I. Asosiy geometrik tasdiqlar va teoramalar. Hisoblashga doir masalalar

---

---

I. Asosiy geometrik tasdiqlar va teoramalar. Hisoblashga doir masalalar 
1. Uchburchakning medianalari bir nuqtada kesishishini va shu nuqtada 2:1 nisbatda 
bo‘linishini isbotlang. 
2. Uchburchak medianalari uni oltita tengdosh bo‘lakka ajratishini isbotlang. 
3. Uchburchakka tashqi chizilgan aylananing diametri uchburchak tomonining 
qarshisidagi burchak sinusiga nisbatiga tengligini isbotlang. 
4. Burchakning uchi aylanadan tashqarida va tomonlari aylanani kesib o‘tsin. Burchakning 
kattaligi aylananing burchak tomonlari orasida qolgan yoylari ayirmasining yarmicha 
ekanligini isbotlang. 
5. Burchakning uchi aylana ichida va tomonlari aylanani kesib o‘tsin. Burchakning 
kattaligi aylananing burchak tomonlari va ularning davomlari orasida qolgan yoylari 
yig‘indisining yarmicha ekanligini isbotlang. 
6. Aylanaga o‘tkazilgan 𝑙 urinma va aylananing urinish nuqtasi 𝐴 bo‘lsin. Aylananing 𝐴𝐵 
vatari va 𝑙 urinma orasidagi burchaklarning har biri aylananing shu burchak ichida qolgan 
yoyining yarmi bilan o‘lchanishini isbotlang. 
7. Radiusi 𝑅 bo‘lgan aylananing markazidan 𝑎 (𝑎 > 𝑅) masofada olingan 𝑀 nuqtadan 
aylanani 𝐴 va 𝐵 nuqtalarda kesib o‘tuvchi kesuvchi o‘tkazilgan. 𝑀𝐴 ∙ 𝑀𝐵 ko‘paytma 
barcha kesuvchilar uchun o‘zgarmas va 𝑎
2
− 𝑅
2
(urinma uzunligining kvadrati) ekanligini 
isbotlang. 
8. Radiusi 𝑅 bo‘lgan aylananing markazidan 𝑎 (𝑎 < 𝑅) masofada 𝑀 nuqta olingan va unda 
𝐴𝐵 vatar o‘tkazilgan. 𝐴𝑀 ∙ 𝑀𝐵 ko‘paytma barcha vatarlar uchun o‘zgarmas va 𝑅
2
− 𝑎
2
ekanligini isbotlang. 
9. 𝐴𝐵𝐶 uchburchakning 𝐴𝑀 bissektrisasi o‘tkazilgan bo‘lsin. 𝐵𝑀: 𝐶𝑀 = 𝐴𝐵: 𝐴𝐶 ekanligini 
isbotlang. Uchburchakning tashqi burchagi uchun ham shu tenglik o‘rinli. (Bunda 𝑀 nuqta 
𝐵𝐶 tomonning davomida bo‘ladi.) 
10. Parallelogramm diagonallari kvadratlarining yig‘indisi tomonlari kvadratlarining 
yig‘indisiga tengligini isbotlang. 
11. Uchburchakning tomonlari 𝑎, 𝑏, 𝑐. Uzunligi 𝑎 bo‘lgan tomonga o‘tkazilgan mediana 
𝑚
𝑎
=
1
2
2𝑏
2
+ 2𝑐
2
− 𝑎
2
formula bilan hisoblanishini isbotlang. 
12. Ikki uchburchak umumiy 𝐴 uchga ega bo‘lib, qolgan uchlari 𝐴 nuqtadan o‘tuvchi to‘g‘ri 
chiziqlarda yotadi. Ularning yuzlari nisbati 𝐴 uchdan chiqqan tomonlari 
ko‘paytmalarining nisbatiga tengligini isbotlang. 
13. Radiusi 𝑟 bo‘lgan aylanaga tashqi chizilgan va yarimperimetri 𝑝 bo‘lgan 
ko‘pburchakning yuzi 𝑝𝑟 ekanligini isbotlang (xususan, uchburchak uchun ham o‘rinli). 
14. To‘rtburchakning yuzi diagonallari va ular orasidagi burchak sinusi ko‘paytmasining 
yarmiga tengligini isbotlang. 
15. Burchaklari 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐴 uchi qarshisidagi tomoni 𝑎 va tashqi chizilgan aylananing radiusi 
𝑅 bo‘lgan uchburchakning 𝑆 yuzi uchun 𝑆 =
𝑎
2
sin 𝐵 sin 𝐶
2 sin 𝐴
va 𝑆 = 2𝑅
2
sin 𝐴 sin 𝐵 sin 𝐶 
formulalar to‘g‘riligini isbotlang. 
16. Katetlari 𝑎 va 𝑏, gipotenuzasi 𝑐 bo‘lgan to‘g‘ri burchakli uchburchakka ichki chizilgan 
aylananing 𝑟 radiusi uchun 𝑟 =
𝑎+𝑏−𝑐
2
formula bilan hisoblanishini isbotlang. 
17. Uchburchakning 𝑎 va 𝑏 tomonlari orasidagi 𝛼 burchakning 𝑙 bissektrisasi uchun 
𝑙 =
2𝑎𝑏 cos
𝛼
2
𝑎+𝑏
ekanligini isbotlang. 

---

18. Uchburchakning 𝐴 uchidan unga ichki chizilgan aylananing 𝐴𝐵 va 𝐴𝐶 tomonlar bilan 
urinish nuqtalarigacha bo‘lgan masofalar 𝑝 − 𝑎 ekanligini isbotlang. Bunda 𝑝 – 𝐴𝐵𝐶 
uchburchakning yarimperimetri, 𝑎 = 𝐵𝐶. 
19. Qavariq 𝐴𝐵𝐶𝐷 to‘rtburchakda 𝐴𝐵 + 𝐶𝐷 = 𝐴𝐷 + 𝐶𝐵 munosabat bajarilsa, uning 
hamma tomonlariga urinuvchi aylana mavjudligini isbotlang.
1
20. a) Uchburchakning balandliklari bir nuqtada kesishishini isbotlang. b) 
Uchburchakning uchidan balandliklar kesishish nuqtasigacha bo‘lgan masofa 
uchburchakka tashqi chizilgan aylana markazidan shu uch qarshisidagi tomongacha 
bo‘lgan masofadan ikki marta katta ekanligini isbotlang. 
21. Uchi 𝑂 nuqtada bo‘lgan to‘g‘ri burchakning bir tomonida 𝐴 va 𝐵 nuqtalar olingan 
bo‘lib, 𝑂𝐴 = 𝑎, 𝑂𝐵 = 𝑏. 𝐴 va 𝐵 nuqtalardan o‘tib, burchakning ikkinchi tomoniga 
urinuvchi aylana radiusini toping. 
22. Gipotenuzasi 𝑐 bo‘lgan to‘g‘ri burchakli uchburchakning o‘tkir burchaklaridan biri 30°. 
Markazi 30° li burchak uchida bo‘lib, uchburchakni tengdosh shakllarga bo‘lib o‘tuvchi 
aylana radiusini toping. 
23. To‘g‘ri burchakli uchburchakning katetlari 𝑎 va 𝑏. To‘g‘ri burchak uchidan unga ichki 
chizilgan aylanagacha bo‘lgan eng qisqa masofani toping. 
24. To‘g‘ri burchakli uchburchakning uzunligi 𝑚 bo‘lgan medianasi to‘g‘ri burchakni 1:2 
nisbatda bo‘ladi. Uchburchakning yuzini toping. 
25. 𝐴𝐵𝐶 uchburchakda 𝐵𝐶 = 𝑎, 𝐶𝐴 = 𝑏, 𝐴𝐵 = 𝑐. Bissektrisalarning kesishish nuqtasida 𝐵 
burchak bissektrisasi qanday nisbatda bo‘linishini aniqlang. 
26. Teng yonli uchburchak asosida olingan istalgan nuqtadan yon tomonlargacha bo‘lgan 
masofalar yig‘indisi yon tomonga o‘tkazilgan balandlikka tengligini isbotlang. 
27. Teng tomonli uchburchak ichida olingan istalgan nuqtadan uning tomonlarigacha 
bo‘lgan masofalar yig‘indisi uchburchak balandligiga tengligini isbotlang. 
28. Teng yonli 𝐴𝐵𝐶 uchburchakning 𝐴𝐶 asosida 𝑀 nuqta olingan va 𝐴𝑀 = 𝑎, 𝑀𝐶 = 𝑏. 
𝐴𝐵𝑀 va 𝐶𝐵𝑀 uchburchaklarga ichki aylanalar chizilgan. Bu aylanalarning 𝐵𝑀 tomonga 
urinish nuqtalari orasidagi masofani toping. 
29. Tomonlari 𝑎 va 𝑏, burchagi 𝛼 bo‘lgan parallelogramda to‘rtala burchakning 
bissektrisalari o‘tkazilgan. Bissektrisalar bilan chegaralangan to‘rtburchakning yuzini 
toping. 
30. Balandligi ℎ va o‘tkir burchagi 𝛼 bo‘lgan rombga ichki aylana chizilgan. shu aylana va 
rombning ikki tomoniga urinuvchi aylanalardan kattasining radiusini toping. 
31. Tomoni diagonallarining o‘rta geometrigi bo‘lgan rombning o‘tkir burchagini toping. 
32. Qavariq to‘rtburchakning diagonallari 𝑎 va 𝑏, qarama-qarshi tomonlarining o‘rtalarini 
tutashtiruvchi kesmalarning uzunliklari teng. Shu to‘rtburchakning yuzini toping. 
33. 𝐴𝐵𝐶𝐷 to‘g‘ri to‘rtburchakning 𝐴𝐷 tomoni 𝐴𝐵 tomonidan uch marta uzun. 𝑀 va 𝑁 
nuqtalar 𝐴𝐷 tomonni teng uch qismga bo‘ladi. ∠𝐴𝑀𝐵 + ∠𝐴𝑁𝐵 + ∠𝐴𝐷𝐵 ni toping. 
34. Ikki aylana 𝐴 va 𝐵 nuqtalarda kesishadi. 𝐴 nuqtadan o‘tkazilgan 𝐴𝐶 va 𝐴𝐷 vatarlar 
aylanalarga urinmalar hamdir. 𝐴𝐶
2
∙ 𝐵𝐷 = 𝐴𝐷
2
∙ 𝐵𝐶 ekanligini isbotlang. 
35. To‘g‘ri burchakli uchburchakda to‘g‘ri burchakning bissektrisasi gipotenuzaga 
o‘tkazilgan balandlik va mediana orasidagi burchakni teng ikkiga bo‘lishini isbotlang. 
36. Radiusi 𝑟 bo‘lgan aylanada olingan uch nuqta aylanani 3:4:5 nisbatda bo‘ladi. Aylanaga 
shu nuqtalarda o‘tkazilgan urinmalar hosil qilgan uchburchakning yuzini toping. 
37. Aylanaga yon tomoni 𝑙 va asoslaridan biri 𝑎 bo‘lgan teng yonli trapetsiya tashqi 
chizilgan. Trapetsiyaning yuzini toping. 
1
Qavariq bo‘lmagan to‘rtburchak holini o‘zimizdan qo‘shmaymizmi? 

---

38. Trapetsiyaning asoslariga parallel to‘g‘ri chiziqlar yon tomonlarning har birini teng 
uch qismga bo‘ladi. Agar chetki qismlarning yuzlari 𝑆
1
va 𝑆
2
bo‘lsa, o‘rta qismning yuzini 
toping. 
39. 𝐴𝐵𝐶𝐷 trapetsiyada 𝐴𝐵 = 𝑎, 𝐵𝐶 = 𝑏 (𝑎 ≠ 𝑏). 𝐴 burchakning bissektrisasi 𝐵𝐶 asosni 
kesib o‘tadimi yoki 𝐶𝐷 yon tomonnimi? 
40. Asoslari 𝑎 va 𝑏 bo‘lgan trapetsiyaning diagonallari kesishish nuqtasidan asoslarga 
parallel bo‘lib o‘tadigan to‘g‘ri chiziqning trapetsiya ichidagi kesmasi uzunligini toping. 
41. Aylanaga tashqi chizilgan teng yonli trapetsiyaning parallel tomonlari nisbati 𝑘. 
Trapetsiyaning asosidagi burchakni toping. 
42. 𝐴𝐵𝐶𝐷 trapetsiyaning asoslari 𝐴𝐵 = 𝑎 va 𝐶𝐷 = 𝑏. Agar trapetsiyaning diagonallari 
𝐷𝐴𝐵 va 𝐴𝐵𝐶 burchaklarning bissektrisalari ham bo‘lsa, trapetsiyaning yuzini toping. 
43. Teng yonli trapetsiyaning o‘rta chizig‘i 𝑎, diagonallari o‘zaro perpendikular. Uning 
yuzini toping. 
44. Aylanaga tashqi chizilgan teng yonli trapetsiyaning yuzi 𝑆, balandligi yon tomonidan 
ikki marta qisqa. Shu aylananing radiusini toping. 
45. Trapetsiyaning diagonallari hosil qilgan uchburchaklardan asoslarga yopishganlari 𝑆
1
va 𝑆
2
. Trapetsiyaning yuzini toping. 
46. 𝐴𝐵𝐶 uchburchakda ∠𝐴𝐵𝐶 = 𝛼. Agar unga ichki chizilgan aylananing markazi 𝑂 bo‘lsa, 
∠𝐴𝑂𝐶 ni toping. 
47. Katetlari 𝑎 va 𝑏 bo‘lgan to‘g‘ri burchakli uchburchakda to‘g‘ri burchak bissektrisasi 
o‘tkazilgan. Hosil bo‘lgan uchburchaklarning balandliklari kesishish nuqtalari orasidagi 
masofani toping. 
48. Parallelogramning ikki tomoniga perpendikular bo‘ladigan qilib o‘tkazilgan to‘g‘ri 
chiziq parallelogramni har biriga aylana ichki chizish mumkin bo‘lgan trapetsiyalarga 
ajratadi. Agar parallelogramning tomonlari 𝑎 va 𝑏 (𝑎 < 𝑏) bo‘lsa, o‘tkir burchagini toping. 
49. Diametri 𝐴𝐵 bo‘lgan yarimaylana berilgan. Yarimaylananing o‘rtasidan o‘tkazilgan ikki 
to‘g‘ri chiziqyarimdoiraning yuzini teng uch qismga bo‘ladi. Bu to‘g‘ri chiziqlar 𝐴𝐵 
diametrni qanday nisabtda bo‘ladi? 
50. Tomoni 𝑎 bo‘lgan 𝐴𝐵𝐶𝐷 kvadrat berilgan. Bir aylana 𝐴𝐵 tomonga 𝐸 nuqtada hamda 
𝐵𝐶 tomon va 𝐴𝐶 diagonalga urinadi. Markazi 𝐴 nuqtada bo‘lgan ikkinchi aylana 𝐸 
nuqtadan o‘tadi. Shu aylanalar chegaralagan doiralarning umumiy qismi yuzini toping. 
51. Tomoni 𝑎 bo‘lgan muntazam oltiburchakning uchlari radiuslari 
𝑎
2
bo‘lgan 
aylanalarning markazlaridir. Oltiburchakning shu aylanalardan tashqaridagi qismi yuzini 
toping. 
52. Radiusi 𝑅 bo‘lgan aylanadan tashqarida 𝐴 nuqta olingan bo‘lib, undan ikkita kesuvchi 
o‘tkazilgan: biri aylana markazidan o‘tadi; ikkinchisi markazdan 
𝑅
2
masofada o‘tadi. 
Doiraning shu kesuvchilar orasidagi bo‘lagi yuzini toping. 
53. 𝐴𝐵𝐶𝐷 to‘rtburchakda ∠𝐷𝐴𝐵 = 90°, ∠𝐷𝐵𝐶 = 90°, 𝐷𝐵 = 𝑎, 𝐷𝐶 = 𝑏. Biri 𝐷, 𝐴, 𝐵 
nuqtalardan, ikkinchisi esa 𝐵, 𝐶, 𝐷 nuqtalardan o‘tuvchi aylanalarning markazlari 
orasidagi masofani toping. 
54. 𝐴𝐵𝐶𝐷 rombning 𝐴𝐵 va 𝐴𝐷 tomonlarida shunday 𝑀 va 𝑁 nuqtalar olinganki, 𝑀𝐶 va 𝑁𝐶 
to‘g‘ri chiziqlar rombni tengdosh qismlarga ajratadi. Agar 𝐵𝐷 = 𝑑 bo‘lsa, 𝑀𝑁 ni toping. 
55. 𝐴𝐵𝐶 uchburchakning 𝐴𝐵 tomonida shunday 𝑀 va 𝑁 nuqtalar olinganki, 
𝐴𝑀: 𝑀𝑁: 𝑁𝐵 = 1: 2: 3 bo‘ldi. 𝑀 va 𝑁 nuqtalardan 𝐴𝐶 tomonga parallel to‘g‘ri chiziqlar 
o‘tkazilgan. Agar 𝐴𝐵𝐶 uchburchakning yuzi 𝑆 bo‘lsa, uchburchakning parallel to‘g‘ri 
chiziqlar orasidagi qismi yuzini toping. 

---

56. Aylana va undan tashqarida 𝐴 nuqta olingan. 𝐴 nuqtadan aylanaga 𝐴𝐵 va 𝐴𝐶 
urinmalar o‘tkazilgan. 𝐴𝐵𝐶 uchburchakka ichki chizilgan aylananing markazi shu 
aylanada yotishini isbotlang. 
57. Teng tomonli 𝐴𝐵𝐶 uchburchakka tashqi chizilgan aylananing 𝐵𝐶 yoyida 𝑀 nuqta 
olingan. 𝐴𝑀 = 𝐵𝑀 + 𝐶𝑀 ekanligini isbotlang. 
58. 𝐴𝐵𝐶 uchburchakning balandliklari kesishish nuqtasi 𝐻 bo‘lsin. Agar ∠𝐵𝐴𝐻 = 𝛼 va 
∠𝐴𝐵𝐻 = 𝛽 bo‘lsa, 𝐴𝐵𝐶 uchburchakning burchaklarini toping. 
59. Yuzi 𝑆 bo‘lgan rombning diagonallari yig‘indisi 𝑚. Uning tomonini toping. 
60. Tomoni 𝑎 bo‘lgan kvadrat aylanaga ichki chizilgan. Hosil bo‘lgan segmentlardan biriga 
ichki chizilgan kvadrat tomonini toping. 
61. Balandligi ℎ va yoyi 120° bo‘lgan segmentga ichki chizilgan 𝐴𝐵𝐶𝐷 to‘g‘ri 
to‘rtburchakda 𝐴𝐵: 𝐵𝐶 = 1: 4 (𝐵𝐶 tomon vatarda yotadi). To‘g‘ri to‘rtburchakning yuzini 
toping. 
62. Kattasining radiusi kichigining uzunligicha bo‘lgan aylanalar hosil qilgan doiraviy 
halqaning yuzi 𝑆. Kichik aylananing radiusini toping. 
63. Radiusi 𝑅 bo‘lgan aylanaga ichki chizilgan muntazam o‘nburchakning tomonini toping. 
64. Radiusi 𝑅 bo‘lgan aylanaga 𝑀 nuqtadan o‘tkazilgan 𝑀𝐴 va 𝑀𝐵 urinmalar orasidagi 
burchak 𝛼. Urinmalar va aylananing ular orasidagi yoyi chegaralagan soha yuzini toping. 
65. Tomoni 𝑎 bo‘lgan 𝐴𝐵𝐶𝐷 kvadrat berilgan. 𝐴𝐵 tomonning o‘rtasi, kvadrat markazi va 𝐶 
nuqtadan o‘tuvchi aylana radiusini toping. 
66. Tomoni 𝑎 va o‘tkir burchagi 𝛼 bo‘lgan romb berilgan. Rombning qo‘shni uchlaridan 
o‘tib, qarshisidagi tomonga yoki uning davomiga urinadigan aylana radiusini toping. 
67. Radiuslari 𝑟 bo‘lgan uchta aylana o‘zaro juft-jufti bilan urinadi. Bu aylanalarning 
ikkitasiga urinib, uchinchisi bilan kesishmaydigan to‘g‘ri chiziqlar hosil qilgan uchburchak 
yuzini toping. 
68. Radiusi 𝑟 bo‘lgan aylananing 𝑀 nuqtasiga urinma o‘tkazilgan. Urinmada 𝑀 nuqtadan 
turli tomonlarda 𝐴 va 𝐵 nuqtalar olingan bo‘lib, bunda 𝑀𝐴 = 𝑀𝐵 = 𝑎. 𝐴 va 𝐵 nuqtalardan 
o‘tib, shu aylanaga urinuvchi aylana radiusini toping. 
69. Tomoni 𝑎 bo‘lgan 𝐴𝐵𝐶𝐷 kvadrat berilgan. 𝐵𝐶 va 𝐶𝐷 tomonlarda mos ravishda 𝑀 va 𝑁 
nuqtalar olingan bo‘lib, 𝐵𝑀 = 3𝑀𝐶 va 2𝐶𝑁 = 𝑁𝐷. 𝐴𝑀𝑁 uchburchakka ichki chizilgan 
aylana radiusini toping. 
70. Tomoni 𝑎 bo‘lgan 𝐴𝐵𝐶𝐷 kvadrat berilgan. 𝐵𝐶 tomonning o‘rtasi 𝑀 va 𝐶𝐷 tomonda 
olingan 𝑁 nuqta uchun 𝐶𝑁: 𝑁𝐷 = 3: 1. 𝐴𝑀 kesmaning o‘rtasi va 𝑁 nuqta orasidagi 
masofani toping. 
71. 𝐴𝐵𝐶 uchburchakning 𝐴 uchidan 𝐵𝐷 medianani teng ikkiga bo‘lib o‘tadigan to‘g‘ri 
chiziq o‘tkazilgan. Bu to‘g‘ri chiziq 𝐵𝐶 tomonni qanday nisbatda bo‘lib o‘tadi? 
72. To‘g‘ri burchakli 𝐴𝐵𝐶 uchburchakning katetlari 𝐶𝐴 = 𝑏 va 𝐶𝐵 = 𝑎. 𝐶𝐻 balandlik va 
𝐴𝑀 mediana o‘tkazilgan. 𝐵𝑀𝐻 uchburchakning yuzini toping. 
73. Teng yonli 𝐴𝐵𝐶 uchburchakda ∠𝐴 = 𝛼 > 90° va 𝐵𝐶 = 𝑎. Uchburchak 
balandliklarining kesishish nuqtasi va unga tashqi chizilgan aylana markazi orasidagi 
masofani toping. 
74. 𝐴𝐵𝐶 uchburchakda 𝐵𝐶 = 𝑎, ∠𝐵 = 𝛼, ∠𝐶 = 𝛽 bo‘lib, unga tashqi aylana chizilgan. 𝐴 
burchakning bissektrisasi aylanani 𝐾 nuqtada kesib o‘tadi. 𝐴𝐾 ni toping. 
75. Radiusi 𝑅 bo‘lgan aylana diametrida markazdan 𝑎 masofada 𝐴 nuqta olingan. Aylanaga 
ichki va 𝐴 nuqtada diametrga urinuvchi aylana radiusini toping. 

---

76. Aylananing juft-juft kesishuvchi uchta vatari o‘tkazilgan. Bunda har bir vatar kesishish 
nuqtalarida teng uch bo‘lakka bo‘linadi. Vatarlardan birining uzunligi 𝑎 bo‘lsa, aylana 
radiusini toping. 
77. Muntazam oltiburchak aylanaga ichki chizilgan, ikkinchi oltiburchak esa shu aylanaga 
tashqi chizilgan. bu oltiburchaklar perimetrlarining ayirmasi 𝑎 bo‘lsa, aylananing 
radiusini toping. 
78. Tomoni 𝑎 bo‘lgan muntazam 𝐴𝐵𝐶 uchburchakning 𝐵𝐾 balandligi o‘tkazilgan. 𝐴𝐵𝐾 va 
𝐵𝐶𝐾 uchburchaklarga ichki chizilgan aylanalarning 𝐴𝐶 dan boshqa umumiy tashqi 
urinmasi o‘tkazilgan. Bu urinma 𝐴𝐵𝐶 uchburchakdan ajratgan uchburchak yuzini toping. 
79. Aylanaga ichki chizilgan 𝐴𝐵𝐶𝐷 to‘rtburchakda ∠𝐷𝐴𝐵 = 𝛼, ∠𝐴𝐵𝐶 = 𝛽, ∠𝐵𝐾𝐶 = 𝛾, 
bunda 𝐾 – diagonallarning kesishish nuqtasi. ∠𝐴𝐶𝐷 ni toping. 
80. Diagonallari 𝐾 nuqtada kesishadigan 𝐴𝐵𝐶𝐷 to‘rtburchak aylanaga ichki chizilgan 
bo‘lib, 𝐴𝐵 = 𝑎, 𝐵𝐾 = 𝑏, 𝐴𝐾 = 𝑐, 𝐶𝐷 = 𝑑. 𝐴𝐶 ni toping. 
81. Trapetsiyaga tashqi aylana chizilgan. Trapetsiyaning asosi yon tomon bilan 𝛼, diagonal 
bilan 𝛽 burchak tashkil qiladi. Doira yuzining trapetsiya yuziga nisbatini toping. 
82. Teng yonli 𝐴𝐵𝐶𝐷 trapetsiya asoslari 𝐴𝐷 = 𝑎 va 𝐵𝐶 = 𝑏, 𝐴𝐵 = 𝑑. 𝐵 uchdan 𝐴𝐶 
diagonalni teng ikkiga bo‘lib, 𝐴𝐷 tomonni 𝐾 nuqtada kesadigan to‘g‘ri chiziq o‘tkazilgan. 
𝐵𝐷𝐾 uchburchak yuzini toping. 
83. Radiusi 𝑅 bo‘lgan aylananing markazidan 𝑎 masofada 𝑀 nuqta olingan. 𝑀 nuqtadan 
diametrga parallel vatarning oxirlarigacha bo‘lgan masofalar kvadratlarining yig‘indisini 
toping. 
84. Ikki aylananing umumiy vatari aylanalarning markazlaridan 90° va 60° burchak ostida 
ko‘rinadi. Aylanalarning markazlari orasidagi masofa 𝑎 bo‘lsa, ularning radiuslarini 
toping. 
85. Muntazam 𝐴𝐵𝐶 uchburchakning 𝐴𝐶 va 𝐴𝐵 tomonlarida mos ravishda 𝐾 va 𝑀 nuqtalar 
olingan bo‘lib, ular bu tomonlarni 𝐴 uchdan boshlab hisoblaganda 2:1 va 1:2 nisbatda 
bo‘ladi. 𝐾𝑀 kesmaning uzunligi 𝐴𝐵𝐶 uchburchakka tashqi chizilgan aylana radiusiga teng 
ekanligini isbotlang. 
86. Radiuslari 𝑅 va 
𝑅
2
bo‘lgan aylanalar tashqi urinadi. Markazlar chizig‘i bilan 30° burchak 
hosil qiluvchi va uzunligi 2𝑅 bo‘lgan kesmaning bir oxiri kichik aylana markazida. Bu 
kesmaning qanday qismi har ikki aylanadan tashqarida yotadi? (Kesma har ikkala 
aylanani kesib o‘tadi.) 
87. 𝐴𝐵𝐶 uchburchakning 𝐵𝐾 medianasi, 𝐵𝐸 bissektrisasi va 𝐴𝐷 balandligi o‘tkazilgan. 
Agar 𝐴𝐵 = 4 bo‘lib, 𝐵𝐾 va 𝐵𝐸 to‘g‘ri chiziqlar 𝐴𝐷 kesmani teng uch bo‘lakka bo‘lib o‘tsa, 
𝐴𝐶 ni toping. 
88. Teng yonli uchburchakka ichki va tashqi chizilgan aylanalarning radiuslari nisbati 𝑘. 
Uchburchakning asosidagi burchakni toping. 
89. Teng yonli uchburchakning balandliklari kesishgan nuqta unga ichki chizilgan 
aylanada yotsa, uchburchakning asosidagi burchak kosinusini toping. 
90. Tomoni 𝑎 bo‘lgan 𝐴𝐵𝐶𝐷 kvadratda 𝑁 – 𝐵𝐶 tomonning o‘rtasi, 𝑀 nuqta 𝐶𝐷 tomonni 𝐶 
uchidan boshlab 2:1 nisbatda bo‘ladi. 𝐵𝐶, 𝐶𝐷, 𝐴𝑁, 𝐴𝑀, 𝐵𝐷 to‘g‘ri chiziqlar chegaralagan 
beshburchak yuzini toping. 
91. 𝐴𝐵𝐶 uchburchakda ∠𝐵𝐴𝐶 = 𝛼, ∠𝐴𝐵𝐶 = 𝛽. Markazi 𝐵 nuqtada bo‘lgan aylana 𝐴 
nuqtadan o‘tib, 𝐴𝐶 to‘g‘ri chiziqni 𝐴 dan boshqa 𝐾 nuqtada, 𝐵𝐶 to‘g‘ri chiziqni esa 𝐸 va 𝐹 
nuqtalarda kesib o‘tadi. 𝐸𝐾𝐹 uchburchak yuzini toping. 

