6-ma'ruza tekislikda to’g’ri chiziq tenglamalari va ularning turlari. To’g’ri chiziqlarning
Download 384.44 Kb. Pdf ko'rish
|
6-MARUZA
- Bu sahifa navigatsiya:
- To’g’ri chiziqning umumiy tenglamasi
- To’g’ri chiziqqa oid masalalar 1 0 .
- Mavzu bo’yicha savollar. 1. To’g’ri chiziqning umumiy tenglamasi keltiring
6-MA'RUZA Tekislikda to’g’ri chiziq tenglamalari va ularning turlari. To’g’ri chiziqlarning o’zaro joylashishi. Ikki to’g’ri chiziq orasidagi burchak. Ma’ruza rejasi: 1. To’g’ri chiziqning umumiy tenglamasi 2. Tekislikning turli ko’rinishdagi tenglamalari. 3. Fazodagi to’gri chiziqning turli ko’rinishdagi tenglamalari.
Tekislikda to’g’ri chiziq sodda, ayni paytda muhim geometrik tushunchalardan biri. Uni tekislikdagi nuqtalar to’plami (nuqtalarning geometrik o’rni) sifatida tushuniladi.
Ma’lumki, tekislikdagi nuqta o’zining x va
y koordinatalari bilan to’liq aniqlanadi. Bu
va
y sonlar turli qiymatlarni qabul qilganda ,
juftliklar turlicha bo’lib, ular turli nuqtalarni tasvirlaydi. Odatda, bunday nuqtalar o’zgaruvchi nuqta deyiladi. Agar o’zgaruvchi nuqtaning koordinatalari
va
y lar biror bog’lanishda bo’lsa, umuman aytganda bunday nuqtalar to’plami (geometrik o’rni) biror geometrik shaklni ifodalashi mumkin. Bog’lanish esa geometrik shaklning tenglamasi deyiladi.
Faraz qilaylik, tekislikda ikkita tayin 1 1
( , )
va 2
2 ( ,
) M x y nuqtalar berilgan bo’lsin. Bu nuqtalardan baravar uzoqlikda turgan nuqtalar biror to’g’ri chiziqda bo’lishini, bunday nuqtalar to’plami (geometrik o’rni) to’g’ri chiziqni ifodalashini tasavvur qilish mumkin. Shu xususiyatdan foydalanib undagi o’zgaruvchi
, P x y
nuqta koordinatalari orasidagi bog’lanishni topamiz. (1-chizma) 1 – chizma Ikki
nuqta masofa formulasiga ko’ra
2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 , M P x x y y M P x x y y bo’lib,
2 2 2 2 1 1 2 2 x x y y x x y y
bo’ladi. Bu tenglikning ikki tomonini kvadratga ko’tarib, so’ng qisqa ko’paytirish formulasidan foydalanib topamiz: 2 2
2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2
x x x y y y y x x x x y y y y . Keyingi tenglikdan
2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 2 2 2 2 0 x x x y y y x y x y
2 2 2 ,
x y 1 1 1 , M x y
, P x y
bo’lishi kelib chiqadi. Agar 2 1 2 1 2 2 2 2 1 1 2 2 , , A x x B y y C x y x y deyilsa, unda 0
(1)
bo’ladi.
Demak, to’g’ri chiziqdagi ixtiyoriy R(x, y) nuqtaning x va
y koordinatalari (1) tenglama bilan bog’langan. Binobarin, bu tenglamani to’g’ri chiziqning tenglamasi bo’ladi deyish mumkin.
