Hosilasi qavariq va lipshits shartini qanoatlantiruvchi funksiyalarni splayn yaqinlashtirishlarining quyi baholari haqida

Давронова Хафиза Акбар кызы(Магистрант)

Самаркандский Государственный Университет

Механико-математический факультет

Кафедра математической физики и функционального анализа

Научный руководитель: Доц. Аxтам Хатамов

HOSILASI QAVARIQ VA LIPSHITS SHARTINI QANOATLANTIRUVCHI FUNKSIYALARNI SPLAYN YAQINLASHTIRISHLARINING QUYI BAHOLARI HAQIDA

Annotatsiya.Maqolada hosilasi qavariq va Lipshits shartini qanoatlantiruvchi funksiyalarning splayn yaqinlashtirishlarining aniq quyi baholari isbotlangan.

Kalit so’zlar.Aniq baho, aniq quyi baho, splayn, splayn yaqinlashtirish, qavariq funksiya, Lipshits shartini qanoatlantiruvchi funksiya, quyi baho, yuqori baho.

Аннотация.В статье доказаны точные оценки снизу для наилучших сплайн приближений выпуклых и удовлетворяющих условию Липшица функций.

Ключевые слова. Точная оценка, точная нижная оценка, сплайн, сплайн приближения функция,выпуклая функция, функция удовлетворяюшая условию Липшица, нижная оценка.

Annotation. In the article on the lower estimates of the best spline approximation of functions with convex derivatives and satisfying Lipshits condition povered.

Key words. Exact estimates, the exact lower estimates, spline, spline-approximation, convex function, function satisfying a lipshits condition, lower estimate.

Kirish. Faraz qlaylik, f(x) – son o’qining chekli ∆=[a,b] oralig’ida haqiqiy qiymatki funksiya bo’lsin, M(f) =sup|f(x)| , W(∂,f) – f funksiyaning uzluksiz moduli bo’lsin:

[0;+∞) intervalda aniqlangan, W(0)=0 bo’lgan uzluksiz kamaymovchi va yarim additive funksiya. Agar barcha , biror α, K=const0 uchun W(,f)K tengsizlik bajarilsa, u holda f funksiya K o’zgarmasli α tartibli Lipshits-Go’lder shartini qanoatlantiradi deb aytamiz va fϵ deb yozamiz.

S - ∆ oraliqda m-tartibli 1 deffektli a==b tugunli ko’phadli splay(yoki oddiy qilib splayn) deb aytamiz, agar

1. 
   S-har bir [] , i=0,1,2,…,n-1, oraliqda darajasi m dan oshmagan ko’phad;
   
2. 
   S-∆=[a,b] oraliqda m-1 marta uzluksiz differensiallanuvchi bo’lsa;
   

S(m,n ∆) orqali tartibi m, deffekti 1, n+1 tugunli barcha splaynlar to’plamini belgilaymiz; 0P uchun (f,P,∆) orqali – f funksiyaning SϵS(m,n,∆) splayndan metrikada eng kichik chetlanishini

(f,P,∆)= : SϵS(m,n,∆)}, bu yerda

= .

Faraz qilaylik, (f,∆) f funksiyaning Sϵ S(m,n,∆) splayndan eng kichik chetlashishini belgilasin. A(,…), C(,…) lar bilan faqat ko’rsatilgan ,… parametrlardan bog’liq va C-absolut o’zgarmasni belgilaymizki, umuman olganda har xil teorema va lemmalarda har xil bo’lgan musbat miqdorlarni belgilaymiz .

2.Asosiy qism. Ma’lumki [1], agar r≥0 uchun f funksiya ∆ oraliqda r- tartibli qavariq va ϵ (=f) hosilaga ega bo’lsa, u holda

(f,∆) ≤ C(r)K) , (1)

baho o’rinli bo’lib, bu yerda va kelajakda hamma yerda |∆| =b-a.

Ushbu maqolaning asosiy natijalari [1] maqolaning asosiy natijasidan iborat bo’lgan (1) tengsizlikning nolga intilish tartibi ma’nosida yaxshilab bo’lmaydigan baho ekanligini ko’rsatishdan iboratdir.

Shunday qilib,lozim bo’lgan asosiy natija quyidagi teoremani isbotlashdan iboratdir.

Teorema 1.Har bir r=0,1,2,… uchun f(x) = funksiya ∆ oraliqda r-tartibli qavariq va (K=(r+2)) hosilaga ega bo’lib,

(f,∆) ≥ K) (2)

tengsizlikni barcha n=1,2,… uchun qanoatlantiradi.

Isbot. Ma’lumki, barcha darajasi n (n=1,2,…) ga teng bosh koeffisenti 1 ga teng ko’phadlar ichida C[-1;1] fazoda eng kichik normaga

=cos(narccosx) Chibeshev ko’phadi erishadi, jumladan

|| = ([4,29 bet]).

Bu yerda -barcha darajasi r+1 dan oshmagan ko’phadlar to’plami.

Bu tenglikni ixtiyoriy chekli ∆=[a,b] oraliq uchun quyidagicha yozishimiz mumkin:

Inf{: P ϵ} = K) (3)

Faraz qilaylik, S ϵ S(r+1,n,[0;1]) tugun nuqtalari =0 bo’lgan ixtiyoriy splayn funksiya bo’lsin. (3) tengsizlikni qo’llab va

tengsizlikdan foydalanib quyidagi tengsizlikni olamiz

=

=

=≥ (4)

Haqiqatan ham, agar barcha k=0,1,2,…,n-1 lar uchun

bo’lganda edi, u holda biz

1=)=1 qaramq –qarshilikka ega bo’lar edik.

(4) tengsizlikda S ϵ S(r+1,n,[0;1]) ning ixtiyoriyligidan

(, ,[0;1]) ≥ , n=1,2,…

tengsizlikka ega bo’lar edik. Teorema 1 isbot bo’ldi.

ADABIYOTLAR RO’YXATI

1.Фройд Г.,Попов В.А., Некоторие вопросые связaнные с аппроксимацией сплайн-функциями и многочленами,

Studia Sci.Math Hungar. , 5. , Nº 1-2 (1970), 161-171.

2.Даугавет И.К., Введение в теорию приближения функций , Л., изд-во ЛГУ, 1977.