Hozirda Sermelo Frenkel aksiomatik tizimi (ZF) deb yuritiladi

Agar biror X to’plamning har bir x elementiga qandaydir qonuniyat bo’yicha yagona f (x) ob’yekt mos qo’yilgan bo’lsa, bu f moslik funktsiya deyiladi. B munosabat funktsiya yoki ATа’rif 2. f A to‘plamdan B to‘plamga akslantirish deyiladi, agarda quyidagi shartlar bajarilsa: 1) Dl A , Dr( f ) B,( f ) 2) f(x, y ) 1 , (x, y ) f ekanligidan2 1 2 yy ekanligi kelib chiqsa.
Funktsiya B yokif :A fA B kabi belgilanadi, agar f(x, y) bo‘lsa, u holda f (x)y kabi yoziladi va f funktsiya x elementga y elementni mos qo‘yadi deb gapiriladi. By Aelementga x elementning tasviri, x elementga y ning asli deyiladi. Agar Dl A bo`lsa,( f ) f funktsiya qismiy funktsiya deyiladi.
Ma`lumki, barcha aksiomatik nazariyalarda avvalo asosiy tushunchalar ta`rifsiz tanlab olinadi va undan keyin bu tushunchalar uchun aksiomalar tuziladi. To’plamlar nazariyasining asosiy tushunchasi to’plamning o’zidir. To’plam biror ob`yektlarni saralab olish bilan tuziladi, bu ob`yektlar ixtiyoriy tabiatli bo’lishi mumkin. Paradokslarga duch kelmaslik maqsadida to’plamning elementlari tushunchasini birmuncha aniqlashtirish va ba`zi cheklovlar qo’yish mumkin. Masalan, ob`yektlar majmuasini 2 xil turga ajratish mumkin:
1) sinflar; 2) to’plamlar, ya`ni boshqa bir sinfning elementi bo’lgan sinflarlar. To’plamlar mantiqiy nuqtay nazardan qadam ba qadam quriladi, masalan, “oldin” munosabati qadamni tartiblaydi.
Har bir to’plam ma`lum qadamdan keyin quriladi va keyingina foydalanish mumkin bo’ladi.
Bunday tizim nemis matematigi Ernst Fridrix Ferdinand Sermelo (1871- 1953 yy) tomonidan 1908 yilda ishlab chiqildi va isroillik matematik Abraxam Adol`f Frenkel (1891-1965 yil) tomonidan kengaytirildi.
Hozirda Sermelo – Frenkel aksiomatik tizimi (ZF) deb yuritiladi.
ZF tizimi quyidagi aksiomalardan iborat: 1 0 . Hajm aksiomasi: To’plam o’zining elementlari bilan to’liq aniqlanadi.
Ikkita to’plam teng deyiladi, faqat va faqat ular bir xil elementlardan tashkil topgan bo’lsa: B. A B)  x A x(x
1. Natural sonlar to'plamiga akslantirish prinsipi. To'plamlar nazariyasining aksiomalari. Algebraik sistemalar