---

92. Tomoni 𝑎 bo‘lgan kvadrat berilgan. Bir uchi kvadrat tomonlaridan birining o‘rtasida, 
qolgan uchlari esa kvadratning diagonallarida yotadigan muntazam uchburchak yuzini 
toping. 
93. 𝐴𝐵𝐶𝐷 kvadratning 𝐴𝐵, 𝐵𝐶, 𝐷𝐴 tomonlarida mos ravishda 𝑀, 𝑁, 𝐾 nuqtalar shunday 
olinganki, 𝑀 – 𝐴𝐵 tomonning o‘rtasi, 2𝐵𝑁 = 𝑁𝐶, 2𝐷𝐾 = 𝐾𝐴. 𝑀𝐶 va 𝑁𝐾 to‘g‘ri chiziqlar 
orasidagi burchak sinusini toping. 
94. 𝐴𝐵𝐶 uchburchakning 𝐴 va 𝐵 uchlaridan o‘tuvchi 𝑟 radiusli aylana 𝐵𝐶 tomonni 𝐷 
nuqtada kesib o‘tadi. Agar 𝐴𝐵 = 𝑐, 𝐴𝐶 = 𝑏 bo‘lsa, 𝐴, 𝐷, 𝐶 nuqtalardan o‘tuvchi aylana 
radiusini toping. 
95. 𝐴𝐵𝐶 uchburchakda 𝐴𝐵 = 3, 𝐴𝐵 tomonga tushirilgan balandlik 𝐶𝐷 = 3 bo‘lib, 𝐷 
nuqta 𝐴𝐵 tomonda yotadi va 𝐴𝐷 = 𝐵𝐶. 𝐴𝐶 ni toping. 
96. Radiusi 𝑅 bo‘lgan aylanaga muntazam oltiburchak ichki chizilgan. 𝐴𝐶𝐷 uchburchakka 
ichki chizilgan aylana radiusini toping. 
97. 𝐴𝐵𝐶𝐷 kvadratning 𝐴𝐵 = 1 tomoni bir aylananing vatari bo‘lib, qolgan tomonlari bu 
aylanadan tashqarida yotadi. Agar 𝐶 nuqtadan aylanaga o‘tkazilgan 𝐶𝐾 urinmaning 
uzunligi 2 bo‘lsa, aylananing diametrini toping. 
98. To‘g‘ri burchakli uchburchakning eng kichik burchagi 𝛼. Gipotenuzaga perpendikular 
qilib o‘tkazilgan to‘g‘ri chiziq uchburchak yuzini teng ikkiga bo‘lib o‘tadi. Bu to‘g‘ri chiziq 
gipotenuzani qanday nisbatda bo‘lib o‘tadi? 
99. Tomoni 1 bo‘lgan muntazam uchburchak ichiga o‘zaro urinuvchi ikki aylana 
joylashtirilgan bo‘lib, ularning har biri uchburchakning ikki tomoniga urinadi 
(uchburchakning har bir tomoni kamida bitta aylanaga urinadi). Bu aylanalar 
radiuslarining yig‘indisi 
3−1
2
dan kam emasligini isbotlang. 
100. To‘g‘ri burchakli 𝐴𝐵𝐶 uchburchakda ∠𝐴 = 30° bo‘lib, 𝐵𝐷 bissektrisa o‘tkazilgan. Agar 
uchburchakning kichik kateti 1 bo‘lsa, 𝐴𝐵𝐷 va 𝐶𝐵𝐷 uchburchaklarga ichki chizilgan 
aylanalarning markazlari orasidagi masofani toping. 
101. 𝐴𝐵𝐶𝐷 trapetsiyaning 𝐴𝐷 asosidagi burchaklari ∠𝐴 = 60° va ∠𝐷 = 30°. 𝐵𝐶 asosda 
shunday 𝑁 nuqta olinganki, 𝐵𝑁: 𝑁𝐶 = 2. Agar 𝐴𝐷 asosdagi 𝑀 nuqta uchun 𝑀𝑁 to‘g‘ri 
chiziq trapetsiya asoslariga perpendikular va trapetsiya yuzini teng ikkiga bo‘lib o‘tsa, 
𝐴𝑀: 𝑀𝐷 ni toping. 
102. 𝐴𝐵𝐶 uchburchakda 𝐵𝐶 = 𝑎, ∠𝐴 = 𝛼, ∠𝐵 = 𝛽. 𝐴𝐶 tomonga 𝐴 nuqtada urinuvchi 
aylana 𝐵𝐶 tomonga ham urinadi. Uning radiusini toping. 
103. 𝐴𝐵𝐶 uchburchakda 𝐴𝐵 = 𝑐, 𝐵𝐶 = 𝑎, ∠𝐵 = 𝛽. 𝐴𝐵 tomonda shunday 𝑀 nuqta 
olinganki, 2𝐴𝑀 = 3𝑀𝐵. 𝑀 nuqtadan 𝐴𝐶 tomon o‘rtasigacha bo‘lgan masofani toping. 
104. 𝐴𝐵𝐶 uchburchakning 𝐴𝐵 va 𝐴𝐶 tomonlarida mos ravishda 𝑀 va 𝑁 nuqtalar shunday 
olinganki, 𝐴𝑀 = 3𝑀𝐵 va 2𝐴𝑁 = 𝑁𝐶 bo‘ldi. Agar 𝐴𝐵𝐶 uchburchakning yuzi 𝑆 bo‘lsa, 
𝑀𝐵𝐶𝑁 to‘rtburchakning yuzini toping. 
105. Markazlari 𝑂 bo‘lgan konsentrik aylanalarning radiuslari 𝑅 va 𝑟 (𝑅 > 𝑟). Uchinchi 
aylana bu aylanalarning har ikkalasiga urinadi. 𝑂 nuqtadan uchinchi aylanaga o‘tkazilgan 
urinmalar orasidagi burchak tangensini toping. 
106. 𝐴𝐵𝐶𝐷 parallelogramda 𝐴𝐵 = 𝑎, 𝐴𝐷 = 𝑏 (𝑏 > 𝑎), ∠𝐵𝐴𝐷 = 𝛼 (𝛼 < 90°). 𝐴𝐷 va 𝐵𝐶 
tomonlarda mos ravishda 𝐾 va 𝑀 nuqtalar shunday olinganki, 𝐵𝐾𝐷𝑀 romb hosil bo‘ldi. 
Rombning tomonini toping. 
107. To‘g‘ri burchakli uchburchakning gipotenuzasi 𝑐. Radiuslari 
𝑐
5
bo‘lgan uchta aylana 
markazlari shu uchburchak uchlarida joylashgan. Uchala aylanaga tashqi urinuvchi 
aylananing radiusini toping. 

---

108. Kattaligi 𝛼 bo‘lgan burchak tomonlaridan har birining uzunligi 𝑎 bo‘lgan vatarlar 
kesuvchi aylana o‘tkazilgan. Bu vatarlarning eng yaqin oxirlari orasidagi masofa 𝑏 bo‘lsa, 
aylananing radiusini toping. 
109. 𝐴𝐵𝐶 uchburchakning 𝐵𝐶 tomonini diametr qilib o‘tkazilgan aylana 𝐴𝐵 va 𝐴𝐶 
tomonlarni mos ravishda 𝑀 va 𝑁 nuqtalarda kesib o‘tadi. Agar 𝐴𝐵𝐶 uchburchakning yuzi 
𝑆 va ∠𝐵𝐴𝐶 = 𝛼 bo‘lsa, 𝐴𝑀𝑁 uchburchakning yuzini toping. 
110. Radiusi 𝑅 bo‘lgan aylananing o‘zaro perpendikular 𝑀𝑁 va 𝑃𝑄 vatarlari o‘tkazilgan. 
Agar 𝑁𝑄 = 𝑎 bo‘lsa, 𝑀 va 𝑃 nuqtalar orasidagi masofani toping. 
111. 𝐴𝐵𝐶 uchburchakning eng katta 𝐵𝐶 = 𝑏 tomonida 𝑀 nuqta olingan. 𝐵𝐴𝑀 va 𝐵𝐶𝑀 
uchburchaklarga tashqi chizilgan aylanalar orasidagi eng qisqa masofani toping. 
112. 𝐴𝐵𝐶𝐷 parallelogramda 𝐴𝐵 = 𝑎, 𝐵𝐶 = 𝑏, ∠𝐴𝐵𝐶 = 𝛼. 𝐵𝐶𝐷 va 𝐷𝐴𝐵 uchburchaklarga 
tashqi chizilgan aylanalar radiuslari orasidagi masofani toping. 
113. 𝐴𝐵𝐶 uchburchakda ∠𝐴 = 𝛼, 𝐵𝐴 = 𝑎, 𝐴𝐶 = 𝑏. 𝐴𝐶 tomonning o‘rtasi 𝑀 bo‘lib, 𝐴𝐵 
tomonda shunday 𝑁 nuqta olinganki, 𝐴𝑀𝑁 uchburchak yuzi 𝐴𝐵𝐶 uchburchak yuzining 
1
3
qismini tashkil qiladi. 𝑀𝑁 ni toping. 
114. Rombga ichki chizilgan doiraning yuzi rombning yuzidan ikki marta kichik bo‘lsa, 
rombning burchaklarini toping. 
115. Tomonlari 𝑎 bo‘lgan ikki kvadrat ustma-ust qo‘yilgan bo‘lib, ularning biri uchi 
atrofida 45° ga burilgan. Kvadratlarning umumiy qismi yuzini toping. 
116. Doiraga ichki chizilgan to‘rtburchakning ikki qarama-qarshi tomonlari o‘zaro 
perpendikular. Ulardan birining uzunligi 𝑎 bo‘lib, unga yopishgan o‘tkir burchakni 
diagonal 𝛼 va 𝛽 burchaklarga ajraladi (𝛼 burchak 𝑎 tomonga yopishgan). Diagonallarni 
toping. 
117. O‘tkir burchagi ∠𝐷𝐴𝐵 = 𝛼 bo‘lgan 𝐴𝐵𝐶𝐷 parallelogramda 𝐴𝐵 = 𝑎, 𝐴𝐷 = 𝑏 (𝑎 < 𝑏). 𝐾 
– 𝐵 nuqtadan 𝐴𝐷 tomonga va 𝑀 – 𝐾 nuqtadan 𝐶𝐷 tomonning davomiga tushirilgan 
perpendikularning asosi. 𝐵𝐾𝑀 uchburchakning yuzini toping. 
118. 𝐴𝐵𝐶 uchburchakning 𝐶 uchidan chiqarilgan ikki nur ∠𝐴𝐶𝐵 burchakni uchta teng 
bo‘lakka ajratadi. Agar 𝐵𝐶 = 3𝐴𝐶 va ∠𝐴𝐶𝐵 = 𝛼 bo‘lsa, nurlarning uchburchak ichidagi 
bo‘laklarining uzunliklari nisbatini toping. 
119. 𝐴𝐵𝐶 teng yonli uchburchakda 𝐴𝐵 = 𝐵𝐶 bo‘lib, 𝐴𝐷 bissektrisa o‘tkazilgan. 𝐴𝐵𝐷 va 
𝐴𝐷𝐶 uchburchaklarning yuzlari mos ravishda 𝑆
1
va 𝑆
2
bo‘lsa, 𝐴𝐶 ni toping. 
120. Radiusi 𝑅
1
bo‘lgan aylana 𝛼 burchakka ichki chizilgan. Radiusi 𝑅
2
bo‘lgan ikkinchi 
aylana burchakning bir tomoniga birinchi aylana uringan nuqtada urinib, ikkinchi 
tomonni 𝐴 va 𝐵 nuqtalarda kesib o‘tadi. 𝐴𝐵 ni toping. 
121. Radiusi 12 bo‘lgan aylananing 𝑂 markazidan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziqda shunday 𝐴 va 𝐵 
nuqtalar olinganki, 𝑂𝐴 = 15, 𝐴𝐵 = 5. 𝐴 va 𝐵 nuqtalardan aylanaga o‘tkazilgan 
urinmalarning urinish nuqtalari 𝑂𝐴𝐵 to‘g‘ri chiziqdan bir tomonda yotadi. Agar bu 
urinmalar 𝐶 nuqtada kesishsa, 𝐴𝐵𝐶 uchburchakning yuzini toping. 
122. 𝐴𝐵𝐶 uchburchakda 𝐵𝐶 = 𝑎, ∠𝐴 = 𝛼, ∠𝐵 = 𝛽. Uchburchakning har bir tomonidan 
uzunligi 𝑑 bo‘lgan vatarlar ajratuvchi aylana radiusini toping. 
123. Qavariq to‘rtburchak qarama-qarshi tomonlarining o‘rtalarini tutashtiruvchi 
kesmalarning uzunliklari 𝑎 va 𝑏 bo‘lib, bu kesmalar 60° burchak ostida kesishadi. 
To‘rtburchakning diagonallarini toping. 
124. 𝐴𝐵𝐶 uchburchakning 𝐵𝐶 tomonida shunday 𝑀 nuqta tanlanganki, 𝐵 nuqtadan 𝐴𝑀𝐶 
uchburchakning og‘irlik markazigacha bo‘lgan masofa 𝐶 nuqtadan 𝐴𝑀𝐵 uchburchakning 
og‘irlik markazigacha bo‘lgan masofaga teng. Agar 𝐴 nuqtadan 𝐵𝐶 ga tushirilgan 
perpendikular asosi 𝐷 bo‘lsa, 𝐵𝑀 = 𝐷𝐶 ekanligini isbotlang. 

---

125. To‘g‘ri burchakli 𝐴𝐵𝐶 uchburchakda ∠𝐵 = 90° bo‘lib, 𝐵𝐸 bissektrisa ichki chizilgan 
aylananing 𝑂 markazida 𝐵𝑂: 𝑂𝐸 = 3: 2 nisbatda bo‘linadi. Uchburchakning o‘tkir 
burchaklarini toping. 
126. Uzunligi 𝑅 bo‘lgan 𝐴𝐵 kesmani diametr qilib aylana yasalgan. Shunday radiusli 
ikkinchi aylananing markazi 𝐴 nuqtada. Uchinchi aylana birinchi aylanaga ichki, ikkinchi 
aylanaga tashqi va 𝐴𝐵 kesmaga urinadi. Uchinchi aylananing radiusini toping. 
127. 𝐴𝐵𝐶 uchburchakda 𝐴𝐵 = 4, 𝐴𝐶 = 2, 𝐵𝐶 = 3 bo‘lib, 𝐴 burchakning bissektrisasi 𝐵𝐶 
tomonni 𝐾 nuqtada kesishadi. 𝐵 nuqtadan 𝐴𝐶 ga parallel qilib o‘tkazilgan to‘g‘ri chiziq 𝐴𝐾 
bissektrisaning davomini 𝑀 nuqtada kesib o‘tadi. 𝐾𝑀 ni toping. 
128. Markazi to‘g‘ri burchak ichida bo‘lgan aylana burchakning bir tomoniga urinib, 
ikkinchi tomonini 𝐴 va 𝐵 nuqtalarda kesib o‘tadi. Agar burchak bissektrisasi aylanani 𝐶 va 
𝐷 nuqtalarda kesib o‘tib, 𝐴𝐵 = 6 va 𝐶𝐷 = 7 bo‘lsa, aylana radiusini toping. 
129. Parallelogramm ichida ikki aylana joylashgan bo‘lib, ular o‘zaro va har biri 
parallelogramning uchta tomoniga urinadi. Agar aylanalardan har birining radiusi 1 va 
parallelogramning uchlaridan aylanalar bilan urinish nuqtalarigacha bo‘lgan 
masofalarning biri 3 bo‘lsa, parallelogramning yuzini toping. 
130. Radiusi 𝑅 bo‘lgan aylana 𝐴𝐵𝐶 uchburchakning 𝐴 va 𝐵 uchlaridan o‘tib, 𝐴𝐶 to‘g‘ri 
chiziqqa 𝐴 nuqtada urinadi. Agar ∠𝐵 = 𝛼 va ∠𝐴 = 𝛽 bo‘lsa, 𝐴𝐵𝐶 uchburchakning yuzini 
toping. 
131. 𝐴𝐵𝐶 uchburchakda ∠𝐵 = 120° bo‘lib, 𝐴𝐾 bissektrisa 𝐵𝑀 medianaga perpendikular. 
𝐴𝐵𝐶 uchburchak va unga tashqi chizilgan doira yuzining nisbatini toping. 
132. To‘g‘ri burchakli 𝐴𝐵𝐶 uchburchak 𝐴𝐵 va 𝐴𝐶 tomonlarining o‘rtalari orqali o‘tuvchi 
aylana 𝐵𝐶 tomonga urinadi. Agar 𝐴𝐵 = 3 va 𝐵𝐶 = 4 bo‘lsa, 𝐴𝐶 gipotenuzaning shu aylana 
ichidagi qismi uzunligini toping. 
133. Uzunligi bo‘lgan 𝑎 kesma berilgan. Kesmaning oxirlari va o‘rtasini markaz qilib 
radiuslari 𝑅 (𝑎 < 4𝑅) bo‘lgan uchta aylana o‘tkazilgan. Uchala aylanaga urinuvchi 
aylananing radiusini toping. 
134. Radiuslari 𝑅 va 𝑟 bo‘lgan aylanalarning markazlari orasidagi masofa 2(𝑅
2
+ 𝑟
2
) 
bo‘lsa, ularning umumiy ichki va tashqi urinmalari orasidagi burchakni toping 
(aylanalarning markazlari umumiy tashqi urinmadan bir tomonda va umumiy ichki 
urinmadan turli tomonlarda yotadi). 
135. Diametri 𝐴𝐵 bo‘lgan doiradan tashqarida 𝐶 nuqta olingan. 𝐴𝐶 va 𝐵𝐶 kesmalar 
aylanani mos ravishda 𝐷 va 𝐸 nuqtalarda kesib o‘tadi. Agar 𝐷𝐶𝐸 va 𝐴𝐵𝐶 
uchburchaklarning yuzlari 1:4 nisbatda bo‘lsa, ∠𝐶𝐵𝐷 burchakni toping. 
136. Tomoni 𝑎 bo‘lgan 𝐴𝐵𝐶𝐷 rombda ∠𝐴 = 120°. Rombning 𝐵𝐶 va 𝐴𝐷 tomonlarida mos 
ravishda 𝐸 va 𝐹 nuqtalar olingan bo‘lib, 𝐸𝐹 kesma va rombning 𝐴𝐶 diagonali 𝑀 nuqtada 
kesishadi. Agar 𝐵𝐸𝐹𝐴 va 𝐸𝐶𝐷𝐹 to‘rtburchaklarning yuzlari 1:2 nisbatda hamda 
𝐴𝑀: 𝑀𝐶 = 1: 3 bo‘lsa, 𝐸𝑀 ni toping. 
137. Markazi 𝑂 nuqtada va radiusi 𝑅 bo‘lgan aylana berilgan. Aylanani 𝑀 nuqtada kesib 
o‘tuvchi 𝑂𝐴 kesmaning 𝐴 oxiridan aylanaga 𝐴𝐾 urinma o‘tkazilgan. Agar ∠𝑂𝐴𝐾 = 60° 
bo‘lsa, 𝐴𝐾 va 𝐴𝑀 kesmalar hamda 𝑀𝐾 yoyga urinuvchi aylana radiusini toping. 
138. Doiraga 𝐴𝐵 = 𝐵𝐶 va ∠𝐵 = 𝛽 bo‘lgan teng yonli 𝐴𝐵𝐶 uchburchak ichki chizilgan. 
Uchburchakning 𝐴𝐶 tomoniga parallel o‘rta chizig‘i aylana bilan 𝐷 va 𝐸 nuqtalarda 
kesishguncha davom ettirilgan. 𝐴𝐵𝐶 va 𝐷𝐵𝐸 uchburchaklarning yuzlari nisbatini toping. 
139. Uchi 𝑂 nuqtada bo‘lgan 𝛼 burchak berilgan. Uning bir tomonida olingan 𝑀 nuqtadan 
chiqarilgan perpendikular ikkinchi tomonni 𝑁 nuqtada kesib o‘tadi. Ikkinchi tomonda 
olingan 𝐾 nuqtadan chiqarilgan perpendikular birinchi tomonni 𝑃 nuqtada kesib o‘tadi. 

---

𝑀𝑁 va 𝐾𝑃 to‘g‘ri chiziqlar 𝐵 nuqtada, 𝑂𝐵 va 𝑁𝐵 to‘g‘ri chiziqlar esa 𝐴 nuqtada kesishsin. 
Agar 𝑂𝑀 = 𝑎 va 𝑂𝑃 = 𝑏 bo‘lsa, 𝑂𝐴 ni toping. 
140. Radiuslari 𝑅 va 𝑟 bo‘lgan aylanalar o‘zaro va burchak tomonlariga urinadi. Markazi 
aylanalarning urinish nuqtaida bo‘lib, shu burchak tomonalriga urinuvchi aylana radiusini 
toping. 
141. Kesishmaydigan aylanalarning markazlari orasidagi masofa 𝑎. Ularning umumiy 
tashqi va umumiy ichki urinmalarining to‘rtta kesishish nuqtalari bir aylanada yotishini 
isbotlang va bu aylana radiusini toping. 
142. Ikki aylanaga o‘tkazilgan umumiy tashqi urinmaning umumiy ichki urinmalar 
orasidagi bo‘lagining uzunligi umumiy ichki urinmaning uzunligicha ekanligini isbotlang. 
143. Markazi 𝑂 bo‘lgan aylananing o‘zaro perpendikular 𝑂𝐴 va 𝑂𝐵 radiuslari o‘tkazilgan. 
𝐴𝐵 yoyda shunday 𝐶 nuqta olinganki, ∠𝐴𝑂𝐶 = 60° (∠𝐵𝑂𝐶 = 30°). Markazi 𝐴 nuqtada va 
radiusi 𝐴𝐵 bo‘lgan aylana 𝑂𝐶 ning 𝐶 uchi tomonga davomini 𝐷 nuqtada kesib o‘tadi. 𝐶𝐷 
kesmaning uzunligi shu aylanaga ichki chizilgan muntazam o‘nburchakning tomoniga 
tengligini isbotlang. 
Endi 𝐶 nuqtaga diametral qarama-qarshi bo‘lgan 𝑀 nuqtani olaylik. O‘z uzunligining 
1
5
qismiga orttirilgan 𝑀𝐷 kesmani taxminan yarimaylananing uzunligi deb olish mumkin. Bu 
yaxlitlash xatoligini aniqlang.
144. Tomonlari 7 va 8 bo‘lgan to‘g‘ri to‘rtburchakning bir uchi muntazam uchburchakning 
uchi bilan mos tushadi. Uchburchakning qolgan uchlari esa to‘g‘ri to‘rtburchakning shu 
uchda uchrashmaydigan tomonlarida joylashgan. Uchburchakning yuzini toping. 
145. Asoslari 15 va 5, yon tomoni 9 bo‘lgan teng yonli trapetsiyani o‘z ichiga oluvchi eng 
kichik aylananing radiusini toping. 
146. 𝐴𝐵 = 9 va 𝐵𝐶 = 7 bo‘lgan 𝐴𝐵𝐶𝐷 to‘g‘ri to‘rtburchakning 𝐶𝐷 va 𝐴𝐷 tomonlarida mos 
ravishda 𝑀 va 𝑁 nuqtalar shunday olinganki, 𝐶𝑀 = 3 va 𝐴𝑁 = 2,5. 𝐴𝐵𝐶𝑀𝑁 
beshburchakning ichiga joylashtirish mumkin bo‘lgan eng katta aylananing radiusini 
toping. 
147. Uchburchak balandliklarining asoslarini tutashtirib hosil qilingan uchburchakka ichki 
chizilgan aylananing radiusi shu uchburchakning eng kichik balandligidan ikki marta 
kichik. Shu uchburchakning burchaklarini toping. 
148. 𝐴𝐵𝐶 uchburchakda 𝐶 burchak bissektrisasi 𝐵 uchdan chiqarilgan medianaga 
perpendikular. Unga ichki chizilgan aylananing markazi 𝐴, 𝐶 uchlar va tashqi chizilgan 
aylananing markazidan o‘tuvchi aylanada yotadi. Agar 𝐵𝐶 = 1 bo‘lsa, 𝐴𝐵 ni toping. 
149. 𝑀 nuqta muntazam uchburchak tomonlari yotgan to‘g‘ri chiziqlardan 2, 3 va 6 
masofada yotadi. Bu uchburchakning yuzi 14 dan kichik ekanligi ma’lum bo‘lsa, uni 
toping. 
150. 𝑀 nuqta kattaligi 60° bo‘lgan burchakning ichida bo‘lib, uning tomonlaridan 3 va 
3 3 uzoqlikda yotadi. Agar 𝑀 nuqtadan o‘tkazilgan to‘g‘ri chiziq burchak tomonlaridan 
kesadigan uchburchakning perimetri 12 ekanligi ma’lum bo‘lsa, shu uchburchakning 
yuzini toping. 
151. 𝐴𝐵𝐶𝐷 to‘g‘ri to‘rtburchakda 𝐴𝐵 = 4 va 𝐵𝐶 = 3. Bir uchi 𝐴 nuqtada, qolgan uchlari 
esa 𝐴𝐵, 𝐵𝐶, 𝐵𝐷 tomonlarda yotuvchi rombning tomonini toping. 
152. Tomoni 1 bo‘lgan 𝐴𝐵𝐶𝐷 kvadrat berilgan. Bir uchi 𝐴 nuqtada, unga qarama-qarshi 
uchi 𝐵𝐷 to‘g‘ri chiziqda va qolgan uchlari 𝐵𝐶 va 𝐶𝐷 to‘g‘ri chiziqlarda yotuvchi rombning 
tomonini toping. 