Odatda (1) tenglama to’g’ri chiziqning umumiy tenglamasi deyiladi. Eslatma. Agar tekislikdagi 0 0 , A x ó nuqtaning 0 0 , x ó koordinatalari (1) tenglamani qanoatlantirsa, ya’ni 0 0 0 Ax By C bo’lsa, A nuqta to’g’ri chiziqda yotadi, tenglamani qanoatlantirmasa, ya’ni 0 0 0 Ax By C bo’lsa, A nuqta to’g’ri chiziqda yotmaydi. 1-misol. Ushbu 3 2
0 x y (2) tenglama bilan berilgan to’g’ri chiziq tekislikda yasalsin. ◄Ma’lumki, ikki nuqta to’g’ri chiziqning tekislikdagi holatini to’liq aniqlaydi. Aytaylik, 0
bo’lsin. Unda (2) tenglikka ko’ra 3 0 2 8 0, 2 8, 4 y y y
bo’ladi. Demak, (0, -4) nuqta to’g’ri chiziqda yotadi. Aytaylik, 0
bo’lsin. Unda (2) tenglikka ko’ra 8 2 3 2 0 8 0, 3 8, 2 3 3 õ õ õ
bo’ladi. Demak, 2 2
3 nuqta to’g’ri chiziqda yotadi. Bu
, 2 2 , 0
3
nuqtalarni tekislikda yasab, ular orqali to’g’ri chiziq o’tkazamiz. (2-chizma) 2-chizma Tenglamasi 3 2
0 x y bo’lgan to’g’ri chiziqning tekislikda joylashishi 2 –chizmada tasvirlangan. ►
Ravshanki, (1) tenglama bilan berilgan to’g’ri chiziqning tekislikdagi holati (vaziyati) tenglamadagi , ,
A B C sonlarga bog’liq bo’ladi. 1) (1) tenglamada 0
bo’lsin. Bu holda (1) tenglama 0
By X
0
2 ; 0 3
0; 4
ko’rinishga kelib, bu to’g’ri chiziq koordinatalar boshidan o’tadi. 2) (1) tenglamada 0
bo’lsin. Bu holda (1) tenglama 0 By Ñ
, ya’ni 0 Ñ ó Â Â
ko’rinishga kelib, bu to’g’ri chiziq OX o’qiga parallel bo’ladi. 3) (1) tenglamada 0
bo’lsin. Bu holda (1) tenglama 0 Ax Ñ
, ya’ni Ñ õ À
ko’rinishiga kelib, bu to’g’ri chiziq OY o’qiga parallel bo’ladi. 4) (1) tenglamada 0
C
bo’lsin. Bu holda (1) tenglama 0
, ya’ni
0 y
ko’rinishiga kelib, bu to’g’ri chiziq OX o’qi bo’ladi. 5) (1) tenglamada 0
C
bo’lsin. Bu holda (1) tenglama 0
, ya’ni
0 õ
ko’rinishga kelib, bu to’g’ri chiziq OY o’qi bo’ladi.
Demak, to’g’ri chiziqning umumiy tenglamasi 0 Ax By C da
0, 0, 0 À Â Ñ bo’lsa, u holda bu to’g’ri chiziq koordinatalar boshidan ham o’tmaydi, koordinata o’qlariga parallel ham bo’lmaydi.
0 . To’g’ri chiziqning burchak koeffitsientli tenglamasi. Tekislikda Dekart koordinatalar sistemasi va biror to’g’ri chiziqni olaylik. Bu to’g’ri chiziq OX o’qiga
parallel bo’lmasin. Binobarin, to’g’ri chiziq OX o’qini kesib o’tadi. To’g’ri chiziqning
o’qi bilan kesishgan nuqtani B ,
o’qining musbat yo’nalishi bilan tashkil etgan burchakni deylik. (3-chizma) 3-chizma Ravshanki, 0;
B b bo’lib, b esa
OB
kesmaning uzunligi. To’g’ri chiziqda ixtiyoriy ,
M x y
nuqtani olamiz. Keltirilgan chizmadan ko’rinadiki, BMC -to’g’ri burchakli uchburchak, CBM , , BC x MC y b . BMC uchburchakdan y b tg x
bo’lishini topamiz. Bu miqdor to’g’ri chiziqning burchak koeffitsienti deyiladi va k
bilan belgilanadi: k tg . Natijada y b k x bo’lib, undan y kx b
(3) bo’lishi kelib chiqadi. Y
0
b
B
Demak, to’g’ri chiziqdagi ixtiyoriy ,
nuqtaning x va
y koordinatalari (3) tenglama bilan bog’langan. Ushbu
y kx b tenglama to’g’ri chiziqning burchak koeffitsientli tenglamasi deyiladi. (3) tenglama
va
b larga bog’liq bo’lib, to’g’ri chiziqning tekislikdagi vaziyati shu
va
b lar bilan to’liq aniqlanadi. Masalan, , 2 4 b bo’lgan to’g’ri chiziq tenglamasi 2 y x
bo’ladi, chunki 1 4
tg .
