oling. Tenglama (1) ning umumiy echimi har qanday va
(9)
[60] da tasdiqlangan teoremaga ko'ra, funktsiyaning o'rtacha miqdori Harmonik (va shuning uchun analitik) funktsiyalardir, ular taxminan va normalarda . Eslatib o'tamiz, biz Garmonik funktsiyalarning quyidagi xususiyatlaridan foydalanamiz:
(10)
radius nuqtasida markazga ega bo'lgan bir doira mavjud bo'lsa, biz funktsiyalarning oilasi Bunyakovskiyning tengsizligidan foydalansak va doimiy ravishda teng ravishda cheklangan va teng ravishda ekanligini ko'rsatamiz
(qarang: (222)). Ushbu faktlar tufayli
(11)
har qanday . Bundan tashqari, har qanday egalik uchun 
(12)
bu erda doiralarning simmetriya farqi uning maydoni, tengsizlik (11). va (12) shuning uchun ular uchun marginal funktsiyasi doira ichida yagona cheklangan teng uzluksiz vazifalarini berish, va u uning uyg'unligini isbotlash uchun uzluksiz bo'ladi, biz Poisson formula (formula (25) foydalanish [II; 205]) funktsiyalari va o'zboshimchalik bilan sobit doira uchun yotgan b . Ushbu formulada siz dasturiy ta'minot chegarasiga borib, I. funktsiyasi uchun adolatli ekanligiga ishonch hosil qilishingiz mumkin . Shunday qilib, teorema isbotlangan. Shunday qilib, biz tenglama uchun sinfning barcha umumiy echimlari klassik, ya'ni oddiy Harmonik funktsiyalardir. Aksincha, heterojen tenglama uchun
(13)
umumiy echimlarga o'tish uning ko'plab echimlarini sezilarli darajada kengaytiradi. Ma'lumki, silliq f uchun echimlardan biri (252) Nyuton salohiyati bilan beriladi. Uchta mekansal o'zgaruvchiga nisbatan bu ko'rinishga ega (14)
qaerda . F doimiy D cheklangan maydoni D tutashuv farq bo'lsa, funktsiya (14) ikkinchi tartibda D uzluksiz hosilalari bor va D tenglama (13) javob beradi. Aksincha, (14) ning ikkinchi darajali doimiy türevleri bo'lmagan va shuning uchun klassik tenglama hal (13) bo'lmagan doimiy vazifalari mavjud. Ko'raylik, har qanday funktsiya da uzluksiz deb D, funktsiya va sinf tenglama umumiy hal (13). Buning uchun har qanday holatda ham isbotlash kerak 
(15)
Bizning taxminlarimiz bilan funktsiya va doimiy va doimiy ravishda farqlanadi, shuning uchun u bila turib domo tegishli . Tenglikni tekshirish uchun (15) funksiyalarni ko'rib chiqing
(16)
tashqarida davom etgan nol funktsiyasining o'rtacha miqdori mavjud.:
(17)
Shuning uchun ular har qanday D. da bir xil tarzda birlashishlariga ishonch hosil qilish qiyin emas, chunki bu (17) da siz sobit chegaraga o'tishingiz va u uchun adolat (15) ga ishonch hosil qilishingiz mumkin. nisbati (15) bundan tashqari, tenglamani (13) hal qilishda umumlashtirilgan derivativlar mavjud. birinchi va ikkinchi buyruqlar tenglamani deyarli hamma joyda qondiradi. Biz buni [148] da umumiy turdagi elliptik tenglamalar uchun darhol isbotlaymiz. Buy erda biz ushbu nuqtada tasdiqlangan teoremaning bayonoti issiqlik o'tkazuvchanligi tenglamasiga ham amalqiladi, ya'ni bir hil issiqlik o'tkazuvchanligi tenglamasi sinfining umumlashtirilgan echimlari klassikdir.