Funksiyaning uzluksizligi 1 Funksiya uzluksizligi ta’rifi

Funksiyaning uzluksizligi 

1

0

. Funksiya uzluksizligi ta’rifi. 

 

f x

 funksiya  

X

R



 to‘plamda 

aniqlangan bo‘lib, 

0

x

X



 nuqta shu to‘plamning limit nuqtasi bo‘lsin. 

5 – t a ‘ r i f . Agar 

 

 

0

0

lim

x

x

f x

f x





 

bo‘lsa, 

 

f x

 funksiya 

0

x

 nuqtada   u z l u k s i z   deyiladi. 

Odatda, 

0

x x

x



 

 - argument orttirmasi, 

 

 



0



0

f x

f x

f x



 

 - funksiya 

orttirmasi deyiladi. 

Agar 

 

0

0

lim

0

x

f x

 





 

bo‘lsa, 

 

f x

 funksiya 

0

x

 nuqtada   u z l u k s i z   deyiladi.  

Aytaylik, 

0

x

 va 

X

 lar uchun shunday 

0





 mavjud bo‘lsinki,  





0

0

,

x

x

X







 

bo‘lsin. Agar 

0,



 

 

0,



 

 





0

0

,

x

x

x



 



  :  

 

 

0

f x

f x







 

bo‘lsa, 

 

f x

 funksiya 

0

x

 nuqtada   ch a p d a n   u z l u k s i z   deyiladi. 

Bu holda 





 

0

0

0

f x

f





x

 bo‘ladi. 

Aytaylik, 

0

x

 va 

X

 lar uchun shunday 

0





 mavjud bo‘lsinki, 





0

0

,

x x

X







 

bo‘lsin. Agar 

0,



 

 

0,



 

 





0

0

,

x

x x



 



  :  

 

 

0

f x

f x







 

 

bo‘lsa, 

 

f x

 funksiya 

0

x

 nuqtada   o‘ n g d a n   u z l u k s i z   deyiladi. Bu holda 





0

0

 

0

f x



 f x

 bo‘ladi. 

Agar 

 

f x

 funksiya 

X

 to‘plamning har bir nuqtasida uzluksiz bo‘lsa, 

funksiya shu 

X

   t o‘ p l a m d a   u z l u k s i z   deyiladi. 

 

2

0

. Funksiyaning uzilishi, uzilishining turlari. Agar 

 

f x

 funksiya 

0

x

 

nuqtada uzluksiz bo‘lmasa, 

 

f x

 funksiya 

0

x

 nuqtada uziladi deyiladi, 

0

x

 esa 

funksiyaning uzilish nuqtasi deyiladi.  

Ma’lumki, 

 

f x

funksiya 

0

x

 nuqtada uzluksiz bo‘lishi uchun: 

1) 

0

x

 nuqtada o‘ng va chap limitlari 





0

0

f x



, 

 

   (1) 



0

0

f x





mavjud, 

2) 





 





0

0

0

0

0

f x

f x

f x









  

(2) 

tenglikning bajarilishi zarur va yetarli edi. 

Agar (1) limitlar mavjud va chekli bo‘lib, (2) tenglikning birortasi 

bajarilmasa, 

0

x

 nuqta 

 

f x

 funksiyaning birinchi tur uzilish nuqtasi deyiladi. 

Bu holda 

 

f x

 funksiya 

0

x

 nuqtada sakrashga ega deyilib, 









0

0

0

0

‘lma

tl

cheksiz bo‘lsa) 

f x

f x







 m

r uning sakrashi deyiladi. 

iqdo

Agar hech bo

ganda (1) limi arining bittasi mavjud bo‘lmasa, (yoki 

0

x

 nuqta 

 

f x

 funksiyaning ikkinchi tur uzilish nuqtasi deyiladi. 