---

153. 𝐴𝐵𝐶𝐷 parallelogramning o‘tkir burchagi 𝛼. Radiusi 𝑟 bo‘lgan aylana 𝐴, 𝐵, 𝐶 uchlardan 
o‘tib, 𝐴𝐷 va 𝐶𝐷 to‘g‘ri chiziqlarni mos ravishda 𝑀 va 𝑁 nuqtalarda kesib o‘tadi. 𝐵𝑀𝑁 
uchburchakning yuzini toping. 
154. 𝐴𝐵𝐶𝐷 parallelogramning 𝐴, 𝐵, 𝐶 uchlaridan o‘tuvchi aylana 𝐴𝐷 va 𝐶𝐷 to‘g‘ri 
chiziqlarni mos ravishda 𝑀 va 𝑁 nuqtalarda kesib o‘tadi. Agar 𝑀 nuqta 𝐵, 𝐶, 𝐷 
nuqtalardan mos ravishda 4, 3, 2 masofada yotsa, 𝑀𝑁 ni toping. 
155. 𝐴𝐵𝐶 uchburchakda ∠𝐵𝐴𝐶 =
𝜋
6
. Markazi 𝐴 nuqtada va radiusi 𝐵𝐶 tomonga tushirilgan 
balandlikcha bo‘lgan aylana uchburchakning yuzini teng ikkiga bo‘lib o‘tadi. 𝐴𝐵𝐶 
uchburchakning eng katta burchagini toping. 
156. Teng yonli 𝐴𝐵𝐶 uchburchakda ∠𝐵 = 120° va 𝐴𝐶 = 1. Unga tashqi chizilgan aylana 
hamda 𝐴, 𝐶 uchlardan chiqarilgan bissektrisalarning asoslari va ichki chizilgan aylananing 
markazidan o‘tuvchi aylananing umumiy vatari uzunligini toping. 
157. 𝐴𝐵𝐶 uchburchakda 𝐵𝐶 = 𝑎 va ichki chizilgan aylananing radiusi 𝑟. Biri 𝐵𝐶 va 𝐵𝐴 
tomonlarga, ikkinchisi 𝐵𝐶 va 𝐶𝐴 tomonlarga, shu bilan birga o‘zaro urinuvchi ikkita teng 
aylanalar yasalgan. Shu aylanalarning radiuslarini toping. 
158. Radiusi 𝐵 bo‘lgan aylanaga trapetsiya ichki chizilgan. Asoslardan birining oxirlaridan 
yon tomonlarga parallel qilib o‘tkazilgan to‘g‘ri chiziqlar shu aylananing markazida 
kesishadi. Agar trapetsiyaning yon tomoni aylananing markazidan 𝛼 burchak ostida 
ko‘rinsa, trapetsiyaning yuzini toping. 
159. To‘g‘ri burchakli uchburchakning gipotenuzasi 𝑐. Ichki chizilgan aylananing markazi 
va medianalar kesishgan nuqta orasidagi masofa qanday qiymatlarni qabul qila oladi?
2
160. Tomonlari 𝑎 va 𝑏 (𝑎 ≠ 𝑏) bo‘lgan parallelogramning diagonallari orasidagi o‘tkir 
burchak kosinusi qanday qiymatlar qabul qila oladi?
3
161. 𝐴𝐵𝐶 uchburchakning ichida olingan 𝑀 nuqtadan uchburchak tomonlariga parallel 
to‘g‘ri chiziqlar o‘tkazilgan. Bu to‘g‘ri chiziqlarning uchburchak ichdagi kesmalarining 
uzunliklari teng. agar uchburchakning tomonlari 𝑎, 𝑏, 𝑐 bo‘lsa, shu kesmalarning 
uzunliklarini toping. 
162. 𝐴𝐵𝐶 uchburchakka har biri uchburchakning ikki tomoniga urinuvchi teng aylanalar 
ichki chizilgan bo‘lib, bu aylanalar yagona umumiy nuqtaga ega. Agar 𝐴𝐵𝐶 uchburchakka 
ichki va tashqi chizilgan aylanalarning radiuslari mos ravishda 𝑟 va 𝑅 bo‘lsa, teng 
aylanalarning radiuslarini toping. 
163. 𝐴𝐵𝐶 uchburchakning 𝐴𝐷 medianasi o‘tkazilgan bo‘lib, ∠𝐷𝐴𝐶 + ∠𝐴𝐵𝐶 = 90°. Agar 
𝐴𝐵 ≠ 𝐴𝐶 bo‘lsa, ∠𝐵𝐴𝐶 ni toping. 
164. Radiuslari 1, 2, 3 bo‘lgan aylanalar o‘zaro juft-juft tashqi urinadi. Aylanalarning 
urinish nuqtalaridan o‘tuvchi aylananing radiusini toping. 
165. Teng yonli uchburchakka kvadrat ichki chizilgan bo‘lib, uning bir tomoni 
uchburchakning asosida yotadi. Kvadratning yuzi 1 hamda uchburchakning og‘irlik 
markazi va kvadratning markazi ustma-ust tushishi ma’lum bo‘lsa, uchburchakning yuzini 
toping. 
166. Teng tomonli 𝐴𝐵𝐶 uchburchakning tomoni 𝑎. 𝐵𝐶 va 𝐴𝐵 tomonlarda mos ravishda 𝐷 
va 𝐸 nuqtalar shunday olinganki, 𝐵𝐷 =
𝑎
3
va 𝐴𝐸 = 𝐷𝐸. 𝐶𝐸 ni toping. 
167. To‘g‘ri burchakli 𝐴𝐵𝐶 uchburchakning 𝐶 to‘g‘ri burchagi uchidan 𝐶𝐿 = 𝑎 va 𝐶𝑀 = 𝑏 
medianalar chiqarilgan. 𝐴𝐵𝐶 uchburchakning yuzini toping. 
2
Aslida boshqacharoq edi. 
3
Aslida boshqacharoq edi. 

---

168. Trapetsiyaning asoslaridan biri 𝑎 bo‘lib, yon tomonlardan birining ichki chizilgan 
aylana bilan urinish nuqtasida uzunliklari 𝑏 va 𝑑 (uzunligi 𝑏 bo‘lgan kesma shu asos bilan 
umumiy uchga ega) bo‘lgan kesmalarga ajralishi ma’lum bo‘lsa, trapetsiyaning yuzini 
toping. 
169. Diagonallari 3 va 5 bo‘lgan trapetsiya asoslarining o‘rtalarini tutashtiruvchi 
kesmaning uzunligi 2. Trapetsiyaning yuzini toping. 
170. Radiusi 1 bo‘lgan aylana cos 𝐵 = 0,8 bo‘lgan 𝐴𝐵𝐶 uchburchakka ichki chizilgan. Bu 
aylana uchburchakning 𝐴𝐶 tomoniga parallel o‘rta chizig‘iga urinadi. 𝐴𝐶 ni toping. 
171. Yuzi 𝑆 bo‘lgan muntazam 𝐴𝐵𝐶 uchburchak berilgan. Uchburchakning tomonlariga 
parallel va ulardan baravar uzoqlikda parallel to‘g‘ri chiziqlar o‘tkazilgan. Bu to‘g‘ri 
chiziqlar uchburchak ichda kesishib yuzi 𝑄 bo‘lgan 𝐴
1
𝐵
1
𝐶
1
uchburchak hosil qiladi. 𝐴𝐵𝐶 
va 𝐴
1
𝐵
1
𝐶
1
uchburchaklarning parallel tomonlari orasidagi masofani toping. 
172. 𝐴𝐵𝐶𝐷 to‘rtburchakning 𝐴𝐵 va 𝐶𝐷 tomonlari perpendikular bo‘lib, har biri radiusi 𝑟 
bo‘lib, o‘zaro urinuvchi aylanalarning diametrlari bo‘ladi. Agar 𝐵𝐶: 𝐴𝐷 = 𝑘 bo‘lsa, 𝐴𝐵𝐶𝐷 
to‘rtburchakning yuzini toping. 
173. Kattaligi 𝛼 bo‘lgan burchakka o‘zaro urinuvchi aylanalar ichki chizilgan. Bu 
aylanalardan kichigining har ikkala aylanaga va burchak tomonlaridan biriga urinuvchi 
aylana radiusiga nisbatini toping. 
174. 𝐴𝐵𝐶 uchburchakning 𝐴𝐵 tomoniga parallel 𝐷𝐸 o‘rta chizig‘ini diametr qilib 𝐴𝐶 va 𝐵𝐶 
tomnlarni mos ravishda 𝑀 va 𝑁 nuqtalarda kesib o‘tuvchi aylana yasalgan. Agar 𝐵𝐶 = 𝑎, 
𝐴𝐶 = 𝑏, 𝐴𝐵 = 𝑐 bo‘lsa, 𝑀𝑁 ni toping. 
175. Radiuslari 𝑅 va 𝑟 bo‘lgan ikki aylananing markazlari orasidagi masofa 𝑎. Ikkita 
qarama-qarshi uchi bir aylanada, qolgan ikki uchi esa ikkinchi aylanada yotuvchi 
rombning tomonini toping. 
176. 𝐴𝐵𝐶𝐷 romb berilgan bo‘lib, 𝐴𝐵𝐶 va 𝐴𝐵𝐷 uchburchaklarga tashqi chizilgan 
aylanalarning radiuslari mos ravishda 𝑅 va 𝑟. Rombning yuzini toping. 
177. Uchi 𝐴 nuqtada va kattaligi 𝛼 bo‘lgan burchakning tomonlaridan 𝑎 va 𝑏 masofada 
yotuvchi 𝐵 nuqta olingan. 𝐴𝐵 ni toping. 
178. 𝐴𝐵𝐶 uchburchakning 𝐴 va 𝐵 uchlaridan chiqarilgan ℎ
𝑎
va ℎ
𝑏
balandliklari hamda 𝐶 
uchidan chiqarilgan 𝑙 bissektrisasi ma’lum. ∠𝐶 ni toping. 
179. To‘g‘ri burchakli uchburchakka tashqi aylana chizilgan. Shunday radiusli boshqa 
aylana uchburchakning katetlariga urinib o‘tadi va urinish nuqtalaridan biri 
uchburchakning uchida. Uchburchak yuzining doiralar umumiy qismining yuziga nisbatini 
toping. 
180. 𝐴𝐵𝐶𝐷 trapetsiyada 𝐴𝐵 = 𝐵𝐶 = 𝐶𝐷 = 𝑎, 𝐷𝐴 = 2𝑎. 𝐴𝐵 va 𝐴𝐷 to‘g‘ri chiziqlarda 
shunday 𝐸 va 𝐹 nuqtalar olinganki, 𝐶𝐸𝐹 uchburchak balandliklarining kesishish nuqtasi 
𝐴𝐵𝐶𝐷 trapetsiya diagonallarining kesishish nuqtasi bilan mos tushadi. 𝐶𝐸𝐹 
uchburchakning yuzini toping. 
181. 𝐴𝐵𝐶 to‘g‘ri burchakli uchburchakning 𝐴𝐵 gipotenuzasiga o‘tkazilgan balandligi ℎ 
bo‘lib, uning asosi 𝐷. 𝑀 va 𝑁 mos ravishda 𝐴𝐷 va 𝐷𝐵 kesmalarning o‘rtalari. 𝐶 nuqtadan 
𝐶𝑀𝑁 uchburchakning balandliklari kesishish nuqtasigacha bo‘lgan masofani toping. 
182. 𝐴𝐵𝐶𝐷 – asoslari 𝐴𝐷 va 𝐵𝐶 bo‘lgan trapetsiya, 𝐴𝐵 = 𝐶𝐷 = 𝑎, 𝐴𝐶 = 𝐷𝐵 = 𝑏, 𝐵𝐶 = 𝑐. 
Unga tashqi chizilgan aylananing 𝐵𝐶 yoyida olingan 𝑀 nuqta uchun 
𝐵𝑀+𝑀𝐶
𝐴𝑀+𝑀𝐷
nisbatni 
hisoblang. 
183. Teng yonli uchburchakning yon tomoni 1, asosi 𝑎. Unga tashqi chizilgan aylananing 
uchburchak yon tomonlarini kesib o‘tib, kesishish nuqtalarida teng uch bo‘lakka 
bo‘linadigan vatarining uzunligini toping. 

---

184. Diametri 𝑀𝑁 = 1 bo‘lgan aylananing shu diametridan bir tomonda 𝐴 va 𝐵, ikkinchi 
tomonda 𝐶 nuqta olingan. Agar 𝐴 – yarimaylana markazi, 𝑀𝐵 =
3
5
, diametrning 𝐴𝐶 va 𝐵𝐶 
vatarlar bilan kesishgan nuqtalari hosil qilgan kesmaning uzunligi 𝑎 bo‘lsa, 𝑎 ning eng 
katta qiymatini toping. 
185. 𝐴𝐵𝐶𝐷 qavariq to‘rtburchakda 𝐴𝐵 va 𝐶𝐷 tomonlarning o‘rtalari mos ravishda 𝑀 va 𝑁. 
𝐴𝐵𝑁 va 𝐶𝐷𝑀 uchburchaklar tengdosh bo‘lib, ularning umumiy qismining yuzi har birining 
yuzidan 𝑘 marta kam bo‘lsa, 𝐵𝐶 va 𝐴𝐷 tomonlar nisbatini toping. 
186. 𝐴𝐵𝐶𝐷 teng yonli trapetsiyada 𝐴𝐷 ∥ 𝐵𝐶, katta asosdagi burchak 60° va diagonali 3. 
Shunday 𝑀 nuqta olinganki, u 𝐴 va 𝐷 nuqtalardan mos ravishda 1 va 3 uzoqlikda. 𝑀𝐶 ni 
toping. 
187. Uchburchakning har bir bissektrisasi qarama-qarshi tomonni kesib o‘tgan nuqta 
qolgan tomonlarning o‘rtalaridan bir xil masofada yotishi ma’lum. Bu shu uchburchakning 
teng tomonli ekanligini bildiradimi? 
188. Uchburchakning 𝑎 va 𝑏 (𝑎 > 𝑏) tomonlari berilgan. Bu tomonlarga tushirilgan ℎ
𝑎
va 
ℎ
𝑏
balandliklar 𝑎 + ℎ
𝑎
≤ 𝑏 + ℎ
𝑏
munosabatni qanoatlantirsa, uchburchakning uchinchi 
tomonini toping. 
189. Diametri 1 bo‘lgan aylanaga 𝐴𝐵𝐶𝐷 to‘rtburchak tashqi chizilgan. To‘rtburchakning 
ichida 
𝑀𝐴
2
+ 𝑀𝐵
2
+ 𝑀𝐶
2
+ 𝑀𝐷
2
= 2 
bo‘ladigan 
𝑀 
nuqta 
olingan. 
𝐴𝐵𝐶𝐷 
to‘rtburchakning yuzini toping. 
190. 𝐴𝐵𝐶𝐷 to‘rtburchakda 𝐴𝐵 = 𝑎, 𝐵𝐶 = 𝑏, 𝐶𝐷 = 𝑐, 𝐷𝐴 = 𝑑, 𝑎
2
+ 𝑐
2
≠ 𝑏
2
+ 𝑑
2
, 𝑐 ≠ 𝑑. 𝐵𝐷 
to‘g‘ri chiziqning 𝐴 va 𝐶 nuqtalardan baravar uzoqlashgan 𝑀 nuqtasi uchun 𝐵𝑀: 𝑀𝐷 
nisbatni toping. 
191. 𝐴𝐵𝐶𝐷 to‘g‘ri to‘rtburchakning kichik tomoni 1. Markazlari 𝐴 nuqtada bo‘lib, to‘g‘ri 
to‘rtburchakning uchlari va diagonallarning kesishish nuqtalari orqali o‘tuvchi to‘rtta 
konsentrik aylanani qaraymiz. Uchlari shu aylanalarda bittadan yotadigan to‘g‘ri 
to‘rtburchak mavjudligi ma’lum. Uchlari shu aylanalarda bittadan yotadigan kvadrat ham 
mavjudligini isbotlang. Shu kvadratning tomonini toping. 
192. 𝐴𝐵𝐶 uchburchak 𝐴𝐵 va 𝐵𝐶 tomonlarining o‘rtalaridan chiqarilgan perpendikularlar 
𝐴𝐶 to‘g‘ri chiziqni mos ravishda 𝑀 va 𝑁 nuqtalarda kesib o‘tib, 𝑀𝑁 = 𝐴𝐶. 𝐴𝐵 va 𝐴𝐶 
tomonlarning o‘rtalaridan chiqarilgan perpendikularlar 𝐵𝐶 to‘g‘ri chiziqni mos ravishda 𝐾 
va 𝐿 nuqtalarda kesib o‘tib, 𝐾𝐿 =
1
2
𝐵𝐶. 𝐴𝐵𝐶 uchburchakning eng kichik burchagini toping. 
193. 𝐴𝐵𝐶 uchburchakning 𝐴𝐵 tomonida shunday 𝑀 nuqta olinganki, 𝐴𝐵𝐶 uchburchakka 
tashqi chizilgan aylananing markazi va 𝐵𝐶𝑀 uchburchakning medianalar kesishish 
nuqtasini tutashtiruvchi to‘g‘ri chiziq 𝐶𝑀 ga perpendikular. Agar 𝐵𝐶: 𝐵𝐴 = 𝑘 bo‘lsa, 
𝐵𝑀: 𝐵𝐴 ni toping. 
194. Aylanaga ichki chizilgan 𝐴𝐵𝐶𝐷 to‘rtburchakda 𝐴𝐵 = 𝐵𝐶, 𝐾 – diagonallarning 
kesishish nuqtasi. Agar 𝐵𝐾 = 𝑏, 𝐾𝐷 = 𝑑 bo‘lsa, 𝐴𝐵 ni toping. 
195. Berilgan (1) tenglama va (2)-(4)- tenglamalar sistemalarini geometrik izohlang. 
Tenglama va (2), (3) sistemalarni yechib, (4) sistemada 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 ni toping: 
1) 𝑥
2
+ 𝑎
2
− 3𝑎𝑥 + 𝑦
2
+ 𝑏
2
− 3𝑏𝑦 + 𝑥
2
+ 𝑦
2
− 3𝑥𝑦 = 𝑎
2
+ 𝑏
2
(𝑎 > 0, 𝑏 > 0); 
2)
𝑥 = 𝑧
2
− 𝑎
2
+ 𝑦
2
− 𝑎
2
𝑦 = 𝑥
2
− 𝑏
2
+ 𝑧
2
− 𝑏
2
𝑧 = 𝑦
2
− 𝑐
2
+ 𝑥
2
− 𝑐
2
; 
3) 𝑥
2
+ 𝑦
2
= (𝑎 − 𝑥)
2
+ 𝑏
2
= 𝑎
2
+ (𝑏 − 𝑦)
2
; 

---

4)
𝑥
2
+ 𝑥𝑦 + 𝑦
2
= 𝑎
2
𝑦
2
+ 𝑦𝑧 + 𝑧
2
= 𝑏
2
𝑧
2
+ 𝑧𝑥 + 𝑥
2
= 𝑎
2
+ 𝑏
2
. 
196. Kvadratning tomoni 𝑎 bo‘lib, qarama-qarshi uchlaridan 𝑙 to‘g‘ri chiziqqacha bo‘lgan 
masofalarning ko‘paytmasi teng. agar kvadratning hech bir tomoni 𝑙 to‘g‘ri chiziqqa 
parallel emasligi ma’lum bo‘lsa, kvadratning markazidan 𝑙 to‘g‘ri chiziqqacha bo‘lgan 
masofani toping. 
197. 𝐴𝐵𝐶 uchburchakning bir tomoni ikkinchisidan ikki marta katta. Shu bilan birga, 
∠𝐵 = 2∠𝐶 bo‘lsa, uchburchakning burchaklarini toping. 
198. Aylana teng yonli 𝐴𝐵𝐶 uchburchakning 𝐴𝐵 va 𝐴𝐶 yon tomonlariga urinadi. Aylana 
𝐴𝐵 tomonga 𝑀 nuqtada urinib, 𝐵𝐶 tomonni 𝑁 nuqtada kesib o‘tadi. Agar 𝐴𝑀 = 𝑎, 𝐵𝑀 = 𝑏 
bo‘lsa, 𝐴𝑁 ni toping. 
199. 𝐴𝐵𝐶𝐷 parallelogramda 𝐴𝐵 = 𝑘𝐵𝐶. 𝐶𝐷 to‘g‘ri chiziqda 𝐾 (𝐶𝐷 tomonda) va 𝐿, 𝐵𝐶 
to‘g‘ri chiziqda 𝑀 nuqta shunday olinganki, 𝐴𝐷 – 𝐾𝐴𝐿 burchakning bissektrisasi, 𝐴𝑀 – 
𝐾𝐴𝐵 burchakning bissektrisasi. Agar 𝐵𝑀 = 𝑎 va 𝐷𝐿 = 𝑏 bo‘lsa, 𝐴𝐿 ni toping. 
200. 𝐴𝐵𝐶𝐷 parallelogramning 𝐶 uchidan o‘tadigan to‘g‘ri chiziq 𝐴𝐵 va 𝐴𝐷 to‘g‘ri 
chiziqlarni mos ravishda 𝐾 va 𝐿 nuqtalarda kesib o‘tadi. Agar 𝐾𝐵𝐶 va 𝐶𝐷𝐿 
uchburchaklarning yuzlari mos ravishda 𝑝 va 𝑞 bo‘lsa, 𝐴𝐵𝐶𝐷 parallelogramning yuzini 
toping. 
201. Radiusi 𝑅 bo‘lgan aylananing 𝐴𝐵 = 𝑎 vatari o‘tkazilgan. Radiuslari 𝑥 va 𝑦 bo‘lgan 
aylanalar berilgan aylanaga 𝐴 va 𝐵 nuqtalarda urinadi. 1) Ikki aylana birinchi aylanaga bir 
xil (ikkalasi ham tashqi yoki ichki) uringan deb olib, shu ikki aylananing umumiy tashqi 
urinmasi uzunligini toping. 2) 𝑥 radiusli aylana berilgan aylanaga tashqi, 𝑦 radiusli aylana 
esa ichki urinsa, shu ikki aylananing umumiy ichki urinmasi uzunligini toping. 
202. 𝐴𝐵𝐶 uchburchakda 𝐴𝐵 = 12, 𝐵𝐶 = 13, 𝐶𝐴 = 15. 𝐴𝐶 tomonda shunday 𝑀 nuqta 
olinganki, 𝐴𝐵𝑀 va 𝐵𝐶𝑀 uchburchaklarga ichki chizilgan aylanalarning radiuslari bir xil 
bo‘ldi. 𝐴𝑀: 𝑀𝐶 ni toping. 
203. Uchburchakka ichki va tashqi chizilgan aylanalarning radiuslari mos ravishda 𝑟 va 𝑅. 
Agar ichki va tashqi chizilgan aylanalarning markazlari hamda balandliklarining kesishish 
nuqtasidan o‘tuvchi aylana uchburchakning kamida bitta uchidan o‘tishi ham aniq bo‘lsa, 
uchburchakning yuzini toping. 
204. (Ferma masalasi) 𝐴𝐵𝐶𝐷 to‘g‘ri to‘rtburchakda 𝐴𝐵 = 2𝑎, 𝐵𝐶 = 𝑎 2. 𝐴𝐵 tomonni 
diametr qilib olib, tashqi tomonda yarimaylana yasalgan. Yarimaylanada 𝑀 nuqta olingan 
bo‘lib, 𝑀𝐷 va 𝑀𝐶 to‘g‘ri chiziqlar 𝐴𝐵 ni mos ravishda 𝑁 va 𝐿 nuqtalarda kesib o‘tishi 
ma’lum bo‘lsa, 𝐴𝐿
2
+ 𝐵𝑁
2
ni toping. 
205. Radiuslari 𝑅 va 𝑟 bo‘lgan aylanalar o‘zaro ichki urinadi. Bir uchi aylanalarning urinish 
nuqtasida, qolgan uchlari esa bittadan aylanalarda yotgan muntazam uchburchakning 
tomonini toping. 
206. Radiuslari 𝑅 va 𝑟 (𝑅 > 𝑟) bo‘lgan aylanalar 𝐴 nuqtada tashqi urinadi. Katta aylanada 
olingan 𝐵 nuqtadan kichik aylanaga 𝐶 nuqtada urinuvchi to‘g‘ri chiziq o‘tkazilgan. Agar 
𝐴𝐵 = 𝑎 bo‘lsa, 𝐵𝐶 ni toping. 
207. 𝐴𝐵𝐶𝐷 parallelogramning 𝐴𝐵 va 𝐵𝐶, 𝐴𝐵 va 𝐴𝐷, 𝐵𝐶 va 𝐴𝐷 tomonlariga urinuvchi uch 
aylana o‘zaro urinadi. Aylanalarning 𝐴𝐵 tomonga urinish nuqtalari orasidagi masofa 𝑎 
bo‘lsa, 𝐵𝐶 va 𝐴𝐷 tomonlarga urinuvchi aylananing radiusini toping. 
208. 𝐴𝐵𝐶𝐷 to‘rtburchakning diagonallari 𝑀 nuqtada 𝛼 burchak ostida kesishadi. Agar 
𝐴𝐵𝑀, 𝐵𝐶𝑀, 𝐶𝐷𝑀, 𝐷𝐴𝑀 uchburchaklarga ichki chizilgan aylanalarning markazlari mos 

