Garmonikaliq funkciyalar

Garmonikaliq funkciyalar
Koz aldimizga keltireyik,

Funkciya G ilimde analitik bolsin. Onda tuwindi aliw formulasina tiykarinan:

(1)

G ilimde analitik bolgan f(z) funkciya barshe joqari tartipli uzliksiz tuwindilarga шну (1)вут jane bir marte tuwindi alinsa,

(2)

Kelip shigadi. Aldin aytilgan sebeplerge muwapiq hamme tartipli

, …..

Tiykargi tuwindilar ham bar bolip ham olar uzliksiz. (2) nin’ eki tarepindegi kompleks mugdarlar ozara ten bolgani ushin olardin’ haqiyqiy bolekleri oz-ara ham jormal bolekleri oz-ara ten’ boladi.

On tareptegi agzalardi shepke otkizip tomendegishe jaziw mumkin.

(3)
Bulardin’ ekewida har bir tipdegi differenciyal tenlemelerden ibarat bolgani ushin birewin, maselen,(3) in alsaq boladi. Demek, u(x,y) ham v(x,y) funkciyalardin’ ekewida usi(3) tenlemeni qanaatlandiradi. Joqaridagi (3) tiykargi tuwindili ekinshi tartipli differenciyal tenleme bolip, Laplas tenlemesi, ti bolsa Laplastin’ differenciyal operatori dep ataladi.
Qagiyda: Eger haqiyqiy u(x,y) funkciya G ilimde birinshi ham ekinshi tartipli uzliksiz tiykargi tuwindilarga шну bolip (3) Laplas tenlemesin qanaatlandirsa u(x,y) funkciya G ilimde garmonik funkciya dep ataladi.
Mine usi qagiydadan ham joqari pikirlerimizden korinip turganinday biz tomendegi teoremani dalilledik.


Teorema: Berilgen G ilimde analitik bolgan

Funkciyasinin’ haqiyqiy ham jormal bolimleri sol ilimde garmonik funkciyalar.

1-misal, korinisine шну bolgan garmonik funkciya barma,eger bar bolsa, tabilsin(a,b-haqiyqiy ozgermes sanlar)

Daslep z=ax+by dep belgilep alamiz. Onda:

Sebebi -bir argumentli quramali funkciya ham

Endi joqaridagi ekinshi tartipli tiykargi tuwindilardin’ manisleri (3) Laplas tenlemesine qoyamiz. Onda

Bolip,a,b lar nolden parqi bogani ushin =0 boladi. songi tenlemeni sheshsek,



Endi я ornina manisi qoyilsa

Payda boladi. demek izlengen garmonik funkciyanin’ korinisi usidan ibarat eken.
2- misal. Onda

Bulardan (3) qoyamiz, onda bazi bir apiwaylastiriwlardan keyin sol

Apiwayi differenciyal tenleme payda boladi. bul tenlemeni sheshiw ushin dep belgilep alamiz. Demek,

Yamasa

Z=y/x bolgani ushin



Budan

Yagniy

Endi,

Tenlemeden



Payda boladi. sonday etip izlenip atirgan garmonik funkciya usi



Korinisine шну eken bunda С, B-qalegen ozgermes haqiyqiy san.