Eslatma. Agar to’g’ri chiziqning umumiy tenglamasi 0
By C (4) da 0
Haqiqatdan ham, (4) tenglamani y ga nisbatan echib, A C y x B B
, so’ng , A C k b B B
deyilsa, unda (4) tenglama ushbu y kx b ko’rinishga keladi. Bu to’g’ri chiziqning burchak koeffitsientli tenglamasidir.
Dekart koordinatalar sistemasi va biror to’g’ri chiziq berilgan bo’lsin. Bu to’g’ri chiziq koordinatalar boshidan o’tmasin va u
o’qidan a OA kesmani, OY
o’qidan esa b OB kesmani ajratsin (4-chizma). 4-chizma Qaralayotgan to’g’ri chiziqda ixtiyoriy
, M M x y
nuqtani olamiz.
Keltirilgan chizmadan ko’rinadiki:
,
uchburchaklar to’g’ri burchakli uchburchaklar, , ,
x MC y . , , CA a x OB b OA a
Endi
OAB va CAM uchburchaklarning o’xshashligidan foydalanib topamiz: MC CA OB OA , ya’ni y a x b a . Keyingi tenglikdan X
0
C
1 y x b a
bo’lib, undan 1
(5) bo’lishi kelib chiqadi.
Demak, to’g’ri chiziqdagi ixtiyoriy ,
nuqtaning
va
y koordinatalari (5) tenglama bilan bog’langan. Ushbu
1 x y a b
tenglama to’g’ri chiziqning kesmalar bo’yicha tenglamasi deyiladi. (5) tenglama
va
b larga bog’liq bo’lib, to’g’ri chiziqning tekislikdagi holati shu
va
b lar bilan to’liq aniqlanadi. Masalan,
o’qidan 2 birlik
a , OY o’qidan 3 birlik
b kesma ajratadigan to’g’ri chiziq tenglamasi 1 2 3 x y
bo’ladi. Eslatma. Agar to’g’ri chiziqning umumiy tenglamasi 0
By C da 0, 0, 0 C A B bo’lsa, uni to’g’ri chiziqning kesmalar bo’yicha tenglamasiga keltirish mumkin.
Haqiqatan ham, (4) tenglamaning ikki tomonini Ñ ga bo’lib, 1, 1
B x y C C x B C C A B so’ng
, C C a b A B
deyilsa, unda (4) tenglama ushbu 1 x y a b
ko’rinishga keladi. Bu to’g’ri chiziqning kesmalar bo’yicha tenglamasidir.
1 0 . Ikki to’g’ri chiziq orasida burchak Ikki to’g’ri chiziqning parallellik hamda perpendikulyarlik shartlari. Tekislikda ikkita 1 va 2 to’g’ri chiziqlarni qaraylik, 1 to’g’ri chiziqning burchak koeffitsientli tenglamasi 1 1
k x b , 2 to’g’ri chiziqning burchak koeffitsientli tenglamasi esa 2 2
k x b bo’lsin. Bunda 1 1
2 ,
tg k tg . (5-chizma)
5-chizma 1 to’g’ri chiziqni M nuqta atrofida soat strelkasiga teskari tomonga uni 2 to’g’ri chiziq bilan ustma- ust tushguncha burish natijasida hosil bo’lgan
burchak 0
, ikki
1 va
2 to’g’ri chiziqlar orasidagi burchak deyiladi.
Yuqorida keltirilgan 5–chizmadan ko’rinadiki, burchak 2 1
bo’ladi.
Ma’lumki, 2 1 2 1 2 1 1 tg tg tg tg tg tg
. Demak, 2 1 1 2 1 k k tg k k
(6) bo’lib, u ikki to’g’ri chiziq orasidagi burchakning tangensini aniqlab beradi. Masalan, ushbu 1 3
3 7 4 y x y x
to’g’ri chiziqlar uchun 1 2
3 , 7 4 k k
bo’lib, ular orasidagi burchakning tangensi (6) formulaga ko’ra 3 1
4 7 1 3 1 28 3 1 4 7 tg
bo’ladi. Demak, berilgan to’g’ri chiziqlar orasidagi burchak 45 Y X
0 1
2 1 2 M
bo’ladi.