---

ravishda 𝑂
1
, 𝑂
2
, 𝑂
3
, 𝑂
4
bo‘lsa, 𝐴𝐵𝐶𝐷 va 𝑂
1
𝑂
2
𝑂
3
𝑂
4
to‘rtburchaklarning yuzlari nisbatini 
toping. 
209. Yuzi 𝑆 bo‘lgan parallelogramning ichki burchaklari bissektrisalari o‘tkazilganda hosil 
bo‘lgan to‘rtburchakning yuzi 𝑄. Parallelogramm tomonlarining nisbatini toping. 
210. 𝐴𝐵𝐶 uchburchakning 𝐴𝐶 va 𝐵𝐶 tomonlarida mos ravishda 𝑀 va 𝑁 nuqtalar olingan. 
𝐴𝑁 va 𝐵𝑀 kesmalar 𝑂 nuqtada kesishib, 𝑂𝐴𝑀, 𝑂𝐴𝐵, 𝑂𝐵𝑀 uchburchaklarning yuzlari mos 
ravishda 𝑆
1
, 𝑆
2
, 𝑆
3
bo‘lsa, 𝐶𝑀𝑁 uchburchakning yuzini toping. 
211. To‘g‘ri burchakli uchburchakning medianalari kesishish nuqtasi unga ichki chizilgan 
aylanada yotadi. Uchburchakning o‘tkir burchaklarini toping. 
212. 𝐴𝐵𝐶 uchburchakka ichki chizilgan aylana 𝐵𝑀 medianani teng uch bo‘lakka bo‘ladi. 
𝐵𝐶: 𝐶𝐴: 𝐴𝐵 ni toping. 
213. 𝐴𝐵𝐶 uchburchak 𝐴𝐵 tomonining o‘rta perpendikulari 𝐴𝐶 to‘g‘ri chiziqni 𝑀 nuqtada, 
𝐴𝐶 tomonning o‘rta perpendikulari esa 𝐴𝐵 to‘g‘ri chiziqni 𝑁 nuqtada kesib o‘tadi. 
𝑀𝑁 = 𝐵𝐶 va 𝑀𝑁 ⊥ 𝐵𝐶 ekanligi ma’lum bo‘lsa, 𝐴𝐵𝐶 uchburchakning burchaklarini toping. 
214. Asoslari 𝐴𝐷 va 𝐵𝐶 bo‘lgan 𝐴𝐵𝐶𝐷 trapetsiyaning yuzi 𝑆 hamda 𝐴𝐷: 𝐵𝐶 = 3. 𝐴𝐷 
asosning 𝐷 uchi tomonga davomini kesib o‘tadigan to‘g‘ri chiziqda shunday 𝐸𝐹 kesma 
olinganki, 𝐴𝐸 ∥ 𝐷𝐹, 𝐵𝐸 ∥ 𝐶𝐹 va 𝐴𝐸: 𝐷𝐹 = 𝐶𝐹: 𝐵𝐸 = 2. 𝐸𝐹𝐷 uchburchakning yuzini toping. 
215. 𝐴𝐵𝐶 uchburchakda 𝐵𝐶 = 𝑎 va unga ichki chizilgan aylana radiusi 𝑟. Agar ichki 
chizilgan aylana 𝐵𝐶 tomonni diametr qilib yasalgan aylanaga urinsa, uchburchakning 
yuzini toping. 
216. Tomoni 𝑎 bo‘lgan 𝐴𝐵𝐶 muntazam uchburchakning 𝐵𝐷 balandligi o‘tkazilgan. 𝐵𝐷 
balandlikda 𝐵𝐷𝐶
1
muntazam uchburchak va uning 𝐵𝐷
1
balandligida 𝐵𝐷
1
𝐶
2
muntazam 
uchburchak yasalgan. Agar 𝐶
2
nuqta 𝐴𝐵𝐶 uchburchakning tashqarisida ekanligi ma’lum 
bo‘lsa, 𝐶𝐶
1
𝐶
2
uchburchakka yashqi chizilgan aylananing markazi 𝐴𝐵𝐶 uchburchak 
tomonida yotishini isbotlang va uning radiusini toping. 
217. Parallelogramning tomonlari 𝑎 va 𝑏 (𝑎 ≠ 𝑏). O‘tmas burchaklarining uchlaridan 
parallelogramm tomonlariga perpendikularlar o‘tkazilgan. Bu perpendikularlar kesishib, 
berilgan 
parallelogramga 
o‘xshash 
parallelogramm 
hosil 
qiladi. 
Berilgan 
parallelogramning o‘tkir burchagi kosinusini toping. 
218. 𝐾𝐿𝑀 uchburchakning 𝐾𝑁 va 𝐿𝑃 bissektrisalari 𝑄 nuqtada kesishadi. Agar 𝑃𝑁 = 1 
hamda 𝑀 nuqta 𝑁, 𝑃, 𝑄 nuqtalardan o‘tuvchi aylanada yotsa, 𝑃𝑁𝑄 uchburchakning 
tomonlari va burchaklarini toping. 
219. Qavariq 𝐴𝐵𝐶𝐷 to‘rtburchakning 𝐴𝐶 diagonalida 𝐴𝐵, 𝐴𝐷, 𝐵𝐶 tomonlarga urinuvchi va 
radiusi 𝑟 bo‘lgan aylana markazi yotadi. 𝐵𝐷 diagonalda esa 𝐵𝐶, 𝐶𝐷, 𝐷𝐴 tomonlarga 
urinuvchi va radiusi 𝑟 bo‘lgan aylana markazi yotadi. Agar bu aylanalar tashqi urinsa, 
𝐴𝐵𝐶𝐷 to‘rtburchakning yuzini toping. 
220. 𝐴𝐵𝐶 o‘tkir burchakli uchburchakka tashqi chizilgan aylananing radiusi 1. Agar 
uchburchakning 𝐴 va 𝐶 uchlari hamda balandliklarining kesishish nuqtasidan o‘tuvchi 
aylananing markazi birinchi aylanada yotsa, 𝐴𝐶 ni toping. 
221. 𝐴𝐵𝐶 uchburchakning 𝐴𝐶 va 𝐵𝐶 tomonlarida mos ravishda 𝑀 va 𝑁 nuqtalar hamda 
𝑀𝑁 kesmada 𝑃 nuqta shunday olinganki, 𝐴𝑀: 𝑀𝐶 = 𝐶𝑁: 𝑁𝐵 = 𝑀𝑃: 𝑃𝑁. Agar 𝐴𝑀𝑃 va 
𝐵𝑁𝑃 uchburchaklarning yuzlari mos ravishda 𝑇 va 𝑄 bo‘lsa, 𝐴𝐵𝐶 uchburchakning yuzini 
toping. 
222. Radiusi 𝑅 bo‘lgan aylananing markazidan 𝑎 (𝑎 > 𝑅) masofada 𝐴 nuqta olingan. 𝐾 – 
aylananing 𝐴 nuqtaga eng yaqin nuqtasi. 𝐴 nuqtadan o‘tkazilgan kesuvchi aylanani 𝑀 va 𝑁 
nuqtalarda kesib o‘tadi. Agar 𝐾𝑀𝑁 uchburchakning yuzi 𝑆 bo‘lsa, 𝑀𝑁 ni toping. 

---

223. 𝐴𝐵𝐶 teng yonli uchburchakda 𝐴𝐵 = 𝐵𝐶. 𝐴𝐸 bissektrisaning 𝐸 oxiridan 𝐴𝐸 ga 
o‘tkazilgan perpendikular 𝐴𝐶 tomonni 𝐴 nuqtada kesib o‘tadi (𝐶 nuqta 𝐴 va 𝐹 nuqtalar 
orasida). Agar 𝐴𝐶 = 2𝑚 va 𝐹𝐶 =
𝑚
4
bo‘lsa, 𝐴𝐵𝐶 uchburchakning yuzini toping. 
224. Tomonlari 1 birlikdan bo‘lgan 𝐴𝐵𝐶 va 𝐶𝐷𝐸 muntazam uchburchaklar yagona 
umumiy 𝐶 nuqtaga ega bo‘lib, ∠𝐵𝐶𝐷 <
𝜋
3
. 𝐴𝐶, 𝐶𝐸, 𝐵𝐷 kesmalarning o‘rtalari mos ravishda 
𝐾, 𝐿, 𝑀 bo‘lib, 𝐾𝐿𝑀 uchburchakning yuzi 
3
5
bo‘lsa, 𝐵𝐷 ni toping. 
225. Markazi 𝑂 nuqtada bo‘lgan aylanadan tashqaridagi 𝐾 nuqtadan aylanaga 𝐾𝑀 va 𝐾𝑁 
urinmalar o‘tkazilgan (𝑀 va 𝑁 – urinish nuqtalari). 𝑀𝑁 vatarda 𝐶 nuqta olingan bo‘lib 
(𝑀𝐶 < 𝐶𝑁), 𝐶 nuqtadan 𝑂𝐶 ga perpendikular qilib o‘tkazilgan to‘g‘ri chiziq 𝑁𝐾 kesmani 𝐵 
nuqtada kesib o‘tadi. Agar aylananing radiusi 𝑅, ∠𝑀𝐾𝑁 = 𝛼 va 𝑀𝐶 = 𝑏 bo‘lsa, 𝐶𝐵 ni 
toping. 
226. 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸 beshburchak aylanaga ichki chizilgan. 𝐸 nuqtadan 𝐴𝐵, 𝐵𝐶, 𝐶𝐷, 𝐴𝐷 to‘g‘ri 
chiziqlarga tushirilgan perpendikularlarning asoslari mos ravishda 𝑀, 𝑄, 𝑁, 𝑃. Agar 
𝐸𝑃 = 𝑑, 𝑀𝑄𝐸 va 𝑃𝑁𝐸 uchburchaklarning yuzlari nisbati 𝑘 bo‘lsa, 𝐸𝑀 ni toping. 
227. To‘g‘ri burchakli trapetsiyaning asoslariga parallel qilib o‘tkazilgan to‘g‘ri chiziq 
ajratgan trapetsiyalardan har biriga ichki aylana chizish mumkin. Berilgan trapetsiyaning 
yon tomonlari 𝑐 va 𝑑 (𝑑 > 𝑐) bo‘lsa, asoslarini toping. 
228. Teng yonli 𝐾𝐿𝑀𝑁 trapetsiyaning 𝐾𝐿 va 𝑀𝑁 yon tomonlarida 𝑃 va 𝑄 nuqtalar 𝑃𝑄 
kesma asoslarga parallel bo‘ladigan qilib olingan. 𝐾𝑃𝑄𝑁 va 𝑃𝐿𝑀𝑄 trapetsiyalarga ichki 
chizilgan aylanalarning radiuslari mos ravishda 𝑅 va 𝑟 bo‘lsa, 𝐿𝑀 va 𝐾𝑁 ni toping. 
229. 𝐴𝐵𝐶 uchburchak 𝐴 burchagining bissektrisasi 𝐵𝐶 tomonni 𝐷 nuqtada kesib o‘tadi. 
Agar 𝐴𝐵 − 𝐵𝐷 = 𝑎 va 𝐴𝐶 + 𝐶𝐷 = 𝑏 bo‘lsa, 𝐴𝐷 ni toping. 
230. 229- masala natijasidan foydalanib, bissektrisaning kvadrati uni o‘z ichiga olgan 
tomonlar ko‘paytmasidan uchinchi tomonda hosil bo‘lgan kesmalar ko‘paytmasining 
ayrilganiga tengligini isbotlang. 
231. 𝐴𝐵 diametrli aylana berilgan. Markazi 𝐴 nuqtada bo‘lgan ikkinchi aylana birinchi 
aylanani 𝐶 va 𝐷 nuqtalarda, 𝐴𝐵 diametrni 𝐸 nuqtada kesib o‘tadi. 𝐷 nuqtadan o‘tmaydigan 
𝐶𝐸 yoyda 𝐶 va 𝐸 nuqtalardan farqli 𝑀 nuqta olingan. 𝐵𝑀 nur birinchi aylanani 𝑁 nuqtada 
kesib o‘tib, 𝐶𝑁 = 𝑎 va 𝐷𝑁 = 𝑏 bo‘lsa, 𝑀𝑁 ni toping. 
232. 𝐴𝐵𝐶 uchburchakda ∠𝐵 =
𝜋
4
, ∠𝐶 =
𝜋
6
. 𝐵𝑁 va 𝐶𝑁 medianalarni diametr qilib yasalgan 
aylanalar 𝑃 va 𝑄 nuqtalarda kesib o‘tadi. Agar 𝑃𝑄 vatar 𝐵𝐶 tomonni 𝐷 nuqtada kesib o‘tsa, 
𝐵𝐷: 𝐷𝐶 ni toping. 
233. 𝑂 markazli va 𝐴𝐵 = 2𝑅 diametrli aylanada 𝐶 hamda 𝐴𝐶 kesmada 𝑀 nuqta olingan. 𝑀 
nuqtadan 𝐴𝐵 ga 𝑀𝑁 perpendikular tushirilgan va 𝐴𝐶 ga aylanani 𝐿 nuqtada kesib 
o‘tadigan perpendikular o‘tkazilgan (𝐶𝐿 kesma 𝐴𝐵 ni kesib o‘tadi). Agar 𝐴𝑁 = 𝑎 bo‘lsa, 
𝐴𝑂 va 𝐶𝐿 kesmalarning o‘rtalari orasidagi masofani toping. 
234. 𝐴𝐵𝐶 uchburchakka tashqi aylana chizilgan. Aylanaga 𝐵 nuqtada o‘tkazilgan urinma 
𝐴𝐶 to‘g‘ri chiziqni 𝑀 nuqtada kesib o‘tadi. Agar 𝐴𝐵: 𝐵𝐶 = 𝑘 bo‘lsa, 𝐴𝑀: 𝑀𝐶 ni toping. 
235. To‘g‘ri chiziqda ketma-ket 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 nuqtalar olingan bo‘lib, 𝐴𝐶 = 𝛼𝐴𝐵, 𝐴𝐷 = 𝛽𝐴𝐵. 𝐴 
va 𝐵 nuqtalarda o‘tuvchi aylanaga 𝐶𝑀 va 𝐷𝑁 urinmalar o‘tkazilgan (𝑀 va 𝑁 – 𝐴𝐵 dan turli 
tomonda urinish nuqtalari). 𝑀𝑁 to‘g‘ri chiziq 𝐴𝐵 kesmani qanday nisbatda bo‘ladi? 
236. Aylanaga tashqi chizilgan 𝐴𝐵𝐶𝐷 to‘rtburchakda 𝐴 va 𝐶 nuqtalardan urinish 
nuqtalarigacha bo‘lgan masofalar mos ravishda 𝑎 va 𝑏. 𝐵𝐷 diagonal 𝐴𝐶 diagonalni qanday 
nisbatda bo‘ladi? 

---

237. 𝐴𝐵𝐶𝐷 trapetsiyaning 𝐴𝐷 asosida 𝐴𝐾 = 𝜆𝐴𝐷 bo‘ladigan 𝐾 nuqta olingan. 𝐴𝐵 va 𝐶𝐷 
hamda 𝐵𝐾 va 𝐴𝐶 to‘g‘ri chiziqlarning kesishish nuqtalaridan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq 𝐴𝐷 
to‘g‘ri chiziq bilan 𝑀 nuqtada kesishadi. 𝐴𝑀: 𝑀𝐷 ni toping. 
𝜆 =
1
𝑛
(𝑛 = 1, 2, 3, …) deb olib, berilgan kesmaga parallel to‘g‘ri chiziq berilgan bo‘lsa, 
shu kesmani 𝑛 ta teng bo‘lakka bo‘lish usulini aniqlang. 
238. Gipotenuzasi 𝐴𝐵 = 𝑐 bo‘lgan 𝐴𝐵𝐶 to‘g‘ri burchakli uchburchakning 𝐶𝐷 balandligini 
diametr qilib aylana yasalgan. 𝐴 va 𝐵 nuqtalardan bu aylanaga o‘tkazilgan urinmalar 
aylanalarga 𝑀 va 𝑁 nuqtalarda urinib, davomlari 𝐾 nuqtada kesishadi. 𝑀𝐾 ni toping. 
239. 𝐴𝐵𝐶 uchburchakning 𝐴𝐵, 𝐵𝐶, 𝐶𝐴 tomonlarida mos ravishda 𝐶
1
, 𝐴
1
, 𝐵
1
nuqtalar 
𝐴𝐶
1
: 𝐶
1
𝐵 = 𝐵𝐴
1
: 𝐴
1
𝐶 = 𝐶𝐵
1
: 𝐵
1
𝐴 = 𝑘 bo‘ladigan qilib olingan. 𝐴
1
𝐵
1
𝐶
1
uchburchakning 
𝐴
1
𝐵
1
, 𝐵
1
𝐶
1
, 𝐶
1
𝐴
1
tomonlarida mos ravishda 𝐶
2
, 𝐴
2
, 𝐵
2
nuqtalar 𝐴
1
𝐶
2
: 𝐶
2
𝐵
1
= 𝐵
1
𝐴
2
: 𝐴
2
𝐶
1
=
𝐶
1
𝐵
2
: 𝐵
2
𝐴
1
=
1
𝑘
bo‘ladigan qilib olingan. 𝐴𝐵𝐶 va 𝐴
2
𝐵
2
𝐶
2
uchburchaklarning o‘zaro 
o‘xshashligini isbotlang va o‘xshashlik koeffitsiyentini toping. 
240. 𝐴𝐵𝐶 uchburchakka tashqi va ichki chizilgan aylanalarning radiuslari mos ravishda 𝑅 
va 𝑟. 𝐴𝐵𝐶 uchburchak burchaklarining bissektrisalari tashqi chizilgan aylanani 𝐴
1
, 𝐵
1
, 
𝐶
1
nuqtalarda kesib o‘tadi. 𝐴𝐵𝐶 va 𝐴
1
𝐵
1
𝐶
1
uchburchaklarning yuzlari nisbatini toping. 
241. 𝐴𝐵𝐶 uchburchakka ichki va tashqi chizilgan uchburchaklarning tomonlari parallel 
bo‘lib, yuzlari 𝑆
1
va 𝑆
2
. 𝐴𝐵𝐶 uchburchakning yuzini toping. 
242. 𝐴𝐵𝐶 uchburchak balandliklarining kesishish nuqtasi va tashqi chizilgan aylananing 
markazi orqali to‘g‘ri chiziq o‘tkazilgan. Agar 𝐴 burchakning bissektrisasi shu to‘g‘ri 
chiziqqa perpendikular bo‘lsa, ∠𝐴 ni toping. 
243. Uchburchakka tashqi chizilgan aylananing markazi va balandliklarining kesishish 
nuqtasi orasidagi masofa uchburchakning eng katta tomonidan ikki marta qisqa bo‘lib, 
eng kichik tomoniga teng. Uning burchaklarini toping. 
244. 𝐴𝐵𝐶 uchburchak berilgan. 𝐵𝐴 nurda shunday 𝐷 nuqta olinganki, 𝐵𝐷 = 𝐵𝐴 + 𝐴𝐶. 𝐵𝐴 
va 𝐵𝐶 nurlarda mos ravishda 𝐾 va 𝑀 nuqtalar shunday olinganki, 𝐵𝐷𝑀 va 𝐵𝐶𝐾 
uchburchaklar tengdosh bo‘ldi. Agar ∠𝐵𝐴𝐶 = 𝛼 bo‘lsa, ∠𝐵𝐾𝑀 ni toping. 
245. 𝐴𝐵𝐶𝐷 trapetsiyada 𝐴𝐵 yon tomon 𝐴𝐷 va 𝐵𝐶 ga perpendikular bo‘lib, 𝐴𝐵 = 𝐴𝐷 ∙ 𝐵𝐶. 
Trapetsiyaning parallel bo‘lmagan tomonlari 𝐸 nuqtada va diagonallari 𝑂 nuqtada 
kesishib, 𝐴𝐵 tomonning o‘rtasi 𝑀 bo‘lsa, ∠𝐸𝑂𝑀 ni toping. 
246. 𝑂 nuqtada kesishuvchi ikki to‘g‘ri chiziq hamda 𝐴 va 𝐵 nuqtalar berilgan. 𝐴 nuqtadan 
to‘g‘ri chiziqlarga tushirilgan perpendikularlarning asoslari 𝑀 va 𝑁, 𝐵 nuqtadan 
tushirilgan perpendikularlarning asoslari esa 𝐾 va 𝐿 bo‘lsin. Agar ∠𝐴𝑂𝐵 = 𝛼 ≤ 90° bo‘lsa, 
𝑀𝑁 va 𝐾𝐿 to‘g‘ri chiziqlar orasidagi burchakni toping. 
247. Ikki aylana 𝐴 nuqtada ichki urinadi. 𝑂 markazli katta aylananing 𝑂𝐵 radiusi kichik 
aylanaga 𝐶 nuqtada urinadi. ∠𝐵𝐴𝐶 ni toping. 
248. 𝐴𝐵𝐶𝐷 kvadrat ichida shunday 𝑀 nuqta olinganki, ∠𝑀𝐴𝐵 = 60° va ∠𝑀𝐶𝐷 = 15°. 
∠𝑀𝐵𝐶 ni toping. 
249. 𝐴𝐵𝐶 uchburchakda ∠𝐴 = 45° va ∠𝐵 = 15°. 𝐴𝐶 tomonning 𝐶 uchi tomonga davomida 
shunday 𝑀 nuqta olinganki, 𝐶𝑀 = 2𝐴𝐶. ∠𝐴𝑀𝐵 ni toping. 
250. ∠𝐵 = 60° bo‘lgan 𝐴𝐵𝐶 uchburchak 𝐴 burchagining bissektrisasi 𝐵𝐶 tomonni 𝑀 
nuqtada kesib o‘tadi. 𝐴𝐶 tomonda ∠𝐴𝑀𝐾 = 30° bo‘ladigan 𝐾 nuqta olingan. Agar 𝐴𝑀𝐶 
uchburchakka tashqi chizilgan aylananing markazi 𝑂 bo‘lsa, ∠𝑂𝐾𝐶 ni toping. 
251. 𝐴𝐵𝐶 uchburchakda 𝐴𝐵 = 𝐵𝐶, ∠𝐴 = 80°. a) Uchburchakning ichida shunday 𝑀 nuqta 
olinganki, ∠𝑀𝐵𝐶 = 30°, ∠𝑀𝐶𝐵 = 10°. ∠𝐴𝑀𝐶 ni toping. b) Uchburchakdan tashqarida 

---

shunday 𝑃 nuqta olinganki, ∠𝑃𝐵𝐶 = ∠𝑃𝐶𝐴 = 30° va 𝐵𝑃 kesma 𝐴𝐶 tomonni kesib o‘tadi. 
∠𝑃𝐴𝐶 ni toping. 
252. 𝐴𝐵𝐶 uchburchakda ∠𝐵 = 100°, ∠𝐶 = 65°. 𝐴𝐵 va 𝐴𝐶 tomonlarda mos ravishda 𝑀 va 
𝑁 nuqtalar shunday olinganki, ∠𝑀𝐶𝐵 = 55°, ∠𝑁𝐵𝐶 = 80°. ∠𝑁𝑀𝐶 ni toping. 
253. 𝐴𝐵𝐶 uchburchakda 𝐴𝐵 = 𝐵𝐶, ∠𝐵 = 20°. 𝐴𝐵 va 𝐶𝐵 tomonlarda mos ravishda shunday 
𝑀 va 𝑁 nuqtalar olinganki, ∠𝑀𝐶𝐴 = 60°, ∠𝑁𝐴𝐶 = 50°. ∠𝑁𝑀𝐶 ni toping. 
254. 𝐴𝐵𝐶 uchburchakda ∠𝐵 = 70°, ∠𝐶 = 50°. 𝐴𝐵 va 𝐴𝐶 tomonlarda mos ravishda 𝑀 va 𝑁 
nuqtalar shunday olinganki, ∠𝑀𝐶𝐵 = 40°, ∠𝑁𝐵𝐶 = 50°. ∠𝑁𝑀𝐶 ni toping. 
255. 𝐴𝐵𝐶 uchburchakka ichki chizilgan aylana 𝐵𝐶 va 𝐵𝐴 tomonlarga mos ravishda 𝑀 va 𝑁 
nuqtalarda urinadi. 𝐴 burchakning bissektrisasi 𝑀𝑁 to‘g‘ri chiziq bilan 𝐾 nuqtada 
kesishadi. ∠𝐴𝐾𝐶 = 90° ekanligini isbotlang. 
256. 𝐴𝐵𝐶 uchburchakka tashqi chizilgan aylananing 𝐴𝐵 va 𝐴𝐶 yoylarida shunday 𝑃 va 𝑄 
nuqtalar olinganki, 𝑃𝐴
2
= 𝑃𝐵 ∙ 𝑃𝐶 va 𝑄𝐴
2
= 𝑄𝐵 ∙ 𝑄𝐶. Agar 𝐴𝐵𝐶 uchburchakda 
∠𝐵 − ∠𝐶 = 𝛼 bo‘lsa, ∠𝑃𝐴𝐵 − ∠𝑄𝐴𝐶 ni toping. 
257. Aylanada olingan 𝐴 va 𝐵 nuqtalar uchun 𝐴𝐵
= 𝛼. 𝐴 va 𝐵 nuqtalardan aylana 
o‘tkazilgan. 𝐴 nuqtadan o‘tkazilgan 𝑙 to‘g‘ri chiziq dastlabki aylanani 𝐶 nuqtada, ikkinchi 
aylanani esa 𝐷 nuqtada kesib o‘tadi. Aylanalarga 𝐶 va 𝐷 nuqtalarda o‘tkazilgan urinmalar 
𝑀 nuqtada kesishadi. 𝑙 to‘g‘ri chiziqda shunday 𝑁 nuqta olinganki, 𝐶𝑁 = 𝐴𝐷 va 𝐷𝑁 = 𝐶𝐴. 
∠𝐶𝑀𝑁 qanday qiymatlar qabul qila oladi? 
258. Bir burchagi 120° bo‘lgan uchburchak bissektrisalarining asoslarini tutashtirib hosil 
qilingan uchburchak to‘g‘ri burchakli ekanligini isbotlang. 
259. 𝐴𝐵𝐶𝐷 to‘rtburchakda ∠𝐷𝐴𝐵 = 150°, ∠𝐷𝐴𝐶 + ∠𝐴𝐵𝐷 = 120°, ∠𝐷𝐵𝐶 − ∠𝐴𝐵𝐷 = 60°. 
∠𝐵𝐷𝐶 ni toping. 
260. 𝐴𝐵𝐶 uchburchakda 𝐴𝐵 = 1, 𝐴𝐶 = 2. 𝐴 va 𝐶 uchlardagi tashqi burchaklarning 
bissektrisalari (burchakning uchidan qarshi tomon yotgan to‘g‘ri chiziqqacha bo‘lgan 
qismi) teng bo‘lsa, 𝐵𝐶 ni toping. 
261. 𝐴𝐵𝐶 uchburchakning 𝐵𝐶 tomonida 𝐶𝐷 = 𝛼𝐴𝐶 bo‘lgan 𝐷 nuqta olingan. 𝐴𝐵𝐶 
uchburchakka tashqi chizilgan aylananing radiusi 𝑅. 𝐴𝐵𝐶 va 𝐴𝐷𝐵 uchburchaklarga tashqi 
chizilgan aylanalarning markazlari orasidagi masofani toping. 
262. ∠𝐶 = 90° bo‘lgan 𝐴𝐵𝐶 to‘g‘ri burchakli uchburchakka tashqi aylana chizilgan. 𝐶𝐷 – 
uchburchakning balandligi. Markazi 𝐷 nuqtada bo‘lgan aylana 𝐴𝐵 yoyning o‘rtasidan o‘tib, 
𝐴𝐵 tomonni 𝑀 nuqtada kesib o‘tadi. Agar 𝐴𝐵 = 𝑐 bo‘lsa, 𝐶𝑀 ni toping. 
263. 𝐵𝐶 = 𝑎 bo‘lgan 𝐴𝐵𝐶 uchburchakka ichki chizilgan aylanaga 𝐵𝐶 tomonga parallel qilib 
o‘tkazilgan urinmaning uchburchak ichidagi kesmasining uzunligi 𝑏. Uchburchakning 
perimetrini toping. 
264. Uchburchakka ichki chizilgan aylanaga uchburchak tomonlariga parallel qilib 
urinmalar o‘tkazilgan. Urinmalar uchburchakdan kesgan uchburchaklarga tashqi chizilgan 
aylanalarning radiuslari 𝑅
1
, 𝑅
2
, 𝑅
3
. Dastlabki uchburchakka tashqi chizilgan aylananig 
radiusini toping. 
265. 𝑅 radiusli aylananing 𝐴𝐵 va 𝐴𝐶 vatarlari o‘tkazilgan. 𝐴𝐵 kesma yoki uning 𝐵 uchi 
tomonga davomida olingan 𝑀 nuqtadan 𝐴𝐶 to‘g‘ri chiziqqacha bo‘lgan masofa 𝐴𝐶 kesma 
uzunligicha. 𝐴𝐶 kesma yoki uning 𝐶 uchi tomonga davomida olingan 𝑁 nuqtadan 𝐴𝐵 
to‘g‘ri chiziqqacha bo‘lgan masofa 𝐴𝐵 kesma uzunligicha. 𝑀𝑁 ni toping. 
266. 𝑅 radiusli aylananing markazi 𝑂 nuqtada. Unga ichki urinuvchi ikki aylana 𝐴 va 𝐵 
nuqtalarda kesishadi. Agar ∠𝑂𝐴𝐵 = 90° bo‘lsa, shu ikki aylana radiuslarining yig‘indisini 
toping. 

