Функции комплексной переменной. Кривые и области


Download 224.29 Kb.
Pdf ko'rish
Sana24.11.2020
Hajmi224.29 Kb.

4-ТЕМА: 

ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. КРИВЫЕ И ОБЛАСТИ 

НА КОМПЛЕКСНОЙ ПЛОСКОСТИ. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ 

КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. 

Пример-1:  Найти  действительную  и  мнимую  части  функции 

 


2

f z

iz

z



► Полагая 



z

x

iy

 


, находим  

   


  









2

2

2



2

2

,



,

2

1 2



.

f z

u x y

i

x y

i x

iy

x

iy

i x

y

ixy

x iy

x

y

i x

y

y









 





 

Таким образом 



   



Re

,

1 2



f z

u x y

x

y

 



 



 

2

2



Im

,

f z



x y

x

y

y





.◄ 

 

Пример-2: 

Определить 

функцию 


 

f z



 

по 


известным 

действительной и мнимой частям: 

 

 


,

,

,



u x y

x

y

x y

x

y

 



 

► Если 



z

x

iy

 


 и 

z

x iy

 


, то 



1

2

x



z

z



 и 



1

2

y



z

z

 


Тогда 



 



1



1

1

,



2

2

2



2

i

i

i

u x y

x

y

z

z

z

z

z

z



  





 




1

1



1

,

2



2

2

2



i

i

i

x y

x

y

z

z

z

z

z

z



  






Следовательно, 

   


 



1

1

1



1

,

,



2

2

2



2

1

1



1

1

1



.

2

2



2

2

i



i

i

i

f z

u x y

i

x y

z

z

iz

i z

i

i

i

i

i z

i z

i z

















 






 



Таким образом, 

  


1

f z



i z

 


Рассмотренный  в  задаче  метод  позволяет  в  общем  случае  получить  для 

функции комплексной переменной выражение, зависящее от 

z

 и 


z

.  ◄ 


Пример-3: Найти все значения функции 

2

2



z



 в точке 

0

z

i



► Так как 

1

i

 и 


arg

2

i



 то в соответствии с определенном корня 



n

 й 



степени из комплексного числа находим 

2

2 2



2

,

0,1.



2

i

k

k

e

k









 



Таким образом, 

4

0



2

2

2



cos

sin


2

2

4



4

2

i



e

i

i







 


5

4



1

2

2



5

5

2



cos

sin


2

2

2



4

4

2



i

e

i

i









.◄ 

Самостоятельная работа 

1.  Найти действительную и мнимую части функции 

 

f z

а) 



 

2

f z



iz

z



.   

 

 



 

б)

 



 

2

2



f z

iz

z



2.  Определить  функцию 

 

f z



  по  известным  действительной  и 

мнимой частям: 

   

,

,



,

u x y

x y



a) 

 


 

,

3



,

,

2



u x y

x

y

x y

x

y



 


 

b) 


 

 


,

2,

,



1

u x y

x

y

x y

x

y

  



  

 

3.  Найти все значения функции 



 

z

 в точке 



0

z

a)    



0

1,

z



z

z

i



 

;   



b)  

0

1



,

1

1



z

z

z





.    

 

 



Download 224.29 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2020
ma'muriyatiga murojaat qiling