Funksiya uzluksizligi. Uzilish nuqtalari va ularning turlari
Download 0.66 Mb. Pdf ko'rish
|
4-maruza Документ Microsoft Word
- Bu sahifa navigatsiya:
- Tayanch soʻz va iboralar
- 2. Bir tomonlama uzluksizlik. Funksiyaning kesmada uzluksizligi
- 3. Uzluksiz funksiyalarning asosiy xossalari. Elementar funksiyalarning uzluksizligi Tеorеma 1.
- 2-misol . x y sin funksiya
- Teorema 4.
- Teorema 5.
- Yoʻqotish(Bartaraf etish) mumkin boʻlgan uzilish.
- Birinchi tur uzilish nuqtasi.
- 3-misol.
- 5-misol.
- 5. Kesmada uzluksiz funksiyalarning xossalari Teorema 6.
- Natija 1.
|
4-MA’RUZA FUNKSIYA UZLUKSIZLIGI. UZILISH NUQTALARI VA ULARNING TURLARI Reja 1. Funksiyaning nuqtadagi uzluksizligi 2. Bir tomonlama uzluksizlik. Funksiyaning kesmada uzluksizligi. 3. Uzluksiz funksiyalarning asosiy xossalari. Elementar funksiyalarning uzluksizligi. 4. Uzilish nuqtalari va ularning turlari. 5. Kesmada uzluksiz funksiyalarning xossalari.
) (x f у funksiya 0 x nuqtada va uning biror atrofida aniqlangan boʻlsin. Agar funksiyaning 0
nuqtadagi limiti
uning shu nuqtadagi qiymatiga tеng boʻlsa, ya’ni ) ( ) ( lim 0 0
f x f x x (4.1)
tenglik oʻrinli boʻlsa, ) (x f у
0
Demak, (4.1) formuladan quyidagi uchta shart oʻrinli ekanligi kelib chiqadi: 1) )
f у funksiya 0 x nuqtada va uning biror atrofida aniqlangan; 2) )
f у funksiya 0 x nuqtada limitga ega; 3) )
f у funksiyaning 0 x nuqtadagi limiti shu nuqtadagi qiymatiga teng boʻladi. Bundan, 0
lim ( ) ( lim
0 0
f x f x f x x x x . Masalan, e e e e x x x x x x 1 sin
lim sin
0 0 lim . Yuqoridagi ta’rifni kengaytirib quyidagicha yozish mumkin. Agar )
f у funksiya 0 x nuqtada va uning atrofida aniqlangan boʻlib, istalgan 0 son uchun shunday 0
son mavjud boʻlsaki,
0 x x shartni
qanoatlantiradigan istalgan х uchun
0
f x f tеngsizlik oʻrinli boʻlsa, ) (x f у funksiya 0 x nuqtada uzluksiz dеb ataladi. Uzluksizlikning yana bir ta’rifini argument va funksiya orttirmasi tushunchalari yordamida ham berish mumkin. ) (x f у funksiya biror ) , ( b a oraliqda aniqlangan boʻlsin. Ixtiyoriy ) ,
0 b a x
nuqtani olamiz, unga funksiyaning ) ( 0 0
f у qiymati mos kеladi. Ixtiyoriy ) , ( b a x nuqta uchun 0 x x ayirma x argumеntning 0 x nuqtadagi orttirmasi dеyiladi va
bilan bеlgilanadi. 0
f x f ayirma esa ) (x f у funksiyaning argumеnt orttirmasi x ga mos orttirmasi, ya’ni ) (x f у funksiyaning 0 x nuqtadagi orttirmasi dеyiladi va y bilan bеlgilanadi. Shunday qilib, 0
x x ,
0
f x f y .
Bundan, x x x 0 , u holda
0 0
f x x f y . Y y 0 +Δy y=f (x)
y 0
0 a x 0 x 0 +
b X 1-shakl. x va y orttirmalar musbat ham, manfiy ham boʻlishi mumkin. 0 x x
shart 0 0
x ga teng kuchli boʻlgani uchun (4.1)ni
0 lim
0 0
f x f x x kabi yoki 0 lim
0
x (4.2) kabi ifodalash mumkin. Bu esa, nuqtada uzluksizlikning orttirmalar boʻyicha ta’rifidan iboratdir. Agar )
f у funksiya 0 x nuqtada va uning atrofida aniqlangan boʻlib, argumеntning chеksiz kichik orttirmasiga funksiyaning chеksiz kichik orttirmasi mos kеlsa, ya’ni 0 lim
0
x
boʻlsa, funksiya 0 x nuqtada uzluksiz dеb ataladi. 1-misol. 2
у funksiya 1 0 x nuqtada uzluksizligini koʻrsating. Yechish. (4.2) ni tekshiramiz, 2 2 2 0 0 2 1 1 1 1 x x x f x f x f x x f y . 0 2 lim
lim 0 0
x y x x . Demak, 2 x у funksiya 1 0 x nuqtada uzluksiz ekan.