Aytaylik, ikki to’g’ri chiziq orasidagi burchak 0 bo’lsin. Ravshanki, bu holda to’g’ri chiziqlar parallel bo’ladi. Ayni paytda , 2 1
2 0 0 1 k k tg k k
bo’lib, 1 2
k
(7) bo’ladi. (7) munosabat ikki to’g’ri chiziqning parallellik shartini ifodalaydi.
Aytaylik, ikki to’g’ri chiziq orasidagi burchak 2 bo’lsin. Ravshanki, bu holda to’g’ri chiziqlar perpendikulyar bo’ladi. Ayni paytda 2 1 1 2 2 1 k k tg k k
bo’lib, 1 2 1 0 k k
, ya’ni 1 2 2 1 1 1 k k k k
(8) bo’ladi. (8) munosabat ikki to’g’ri chiziqning perpendikulyarlik shartini ifodalaydi. Eslatma. Aytaylik, ikki to’g’ri chiziq umumiy ko’rinishdagi tenglamalari 1 1 1 2 2 2 0, 0 A x B y C A x B y C bilan berilgan bo’lsin. Bu to’g’ri chiziqlarning parallellik sharti 1 2 1 2
A B B
perpendikulyarlik sharti esa 1 2 1 2 0 A A B B bo’ladi.
0 . Bir va ikki nuqtadan o’tuvchi to’g’ri chiziq tenglamalari. Tekislikda tayin 1 1 1 1 ,
M x y nuqta berilgan bo’lsin. Shu nuqtadan o’tuvchi to’g’ri chiziqni (to’g’ri chiziq tenglamasini) topamiz. To’g’ri chiziqni, uning burchak koffitsientli tenglamasi y kx b
(9) ko’rinishida izlaymiz. Bu to’g’ri chiziq berilgan 1
nuqta orqali o’tishi lozim. Binobarin, 1
nuqtaning koordinatalari 1
va 1
lar (9 ) tenglamani qanoatlantiradi. 1 1 y kx b
(10) (9) va (10) tengliklarni hadlab ayirib 1 1
y kx b kx b
, ya’ni 1 1 ( )
y k x x
(11) bo’lishini topamiz. Bu (11) tenglama berilgan 1 1 1 , M x y nuqtadan o’tuvchi to’g’ri chiziq tenglamasi bo’ladi.
Agar (11) tenglamadagi k tayin son bo’lsa, u holda (11) tenglama
1 ,
nuqtadan o’tuvchi tayin bitta to’g’ri chiziq bo’ladi. Agar (11) tenglamadagi k turli qiymatlarni qabul qiluvchi o’zgaruvchi bo’lsa, u holda (11) tenglama 1 1 , x ó nuqtadan o’tuvchi to’g’ri chiziqlar dastasining tenglamasi bo’ladi.
3, 2 P nuqtadan o’tuvchi, ushbu 4 7 3 ó x (12) to’g’ri chiziqqa parallel bo’lgan to’g’ri chiziq tenglamasi topilsin.
◄Izlanayotgan to’g’ri chiziq (12) to’g’ri chiziqqa parallel bo’lishi kerakligidan, ularning burchak koeffitsientlari bir xil bo’lib, 1 1 4 3 y y õ x
bo’ladi. Bu to’g’ri chiziq 3, 2
P nuqtadan o’tadi. Demak,
2 3 3 y õ
ya’ni 4 2 3 y õ bo’ladi. Bu izlanayotgan to’g’ri chiziqdir. ► Aytaylik, tekislikda ikkita 1 1 1 , M x y , 2 2 2 ,
x y nuqtalar berilgan bo’lsin. Bu nuqtalardan o’tuvchi to’g’ri chiziq tenglamasini topish uchun, avvalo 1 1 1 , M x y
nuqtadan o’tuvchi to’g’ri chiziq tenglamasini (11) formulaga ko’ra yozib olamiz: 1 1 y y k õ x
. Bu to’g’ri chiziq 2 2 2 , M x y nuqtadan o’tishi kerak. Demak,
1 2 1 y y k õ x
bo’ladi. Keyingi tenglikdan topamiz: 2 1 2 1 y y k õ x .
ning bu qiymatini (11) tenglamadagi
ning o’rniga qo’ysak, unda
1 1 1 2 1
y y y õ x õ x bo’ladi. Keyingi tenglikdan 1 1
1 2 1 y y õ x y y õ x
(13)
bo’lishi kelib chiqadi. Bu berilgan 1 1 1 , M x y va
2 2 2 , M x y nuqtalardan o’tuvchi to’g’ri chiziq tenglamasi bo’ladi.