---

267. 𝑅 radiusli aylananing perpendikular vatarlari o‘tkazilgan. a) Vatarlar bo‘laklari 
kvadratlarining yig‘indisini; b) agar aylana markazidan vatarlarning kesishish 
nuqtasigacha bo‘lgan masofa 𝑎 bo‘lsa, vatarlar kvadratlarining yig‘indisini toping. 
268. Radiuslari 𝑟 va 𝑅 bo‘lgan konsentrik aylanalar berilgan. Kichik aylananing 𝑃 
nuqtasidan o‘tkazilgan to‘g‘ri chiziq katta aylanani 𝐵 va 𝐶 nuqtalarda kesib o‘tadi. 𝐵𝐶 ga 𝑃 
nuqtada o‘tkazilgan perpendikular kichik aylanani 𝐴 nuqtada kesib o‘tadi. 𝑃𝐴
2
+ 𝑃𝐵
2
+
𝑃𝐶
2
ni toping. 
269. Yarimdoira diametrining oxirlaridan kesishuvchi vatarlar o‘tkazilgan. Vatarlarning 
diametrga yopishgan bo‘laklarining shu vatar uzunliklariga ko‘paytmalarining yig‘indisi 
diametrning kvadratiga tengligini isbotlang. 
270. Aylanaga ichki chizilgan to‘rtburchakning tomonlari 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 (tomonlar bir 
yo‘nalishda yozilgan). Aylananing markazidan shu tomonlargacha bo‘lgan masofalar mos 
ravishda ℎ
𝑎
, ℎ
𝑏
, ℎ
𝑐
, ℎ
𝑑
. Agar aylananing markazi to‘rtburchak ichida bo‘lsa, 𝑎ℎ
𝑐
+ 𝑐ℎ
𝑎
=
𝑏ℎ
𝑑
+ 𝑑ℎ
𝑏
ekanligini isbotlang.
4
271. Aylanaga ichki chizilgan to‘rtburchakning qarama-qarshi tomonlari 𝑃 va 𝑄 
nuqtalarda kesishadi. Agar 𝑃 va 𝑄 nuqtalardan aylanaga o‘tkazilgan urinmalarning 
uzunliklari 𝑎 va 𝑏 bo‘lsa, 𝑃𝑄 ni toping. 
272. 𝑅 radiusli aylanaga to‘rtburchak ichki chizilgan. To‘rtburchakning diagonallari va 
qarama-qarshi tomonlari mos ravishda 𝑃, 𝑄, 𝑀 nuqtalarda kesishsin. Agar 𝑃, 𝑄, 𝑀 
nuqtalardan aylananing markazigacha bo‘lgan masofalar mos ravishda 𝑎, 𝑏, 𝑐 bo‘lsa, 𝑃𝑄𝑀 
uchburchakning tomonlarini toping. 
273. 𝑟 radiusli aylanaga 𝐴𝐵𝐶𝐷 to‘rtburchak tashqi chizilgan. Aylananing 𝐴𝐵 va 𝐴𝐷 
tomonlarga urinish nuqtalari bu tomonlarni mos ravishda 𝑎 va 𝑏 hamda 𝑎 va 𝑐 
uzunlikdagi kesmalarga ajratadi. 𝑟 qabul qila oladigan qiymatlar oralig‘ini aniqlang. 
274. 𝑟 radiusli aylana 𝑅 radiusli aylanaga 𝐴 nuqtada ichki urinadi. Markazlar chizig‘iga 
perpendikular bo‘lgan to‘g‘ri chiziq aylanalarni 𝐵 va 𝐶 nuqtalarda kesib o‘tadi. 𝐴𝐵𝐶 
uchburchakka tashqi chizilgan aylana radiusini toping. 
275. 𝑅 va 𝑟 radiusli aylanalar 𝐴 nuqtada kesishib, ularning umumiy urinmasi aylanalarga 
𝐵 va 𝐶 nuqtalarda urinadi. 𝐴𝐵𝐶 uchburchakka tashqi chizilgan aylana radiusini toping. 
276. 𝐴𝐵 = 𝑎, 𝐴𝐷 = 𝑏 bo‘lgan 𝐴𝐵𝐶𝐷 to‘rtburchakning 𝐵𝐶, 𝐶𝐷, 𝐴𝐷 tomonlariga urinuvchi 
aylananing markazi 𝐴𝐵 tomonning o‘rtasida bo‘lsa, 𝐵𝐶 ni toping. 
277. Aylanaga ichki chizilgan 𝐴𝐵𝐶𝐷 to‘rtburchakda 𝐴𝐵 = 𝑎, 𝐴𝐷 = 𝑏 (𝑎 > 𝑏). 𝐵𝐶, 𝐶𝐷, 𝐴𝐷 
tomonlariga urinuvchi aylananing markazi 𝐴𝐵 tomonda bo‘lsa, 𝐵𝐶 ni toping. 
278. Qavariq 𝐴𝐵𝐶𝐷 to‘rtburchakda 𝐴𝐵 = 𝐴𝐷. 𝐴𝐵𝐶 uchburchakning ichida shunday 𝑀 
nuqta olinganki, ∠𝑀𝐵𝐴 = ∠𝐴𝐷𝐶, ∠𝑀𝐶𝐴 = ∠𝐴𝐶𝐷. Agar ∠𝐵𝐴𝐶 = 𝛼, ∠𝐴𝐷𝐶 − ∠𝐴𝐶𝐷 = 𝜑 va 
𝐴𝑀 < 𝐴𝐵 bo‘la, ∠𝑀𝐴𝐶 ni toping. 
279. Uchi 𝐴 nuqtada bo‘lgan aylanaga kesishuvchi aylanalar ichki chizilgan. Aylanalarning 
kesishish nuqtalaridan biri 𝐵, aylanalardan birining burchak tomonlariga urinish 
nuqtalarini tutashtiruvchi kesmaning o‘rtasi 𝐶. Agar aylanalarning umumiy vatari ikkinchi 
aylananing markazidan 𝛼 burchak ostida ko‘rinsa, ∠𝐴𝐵𝐶 ni toping. 
280. Teng yonli 𝐴𝐵𝐶 uchburchakda 𝐴𝐶 = 𝐵𝐶, 𝐵𝐷 – bissektrisa, 𝐵𝐷𝐸𝐹 – to‘g‘ri 
to‘rtburchak. Agar ∠𝐵𝐴𝐸 = 120° bo‘lsa, ∠𝐵𝐴𝐹 ni toping. 
281. 𝐴𝐵𝐶 uchburchakka 𝑂 markazli aylana tashqi chizilgan. Aylanaga 𝐶 nuqtada 
o‘tkazilgan urinma 𝐵 burchak bissektrisasi bilan 𝐾 nuqtada kesishadi va 2∠𝐵𝐾𝐶 =
4
Aylana markazi to‘rtburchakdan tashqarida bo‘lgan holni qo‘shmaymizmi? 

---

3∠𝐵𝐴𝐶 − ∠𝐴𝐶𝐵. Agar 𝐴𝐶 + 𝐴𝐵 = 2 + 3, 𝑂 nuqtadan 𝐴𝐶 va 𝐴𝐵 tomonlargacha bo‘lgan 
masofalar yig‘indisi 2 bo‘lsa, aylananing radiusini toping. 
282. Uchburchakning uchlariga qarama-qarshi tomonlarga nisbatan simmetrik bo‘lgan 
nuqtalar tomonlari 8, 8, 14 bo‘lgan uchburchakning uchlari. Agar dastlabki 
uchburchakning tomonlari uzunliklari turlicha ekanligi ma’lum bo‘lsa, ularni toping. 
283. 𝐴𝐵𝐶 uchburchakning 𝐴 va 𝐵 uchlaridan chiqarilgan mediana va balandlik orasidagi 
burchaklar mos ravishda 𝛼 va 𝛽. 𝐶 uchdan chiqarilgan mediana va balandlik orasidagi 
burchakni toping. 
284. Uchburchakka 𝑅 radiusli aylana tashqi chizilgan. Aylana markazidan uchburchakning 
medianalari kesishgan nuqtagacha bo‘lgan masofa 𝑑. Uchburchak uchlaridan chiqarilgan 
medianalarga perpendikular qilib o‘tkazilgan to‘g‘ri chiziqlar kesishib uchburchak hosil 
qiladi. Shu va dastlabki uchburchak yuzlarining ko‘paytmasini toping. 
285. Kesishuvchi to‘g‘ri chiziqlarning birida 𝐴
1
, 𝐴
3
, 𝐴
5
, ikkinchisida esa 𝐴
2
, 𝐴
4
, 𝐴
6
nuqtalar 
olingan. Agar 𝐴
1
𝐴
2
𝐴
3
𝐴
4
𝐴
5
𝐴
6
oltiburchakning tomonlari (kesishuvchi kesmalar bo‘lishi 
ham mumkin) uzunliklari teng bo‘lsa, to‘g‘ri chiziqlar orasidagi burchakni toping. 
286. Markazlari 𝑂
1
va 𝑂
2
bo‘lgan aylanalar markazi 𝑂 nuqtada va radiusi 𝑅 bo‘lgan 
aylanaga ichki urinadi. Ma’lumki, 𝑂
1
𝑂
2
= 𝑎. Dastlabki ikki aylanaga urinuvchi to‘g‘ri chiziq 
𝑂
1
𝑂
2
kesmani kesib o‘tib, ularning umumiy tashqi urinmalari bilan 𝑀 va 𝑁 nuqtalarda, 
katta aylana bilan esa 𝐴 va 𝐵 nuqtalarda kesishadi. Agar a) 𝑂 nuqta 𝑂
1
𝑂
2
kesmada yotsa; 
b) 𝑂
1
va 𝑂
2
markazli aylanalar o‘zaro urinsa, 𝐴𝐵: 𝑀𝑁 ni toping. 
287. 𝐴𝐵𝐶 uchburchakka ichki chizilgan aylana 𝐴𝐶 va 𝐵𝐶 tomonlarga mos ravishda 𝑀 va 𝑁 
nuqtalarda kesib o‘tadi. 𝐴 va 𝐵 burchaklarning bissektrisalari 𝑀𝑁 to‘g‘ri chiziqni mos 
ravishda 𝐾 va 𝐿 nuqtalarda kesib o‘tadi. Tomonlari 𝑀𝐾, 𝑁𝐿, 𝐾𝐿 bo‘lgan uchburchak yasasy 
mumkinligini isbotlang. Agar 𝐴𝐵𝐶 uchburchakning yuzi 𝑆 va ∠𝐶 = 𝛼 bo‘lsa, shu 
uchburchakning yuzini toping. 
288. 𝐴𝐵𝐶𝐷 kvadratning 𝐴𝐵 va 𝐵𝐶 tomonlarida mos ravishda 𝑀 va 𝑁 nuqtalar 
𝐵𝑀 + 𝐵𝑁 = 𝐴𝐵 bo‘ladigan qilib tanlangan. 𝐷𝑀 va 𝐷𝑁 to‘g‘ri chiziqlar 𝐴𝐶 diagonalni 
ajratgan uchta kesmadan bir burchagi 60° bo‘lgan uchburchakyasash mumkinligini 
isbotlang. 
289. 𝐴𝐵𝐶 teng yonli uchburchakda 𝐴𝐵 = 𝐵𝐶, 𝐴𝐷 – bissektrisa. 𝐴𝐷 ga 𝐷 nuqtada 
o‘tkazilgan perpendikular 𝐴𝐶 tomonning davomini 𝐸 nuqtada kesib o‘tadi. 𝐵 va 𝐷 
nuqtalardan 𝐴𝐶 ga tushirilgan perpendikularlarning asoslari mos ravishda 𝑀 va 𝑁 bo‘lib, 
𝐴𝐸 = 𝑎 bo‘lsa, 𝑀𝑁 ni toping. 
290. 𝐴 nuqtadan 𝛼 burchak ostida ikki nur chiqarilgan. Nurlarning birida 𝐵 va 𝐵
1
, 
ikkinchisida esa 𝐶 va 𝐶
1
nuqtalar olingan. Agar 𝐴𝐵 − 𝐴𝐶 = 𝐴𝐵
1
− 𝐴𝐶
1
= 𝑎 bo‘lsa, 𝐴𝐵𝐶 va 
𝐴𝐵
1
𝐶
1
uchburchaklarga tashqi chizilgan aylanalarning umumiy vatari uzunligini toping. 
291. 𝑂 markazli aylana 𝑂𝐶 radiusining o‘rtasi 𝑀. 𝑂𝐶 to‘g‘ri chiziqdan bir tomonda 
aylananing 𝐴 va 𝐵 nuqtalari shunday olinganki, ∠𝐴𝑀𝑂 = ∠𝐵𝑀𝐶. Agar 𝐴𝑀 − 𝐵𝑀 = 𝑎 
bo‘lsa, 𝐴𝐵 ni toping. 
292. To‘g‘ri chiziqda 𝐴, 𝐵, 𝐶 nuqtalar olingan. 𝐴𝐵, 𝐵𝐶, 𝐴𝐶 kesmalarni diametr qilib, to‘g‘ri 
chiziqdan bir tomonda yarimdoiralar o‘tkazilgan. Har uchala doiraga urinuvchi doiraning 
markazi 𝐴𝐶 to‘g‘ri chiziqdan 𝑑 masofada bo‘lsa, uning radiusini toping. 
293. 𝑅 radiusli aylananing 𝐴𝐵 vatari o‘tkazilib, 𝑀 nuqtasi belgilangan. 𝑀𝐴 nurda 𝑀𝑁 = 𝑅 
kesma, 𝑀𝐵 nurda esa uzunligi 𝑀 nuqtadan 𝑀𝐴𝐵 uchburchakning balandliklari kesishgan 
nuqtagacha bo‘lgan masofaga teng 𝑀𝐾 kesma qo‘yilgan. Agar 𝐴𝐵 vatar tortib turgan 
yoylardan biri 2𝛼 bo‘lsa, 𝑁𝐾 ni toping. 

---

294. To‘g‘ri burchakli uchburchakning to‘g‘ri burchagi uchidan chiqarilgan ℎ balandligi 
ajratgan uchburchaklarning har biriga aylana ichki chizilgan. Aylanalarning markazlari 
orqali o‘tgan to‘g‘ri chiziq ajratgan to‘g‘ri burchakli uchburchakning burchaklari va yuzini 
toping. 
295. To‘g‘ri burchakli uchburchakning gipotenuzaga tushiilgan balandligi ℎ. Balandlik 
asosining katetlardagi proyeksiyalari va o‘tkir burchaklarning uchlari bir aylanada 
yotishini isbotlang. Balandlik yotgan to‘g‘ri chiziqdan aylana kesgan vatarning uzunligini 
va bu vatarni gipotenuza ajratgan bo‘laklarning uzunliklarini toping. 
296. 𝑅 radiusli va 𝐴𝐵 diametrli aylanaga 𝐴 nuqtada 𝑙 urinma hamda 𝐵𝐶 vatari o‘tkazilgan. 
𝐶 nuqtadan 𝐴𝐵 ga o‘tkazilgan perpendikularning asosi 𝐷 bo‘lib, 𝐶𝐷 kesmaning 𝐷 uchi 
tomoniga davomida 𝐸𝐷 = 𝐵𝐶 bo‘ladigan 𝐸 nuqta olingan. 𝐸 nuqtadan aylanaga 
o‘tkazilgan urinmalar 𝑙 to‘g‘ri chiziqni 𝐾 va 𝑁 nuqtalarda kesib o‘tadi. 𝐾𝑁 ni toping. 
297. 𝐴𝐵𝐶𝐷 qavariq to‘rtburchakda 𝐴𝐵 = 𝑎, 𝐴𝐷 = 𝑏, 𝐵𝐶 = 𝑝 − 𝑎, 𝐷𝐶 = 𝑝 − 𝑏. 
To‘rtburchakning diagonallari 𝑂 nuqtada kesishadi va ∠𝐵𝐴𝐶 = 𝛼 deylik. 𝛼 → 0 da 𝐴𝑂 
kesma uzunligi qanday qiymatga intiladi? 

---

II. Planimetriyaning tanlangan masalalari va teoremalari 
1- §. Karno teoremasi 
1. 𝐴 va 𝐵 nuqtalar berilgan. 𝐴𝑀
2
− 𝑀𝐵
2
= 𝑘 (𝑘 – berilgan son) tenglikni 
qanoatlantiruvchi 𝑀 nuqtalarning geometrik o‘rni 𝐴𝐵 to‘g‘ri chiziqqa perpendikular to‘g‘ri 
chiziq ekanligini isbotlang. 
2. Biror 𝑀 nuqtadan 𝐴𝐵𝐶 uchburchakning 𝐴, 𝐵, 𝐶 uchlarigacha bo‘lgan masofalar mos 
ravishda 𝑎, 𝑏, 𝑐 bo‘lsin. Hech bir 𝑑 ≠ 0 son uchun tekislikning boshqa biror nuqtasidan 
uchburchakning uchlarigacha bo‘lgan masofalar shu tartibda 𝑎
2
+ 𝑑, 𝑏
2
+ 𝑑, 𝑐
2
+ 𝑑 
sonlar bilan ifodalanmasligini isbotlang. 
3. (Karno teoremasi) 𝐴𝐵𝐶 uchburchakning 𝐵𝐶, 𝐶𝐴, 𝐴𝐵 tomonlariga mos ravishda 𝐴
1
, 𝐵
1
, 
𝐶
1
nuqtalarida o‘tkazilgan perpendikularlar bir nuqtada kesishishi uchun 𝐴
1
𝐵
2
− 𝐵𝐶
1
2
+
𝐶
1
𝐴
2
− 𝐴𝐵
1
2
+ 𝐵
1
𝐶
2
− 𝐶𝐴
1
2
= 0 bo‘lishi zarur va yetarli. 
4. Agar 𝐵𝐶, 𝐶𝐴, 𝐴𝐵 to‘g‘ri chiziqlarga mos ravishda 𝐴
1
, 𝐵
1
, 𝐶
1
nuqtalardan o‘tkazilgan 
perpendikularlar bir nuqtada kesishsa, 𝐵
1
𝐶
1
, 𝐶
1
𝐴
1
, 𝐴
1
𝐵
1
to‘g‘ri chiziqlarga mos ravishda 𝐴, 
𝐵, 𝐶 nuqtalardan o‘tkazilgan perpendikularlar ham bir nuqtada kesishishini isbotlang. 
5. 𝐴𝐵𝐶𝐷 to‘rtburchakda 𝐵𝐶𝐷, 𝐴𝐶𝐷, 𝐴𝐵𝐷 uchburchaklarning balandliklari kesishish 
nuqtalari mos ravishda 𝐴
1
, 𝐵
1
, 𝐶
1
bo‘lsin. 𝐴, 𝐵, 𝐶 nuqtalardan mos ravishda 𝐵
1
𝐶
1
, 𝐶
1
𝐴
1
, 
𝐴
1
𝐵
1
to‘g‘ri chiziqlarga o‘tkazilgan perpendikularlar bir nuqtada kesishishini isbotlang. 
6. 𝐴 va 𝐵 nuqtalar berilgan. Berilgan 𝑘, 𝑙 (𝑘 + 𝑙 ≠ 0), 𝑑 sonlarda 𝑘𝐴𝑀
2
+ 𝑙𝐵𝑀
2
= 𝑑 
bo‘ladigan 𝑀 nuqtalarning geometrik o‘rni markazi 𝐴𝐵 to‘g‘ri chiziqda bo‘lgan aylana yoki 
nuqta yoki bo‘sh to‘plam bo‘lishini isbotlang. 
7. 𝐴
1
, 𝐴
2
, …, 𝐴
𝑛
nuqtalar belgilangan va 𝑘
1
, 𝑘
2
, …, 𝑘
𝑛
sonlar berilgan bo‘lsin. 𝑘
1
𝐴
1
𝑀
2
+
𝑘
2
𝐴
2
𝑀
2
+ ⋯ + 𝑘
𝑛
𝐴
𝑛
𝑀
2
yig‘indi o‘zgarmas bo‘ladigan 𝑀 nuqtalarning geometrik o‘rni a) 
agar 𝑘
1
+ 𝑘
2
+ ⋯ + 𝑘
𝑛
≠ 0 bo‘lsa, qylana yoki nuqta yoki bo‘sh to‘plam; b) agar 
𝑘
1
+ 𝑘
2
+ ⋯ + 𝑘
𝑛
= 0 bo‘lsa, to‘g‘ri chiziq yoki bo‘sh to‘plam yoki butun tekislikdan iborat 
bo‘lishini isbotlang. 
8. Aylana va undan tashqarida 𝐴 nuqta berilgan. 𝐴 nuqtadan o‘tuvchi aylana birinchi 
aylanaga 𝐵 nuqtada urinsin. 𝐴 va 𝐵 nuqtalardan birinchi aylanaga o‘tkazilgan urinmalar 𝑀 
nuqtada kesishsin. 𝑀 nuqtalarning geometrik o‘rnini aniqlang. 
9. 𝐴 va 𝐵 nuqtalar berilgan. 𝐴𝑀: 𝑀𝐵 = 𝑘 ≠ 1 bo‘ladigan 𝑀 nuqtalarning geometrik o‘rnini 
aniqlang. 
10. To‘g‘ri chiziqda ketma-ket 𝐴, 𝐵, 𝐶 nuqtalar olingan. Markazi 𝐵 nuqtada bo‘lgan 
aylanaga 𝐴 va 𝐶 nuqtalarda o‘tkazilgan urinmalar 𝑀 nuqtada kesishsin. 𝐴𝑀 va 𝐶𝑀 
urinmalarning kesishish nuqtasi mos ravishda 𝐴𝑀 va 𝐶𝑀 kesmalarda yotadigan 𝑀 
nuqtalarning geometrik o‘rnini toping. 
11. Ikkita aylana berilgan. 𝑀 nuqtadan aylanalarga o‘tkazilgan urinmalarning nisbati 
berilgan 𝑘 songa teng bo‘ladigan 𝑀 nuqtalarning geometrik o‘rnini toping. 
12. To‘g‘ri chiziq aylanalardan birini 𝐴 va 𝐵 nuqtalarda, ikkinchisini 𝐶 va 𝐷 nuqtalarda 
kesib o‘tsin. 𝐴 va 𝐵 nuqtalarda birinchi aylanaga hamda 𝐶 va 𝐷 nuqtalarda ikkinchi 
aylanaga o‘tkazilgan urinmalarning to‘rtta kesishish nuqtalari (turli aylanalarga 
o‘tkazilgan urinmalarning kesishish nuqtalari qaraladi) markazi aylanalarning markazlar 
chizig‘ida bo‘lgan aylanada yotishini isbotlang. 
13. Har biri uchburchakning bir tomoniga va qolgan tomonlarning davomlariga 
urinadigan uchta aylanani qaraymiz. Aylanalarning uchburchak tomonlariga urinish 
nuqtalarida shu tomonlarga o‘tkazilgan perpendikularlarning bir nuqtada kesishishini 
isbotlang. 

---

14. 𝐴𝐵𝐶 uchburchak berilgan. 𝐴𝑀
1
: 𝐵𝑀
1
: 𝐶𝑀
1
= 𝐴𝑀
2
: 𝐵𝑀
2
: 𝐶𝑀
2
bo‘ladigan barcha 𝑀
1
va 
𝑀
2
nuqtalarning juftliklarini qaraymiz. 𝑀
1
𝑀
2
to‘g‘ri chiziqlarning barchasi tekislikning 
aniq bir nuqtasidan o‘tishini isbotlang. 
15. 𝑀 va 𝑀
1
nuqtalardan uchburchakning 𝐴, 𝐵, 𝐶 uchlarigacha bo‘lgan masofalar mos 
ravishda 1, 2, 3 va 3, 15, 5. 𝑀𝑀
1
to‘g‘ri chiziq 𝐴𝐵𝐶 uchburchakka tashqi chizilgan 
aylanada yotishini isbotlang. 
16. 𝐴
1
, 𝐵
1
, 𝐶
1
– 𝐴𝐵𝐶 uchburchakning mos ravishda 𝐴, 𝐵, 𝐶 uchlaridan 𝑙 to‘g‘ri chiziqqa 
tushirilgan perpendikularlarning asoslari bo‘lsin. 𝐴
1
, 𝐵
1
, 𝐶
1
nuqtalardan mos ravishda 𝐵𝐶, 
𝐶𝐴, 𝐴𝐵 to‘g‘ri chiziqlarga tushirilgan perpendikularlar bir nuqtada kesishishini isbotlang. 
17. 𝐴𝐵𝐶 muntazam uchburchak va 𝐷 nuqta berilgan. 𝐴
1
, 𝐵
1
, 𝐶
1
– mos ravishda 𝐵𝐶𝐷, 𝐶𝐴𝐷, 
𝐴𝐵𝐷 uchburchaklarga ichki chizilgan aylanalarning markazlari. 𝐴, 𝐵, 𝐶 nuqtalardan mos 
ravishda 𝐵
1
𝐶
1
, 𝐶
1
𝐴
1
, 𝐴
1
𝐵
1
to‘g‘ri chiziqlarga o‘tkazilgan perpendikularlar bir nuqtada 
kesishishini isbotlang. 
18. Juft-juft kesishuvchi uchta aylananing umumiy vatarlari bir nuqtada kesishishini 
isbotlang. 
19. 𝐴𝐵 va 𝐴𝐶 to‘g‘ri chiziqlarda mos ravishda 𝑀 va 𝑁 nuqtalar olingan. Diametrlari 𝐶𝑀 va 
𝐵𝑁 bo‘lgan aylanalarning umumiy vatari 𝐴𝐵𝐶 uchburchakning balandliklari kesishgan 
nuqtadan o‘tishini isbotlang. 
20. Tekislikda aylana va 𝑁 nuqta berilgan. Aylananing 𝐴𝐵 vatari o‘tkazilgan bo‘lsin. 𝐴𝐵 
to‘g‘ri chiziq va 𝐴𝐵𝑁 uchburchakka tashqi chizilgan aylanaga 𝑁 nuqtada o‘tkazilgan 
urinma 𝑀 nuqtada kesishsin. 𝑀 nuqtalarning geometrik o‘rnini toping. 
21. Aylananing ichida 𝐴 nuqta olingan. 𝐴 nuqtadan o‘tuvchi vatarlarning oxirlarida 
aylanaga o‘tkazilgan urinmalar kesishish nuqtalarining geometrik o‘rnini toping. 
22. 𝛼, 𝛽, 𝛾, 𝑘 sonlar berilgan. Uchburchakning ichida olingan 𝑀 nuqtadan uchburchakning 
tomonlarigacha bo‘lgan masofalar mos ravishda 𝑥, 𝑦, 𝑧. 𝛼𝑥 + 𝛽𝑦 + 𝛾𝑧 = 𝑘 bo‘ladigan 𝑀 
nuqtalarning geometrik o‘rni bo‘sh tolam yoki kesma yoki uchburchakning barcha 
nuqtalari bilan ustma-ust tushishini isbotlang. 
23. Uchburchakning ichida olingan shunday 𝑀 nuqtalarning geometrik o‘rnini topingki, 𝑀 
nuqtadan uchburchak tomonlarigacha bo‘lgan masofalar biror uchburchakning tomonlari 
bo‘lsin. 
24. 𝐴𝐵𝐶 uchburchakda 𝐴
1
, 𝐵
1
, 𝐶
1
– mos ravishda 𝐵𝐶, 𝐶𝐴, 𝐴𝐵 tomonlarning o‘rtalari. Biror 
𝑀 nuqtadan 𝐵𝐶, 𝐶𝐴, 𝐴𝐵 tomonlarga tushirilgan perpendikularlarda mos ravishda 𝐴
2
, 𝐵
2
, 
𝐶
2
nuqtalar olingan. 𝐴
1
, 𝐵
1
, 𝐶
1
nuqtalardan mos ravishda 𝐵
2
𝐶
2
, 𝐶
2
𝐴
2
, 𝐴
2
𝐵
2
to‘g‘ri 
chiziqlarga o‘tkazilgan perpendikularlar bir nuqtada kesishishini isbotlang. 
25. 𝑙 to‘g‘ri chiziq va unga perpendikular 𝑙
1
, 𝑙
2
, 𝑙
3
to‘g‘ri chiziqlar berilgan. 𝑙 to‘g‘ri chiziqda 
𝐴, 𝐵, 𝐶 nuqtalar va 𝑙
1
, 𝑙
2
, 𝑙
3
to‘g‘ri chiziqlarda mos ravishda 𝐴
1
, 𝐵
1
, 𝐶
1
nuqtalar belgilangan. 
Agar 𝐴
1
, 𝐵
1
, 𝐶
1
nuqtalarning qandaydir joylashishida 𝐴, 𝐵, 𝐶 nuqtalardan mos ravishda 
𝐵
1
𝐶
1
, 𝐶
1
𝐴
1
, 𝐴
1
𝐵
1
to‘g‘ri chiziqlarga o‘tkazilgan perpendikularlar bir nuqtada kesishsa, bu 
to‘g‘ri chiziqlar har doim bir nuqtada kesishishini isbotlang. 
26. 𝐴𝐵𝐶 uchburchakning 𝐴𝐴
1
, 𝐵𝐵
1
, 𝐶𝐶
1
balandliklari o‘tkazilgan. 𝐴
2
, 𝐵
2
, 𝐶
2
– 𝐴, 𝐵, 𝐶 
nuqtalarning mos ravishda 𝐵
1
𝐶
1
, 𝐶
1
𝐴
1
, 𝐴
1
𝐵
1
to‘g‘ri chiziqlardagi proyeksiyalari. 𝐴
2
, 𝐵
2
, 𝐶
2
nuqtalardan mos ravishda 𝐵𝐶, 𝐶𝐴, 𝐴𝐵 to‘g‘ri chiziqlarga o‘tkazilgan perpendikularlar bir 
nuqtada kesishishini isbotlang. 
2- §. Cheva va Menelay teoremalari. Affin masalalar 
27. Uchburchak medianalaridan tuzilgan uchburchakning yuzi dastlabki uchburchak 
yuzining 
3
4
qismicha ekanligini isbotlang. 