Funksiyaning nuqtadagi bir tomonlama limitlari oʻzaro tеng boʻlganda, ya’ni ) 0 ( ) 0 ( 0 0 x f x f da va faqat shundagina funksiyaning limiti mavjudligi ma’lum. Funksiyaning chap va oʻng limitlari 0
nuqtada mavjud va oʻzaro tеng boʻlib, shu nuqtadagi qiymatiga teng boʻlsa, ) (x f у
0
ataladi: )
( ) 0 ( 0 0 0
f x f x f (4.3) 2. Bir tomonlama uzluksizlik. Funksiyaning kesmada uzluksizligi Agar
) (x f у funksiya 0 ; x a oraliqda aniqlangan va ) (
( lim
0 0 0 x f x f x x
boʻlsa, u holda bu funksiya x 0 nuqtada chapdan uzluksiz deyiladi. Agar )
f у funksiya
x ; 0 oraliqda aniqlangan va ) ( ) ( lim
0 0 0 x f x f x x
boʻlsa, u holda bu funksiya x 0 nuqtada oʻngdan uzluksiz deyiladi. Agar )
f у funksiya ixtiyoriy ) , ( b a x da uzluksiz boʻlsa, u holda funksiya shu ) , ( b a oraliqda uzluksiz deyiladi. Agar )
f у funksiya ) , ( b a oraliqda uzluksiz boʻlib, a x nuqtada oʻngdan uzluksiz( ) ( ) ( lim 0 a f x f a x ) va
b x nuqtada chapdan uzluksiz( ) ( ) ( lim
0 b f x f b x ) boʻlsa, u holda funksiya b a, kesmada uzluksiz deyiladi.
yana uzluksiz funksiyalardir(bunda boʻlinma uchun maxrajidagi funksiya noldan farqli argument qiymatlaridan tashqari). 1)
) ( ) ( ) ( lim 0 0 0 x x f x x f x x
2)
) ( ) ( ) ( lim 0 0 0 x x f x x f x x
3) 0 ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( lim
0 0 0 0 x x x f x x f x x
) (x u funksiya 0
nuqtada uzluksiz, ) (u f у funksiya esa
0 0
u nuqtada uzluksiz boʻlsa, u holda
) (
f у murakkab funksiya ham 0
nuqtada uzluksiz funksiyadir, ya’ni
0 0 lim
x f x f x x . Tеorеma 3. Agar ) (x f у funksiya Ox oʻqining b a, kesmasida qat’iy monoton va uzluksiz boʻlsa, u holda unga teskari ) (x y funksiya ham mos ravishda Oy oʻqining
kesmasida monoton va uzluksiz boʻladi. 2-misol. x y sin
funksiya oʻzi aniqlangan barcha R x nuqtalarda uzluksizligini isbotlang. Yeсhish. 0
nuqtani bеlgilaymiz va shu nuqtada
orttirmani tuzamiz:
2 sin
2 cos
2 sin
sin 0 0 0 0 0 x x x x x x x f x x f y . Demak, nuqtada uzluksizlik ta’rifga koʻra, x sin
funksiya 0
nuqtada uzluksiz. Biroq 0
son toʻg‘ri chizig‘ining istalgan nuqtasi, dеmak, x sin
funksiya sonlar oʻqining istalgan nuqtasida uzluksizdir. Teorema 1 ga koʻra,
cos
sin funksiya barcha Z k k x , 2 nuqtalarda uzluksizdir. Teorema 3 ga koʻra, arcctgx arctgx x x , , arccos , arcsin oʻzi aniqlangan barcha nuqtalarda uzluksiz boʻladi. Teorema 4. Barcha asosiy elementar funksiyalar oʻzi aniqlangan barcha nuqtalarda uzluksizdir. Elementar funksiyalar deb, bitta formula bilan berish mumkin boʻlgan, asosiy elementar funksiyalarning chekli sondagi arifmetik amallari va superpozitsiyasini oʻz ichiga oluvchi funksiyalarga aytiladi.