3

0

. Uzluksiz funksiyalarning xossalari. Faraz qilaylik, 

 

f x

 funksiya 

[a,b]

 

segmentda uzluksiz bo‘lsin. U holda: 

1) 

 

f x

 funksiya 

[a,b]

 da chegaralangan bo‘ladi; 

2) 

 

f x

 funksiya 

[a,b]

 da o‘zining aniq yuqori va aniq quyi chegaralariga 

erisha

a’ni

di, y

 

 

,

x

a b





, 

 

 





inf

f x

f x





, 



 

,

x

a b



 

, 

 

 





sup

f x

f





 

x

bo‘ladi; 

3)

   

0

f a

f b





 bo‘lganda, shunday 

 

0

,

x

a b



 topiladiki, 

 bo‘ladi; 

hegaralari 

 

0

0

f x



 

f a

va 

 

f b

4)C

 bo‘lgan segmentdan olingan ixtiyoriy   soni 

uchun shunday 

C

 

,

a b

c



 nuqta topiladiki, 

 

f c

C



 bo‘ladi. 

5 – m i s o l . Ushbu 



,

x

агар

x

сон бўл

x





 



,

рационал

са

f

x агар x иррационал сон бўлса







 

,

funksiyaning 

0

0

x



 nuqtada uzluksiz bo‘lishi ko‘rsatilsin. 

◄Ravshanki, bu funksiyaning 

0

0

x



 nuqtadagi orttirmasi 

,

bo‘ladi. Unda  





 

,

0

0

0

x агар

x рационал

f

f

x

f



 







  







ар

x иррационал со



 



,

сон бўлса

x аг

н бўлса

 

 

0

0

lim

0

x

f x

 





 

bo‘ladi. Demak, berilgan funksiya 

0

0

x



 nuqtada uzluksiz.► 

6 – m i s o l . Uzluksiz funksiya xossalaridan foydalanib, ushbu 

sin

cos

0

x



 

x



tengsizlik yechilsin. 

◄Ravshanki, 

 

sin

cos

f x

x





x

 funksiya uzl

ni 

uksiz. Bu funksiya





0, 2



 

oraliqda qaraymiz. 

 

f x

 funksiya 





0, 2



 oraliqning 

1

4

x



, 

2

4

x

5







 nuqtalarida 

nolga aylanadi: 

5

0

4

4

f

f













. Uzluksiz funksiyaning xossasiga ko‘ra 





 













 

f x

 

funksiya 

0,

4













,   

5

,

4 4

 













,  

5



, 2

4















 

oraliqlarning har birida ishora saqlaydi. 

0

2



f  



 

 

 bo‘lganligi sababli 

5

,

4 4

 













 da 

0

2

f



  

 

 

 bo‘ladi. Demak, berilgan tengsizlikning yechimi 

5

2

2

4

4

k

x

k











 



 



 



0, 1, 2,...

k

  

 

 

bo‘ladi.►

 

700. 

 

f x

 funksiya 

0

x

 nuqtada uzluksizligining geometrik talqini berilsin. 

701. 

 

f x

 funksiyaning 

0

x

 nuqtada bir tomondan (o‘ngdan va chapdan) uzluksiz 

702. 

bo‘lishi ta’riflari keltirilsin. 

 

f x

 funksiyaning 

0

x

 nuqtada uzluksiz bo‘lishi zaruriy va yetarli shartlari 

keltirilsin. 

703. Agar 

 

f x

 funksiya 

0

x

 nuqtada uzluksiz bo‘lsa, u holda 

 

f x

 funksiyaning 

ham shu nuqtada uzluksiz bo‘lishi isbotlansin. 

704. Agar 

 

f x

 funksiya   nuqtada uzluksiz bo‘lsa, 

a

 





x

f bx c







 





0

b



 

funksiya 

a c



b

 nuqtada uzluksiz bo‘lishi isbotlansin. 

 

Berilgan 

 

f x

  funksiyaning 

0

x

 nuqtada uzluksiz ekanligi ta’rif 

yordamida isbotlansin. 

05

, 

7

. 

 

2

2

4

f x

x





0

3

x



 

706.