---

28. 𝐴𝐵𝐶𝐷 parallelogramda 𝐵𝐶 tomonga parallel to‘g‘ri chiziq 𝐴𝐵 va 𝐶𝐷 tomonlarni mos 
ravishda 𝐸 va 𝐹 nuqtalarda, 𝐴𝐵 tomonga parallel to‘g‘ri chiziq 𝐵𝐶 va 𝐷𝐴 tomonlarni mos 
ravishda 𝐺 va 𝐻 nuqtalarda kesib o‘tadi. 𝐸𝐻, 𝐺𝐹, 𝐵𝐷 to‘g‘ri chiziqlar bir nuqtada 
kesishishini yoki parallel ekanligini isbotlang. 
29. 𝑙 to‘g‘ri chiziqda 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 nuqtalar belgilangan. 𝐴 va 𝐵 hamda 𝐶 va 𝐷 nuqtalardan 
turli o‘zaro parallel to‘g‘ri chiziqlar o‘tkazilgan. bu to‘g‘ri chiziqlar kesishib hosil qilgan 
parallelogramning diagonallari 𝑙 to‘g‘ri chiziqni belgilangan nuqtalarda kesib o‘tishini 
isbotlang. 
30. 𝐴𝐵𝐶𝐷 to‘rtburchakning 𝐴𝐶 va 𝐵𝐷 diagonallari 𝑂 nuqtada kesishadi. 𝐴𝐶 va 𝐵𝐷 
tomonlarda mos ravishda 𝑀 va 𝑁 nuqtalar 𝐴𝑀 = 𝑂𝐶 va 𝐵𝑁 = 𝑂𝐷 bo‘ladigan qilib olingan. 
𝐾 va 𝐿 nuqtalar mos ravishda 𝐴𝐶 va 𝐵𝐷 tomonlarning o‘rtalari. 𝑀𝐿, 𝑁𝐾 to‘g‘ri chiziqlar 
hamda 𝐴𝐵𝐶 va 𝐴𝐵𝐷 uchburchaklarning medianalari kesishish nuqtasidan o‘tadigan to‘g‘ri 
chiziq bir nuqtada kesishishini isbotlang. 
31. 𝐴𝐵𝐶 uchburchakning 𝐵𝐶 tomonida 𝐵𝐶 tomonning o‘rtasiga nisbatan simmetrik 
bo‘lgan 𝐴
1
va 𝐴
2
nuqtalar olingan. Xuddi shu tartibda 𝐴𝐶 tomonda 𝐵
1
va 𝐵
2
hamda 𝐴𝐵 
tomonda 𝐶
1
va 𝐶
2
nuqtalar olingan. 𝐴
1
𝐵
1
𝐶
1
va 𝐴
2
𝐵
2
𝐶
2
uchburchaklarning tengdoshligini 
hamda 𝐴
1
𝐵
1
𝐶
1
, 𝐴
2
𝐵
2
𝐶
2
, 𝐴𝐵𝐶 uchburchaklarning og‘irlik markazlari bir to‘g‘ri chiziqda 
yotishini isbotlang. 
32. 𝐴𝐵𝐶 uchburchak medianalarining 𝑀 kesishish nuqtasidan o‘tkazilgan to‘g‘ri chiziq 𝐴𝐵 
va 𝐴𝐶 tomonlarni mos ravishda 𝐾 va 𝐿 nuqtalarda, 𝐵𝐶 tomonning 𝐶 uchi tomonga 
davomini 𝑃 nuqtada kesib o‘tadi. 
1
𝑀𝐾
=
1
𝑀𝐿
+
1
𝑀𝑃
ekanligini isbotlang. 
33. 𝐴𝐵𝐶𝐷 to‘rtburchak diagonallarining kesishish nuqtasidan o‘tkazilgan to‘g‘ri chiziq 𝐴𝐵 
va 𝐶𝐷 tomonlarni mos ravishda 𝑀 va 𝑁 nuqtalarda kesib o‘tadi. 𝑀 va 𝑁 nuqtalardan mos 
ravishda 𝐶𝐷 va 𝐴𝐵 tomonlarga parallel qilib o‘tkazilgan to‘g‘ri chiziqlar 𝐴𝐶 va 𝐵𝐷 
tomonlarni mos ravishda 𝐸 va 𝐹 nuqtalarda kesib o‘tadi. 𝐵𝐸 ∥ 𝐶𝐹 ekanligini isbotlang. 
34. 𝐴𝐵𝐶𝐷 to‘rtburchak berilgan. 𝐴𝐶 va 𝐵𝐷 to‘g‘ri chiziqlarda mos ravishda 𝐾 va 𝑀 
nuqtalar 𝐵𝐾 ∥ 𝐴𝐷 va 𝐴𝑀 ∥ 𝐵𝐶 bo‘ladigan qilib olingan. 𝐾𝑀 ∥ 𝐶𝐷 ekanligini isbotlang. 
35. 𝐴𝐵𝐶 uchburchakning 𝐴𝐶 tomonida biror 𝐸 nuqta olingan. 𝐵 uchdan istalgandek 𝑙 
to‘g‘ri chiziq o‘tkazilgan. 𝐸 nuqtadan 𝐵𝐶 va 𝐴𝐵 ga parallel qilib o‘tkazilgan to‘g‘ri chiziqlar 
𝑙 to‘g‘ri chiziqni mos ravishda 𝑁 va 𝑀 nuqtalarda kesib o‘tadi. 𝐴𝑁 ∥ 𝐶𝑀 ekanligini 
isbotlang. 
36. Qavariq to‘rtburchakning har bir tomoni 2𝑛 + 1 ta teng bo‘laklarga bo‘lingan. Qarama-
qarshi tomonlarning mos bo‘linish nuqtalari tutashtirilgan. Markaziy to‘rtburchakning 
yuzi berilgan to‘rtburchak yuzining 
1
(2𝑛+1)
2
qismicha ekanligini isbotlang. 
37. 𝐴𝐵𝐶𝐷 to‘rtburchak 𝐴𝐶 va 𝐵𝐷 diagonallarining o‘rtalaridan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq 𝐴𝐵 va 
𝐷𝐶 tomonlarni mos ravishda 𝑀 va 𝑁 nuqtalarda kesib o‘tadi. 𝐷𝐶𝑀 va 𝐴𝐵𝑁 
uchburchaklarning tengdosh ekanligini isbotlang. 
38. 𝐴𝐵𝐶𝐷 parallelogramning 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 uchlari mos ravishda 𝐶𝐷, 𝐷𝐴, 𝐴𝐵, 𝐵𝐶 tomonlarning 
o‘rtalari bilan tutashtirilgan. Bu to‘g‘ri chiziqlar hosil qilgan to‘rtburchakning yuzi 
parallelogramm yuzining 
1
5
qismicha ekanligini isbotlang. 
39. Parallelogramning uchlarini qarama-qarshi tomonlarning o‘rtalari bilan tutashtiruvchi 
to‘g‘ri chiziqlar kesishishidan hosil bo‘lgan sakkizburchakning yuzi parallelogramm 
yuzining 
1
6
qismicha ekanligini isbotlang. 
40. 𝐴𝐵𝐶 uchburchaknign 𝐴𝐶 va 𝐵𝐶 tomonlariga tashqi tomondan 𝐴𝐶𝐷𝐸 va 𝐵𝐶𝐹𝐺 
parallelogramlar yasalgan. 𝐷𝐸 va 𝐹𝐷 kesmalarning davomlari 𝐻 nuqtada kesishadi. 𝐴𝐵 

---

tomonda yasalgan 𝐴𝐵𝑀𝐿 parallelogramning 𝐴𝐿 va 𝐵𝑀 tomonlari o‘zaro teng va 𝐻𝐶 to‘g‘ri 
chiziqqa parallel. 𝐴𝐵𝑀𝐿 parallelogramning yuzi 𝐴𝐶 va 𝐵𝐶 tomonlarga yasalgan 
parallelogramlar yuzlarining yig‘indisicha ekanligini isbotlang. 
41. Trapetsiya kichik asosining uchlaridan o‘tkazilgan parallel to‘g‘ri chiziqlar katta asosni 
kesib o‘tadi. Trapetsiyaning diagonallari va shu ikki to‘g‘ri chiziq trapetsiyani yettita 
uchburchak va bir beshburchakka ajratadi. Trapetsiyaning yon tomonlariga va kichik 
asosiga yopishgan uchta uchburchak yuzlarining yig‘indisi beshburchak yuzicha ekanligini 
isbotlang. 
42. 𝐴𝐵𝐶𝐷 – parallelogramm. 𝐴𝐵 va 𝐴𝐷 to‘g‘ri chiziqlarda mos ravishda 𝐸 va 𝐹 nuqtalar 
olingan (𝐵 nuqta 𝐴𝐸 kesmada, 𝐷 nuqta esa 𝐴𝐹 kesmada). Agar 𝐸𝐷 va 𝐹𝐵 to‘g‘ri chiziqlar 
𝐾 nuqtada kesishsa, 𝐴𝐵𝐾𝐷 va 𝐶𝐸𝐾𝐹 to‘rtburchaklarning tengdoshligini isbotlang. 
43. 𝐴𝐵𝐶 uchburchak berilgan va 𝐵𝐶, 𝐶𝐴, 𝐴𝐵 to‘g‘ri chiziqlarda mos ravishda 𝐴
1
, 𝐵
1
, 𝐶
1
nuqtalar olingan bo‘lsin. Ushbu 𝑅 =
𝐴𝐶
1
𝐶
1
𝐵
∙
𝐵𝐴
1
𝐴
1
𝐶
∙
𝐶𝐵
1
𝐵
1
𝐴
va 𝑅
∗
=
sin (∠𝐴𝐶𝐶
1
)
sin (∠𝐶
1
𝐶𝐵)
∙
sin (∠𝐵𝐴𝐴
1
)
sin (∠𝐴
1
𝐴𝐶)
∙
sin (∠𝐶𝐵𝐵
2
)
sin (∠𝐵
1
𝐵𝐴)
sonlar uchun 𝑅 = 𝑅
∗
tenglikni isbotlang. 
44. (Cheva teoremasi) 𝐴𝐴
1
, 𝐵𝐵
1
, 𝐶𝐶
1
to‘g‘ri chiziqlar bir nuqtada kesishishi (yoki o‘zaro 
parallel bo‘lishi) uchun 
𝐴𝐶
1
𝐶
1
𝐵
∙
𝐵𝐴
1
𝐴
1
𝐶
∙
𝐶𝐵
1
𝐵
1
𝐴
= 1 bo‘lishi zarur va yetarli ekanligini hamda bunda 
𝐴
1
, 𝐵
1
, 𝐶
1
nuqtalardan toq sondagilari (bittasi yoki hammasi) 𝐴𝐵𝐶 uchburchakning 
tomonlarida – tomonlarining davomlarida emas – yotishi kerak ekanligini isbotlang. 
45. (Menelay teoremasi) 𝐴
1
, 𝐵
1
, 𝐶
1
nuqtalar bir to‘g‘ri chiziqda yotishi uchun 
𝐴𝐶
1
𝐶
1
𝐵
∙
𝐵𝐴
1
𝐴
1
𝐶
∙
𝐶𝐵
1
𝐵
1
𝐴
= 1 bo‘lishi zarur va yetarli ekanligini hamda bunda 𝐴
1
, 𝐵
1
, 𝐶
1
nuqtalardan juft 
sondagilari (hech qaysisi yoki ikkitasi) 𝐴𝐵𝐶 uchburchakning tomonlarida – tomonlarining 
davomlarida emas – yotishi kerak ekanligini isbotlang. 
Izoh. 
𝐴𝐶
1
𝐶
1
𝐵
ko‘rinishdagi nisbatlar o‘rniga yo‘nalishli kesmalar nisbatini ham olish 
mumkin. Bunda 
𝐴𝐶
1
𝐶
1
𝐵
nisbat (faqat bir to‘g‘ri chiziqda yotuvchi 𝐴, 𝐶
1
, 𝐵 nuqtalar uchun 
ma’noga ega) 𝐴𝐶
1
va 𝐶
1
𝐵
vektorlar yo‘nalishdosh bo‘lsa, musbat; turlicha yo‘nalgan bo‘lsa, 
manfiy qiymat qabul qiladi. Tushunarliki, 𝐶
1
nuqta 𝐴𝐵 kesmada yotsa 
𝐴𝐶
1
𝐶
1
𝐵
> 0 va 𝐶
1
nuqta 
𝐴𝐵 kesmadan tashqarida bo‘lsa, 
𝐴𝐶
1
𝐶
1
𝐵
< 0. Endi 43- masaladagi 𝑅 sonning o‘rniga 
𝑅 =
𝐴𝐶
1
𝐶
1
𝐵
∙
𝐵𝐴
1
𝐴
1
𝐶
∙
𝐶𝐵
1
𝐵
1
𝐴
sonni olish mumkin. 
Yo‘nalgan burchaklarni kiritaylik. Bunda ∢𝐴𝐶𝐶
1
ko‘rinishdagi yozuvlar bilan 𝐶𝐴 
nurning 𝐶𝐶
1
nur bilan mos tushishi uchun 𝐶 nuqta atrofida soat mili yo‘nalishiga qarama-
qarshi yo‘nalishda burilishi kerak bo‘lgan burchakni belgilaymiz. Endi 43- masaladagi 𝑅
∗
sonning o‘rniga 𝑅 
∗
=
sin (∢𝐴𝐶𝐶
1
)
sin (∢𝐶
1
𝐶𝐵)
∙
sin (∢𝐵𝐴𝐴
1
)
sin (∢𝐴
1
𝐴𝐶)
∙
sin (∢𝐶𝐵𝐵
2
)
sin (∢𝐵
1
𝐵𝐴)
sonni olish mumkin. 
Endi esa, II.43-II.45- masalalarni qaytadan qo‘yamiz. 
43*. 𝑅 = 𝑅 
∗
tenglikni isbotlang. 
44*. (Cheva teoremasi) 𝐴𝐴
1
, 𝐵𝐵
1
, 𝐶𝐶
1
to‘g‘ri chiziqlar bir nuqtada kesishishi uchun 𝑅 = 1 
bo‘lishi zarur va yetarli ekanligini isbotlang. 
45*. (Menelay teoremasi) 𝐴
1
, 𝐵
1
, 𝐶
1
nuqtalar bir to‘g‘ri chiziqda yotishi uchun 𝑅 = − 1 
bo‘lishi zarur va yetarli ekanligini isbotlang. 

---

46. Uchburchakning uchlaridan o‘tadigan to‘g‘ri chiziqlar bir nuqtada kesishsa, bu to‘g‘ri 
chiziqlarga shu uchlardan chiqarilgan bissektrisalarga nisbatan simmetrik bo‘lgan to‘g‘ri 
chiziqlar ham bir nuqtada kesishishini isbotlang. 
47. 𝐴𝐵𝐶 uchburchak ichki va tashqi burchaklarining bissektrisalariga tekislikning biror 𝑂 
nuqtasidan tushirilgan perpendikularlarning asoslari 𝑀 va 𝑁 bo‘lsin. Xuddi shu tarzda 𝐵 
uchdagi burchaklar uchun 𝑃 va 𝑄 hamda 𝐶 uchdagi burchaklar uchun 𝑅 va 𝑇 nuqtalar 
aniqlangan bo‘lsin. 𝑀𝑁, 𝑃𝑄, 𝑅𝑇 to‘g‘ri chiziqlar bir nuqtada kesishishi yoki o‘zaro parallel 
ekanligini isbotlang. 
48. (Xirano masalasi) 𝐴𝐵𝐶 uchburchakka ichki chizilgan 𝑂 markazli aylana 
uchburchakning 𝐵𝐶, 𝐶𝐴, 𝐴𝐵 tomonlariga mos ravishda 𝐴
0
, 𝐵
0
, 𝐶
0
nuqtalarda urinsin. 𝑂𝐴
0
, 
𝑂𝐵
0
, 𝑂𝐶
0
nurlarda 𝑂 nuqtadan baravar uzoqlikda mos ravishda 𝐿, 𝑀, 𝐾 nuqtalar olingan. 
a) 𝐴𝐿, 𝐵𝑀, 𝐶𝐾 to‘g‘ri chiziqlar bir nuqtada kesishishini isbotlang. b) 𝑂 nuqtadan o‘tuvchi 𝑙 
to‘g‘ri chiziqqa 𝐴, 𝐵, 𝐶 nuqtalarning proyeksiyalari mos ravishda 𝐴
1
, 𝐵
1
, 𝐶
1
bo‘lsin. 𝐴
1
𝐿, 
𝐵
1
𝑀, 𝐶
1
𝐾 to‘g‘ri chiziqlar bir nuqtada kesishishini isbotlang. 
49. Aylanaga ichki chizilgan 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 oltiburchakning 𝐴𝐷, 𝐵𝐸, 𝐶𝐹 diagonallari bir nuqtada 
kesishishi uchun 𝐴𝐵 ∙ 𝐶𝐷 ∙ 𝐸𝐹 = 𝐵𝐶 ∙ 𝐷𝐸 ∙ 𝐹𝐴 tenglikning bajarilishi zarur va yetarli 
ekanligini isbotlang. 
50. a) Uchburchak tashqi burchaklarining bissektrisalari qarshisidagi tomonni kesgan uch 
nuqta bir to‘g‘ri chiziqda yotishini isbotlang. b) Uchburchakka tashqi chizilgan aylanaga 
uchburchakning uchlarida o‘tkazilgan urinmalar shu uch qarshisidagi tomonlarni kesib 
o‘tgan nuqtalar bir to‘g‘ri chiziqda yotishini isbotlang. 
51. Aylana 𝐴𝐵𝐶 uchburchakning 𝐴𝐵, 𝐵𝐶, 𝐶𝐴 tomonlarini mos ravishda 𝐶
1
va 𝐶
2
, 𝐴
1
va 𝐴
2
, 
𝐵
1
va 𝐵
2
nuqtalarda kesib o‘tadi. Agar 𝐴𝐴
1
, 𝐵𝐵
1
, 𝐶𝐶
1
to‘g‘ri chiziqlar bir nuqtada kesishsa, 
𝐴𝐴
2
, 𝐵𝐵
2
, 𝐶𝐶
2
to‘g‘ri chiziqlar ham bir nuqtada kesishishini isbotlang. 
52. 𝐴𝐵𝐶 uchburchakning 𝐴𝐵, 𝐵𝐶, 𝐶𝐴 tomonlarida mos ravishda 𝐶
1
, 𝐴
1
, 𝐵
1
nuqtalar 
olingan. 𝐴𝐵 va 𝐴
1
𝐵
1
, 𝐵𝐶 va 𝐵
1
𝐶
1
, 𝐶𝐴 va 𝐶
1
𝐴
1
to‘g‘ri chiziqlar mos ravishda 𝐶
2
, 𝐴
2
, 𝐵
2
nuqtalarda kesishsin. Agar 𝐴𝐴
1
, 𝐵𝐵
1
, 𝐶𝐶
1
to‘g‘ri chiziqlar bir nuqtada kesishsa, 𝐴
2
, 𝐵
2
, 𝐶
2
nuqtalar bir to‘g‘ri chiziqda yotishini isbotlang. 
53. (Gauss to‘g‘ri chizig‘i) To‘g‘ri chiziq 𝐴𝐵𝐶 uchburchakning 𝐴𝐵, 𝐵𝐶 tomonlari va 𝐴𝐶 
tomonining davomini mos ravishda 𝐷, 𝐸, 𝐹 nuqtalarda kesib o‘tadi. 𝐷𝐶, 𝐴𝐸, 𝐵𝐹 
kesmalarning o‘rtalari bir to‘g‘ri chiziqda yotishini isbotlang. 
54. 𝐴𝐵𝐶 uchburchak berilgan. Muntazam 𝑀𝐾𝐿𝑁𝑃 beshburchakning 𝐾 va 𝐿 uchlari 𝐵𝐶 
tomonda, 𝑀 va 𝑁 uchlari mos ravishda 𝐴𝐵 va 𝐴𝐶 tomonlarda bo‘ladigan qilib olingan. 𝐵𝐶 
tomonda olingan 𝐴
1
nuqta 𝐾𝐿 kesmaning o‘rtasi. Xuddi shu tartibda 𝐴𝐵 va 𝐴𝐶 tomonlarda 
mos ravishda 𝐶
1
va 𝐵
1
nuqtalar olingan. 𝐴𝐴
1
, 𝐵𝐵
1
, 𝐶𝐶
1
to‘g‘ri chiziqlarning bir nuqtada 
kesishishini isbotlang. 
55. Kesishmaydigan uchta aylana berilgan. Aylanalarning umumiy ichki urinmalarining 
kesishish nuqtalarini 𝐴
1
, 𝐴
2
, 𝐴
3
va umumiy tashqi urinmalarining kesishish nuqtalarini 𝐵
1
, 
𝐵
2
, 𝐵
3
bilan belgilaymiz. Bu nuqtalar uchtadan (𝐴
1
, 𝐵
2
, 𝐵
3
; 𝐴
1
, 𝐵
2
, 𝐴
3
; 𝐵
1
, 𝐴
2
, 𝐴
3
; 𝐵
1
, 𝐵
2
, 𝐵
3
) 
to‘rtta aylanada yotishini isbotlang. 
56. 𝐴𝐵𝐶 uchburchakning 𝐴, 𝐵, 𝐶 uchlaridan mos ravishda 𝐵
1
𝐶
1
, 𝐶
1
𝐴
1
, 𝐴
1
𝐵
1
to‘g‘ri 
chiziqlarga parallel qilib o‘tkazilgan to‘g‘ri chiziqlar bir nuqtada kesishsa, 𝐴
1
, 𝐵
1
, 𝐶
1
nuqtalardan mos ravishda 𝐵𝐶, 𝐶𝐴, 𝐴𝐵 to‘g‘ri chiziqlarga parallel qilib o‘tkazilgan to‘g‘ri 
chiziqlar ham bir nuqtada kesishishini isbotlang. 
57. 𝐴𝐵𝐶 uchburchak va tekislikning 𝑀 nuqtasi berilgan. 𝐴𝑀 va 𝐵𝑀 to‘g‘ri chiziqlar hosil 
qilgan ikki burchakning bissektrisalari 𝐴𝐵 to‘g‘ri chiziqni 𝐶
1
va 𝐶
2
nuqtalarda (𝐶
1
nuqta 
𝐴𝐵 kesmada) kesib o‘tadi. Xuddi shu tarzda 𝐵𝐶, 𝐶𝐴 to‘g‘ri chiziqlarda mos ravishda 𝐴
1
va 