uzluksizdir. 4. Uzilish nuqtalari va ularning turlari Funksiya uzluksizligi buziladigan nuqtalar shu funksiyaning uzilish nuqtalari deyiladi. Agar 0
nuqta ) (x f у funksiyaning uzulish nuqtasi boʻlsa, quyidagi shartlardan kamida bittasi bajariladi: 1. Funksiya 0
nuqta atrofida aniqlangan, lekin 0
nuqtaning oʻzida aniqlanmagan. Masalan, 2 1
у , 2 0
x da aniqlanmagan. 2. Funksiya 0
nuqta va uning atrofida aniqlangan, lеkin 0
nuqtadagi funksiyaning ) 0
0
f chap limiti va ) 0
0
f
oʻng limitlaridan kamida biri cheksiz yoki mavjud emas. Masalan, 2 1
у ,
, 0 0 2
) 0 2 (
3. Funksiya 0
nuqta va uning atrofida aniqlangan, 0
nuqtada bir tomonlama chekli limitlar mavjud, lеkin oʻzaro tеng emas:
) 0 ( 0 0 0 x f x f Masalan,
bo`lsa. 2 agar
, 2 bo`lsa 2 agar
, 1
x x x у ,
) 0 2 ( 1 0 2 f f 4. Funksiya 0
nuqtada aniqlangan, bir tomonlama limitlar mavjud, oʻzaro tеng, ya’ni ) (
0 x f x x
mavjud, lеkin ular funksiyaning bu nuqtadagi qiymatiga tеng emas:
0 0 0 ) 0 ( 0 x f x f x f . Masalan, bo`lsa. 0 agar
, 2 bo`lsa 0 agar
, sin
x x x x у
Yoʻqotish(Bartaraf etish) mumkin boʻlgan uzilish. 0
nuqtada ) (x f у
funksiya uzilishga ega, biroq bir tomonlama limitlar mavjud va oʻzaro tеng, ya’ni ) 0 ( 0 0 0 x f x f boʻlsa, 0
nuqta yoʻqotish mumkin boʻlgan uzilish nuqtasi dеb ataladi. Bu nuqtaning bunday atalishiga sabab shuki, funksiyaning bu nuqtadagi qiymati sifatida bir tomonlama limitlarning qiymatlarini oladigan boʻlsak, biz goʻyo funksiyani shu nuqtada yangidan aniqlab, uzilishni yoʻqotamiz. Masalan, bo`lsa. 0 agar
, 2 bo`lsa 0 agar
, sin
x x x x у
0 0
x nuqta funksiyaning uzilish nuqtasidir. Biroq, 1 sin lim 0 x x x , ya’ni 1
0 ( 0 f f bir tomonlama limitlar mavjud va oʻzaro tеng, ammo 0 0 x nuqtada 2 )
(
. Dеmak, 0 0 x yoʻqotish mumkin boʻlgan uzilish nuqtasi,
1 ) 0 ( 0 0 f f f
dеb olamiz. Shu bilan uzilish nuqtasini bartaraf etamiz(2-shakl) . y 2
x x y sin
1
0 2-shakl. Birinchi tur uzilish nuqtasi. Agar 0
nuqtada ) (x f у funksiyanig bir tomonlama limitlar mavjud va oʻzaro tеng boʻlmasa, ya’ni ) 0 ( 0 0 0 x f x f
boʻlsa, bu nuqta birinchi tur uzilish nuqtasi dеb ataladi. ) 0 ( 0 0 0 x f x f h
soni funksiyaning 0
nuqtadagi sakrashi dеb ataladi(3-shakl).
0
3- shakl Ikkinchi tur uzilish nuqtasi. Agar 0
nuqtada bir tomonlama limitlardan kamida biri chеksiz yoki mavjud boʻlmasa, 0
nuqta ikkinchi tur uzilish nuqtasi dеyiladi.
Yechish.
1 ) 0 ( 1 0 , 0 f f x , 2
0 ( 0
f h
y
4-shakl.
Dеmak,
0
birinchi tur uzilish nuqtasi boʻladi.
1 1 2 ) (
x f Yechish. 1 1 2 ) (
x f funksiya 1
nuqtada aniqlanmagan(5-shakl). , 0 2 2 lim
0 1 1 1 0 1 x x f
h . . . . . ..
1 0 -1 0 𝑥
. . .
. . .
𝑦 𝑓(𝑥) . .
. . . . .
𝑦
𝑥 0
. . .
. 2 2 lim 0 1 1 1 0 1 x x f
Dеmak, 1
nuqta - ikkinchi tur uzilish nuqtasi. y
1 1 0
5-shakl.
1 sin ) ( . Yechish. x x f 1 sin ) ( funksiya 0 x nuqtada aniqlanmagan. Lekin x f x 1 sin lim ) 0 ( 0 mavjud emas, demak, 0 x ikkinchi tur uzilish nuqtasidir . 5. Kesmada uzluksiz funksiyalarning xossalari Teorema 6. Agar ) (x f funksiya
kesmada uzluksiz boʻlsa, funksiya shu kesmada oʻzining eng katta va eng kichik qiymatlariga erishadi.
) (x f funksiya
kesmada uzluksiz va kesma chetlarida B b f A a f ) ( , ) (
boʻlsa, u holda funksiya shu kesmada A va B lar orasidagi barcha qiymatlarni qabul qiladi. Natija 2. Agar ) (x f funksiya
kesmada uzluksiz va kesma chetlarida har xil ishorali qiymatlarni qabul qilsa, u holda shu kesma ichida kamida bitta shunday
0 ) (
f .
Mavzu yuzasidan savollar 1.
) (x f у
0
nuqtada uzluksizlik ta’riflarini kеltiring. 2. )
f у funksiyaning 0 x nuqtada chapdan va oʻngdan uzluksizligi ta’rifini aytib bеring. 3. Uzluksiz funksiyaning asosiy xossalarini ayting. 4. Funksiyaning uzilish nuqtasi dеb nimaga aytiladi? 5. Uzilish nuqtasi nima? Uzilish turlarini ayting. Misollar keltiring. 6. Kеsmada uzluksiz funksiyaning xossalari qanday? Download 0.66 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|