, 

 

 

3

8

f x

x

 



2

0

5

x



 

707. 

 

f x

x



, 

0

2

x



 

708. 

 

4

f x

x



, 

0

3

x



 

709. 

 

1

f x

x



, 

0

1

x



 

 

Berilgan funksiyalarning o‘zining aniqlanish sohasida uzluksiz bo‘lishi 

ko‘rsatilsin. 

10.

7

 

 

sin

f x

x



 

711. 

 

f x

x



 

712. 

 

3

f x

x



 

713. 

 

3

f x

x



 

714. 

 

1

f x

x



 

 

Quyidagi funksiyalar uzluksizlikk

hirilsin v  grafiklari chizilsin. 

a teks

a

715. 

716. 

 

 

f x

x



 

 

f x

Sgnx



 

717. 

 

2

2

x

x





 

718. 

 

x

f



2

3

f x

1

x

x

x







 

719. 

 





1

x

f x

Sgn e





 

720. 

 





sin

f x

Sgn

x



 

721. 

 

 

f x

x

x

 

 

722. 

 

 

1

f x

x

x





 

723. 

 

1

f x

x

 

  

 

 

724. 

 

sin

x

f x

x



 

725. 

 

cos

x

f x

x



 

726. 

 

1

x

f x

e





 

727. 

 

2

9

,

3

3

,

3

.

x

агар x

бўлса

f x

x

A

,

гар x

бўлса



















  

а



728. 

 

1

sin ,

0

,

0,

0

.

x

агар x

бўлса

f x

x

агар x

бўлса







 







 

729. Hech bir nuqtada uzluksiz bo‘lmagan funksiyaga misol keltirilsin. 

aqat birgina 

730. F

0

x

R



 nuqtada uzluksiz, boshqa nuqtalarda uzluksiz bo‘lmagan 

funksiyaga misol keltirilsin.  

731. 

 

 

f x

g x



 funksiya biror 

0

x

 nuqtada birinchi tur uzilishiga ega bo‘lsa, u 

holda 

 

f x

 va 

 

g x

 funksiyalarning kamida bittasi 

0

x

 nuqtada  birinchi tur 

732. 

uzilishga ega bo‘lishi shartmi? 

   

f x g x



 funksiya biror 

0

x

 nuqtada  ikkinchi tur uzilishga ega bo‘lsa, u 

holda 

 

f x

 va 

 

g x

 funksiyalarning hech bo‘lmaganda bittasi  

0

x

 nuqtada  

 

ikkinchi tur uzilishga ega bo‘lishi shartmi? 

Quyidagi funksiyalar 

A

 ning qanday qiymatlarida uzluks  bo‘lishi 

aniqlansin. 

iz

733. 

 





1

1

n

x

f x

 









,

0

,

,

0

.

агар x

бўлса

x

A

агар x

бўлса









 

734.    

 

,

0,

2

,

0

.

x ctgx агар x

x

бў

,

са

f x

A

агар x

бўлса



 







 







 

л

735.     

 





1

,

0

,

0

,

0

.

x

a

агар x

бўлса

f x

a

x

A

агар x

бўлса





















 

736.     

 





2

,

,

2

2

,

.

2

x tgx агар

x

x

бўлса

f x

A

агар x

бўлса















  

 



 



 



 

,

737.     

 





,

0

ln 1 2

,

0

x

агар x

бўлса

x

f x

A

агар x

бўлса











 









 

,

.

738.     

  



1

1

,

0

,

0

x

x

агар x

бўлса

f x

A

агар x

бўлса

 



 







 

,

.

739.     

 

2

1

,

0

,

0

x

e

агар x

бўлса

f x

A

агар x

бўлса







 







 

,

.

.

 

740.     

,

 

,

0

,

0

x

e

агар x

бўлса

f x

A x агар x

бўлса





 







 

741.     

.

 

2

ln

,

0

,

,

0

x

x

агар x

бўлса

f x

A

агар x

бўлса





 