---

𝐴
2
, 𝐵
1
va 𝐵
2
nuqtalar hosil qilinadi. 𝐴
1
, 𝐴
2
, 𝐵
1
, 𝐵
2
, 𝐶
1
, 𝐶
2
nuqtalar uchtadan to‘rtta to‘g‘ri 
chiziqda yotishini isbotlang. 
58. 𝐴𝐵𝐶 uchburchakning 𝐵𝐶, 𝐶𝐴, 𝐴𝐵 tomonlarida mos ravishda 𝐴
1
, 𝐵
1
, 𝐶
1
nuqtalar, 
𝐴
1
𝐵
1
𝐶
1
uchburchakning 𝐵
1
𝐶
1
, 𝐶
1
𝐴
1
, 𝐴
1
𝐵
1
tomonlarida esa mos ravishda 𝐴
2
, 𝐵
2
, 𝐶
2
nuqtalar belgilangan. 𝐴𝐴
1
, 𝐵𝐵
1
, 𝐶𝐶
1
to‘g‘ri chiziqlarning bir nuqtada va 𝐴
1
𝐴
2
, 𝐵
1
𝐵
2
, 𝐶
1
𝐶
2
to‘g‘ri chiziqlarning bir nuqtada kesishishi ma’lum bo‘lsa, 𝐴𝐴
2
, 𝐵𝐵
2
, 𝐶𝐶
2
to‘g‘ri 
chiziqlarning bir nuqtada kesishishi yoki parallel ekanligini isbotlang. 
59. 𝐴𝐵𝐶𝐷 to‘rtburchakda 𝐵𝐶 va 𝐴𝐷, 𝐶𝐴 va 𝐷𝐵, 𝐴𝐵 va 𝐶𝐷 to‘g‘ri chiziqlarning kesishish 
nuqtalari mos ravishda 𝑃, 𝑄, 𝑅 bo‘lsin. U holda, 𝐵𝐶 va 𝑄𝑅, 𝐶𝐴 va 𝑅𝑃, 𝐴𝐵 va 𝑃𝑄 to‘g‘ri 
chiziqlar kesishish nuqtalarining bir to‘g‘ri chiziqda yotishini isbotlang. 
60. Uchi 𝑂 nuqtada bo‘lgan burchakning bir tomonida 𝐴
1
, 𝐴
2
, 𝐴
3
, 𝐴
4
nuqtalar, ikkinchi 
tomonida esa 𝐵
1
, 𝐵
2
, 𝐵
3
, 𝐵
4
nuqtalar olingan. 𝐴
1
𝐵
1
va 𝐴
2
𝐵
2
hamda 𝐴
3
𝐵
3
va 𝐴
4
𝐵
4
to‘g‘ri 
chiziqlar mos ravishda 𝑁 hamda 𝑀 nuqtalarda kesishadi. 𝑂, 𝑁, 𝑀 nuqtalarning bir to‘g‘ri 
chiziqda yotishi uchun 
𝑂𝐵
1
𝑂𝐵
3
∙
𝑂𝐵
2
𝑂𝐵
4
∙
𝐵
3
𝐵
4
𝐵
1
𝐵
2
=
𝑂𝐴
1
𝑂𝐴
3
∙
𝑂𝐴
2
𝑂𝐴
4
∙
𝐴
3
𝐴
4
𝐴
1
𝐴
2
tenglikning bajarilishi zarur va 
yetarli ekanligini isbotlang (II.43-II.45- masalalarga berilgan izohga qarang). 
61. 𝐴𝐵𝐶 uchburchak berilgan. Uning 𝐵𝐶, 𝐶𝐴, 𝐴𝐵 tomonlarida mos ravishda 𝐴
1
va 𝐴
2
, 𝐵
1
va 
𝐵
2
, 𝐶
1
va 𝐶
2
nuqtalar shunday olinganki, 𝐴𝐴
1
, 𝐵𝐵
1
, 𝐶𝐶
1
to‘g‘ri chiziqlar bir nuqtada va 𝐴𝐴
2
, 
𝐵𝐵
2
, 𝐶𝐶
2
to‘g‘ri chiziqlar bir nuqtada kesishadi. a) 𝐴
1
𝐵
1
va 𝐴𝐵, 𝐵
1
𝐶
1
va 𝐵𝐶, 𝐶
1
𝐴
1
va 𝐶𝐴 
to‘g‘ri chiziqlarning kesishish nuqtalari 𝑙
1
to‘g‘ri chiziqda yotishini hamda 𝐴
2
, 𝐵
2
, 𝐶
2
nuqtalar shu tarzda 𝑙
2
to‘g‘ri chiziq hosil qilishini isbotlang. b) 𝐴 nuqta, 𝑙
1
va 𝑙
2
to‘g‘ri 
chiziqlarning kesishish nuqtasi hamda 𝐵
1
𝐶
1
va 𝐵
2
𝐶
2
to‘g‘ri chiziqlarning kesishish 
nuqtalari bir to‘g‘ri chiziqda yotishini isbotlang. d) 𝐵𝐶 va 𝐵
2
𝐶
1
, 𝐶𝐴 va 𝐶
2
𝐴
2
, 𝐴𝐵 va 𝐴
1
𝐵
1
to‘g‘ri chiziqlarning kesishish nuqtalari bir to‘g‘ri chiziqda yotishini isbotlang. 
62. Biror to‘g‘ri chiziq 𝐴𝐵, 𝐵𝐶, 𝐶𝐴 to‘g‘ri chiziqlarni mos ravishda 𝐾, 𝑀, 𝐿 nuqtalarda va 
𝐴
1
𝐵
1
, 𝐵
1
𝐶
1
, 𝐶
1
𝐴
1
to‘g‘ri chiziqlarni mos ravishda 𝐾
1
, 𝑀
1
, 𝐿
1
nuqtalarda kesib o‘tadi. Agar 
𝐴
1
𝑀, 𝐵
1
𝐿, 𝐶
1
𝐾 to‘g‘ri chiziqlar bir nuqtada kesishsa, 𝐴𝑀
1
, 𝐵𝐿
1
, 𝐶𝐾
1
to‘g‘ri chiziqlar ham 
bir nuqtada kesishishini isbotlang. 
63. 𝐴𝐵𝐶 uchburchak va 𝐷 nuqta berilgan. 𝐴𝐷, 𝐵𝐷, 𝐶𝐷 to‘g‘ri chiziqda mos ravishda 𝐸, 𝐹, 𝐺 
nuqtalar olingan. 𝐴𝐹 va 𝐵𝐸, 𝐵𝐺 va 𝐶𝐹, 𝐶𝐸 va 𝐴𝐺 to‘g‘ri chiziqlar mos ravishda 𝐾, 𝐿, 𝑀 
nuqtalarda kesishadi. 𝐷𝐾 va 𝐴𝐵, 𝐷𝐿 va 𝐵𝐶, 𝐷𝑀 va 𝐴𝐶 to‘g‘ri chiziqlar mos ravishda 𝑃, 𝑄, 𝑅 
nuqtalarda kesishadi. 𝐴𝐿, 𝐸𝑄, 𝐵𝑀, 𝐹𝑅, 𝐶𝐾, 𝐺𝑃 to‘g‘ri chiziqlar bir nuqtada kesishishini 
isbotlang. 
64. 𝐴 va 𝐴
1
, 𝐵 va 𝐵
1
, 𝐶 va 𝐶
1
nuqtalar 𝑙 to‘g‘ri chiziqqa nisbatan simmetrik. 𝑁 nuqta 𝑙 to‘g‘ri 
chiziqda yotadi. 𝐴𝑁, 𝐵𝑁, 𝐶𝑁 to‘g‘ri chiziqlar mos ravishda 𝐵
1
𝐶
1
, 𝐶
1
𝐴
1
, 𝐴
1
𝐵
1
to‘g‘ri 
chiziqlarni kesib o‘tadigan nuqtalar bir to‘g‘ri chiziqda yotishini isbotlang. 
65. (Papp masalasi) Bir to‘g‘ri chiziqda 𝐴
1
, 𝐴
3
, 𝐴
5
va ikkinchi to‘g‘ri chiziqda 𝐴
2
, 𝐴
4
, 𝐴
6
nuqtalar olingan. 𝐴
1
𝐴
2
va 𝐴
4
𝐴
5
, 𝐴
2
𝐴
3
va 𝐴
5
𝐴
6
, 𝐴
3
𝐴
4
va 𝐴
6
𝐴
1
to‘g‘ri chiziqlarning kesishish 
nuqtalari bir to‘g‘ri chiziqda yotishini isbotlang. 
3- §. Nuqtalarning geometrik o‘rni 
66. Ikki aylananing kesishish nuqtasidan o‘tkazilgan to‘g‘ri chiziqlar aylanalarni ikkinchi 
marta 𝐴 va 𝐵 nuqtalarda kesib o‘tadi. 𝐴𝐵 kesmalar o‘rtalarining geometrik o‘rnini toping. 
67. 𝐴 nuqta, 𝑙 to‘g‘ri chiziq va 𝑙 to‘g‘ri chiziqda 𝐵 nuqta olingan. 𝐴𝐵𝑀 uchburchak 
muntazam bo‘ladigan 𝑀 nuqtalarning geometrik o‘rnini toping. 
68. 𝐴𝐵𝐶 muntazam uchburchak 𝐴𝐵 va 𝐴𝐶 tomonlarining 𝐵 va 𝐶 uchlarga tomon 
davomlarida mos ravishda 𝐷 va 𝐸 nuqtalar 𝐵𝐷 ∙ 𝐶𝐸 = 𝐵𝐶
2
bo‘ladigan qilib olingan. 𝐷𝐶 va 
𝐵𝐸 to‘g‘ri chiziqlar kesishish nuqtasining geometrik o‘rnini toping. 

---

69. To‘g‘ri chiziqda 𝐴, 𝐵, 𝐶 nuqtalar va to‘g‘ri chiziqdan tashqarida 𝐷 nuqta olingan. 𝐶 
nuqtadan 𝐴𝐷 va 𝐵𝐷 to‘g‘ri chiziqlarga parallel to‘g‘ri chiziqlar o‘tkazilgan bo‘lib, ular 𝐵𝐷 
va 𝐴𝐷 to‘g‘ri chiziqlarni mos ravishda 𝑃 va 𝑄 nuqtalarda kesib o‘tadi. 𝐶 nuqtadan 𝑃𝑄 
to‘g‘ri chiziqqa tushirilgan perpendikularlar 𝑀 asoslarining geometrik o‘rnini toping. Yana 
shunday 𝐷 nuqtalarning geometrik o‘rnini topingki, 𝑀 nuqta belgilangan bo‘lsin. 
70. 𝐴𝐵𝐶 uchburchakning 𝐴𝐵 tomoni va 𝐵𝐷 medianasida mos ravishda 𝐾 va 𝑃 nuqtalar 
𝐴𝑃𝐾 va 𝐵𝑃𝐶 uchburchaklar tengdosh bo‘ladigan qilib olingan. 𝐴𝑃 va 𝐵𝐾 to‘g‘ri chiziqlar 
kesishish nuqtalarining geometrik o‘rnini toping. 
71. Berilgan burchakning ichida olingan 𝑂 nuqtadan o‘zaro 𝛼 burchak tashkil etuvchi ikki 
nur o‘tkazilgan. Nurlarning biri burchakning bir tomonini 𝐴 nuqtada, ikkinchisi esa 
ikkinchi tomonini 𝐵 nuqtada kesib o‘tadi. 𝑂 nuqtadan 𝐴𝐵 to‘g‘ri chiziqqa tushirilgan 
perpendikularlarning asoslarini toping. 
72. Aylananing o‘zaro perpendikular 𝐴𝐶 va 𝐵𝐷 diametrlari o‘tkazilgan va biror 𝑃 nuqtasi 
olingan. 𝑃𝐴 va 𝐵𝐷 to‘g‘ri chiziqlar 𝐸 nuqtada kesishadi. 𝐸 nuqtadan 𝑃𝐵 to‘g‘ri chiziqqa 
parallel qilib o‘tkazilgan to‘g‘ri chiziq 𝑃𝐵 to‘g‘ri chiziqni 𝑀 nuqtada kesib o‘tadi. 𝑀 
nuqtalarning geometrik o‘rnini toping. 
73. Uchi 𝐴 nuqtada bo‘lgan burchak va 𝐵 nuqta berilgan. 𝐴 va 𝐵 nuqtadan o‘tadigan aylana 
burchak tomonlarini 𝐴 dan farqli 𝐶 va 𝐷 nuqtalarda kesib o‘tadi. 𝐴𝐶𝐷 uchburchak og‘irlik 
markazlarining geometrik o‘rnini toping. 
74. To‘g‘ri to‘rtburchakning bir uchi belgilangan bo‘lib, qolgan uchlaridan umumiy 
tomonga ega bo‘lmagan ikkitasi berilgan o‘zaro perpendikular to‘g‘ri chiziqlarda yotadi. 
Bunday to‘g‘ri to‘rtburchaklar to‘rtinchi uchlarining geometrik o‘rnini toping. 
75. Ikki aylananing kesishish nuqtalaridan biri 𝐴 bo‘lib, ikkinchisidan o‘tkazilgan to‘g‘ri 
chiziq aylanalarni kesishish nuqtalaridan farqli 𝐵 va 𝐶 nuqtalarda kesib o‘tadi. a) 𝐴𝐵𝐶 
uchburchakka tashqi chizilgan aylanalar markazlarining; b) 𝐴𝐵𝐶 uchburchak og‘irlik 
markazlarining; d) 𝐴𝐵𝐶 uchburchak balandliklari kesishish nuqtalarining geometrik 
o‘rnini toping. 
76. Aylananing 𝐴, 𝐵, 𝐶 nuqtalari belgilangan (𝐵 va 𝐶 nuqtalari qo‘zg‘almas). 𝐴𝐵 kesmaning 
o‘rtasidan 𝐴𝐶 to‘g‘ri chiziqqa tushirilgan perpendikularlar asoslarining geometrik o‘rnini 
toping. 
77. Tomonlari yoki ularning davomlari tekislikning berilgan to‘rtta nuqtasidan o‘tuvchi 
to‘g‘ri to‘rtburchaklar diagonallari kesishish nuqtalarining geometrik o‘rnini toping. 
78. 𝐴 nuqtada ichki urinuvchi ikki aylana berilgan. Kichik aylanaga o‘tkazilgan urinma 
katta aylanani 𝐵 va 𝐶 nuqtalarda kesib o‘tadi. 𝐴𝐵𝐶 uchburchakka ichki chizilgan aylanalar 
markazlarining geometrik o‘rnini toping. 
79. Kesishuvchi ikki aylana berilgan. Uchlari shu aylanalarda bo‘lgan to‘g‘ri 
to‘rtburchaklar markazlarining geometrik o‘rnini toping. 
80. Dumaloq billiard ichidagi markazdan farqli 𝐴 nuqtada o‘lchamlarini hisobga olmasa 
ham bo‘ladigan elastik shar turibdi. Shunday nuqtalarning geometrik o‘rnini topingki, bu 
nuqtadan sharni urganda shar aylana markazini chetlab o‘tib, yana 𝐴 nuqtaga qaytib 
kelsin. 
81. O‘zaro parallel ikki to‘g‘ri chiziqdan baravar uzoqlikdagi nuqtadan bu to‘g‘ri 
chiziqlarni 𝑀 va 𝑁 nuqtalarda kesib o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq o‘tkazilgan. Teng tomonli 𝑀𝑁𝑃 
uchburchaklar 𝑃 uchlarining geometrik o‘rnini toping. 
82. 𝐴, 𝐵 nuqtalar va 𝑙 to‘g‘ri chiziq berilgan. 𝐴 va 𝐵 nuqtalardan o‘tib, 𝑙 to‘g‘ri chiziqni 
kesib o‘tuvchi aylanalar markazlarining geometrik o‘rnini toping. 

---

83. 𝑂 va 𝑀 nuqtalar berilgan. a) Tashqi chizilgan aylanananing markazi 𝑂 va og‘irlik 
markazi 𝑀 bo‘lgan uchburchak uchlaridan biri bo‘ladigan tekislik nuqtalarining; b) tashqi 
chizilgan aylanananing markazi 𝑂 va og‘irlik markazi 𝑀 bo‘lgan o‘tmas burchakli 
uchburchak uchlaridan biri bo‘ladigan tekislik nuqtalarining geometrik o‘rnini toping. 
84. Aylanaga muntazam uchburchak ichki chizilgan. Aylanaga ikki tomoni shu 
uchburchakning ikki tomoniga parallel bo‘lgan uchburchaklar ichki chizilgan. Shu 
uchburchaklar balandliklari kesishgan nqutalarning geometrik o‘rnini toping. 
85. Berilgan uchburchakka tashqi chizilgan to‘g‘ri to‘rtburchaklar markazlarining 
geometrik o‘rnini toping. (To‘g‘ri to‘rtburchak va uchburchakning bittadan uchlari mos, 
uchburchakning qolgan ikki uchi to‘g‘ri to‘rtburchakning shu uchidan chiqamaydigan ikki 
tomonida yotsa, to‘g‘ri to‘rtburchak uchburchakka tashqi chizilgan deyiladi.) 
86. Tomonlari o‘zaro parallel bo‘lgan ikki kvadrat berilgan. Birinchi kvadratning istalgan 
𝑃 va ikkinchi kvadratning 𝑄 nuqtasi uchun 𝑀𝑃𝑄 uchburchak teng tomonli bo‘ladigan 𝑀 
nuqtalarning geometrik o‘rnini toping. Birinchi va ikkinchi kvadratning tomonlari mos 
ravishda 𝑎 va 𝑏 bo‘lsin. 𝑎 va 𝑏 ning qanday qiymatlarida 𝑀 nuqtalarning geometrik o‘rni 
bo‘sh to‘plam emas? 
87. Uchburchakning ichidagi 𝑀 va chegarasida olingan istalgan 𝑁 nuqta uchun 
uchburchakning ichida yoki chegarasida shunday 𝑃 nuqta topish mumkinki, 𝑀𝑁𝑃 
uchburchakning yuzi berilgan uchburchak yuzining 
1
6
qismidan kam emas. Shunday 𝑀 
nuqtalarning geometrik o‘rnini toping. 
88. 𝐴 va 𝐼 nuqtalar berilgan. Barcha burchaklari (60°; 90°) oraliqda bo‘lgan 𝐴𝐵𝐶 
uchburchakka ichki chizilgan aylananing markazi 𝐼 bo‘ladigan 𝐵 nuqtalarning geometrik 
o‘rnini toping. 
89. To‘g‘ri chiziqda ketma-ket 𝐴, 𝐵, 𝐶 nuqtalar olingan. ctg(∠𝐴𝑀𝐵) + ctg(∠𝐵𝑀𝐶) = 𝑘 
bo‘ladigan 𝑀 nuqtalarning geometrik o‘rnini toping. 
90. 𝐴 va 𝑄 nuqtalar berilgan. Shunday 𝐵 nuqtalarning geometrik o‘rnini topingki, o‘tkir 
burchakli 𝐴𝐵𝐶 uchburchakning og‘irlik markazi 𝑄 bo‘lsin. 
91. 𝐴 va 𝐻 nuqtalar berilgan. Shunday 𝐵 nuqtalarning geometrik o‘rnini topingki, har bir 
burchagi 45° dan katta bo‘lgan 𝐴𝐵𝐶 uchburchak balandliklarining kesishish nuqtasi 𝐻 
bo‘lsin. 
92. Tekislikda ikki nuqta berilgan. Tekislikning bu nurlardan baravar uzoqlashgan 
nuqtalarining geometrik o‘rnini toping. (Nuqtadan nurgacha bo‘lgan masofa nuqtadan 
nurning eng yaqin nuqtasigacha bo‘lgan masofadir.) 
93. Burchak va unga ichki chizilgan 𝑂 markazli aylana berilgan. To‘g‘ri chiziq aylanaga 
urinib, burchak tomonlarini 𝑀 va 𝑁 nuqtalarda kesib o‘tadi. 𝑀𝑂𝑁 uchburchakka tashqi 
chizilgan aylanalar markazlarining geometrik o‘rnini toping. 
94. Ikki aylanada ularning markazlarini tutashtiruvchi kesmaning o‘rtasidan baravar 
uzoqlashgan 𝐴 va 𝐵 nuqtalar bittadan olingan. 𝐴𝐵 kesmalar o‘rtalarining geometrik 
o‘rnini toping. 
95. 𝐴𝐵 kesmada 𝑀 nuqta olinib, 𝐴𝐵 kesmadan bir tomonda 𝐴𝑀𝐶𝐷 va 𝑀𝐵𝐸𝐹 kvadratlar 
yasalgan. Bu kvadratlarga tashqi chizilgan aylanalarning 𝑀 nuqtadan farqli kesishish 
nuqtasi 𝑁 bo‘lsin. a) 𝐴𝐹 va 𝐵𝐶 to‘g‘ri chiziqlar 𝑁 nuqtada kesishishini; b) 𝑀𝑁 to‘g‘ri chiziq 
tekislikning belgilangan nuqtasidan o‘tishini isbotlang. Kvadratlar markazlarini 
tutashtiruvchi kesmalar o‘rtalarining geometrik o‘rnini toping. 
96. Aylana va 𝐴 nuqta berilgan. Aylananing biror 𝑀 nuqtasi olingan. 𝐴𝑀 kesma o‘rta 
perpendikulari va 𝑀 nuqtadan aylanaga o‘tkazilgan urinma kesishish nuqtalarining 
geometrik o‘rni topilsin. 

---

97. Ikki aylana 𝐴 nuqtada keishadi. 𝐴 nuqtadan o‘tuvchi ikki to‘g‘ri chiziq bu aylanalarni 𝐵 
va 𝐵
1
nuqtalarda (bir aylanani) hamda 𝐶 va 𝐶
1
nuqtalarda (ikkinchi aylanani) kesib o‘tadi. 
𝐴𝐵
1
𝐶 va 𝐴𝐵𝐶
1
uchburchaklarga tashqi chizilgan aylanalar kesishish nuqtalarining 
geometrik o‘rnini toping. 
98. Gipotenuzasining oxirlari berilgan ikki aylanada yotuvchi barcha teng yonli to‘g‘ri 
burchakli uchburchaklar to‘g‘ri burchaklari uchlarining geometrik o‘rnini toping. 
99. Berilgan uchburchakning tomonlari uchta parallelogramning diagonallari. Bu 
parallelogramlarning tomonlari 𝑙 va 𝑝 to‘g‘ri chiziqlarga parallel. Parallelogramlarning 
uchburchak tomonlaridan farqli diagonallari bir nuqtada kesishishini isbotlang. Agar 𝑙 va 
𝑝 to‘g‘ri chiziqlar o‘zaro perpendikular bo‘lsa, shu diagonallar kesishish nuqtalarining 
geometrik o‘rnini toping. 
100. Aylananing 𝐵 va 𝐶 nuqtalari belgilangan. Yana biror 𝐴 nuqtasi olinib, 𝐴𝐵𝐶 
uchburchak balandliklarining kesishish nuqtasi 𝐻 va 𝐻 nuqtaning ∠𝐵𝐴𝐶 burchak 
bissektrisasidagi proyeksiyasi 𝑀 bilan belgilangan. 𝑀 nuqtalarning geometrik o‘rnini 
toping. 
101. 𝐴𝐵𝐶 uchburchak berilgan. 𝐵𝐶 to‘g‘ri chiziqning biror 𝐷 nuqtasidan 𝐴𝐵 va 𝐴𝐶 to‘g‘ri 
chiziqlarga parallel qilib o‘tkazilgan to‘g‘ri chiziqlar 𝐴𝐶 va 𝐴𝐵 to‘g‘ri chiziqlarni mos 
ravishda 𝐸 va 𝐹 nuqtalarda kesib o‘tadi. 𝐷, 𝐸, 𝐹 nuqtalardan o‘tadigan nuqtalarning 
geometrik o‘rnini toping. 
102. Muntazam 𝐴𝐵𝐶 uchburchak berilgan. Uchburchakning ichida olingan 𝑀 nuqta uchun 
∠𝑀𝐴𝐵 + ∠𝑀𝐵𝐶 + ∠𝑀𝐶𝐴 =
𝜋
2
bo‘ldi. Shunday 𝑀 nuqtalarning geometrik o‘rnini toping. 
103. Uchburchakning ichida 𝑀 nuqta olingan. 𝑀 nuqtadan o‘tuvchi 𝑙 to‘g‘ri chiziq uni 
shunday ikki bo‘lakka ajratadiki, bu bo‘laklardan birini 𝑙 to‘g‘ri chiziqqa nisbatan 
simmetrik ko‘chirganda u ikkinchisining ichida yoki chegarasi bo‘ylab joylashadi. Shunday 
𝑀 nuqtalarning geometrik o‘rnini toping. 
4- §. Uchburchak. Uchburchak va aylana 
104. 𝐴𝐵𝐶 uchburchakning 𝐴 uchidan 𝐵 va 𝐶 uchlardagi tashqi burchaklarining 
bissektrisalariga 𝐴𝑀 va 𝐴𝑁 perpendikularlar tushirilgan. 𝑀𝑁 kesmaning uzunligi 𝐴𝐵𝐶 
uchburchakning yarimperimetricha ekanligini isbotlang. 
105. 𝐴𝐵𝐶 uchburchakda 𝐵𝐷 – balandlik, 𝐴𝑁 ⊥ 𝐴𝐵 va 𝐶𝑀 ⊥ 𝐵𝐶 bo‘lib, 𝐴𝑁 = 𝐷𝐶 hamda 
𝐶𝑀 = 𝐴𝐷. 𝑀 va 𝑁 nuqtalar 𝐵 uchdan baravar uzoqlashganligini isbotlang. 
106. Istalgan to‘g‘ri burchakli uchburchakning katetlariga va shu uchburchakka tashqi 
chizilgan aylanaga urinuvchi aylana o‘tkazilgan. Bu aylananing radiusi to‘g‘ri burchakli 
uchburchakka ichki chizilgan aylana diametricha ekanligini isbotlang. 
107. Uchburchakning bir tomoni tekislikning belgilangan to‘g‘ri chizig‘ida yotib, balandligi 
tekislikning belgilangan nuqtasida yotsa, bu uchburchakka tashqi chizilgan aylananing 
markazi ham tekislikning belgilangan nuqtasida bo‘lishini isbotlang. 
108. 𝐴𝐵𝐶 uchburchakka tashqi chizilgan aylananing 𝐴
1
, 𝐵
1
, 𝐶
1
nuqtalari uchburchakning 
mos ravishda 𝐴, 𝐵, 𝐶 uchlariga diametral qarama-qarshi nuqtalardir. 𝐴
1
, 𝐵
1
, 𝐶
1
nuqtalardan mos ravishda 𝐵𝐶, 𝐶𝐴, 𝐴𝐵 kesmalarga parallel to‘g‘ri chiziqlar o‘tkazilgan. Bu 
to‘g‘ri chiziqlar kesishishidan hosil bo‘lgan uchburchak 𝐴𝐵𝐶 uchburchakka o‘xshashligini, 
bunda o‘xshashlik koeffitsiyenti 2 ekanligini va uning markazi 𝐴𝐵𝐶 uchburchak 
balandliklarining kesishish nuqtasida ekanligini isbotlang. 
109. Uchburchak balandligi asosining o‘zi tushirilgan tomondan boshqa tomonlardagi va 
qolgan ikki balandlikdagi proyeksiyalari bir to‘g‘ri chiziqda yotishini isbotlang. 
110. 𝐴𝐵𝐶 uchburchak 𝐴𝐵 tomonining 𝐵 uchi tomonga davomida 𝐵𝐷 = 𝐶𝐵 bo‘ladigan 𝐷 
nuqta olingan. Xuddi shunday 𝐶𝐵 tomonning 𝐵 uchi tomonga davomida 𝐵𝐹 = 𝐴𝐵 