Masalan, 1 2,3 M , 2 4,5
M nuqtalardan o’tuvchi to’g’ri chiziq tenglamasi 3 2
4 2 y x ya’ni
1 ó x
bo’ladi.
ushbu
0 Ax By C tenglama bilan berilgan to’g’ri chiziq va
1 1 , M x y nuqtani qaraylik. 1
nuqtadan to’g’ri chiziqqa tushirilgan perpendikulyarning uzunligi 1
nuqtadan to’g’ri chiziqqacha masofa bo’lgan deyiladi. (6-chizma) 6-chizma Perpendikulyarning chiziq bilan kesishish nuqtasi
2 2 2 , M x y bo’lsin. Demak, nuqtadan to’g’ri chiziqqacha masofa 1
2
kesmaning uzunligi bo’ladi. Uni
bilan belgilaymiz. Ushbu
0 Ax By C , 1 0 Bx Ay C
to’g’ri chiziqlar o’zaro perpendikulyar bo’ladi, chunki bu to’g’ri chiziqlar uchun perpendikulyarlik sharti bajariladi:
0 A B B A AB AB
. Unda perpendikulyar to’g’ri chiziqning
1 1 , M x y nuqtadan o’tganligini e’tiborga olib, uning tenglamasi 1 1 0
x x A y y
bo’lishini topamiz. Ayni paytda, bu to’g’ri chiziq
2 2 , M x y nuqtadan ham o’tadi. Demak, 2 1 2 1 0 B x x A y y bo’ladi. Keyingi tenglikdan
2 1 2 1
x x A y y
ya’ni 2 1 2 1
x y y A B
bo’lishi kelib chiqadi. Agar bu nisbatlarni t bilan belgilasak, X
0
1 1 1 , M x y
d
2 2 2 ,
x y 2 1 2 1 x x y y t A B
unda 2 1 2 1 2 1 2 1 , , , x x At x x At y y Bt y y Bt
bo’ladi.
Ravshanki,
2 2 2 2 2 1 2 1 d x x y y A B t
(14)
Endi 2 2 2 , M x y nuqta qaralayotgan 0
to’g’ri chiziqda yotishini e’tiborga olib topamiz: 2 2
1 2 2 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 0
By C A x At B y Bt C Ax By C t A B
Keyingi tenglikdan 1 1 2 2 Ax By C t A B
(15)
bo’lishi kelib chiqadi.
Demak, ( 14) va (15 ) tengliklardan 1 1 2 2 2 2 Ax By C d A B t A B
(16) bo’ladi. Bu berilgan nuqtadan berilgan to’g’ri chiziqqacha bo’lgan masofani topib beradigan formuladir.
Masalan, 1 3, 4 M nuqtadan 6 8
x y
to’g’ri chiziqqacha bo’lgan masofa (16) formulaga ko’ra
2 2 6 3 8 4 31 18 32 31 8,1 10 6 8 d
bo’ladi.
1. To’g’ri chiziqning umumiy tenglamasi keltiring? 2. To’g’ri chiziqning burchak koeffitsientli tenglamasi qanday ko’rinishda bo’ladi? 3. Bir va ikki nuqtadan o’tuvchi to’g’ri chiziq tenglamalari qanday ko’rinishda bo’ladi? 4. Berilgan nuqtadan berilgan to’g’ri chiziqqacha bo’lgan masofa formulasi qanday ko’rinishda? 5. Ikki to’g’ri chiziqning parallellik va perpendikulyarlik shartlari? Download 384.44 Kb. Do'stlaringiz bilan baham: |
ma'muriyatiga murojaat qiling