---

bo‘ladigan 𝐹 nuqta olingan. 𝐴, 𝐶, 𝐷, 𝐹 nuqtalar markazi 𝐴𝐵𝐶 uchburchakka tashqi 
chizilgan aylanada yotuvchi aylanada yotishini aniqlang. 
111. Uchta teng aylana 𝐻 nuqtadan o‘tadi. 𝐻 nuqta uchlari aylanalarning boshqa kesishish 
nuqtalarida bo‘lgan uchburchak balandliklarining kesishish nuqtasi ekanligini isbotlang. 
112. To‘g‘ri to‘rtburchakka tashqi chizilgan aylananing biror 𝑃 nuqtasi belgilangan. 𝑃 
nuqtadan to‘g‘ri to‘rtburchakning tomonlariga parallel qilib o‘tkazilgan ikki to‘g‘ri chiziq 
to‘g‘ri to‘rtburchakning tomonlari yoki ularning davomlarini 𝐾, 𝐿, 𝑀, 𝑁 nuqtalarda kesib 
o‘tadi. 𝑁 nuqta 𝐾𝐿𝑀 uchburchak balandliklarining kesishish nuqtasi ekanligini isbotlang. 
𝐾𝐿𝑀 uchburchak balandliklarining 𝑃 nuqtadan boshqa asoslari to‘g‘ri to‘rtburchakning 
diagonallarida yotishini isbotlang. 
113. 𝐴𝐵𝐶 uchburchakning 𝐴𝐷, 𝐵𝐸, 𝐶𝐹 bissektrisalari o‘tkazilgan. 𝐴𝐷, 𝐵𝐸, 𝐶𝐹 ning o‘rta 
perpendikularlari mos ravishda 𝐴𝐶, 𝐴𝐵, 𝐶𝐵 to‘g‘ri chiziqlarni 𝑃, 𝑄, 𝑅 nuqtalarda kesib 
o‘tadi. 𝐷𝐸𝐹 va 𝑃𝑄𝑅 uchburchaklarning tengdoshligini isbotlang. 
114. 𝐴𝐵𝐶 teng yonli uchburchakda 𝐴𝐵 = 𝐵𝐶, 𝐷 – 𝐴𝐶 ning o‘rtasi, 𝐸 – 𝐷 ning 𝐵𝐶 dagi 
proyeksiyasi va 𝐹 – 𝐷𝐸 ning o‘rtasi. 𝐵𝐹 va 𝐴𝐸 to‘g‘ri chiziqlarning o‘zaro perpendikular 
ekanligini isbotlang. 
115. 𝐴𝐵𝐶 uchburchakka ichki chizilgan aylana 𝐴𝐵 va 𝐴𝐶 tomonlarga mos ravishda 𝐶
1
va 
𝐵
1
nuqtalarda urinadi. 𝐵𝐶 tomon hamda 𝐴𝐵 va 𝐴𝐶 tomonlarning davomlariga urinadigan 
aylana 𝐴𝐵 va 𝐴𝐶 to‘g‘ri chiziqlarga mos ravishda 𝐶
2
va 𝐵
2
nuqtalarda urinadi. 𝐵𝐶 
kesmaning o‘rtasi 𝐷 bo‘lib, 𝐴𝐷 to‘g‘ri chiziq 𝐵
1
𝐶
1
va 𝐵
2
𝐶
2
to‘g‘ri chiziqlar bilan 𝐸 va 𝐹 
nuqtalarda kesishsin. 𝐵𝐸𝐶𝐹 to‘rtburchakning parallelogramm ekanligini isbotlang. 
116. 𝐴𝐵𝐶 uchburchakda ichki 𝐴 burchakning bissektrisasi qarshisidagi tomonni 𝐷 
nuqtada kesib o‘tadi. 𝐴 nuqtada uchburchakka tashqi chizilgan aylanaga 𝑙 urinma 
o‘tkazilgan. 𝐷 nuqtadan 𝑙 to‘g‘ri chiziqqa parallel qilib o‘tkazilgan to‘g‘ri chiziq 𝐴𝐵𝐶 
uchburchakka ichki chizilgan aylanaga urinishini isbotlang. 
117. 𝐴𝐵𝐶 uchburchakda 𝐴𝐶 va 𝐵𝐶 tomonlarni mos ravishda 𝑀 va 𝑁 nuqtalarda kesib 
o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq o‘tkazilgan bo‘lib, 𝑀𝑁 = 𝐴𝑀 + 𝐵𝑁. Shunday to‘g‘ri chiziqlarning 
hammasi bitta aylanaga urinishini isbotlang. 
118. Uchburchakka tashqi chizilgan aylana markaziga uchburchak medianalarining 
o‘rtalariga nisbatan simmetrik bo‘lgan nuqtalar uchburchak balandliklarida yotishini 
isbotlang. 
119. Uchburchakning balandligi unga tashqi chizilgan aylana radiusidan 2 marta katta 
bo‘lsa, shu balandlik asosidan o‘zi tushirilgan tomondan boshqa tomonlarga tushirilgan 
perpendikularlarning asoslari orqali o‘tkazilgan to‘g‘ri chiziq tashqi chizilgan aylananing 
markazidan o‘tishini isbotlang. 
120. To‘g‘ri burchakli 𝐴𝐵𝐶 uchburchakda ∠𝐶 = 90°, 𝐶𝐷 – balandlik va tekislikda 𝐴𝐾 = 𝐴𝐶 
bo‘ladigan 𝐾 nuqta olingan. 𝐴𝐵𝐾 uchburchakka tashqi chizilgan aylananing 𝐴 uchidan 
o‘tadigan diametri 𝐷𝐾 to‘g‘ri chiziqqa perpendikular ekanligini isbotlang. 
121. 𝐴𝐵𝐶 uchburchakning 𝐴 uchidan 𝐵𝐶 tomonga parallel qilib o‘tkazilgan to‘g‘ri chiziqda 
𝐷 nuqta olingan bo‘lib, 𝐴𝐷 = 𝐴𝐶 + 𝐴𝐵. 𝐷𝐵 kesma 𝐴𝐶 tomonni 𝐸 nuqtada kesib o‘tadi. 𝐸 
nuqtadan 𝐵𝐶 tomonga parallel qilib o‘tkazilgan to‘g‘ri chiziq 𝐴𝐵𝐶 uchburchakka ichki 
chizilgan aylananing markazidan o‘tishini isbotlang. 
122. Ikki aylana burchakning uchi va uning bissektrisasida olingan nuqtadan o‘tadi. 
Burchak tomonlarining aylanalar ichida qolgan kesmalarining tengligini isbotlang. 
123. 𝐴𝐵𝐶 uchburchak va 𝐷 nuqta berilgan. 𝐴𝐷, 𝐵𝐷, 𝐶𝐷 to‘g‘ri chiziqlar 𝐴𝐵𝐶 uchburchakka 
tashqi chizilgan aylanani ikkinchi bor mos ravishda 𝐴
1
, 𝐵
1
, 𝐶
1
nuqtalarda kesib o‘tadi. 𝐴 va 

---

𝐴
1
hamda 𝐵 va 𝐵
1
nuqtalardan o‘tadigan ikki aylanani qaraymiz. Bu aylanalarning 
kesishish nuqtalari 𝐶 va 𝐶
1
nuqtalar bilan bitta aylanada yotishini isbotlang. 
124. 𝐴𝐵𝐶 uchburchakning 𝐴, 𝐵, 𝐶 uchlaridan mos ravishda o‘zaro parallel 𝑙
1
, 𝑙
2
, 𝑙
3
to‘g‘ri 
chiziqlar o‘tkazilgan. 𝑙
1
, 𝑙
2
, 𝑙
3
to‘g‘ri chiziqlarga mos ravishda 𝐴, 𝐵, 𝐶 burchaklarning 
bissektrisalariga nisbatan simmetrik qilib o‘tkazilgan to‘g‘ri chiziqlarning kesishish 
nuqtasi 𝐴𝐵𝐶 uchburchakka tashqi chizilgan aylanada yotishini isbotlang. 
125. 𝐴𝐵𝐶 uchburchakning ichida 𝑀 nuqta olingan bo‘lib, 𝐴𝑀, 𝐵𝑀, 𝐶𝑀 to‘g‘ri chiziqlar mos 
ravishda 𝐵𝑀𝐶, 𝐶𝑀𝐴, 𝐴𝑀𝐵 uchburchaklarga tashqi chizilgan aylanalarning markazlaridan 
o‘tsa, 𝑀 nuqta 𝐴𝐵𝐶 uchburchakka ichki chizilgan aylananing markazi ekanligini isbotlang. 
126. 𝐴𝐵𝐶 uchburchakning 𝐵𝐶, 𝐶𝐴, 𝐴𝐵 tomonlarida mos ravishda 𝐴
1
, 𝐵
1
, 𝐶
1
nuqtalar 
olingan. 𝑀 – tekislikning biror nuqtasi. 𝐵𝑀 to‘g‘ri chiziq 𝐴
1
, 𝐵, 𝐶
1
nuqtalardan o‘tuvchi 
aylanani ikkinchi bor 𝐵
2
nuqtada; 𝐶𝑀 to‘g‘ri chiziq 𝐴
1
, 𝐵
1
, 𝐶 nuqtalardan o‘tuvchi aylanani 
ikkinchi bor 𝐶
2
nuqtada; 𝐴𝑀 to‘g‘ri chiziq 𝐴, 𝐵
1
, 𝐶
1
nuqtalardan o‘tuvchi aylanani ikkinchi 
bor 𝐴
2
nuqtada kesib o‘tadi. 𝐴
2
, 𝐵
2
, 𝐶
2
, 𝑀 nuqtalar bitta aylanada yotishini isbotlang. 
127. 𝐴𝐵𝐶 uchburchakka ichki chizilgan aylananing 𝐵𝐶 tomonga urinish nuqtasiga 𝐴 
burchak bissektrisasiga nisbatan simmetrik nuqta 𝐴
1
bo‘lsin. Xuddi shu usulda 𝐵
1
va 𝐶
1
nuqtalar aniqlangan. 𝐴𝐴
1
, 𝐵𝐵
1
, 𝐶𝐶
1
to‘g‘ri chiziqlar hamda 𝐴𝐵𝐶 uchburchakka ichki va 
tashqi chizilgan aylanalarning markazlari orqali o‘tadigan to‘g‘ri chiziq bir nuqtada 
kesishishini isbotlang. 
128. 𝐴𝐵𝐶 uchburchakning 𝐴𝐴
1
, 𝐵𝐵
1
, 𝐶𝐶
1
balandliklari o‘tkazilgan. 𝐴𝐵 to‘g‘ri chiziqqa 
perpendikular qilib o‘tkazilgan to‘g‘ri chiziq 𝐴𝐶 va 𝐴
1
𝐶
1
to‘g‘ri chiziqlarni mos ravishda 𝐾 
va 𝐿 nuqtalarda kesib o‘tadi. 𝐾𝐿𝐵
1
uchburchakka tashqi chizilgan aylananing markazi 𝐵𝐶 
to‘g‘ri chiziqda yotishini isbotlang. 
129. To‘rtta teng aylana 𝐴 nuqtadan o‘tadi. Ikkitadan aylananing 𝐴 nuqtadan boshqa 
kesishish nuqtalarini tutashtiruvchi kesmalar bir nuqtada kesishishini isbotlang. Uchala 
kesmaning oxirlari bir aylanada yotmaydi. 
130. To‘g‘ri burchakli 𝐴𝐵𝐶 uchburchakda ∠𝐶 – to‘g‘ri burchak, 𝑂 – tashqi chizilgan aylana 
markazi, 𝑀 – ichki chizilgan aylananing gipotenuzaga urinish nuqtasi, 𝐶𝐷 – gipotenuzaga 
tushirilgan balandlik. Markazi 𝑀 nuqtada bo‘lib, 𝑂 nuqtadan o‘tuvchi aylana 𝐴 va 𝐵 
burchaklarning bissektrisalarini mos ravishda 𝑂 nuqtadan farqli 𝐾 va 𝐿 nuqtalarda kesib 
o‘tadi. 𝐾 va 𝐿 nuqtalar mos ravishda 𝐴𝐶𝐷 va 𝐵𝐶𝐷 uchburchaklarga ichki chizilgan 
aylanalarning markazlari ekanligini isbotlang. 
131. 𝐴𝐵𝐶 uchburchakda 𝐴 burchak bissektrisasi, 𝐴𝐶 tomonga parallel o‘rta chiziq, ichki 
chizilgan aylananing 𝐶𝐵 va 𝐶𝐴 tomonlarga urinish nuqtalaridan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziqlar 
bir nuqtada kesishishini isbotlang. 
132. Uchburchakning ikki tomoniga o‘tkazilgan balandliklarining asoslaridan, shu 
tomonlarga o‘tkazilgan bissektrisalarning asoslaridan, ichki chizilgan aylananing shu 
tomonlarga urinish nuqtalaridan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziqlar o‘tkazilgan. Bu uch to‘g‘ri chiziq 
bir nuqtada kesishishini isbotlang. 
133. 𝐴𝐵𝐶 uchburchakning 𝐵𝐶, 𝐶𝐴, 𝐴𝐵 tomonlarida mos ravishda 𝐴
1
, 𝐵
1
, 𝐶
1
nuqtalar 
shunday olinganki, 𝐴𝐴
1
, 𝐵𝐵
1
, 𝐶𝐶
1
to‘g‘ri chiziqlar bir nuqtada kesishadi. Agar 𝐴𝐴
1
to‘g‘ri 
chiziq ∠𝐵
1
𝐴
1
𝐶
1
burchakning bissektrisasi bo‘lsa, 𝐴𝐵𝐶 uchburchakning balandligi ham 
bo‘lishini isbotlang. 
134. 𝐴𝐵𝐶 uchburchakning 𝐵𝐶, 𝐶𝐴, 𝐴𝐵 tomonlarida mos ravishda 𝐴
1
, 𝐵
1
, 𝐶
1
nuqtalar 
shunday olinganki, bir yo‘nalishda hisoblanganda ∠𝐴𝐴
1
𝐶 = ∠𝐵𝐵
1
𝐴 = ∠𝐶𝐶
1
𝐵. 𝐴𝐴
1
, 𝐵𝐵
1
, 
𝐶𝐶
1
to‘g‘ri chiziqlar chegaralagan uchburchakka tashqi chizilgan aylananing markazi 𝐴𝐵𝐶 
uchburchak balandliklarining kesishish nuqtasi bilan ustma-ust tushishini isbotlang. 

---

135. 𝐴
1
𝐵
1
𝐶
1
uchburchakning 𝐴
1
, 𝐵
1
, 𝐶
1
uchlari mos ravishda 𝐵𝐶, 𝐶𝐴, 𝐴𝐵 to‘g‘ri chiziqlarda 
yotadi. Agar 𝐴𝐵𝐶 va 𝐴
1
𝐵
1
𝐶
1
uchburchaklar o‘zaro o‘xshash bo‘lsa, 𝐴
1
𝐵
1
𝐶
1
uchburchak 
balandliklarining kesishish nuqtasi 𝐴𝐵𝐶 uchburchakka tashqi chizilgan aylananing 
markazi bo‘lishini isbotlang. shu tasdiqning teskarisi ham o‘rinlimi? 
136. Uchburchakning har bir tomonida ikkitadan nuqta shunday olinganki, har bir nuqtani 
qarshisidagi uch bilan tutashtiruvchi kesmalarning uzunliklari o‘zaro teng. Shu oltita 
kesmaning o‘rtalari bir aylanada yotishini isbotlang. 
137. 𝐴𝐵𝐶 uchburchak berilgan. 𝐴𝐵 va 𝐶𝐵 nurlarda 𝐴𝑀 = 𝐶𝑁 = 𝑝 (𝑝 – yarimperimetr) 
kesmalar qo‘yilgan. 𝐾 – 𝐴𝐵𝐶 uchburchakka tashqi chizilgan aylananing 𝐵 uchiga diametral 
qarama-qarshi bo‘lgan nuqtasi bo‘lsin. 𝐾 nuqtadan 𝑀𝑁 to‘g‘ri chiziqqa tushirilgan 
perpendikular 𝐴𝐵𝐶 uchburchakka ichki chizilgan aylananing markazidan o‘tishini 
isbotlang. 
138. Teng tomonli 𝐴𝐵𝐶 uchburchakka tashqi chizilgan aylananing biror nuqtasidan 
uchburchakning 𝐵𝐶, 𝐶𝐴, 𝐴𝐵 tomonlariga parallel qilib o‘tkazilgan to‘g‘ri chiziqlar mos 
ravishda 𝐶𝐴, 𝐴𝐵, 𝐵𝐶 to‘g‘ri chiziqlarni mos ravishda 𝑀, 𝑁, 𝑄 nuqtalarda kesib o‘tadi. 𝑀, 𝑁, 
𝑄 nuqtalar bir to‘g‘ri chiziqda yotishini isbotlang. 
139. Uchburchak balandliklarining kesishish nuqtasidan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziqqa 
uchburchakning tomonlariga nisbatan simmetrik bo‘lgan to‘g‘ri chiziqlar bir nuqtada 
kesishishini isbotlang. 
140. (Leybnis teoremasi) 𝐴𝐵𝐶 uchburchakning og‘irlik markazi 𝐺 bo‘lib, tekislikning biror 
𝑀 nuqtasi belgilangan bo‘lsin. Ushbu 3𝑀𝐺
2
= 𝑀𝐴
2
+ 𝑀𝐵
2
+ 𝑀𝐶
2
−
1
3
(𝐴𝐵
2
+ 𝐵𝐶
2
+ 𝐶𝐴
2
) 
tenglikni isbotlang. 
141. Muntazam 𝐴𝐵𝐶 uchburchakning tomoni 𝑎 bo‘lib, uning markazidan 𝑑 masofada 𝑀 
nuqta olingan bo‘lsin. Tomonlari 𝑀𝐴, 𝑀𝐵, 𝑀𝐶 bo‘lgan uchburchakning 𝑆 yuzi uchun 
𝑆 =
3
12
𝑎
2
− 3𝑑
2
tenglikni isbotlang. 
142. Muntazam 𝐴𝐵𝐶 va 𝐴
1
𝐵
1
𝐶
1
uchburchaklar berilgan. Shunday 𝑀 nuqtalarning 
geometrik o‘rnini topingki, tomonlari 𝑀𝐴, 𝑀𝐵, 𝑀𝐶 hamda 𝑀𝐴
1
, 𝑀𝐵
1
, 𝑀𝐶
1
kesmalar 
bo‘lgan uchburchaklar tengdosh bo‘lsin. 
143. 𝐴𝐵𝐶 uchburchak berilgan. 𝐴𝐵 va 𝐶𝐵 nurlarda 𝐴𝐾 = 𝐶𝑀 = 𝐴𝐶 kesmalar qo‘yilgan. a) 
𝐵𝐾𝑀 uchburchakka tashqi chizilgan aylananing radiusi 𝐴𝐵𝐶 uchburchakka ichki va tashqi 
chizilgan aylanalar radiuslarining farqicha ekanligini; b) 𝐾𝑀 to‘g‘ri chiziq 𝐴𝐵𝐶 
uchburchakka ichki va tashqi chizilgan aylanalrning markazlaridan o‘tuvchi to‘g‘ri 
chiziqqa parallel ekanligini isbotlang. 
144. Uchburchakning uchidan unga ichki va tashqi chizilgan aylanalarning markazlari 
orqali o‘tuvchi to‘g‘ri chiziqqa perpendikular to‘g‘ri chiziq o‘tkazilgan. Bu to‘g‘ri chiziq 
uchburchak tomonlari bilan hosil qilgan uchburchaklarga tashqi chizilgan aylanalar 
radiuslarining farqi dastlabki uchburchakka ichki va tashqi chizilgan aylanalarning 
markazlari orasidagi masofaga tengligini isbotlang. 
145. Tomonlari arifmetik progressiya hosil qiluvchi uchburchak berilgan
5
. a) Unga ichki 
chizilgan aylananing radiusi uzunligi bo‘yicha o‘rtacha bo‘lgan tomonga tushirilgan 
balandlikning 
1
3
qismicha ekanligini; b) og‘irlik markazini unga ichki chizilgan aylana 
markazi bilan tutashtiruvchi to‘g‘ri chiziq uzunligi bo‘yicha o‘rtacha bo‘lgan tomonga 
parallel ekanligini;. d) uzunligi bo‘yicha o‘rtacha bo‘lgan tomon qarshisidagi burchak 
bissektrisasi uchburchakka ichki va tashqi chizilgan aylanalar markazlarini tutashtiruvchi 
5
Bunday uchburchak ayirmali uchburchak deb ham ataladi. 

---

to‘g‘ri chiziqqa perpendikular ekanligini; e) uzunligi bo‘yicha o‘rtacha bo‘lgan tomon 
qarshisidagi burchak bissektrisasida olingan istalgan nuqtadan uchburchak 
tomonlarigacha bo‘lgan masofalar yig‘indisi o‘zgarmas ekanligini; f) unga ichki chizilgan 
aylana markazi, uzunligi bo‘yicha eng katta va eng kichik tomonlarining o‘rtalari hamda 
ular hosil qilgan burchakning uchi bir aylanada yotishini isbotlang. 
146. 𝐴𝐵𝐶 uchburchakda 𝐾 – 𝐵𝐶 tomonning o‘rtasi, 𝑀 – 𝐵𝐶 tomonga tushirilgan 
balandlikning asosi. Unga ichki chizilgan aylana 𝐵𝐶 tomonga 𝐷 nuqtada; 𝐵𝐶 tomonga 
hamda 𝐴𝐵 va 𝐴𝐶 tomonlarning davomlariga urinuvchi aylana 𝐵𝐶 tomonga 𝐸 nuqtada 
urinadi. Bu aylanalarga o‘tkazilgan va uchburchak tomonlaridan farqli urinma 𝐾 va 𝑀 
nuqtalardan o‘tuvchi aylanani 𝐹 va 𝐺 nuqtalarda kesib o‘tadi. 𝐷, 𝐸, 𝐹, 𝐺 nuqtalar bitta 
aylanada yotishini isbotlang. 
147. (Eyler to‘g‘ri chizig‘i) Uchburchakning og‘irlik markazi, balandliklarining kesishish 
nuqtasi va unga tashqi chizilgan aylananing markazi bir to‘g‘ri chiziqda yotishini 
isbotlang. 
148. O‘tkir burchakli va o‘tmas burchakli uchburchaklarda Eyler to‘g‘ri chizig‘i qaysi 
tomonlarni kesib o‘tadi? 
149. 𝐾 – 𝐴𝐵𝐶 uchburchakka tashqi chizilgan aylana markaziga 𝐵𝐶 tomonga nisbatan 
simmetrik nuqta bo‘lsin. 𝐴𝐵𝐶 uchburchakning Eyler to‘g‘ri chizig‘i 𝐴𝐾 kesmani teng ikkiga 
bo‘lib o‘tishini isbotlang. 
150. 𝐴𝐵𝐶 uchburchakning Eyler to‘g‘ri chizig‘ida shunday 𝑃 nuqta topiladiki, 𝐴𝐵𝑃, 𝐵𝐶𝑃, 
𝐶𝐴𝑃 uchburchaklarning og‘irlik markazlaridan mos ravishda 𝐶, 𝐴, 𝐵 nuqtalargacha 
bo‘lgan masofalar bir xil. Shuni isbotlang. 
151. Eng katta burchagi 120° dan kichik bo‘lgan 𝐴𝐵𝐶 uchburchakning ichida shunday 𝑃 
nuqta olinganki, ∠𝐴𝑃𝐵 = ∠𝐵𝑃𝐶 = ∠𝐶𝑃𝐴 = 120°. 𝐴𝑃𝐵, 𝐵𝑃𝐶, 𝐶𝑃𝐴 uchburchaklarning 
Eyler to‘g‘ri chiziqlari bir nuqtada kesishishini isbotlang. 
Izoh. Bu masalani yechishda II.296- masala natijasidan foydalaniladi. 
152. Uchburchakka ichki va tashqi chizilgan aylanalarning markazlari orqali o‘tuvchi 
to‘g‘ri chiziq uchlari shu uchburchakka ichki chizilgan aylananing uchburchak 
tomonlariga urinich nuqtalarida bo‘lgan uchburchakning Eyler to‘g‘ri chizig‘i ekanligini 
isbotlang. 
153. (Simson to‘g‘ri chizig‘i) Uchburchakka tashqi chizilgan aylanada olingan nuqtadan 
uchburchak tomonlariga tushirilgan perpendikularlarning asoslari bir to‘g‘ri chiziqda 
yotishini isbotlang. 
154. Aylananing ikki nuqtasiga mos Simson to‘g‘ri chiziqlari orasidagi burchak shu 
nuqtalar orasidagi yoyning yarmicha ekanligini isbotlang. 
155. 𝑀 – 𝐴𝐵𝐶 uchburchakka tashqi chizilgan aylana nuqtasi bo‘lsin. 𝑀 nuqtadan 𝐵𝐶 
tomonga perpendikular qilib o‘tkazilgan to‘g‘ri chiziq aylanani ikkinchi marta 𝑁 nuqtada 
kesib o‘tadi. 𝑀 nuqtaga mos Simson to‘g‘ri chizig‘i 𝐴𝑁 to‘g‘ri chiziqqa parallel ekanligini 
isbotlang. 
156. 𝐴𝐵𝐶 uchburchakda 𝐴𝐵 tomonining 𝑀 nuqtaga mos Simson chizig‘iga proyeksiyasi 𝑀 
ninqtaning 𝐴𝐶 va 𝐵𝐶 tomonlardagi proyeksiyalari orasidagi masofaga tengligini isbotlang. 
157. 𝐴𝐵𝐶 uchburchakning 𝐴𝐴
1
, 𝐵𝐵
1
, 𝐶𝐶
1
balandliklari unga tashqi chizilgan aylanani 
ikkinchi bor mos ravishda 𝐴
2
, 𝐵
2
, 𝐶
2
nuqtalarda kesib o‘tadi. 𝐵
2
va 𝐶
2
nuqtalarga mos 
Simson to‘g‘ri chiziqlari 𝐴
3
nuqtada kesishadi. Xuddi shu tartibda 𝐵
3
va 𝐶
3
nuqtalar hosil 
qilingan. 𝐴
1
𝐵
1
𝐶
1
va 𝐴
3
𝐵
3
𝐶
3
uchburchaklarning og‘irlik markazlari ustma-ust tushishini 
hamda 𝐴
2
𝐴
3
, 𝐵
2
𝐵
3
, 𝐶
2
𝐶
3
to‘g‘ri chiziqlarning bir nuqtada kesishishini isbotlang. 

---

158. 𝐴𝐵𝐶 uchburchakka tashqi chizilgan aylanada 𝐴
1
, 𝐵
1
, 𝐶
1
nuqtalar shunday olinganki, 
𝐴𝐴
1
+ 𝐵𝐵
1
+ 𝐶𝐶
1
= 2𝜋𝑘, bunda 𝑘 ∈ ℤ (bunda yoylar bir yo‘nalishda olingan). 𝐴
1
, 𝐵
1
, 𝐶
1
nuqtalarning 𝐴𝐵𝐶 uchburchakka nisbatan Simson to‘g‘ri chiziqlari bir nuqtada 
kesishishini isbotlang. 
159. (Shyuller masalasi) Parabolaga uning uchida o‘tkazilgan urinma shu parabolaga 
o‘tkazilgan istalgan boshqa uchta urinmaning kesishishidan hosil bo‘lgan uchburchakning 
Simson to‘g‘ri chizig‘i bo‘lishini isbotlang. 
160. (Eyler aylanasi) Uchburchak tomonlarining o‘rtalari, balandliklarining asoslari, 
uchlari va balandliklarining kesishish nuqtalarini tutashtiruvchi kesmalarining o‘rtalari 
bitta aylanada – to‘qqiz nuqta aylanasi – yotishini isbotlang. 
161. Uchburchak balandliklarining kesishish nuqtasi 𝐻, tomonlaridan birining o‘rtasi 𝐷, 
𝐻𝐷 to‘g‘ri chiziqning uchburchakka tashqi chizilgan aylana bilan kesishish nuqtalaridan 
biri 𝐾 (𝐷 nuqta 𝐻𝐾 kesmada) bo‘lsin. 𝐷 nuqta 𝐻𝐾 kesmaning o‘rtasi ekanligini isbotlang. 
162. Uchburchak medianalarining kesishish nuqtasi 𝑀, biror balandligining asosi 𝐸, 𝑀𝐸 
to‘g‘ri chiziqning uchburchakka tashqi chizilgan aylana bilan kesishish nuqtalaridan biri 𝐹 
(𝑀 nuqta 𝐸𝐹 kesmada) bo‘lsin. 𝐹𝑀 = 2𝐸𝑀 ekanligini isbotlang. 
163. 𝐴𝐵𝐶 uchburchakning 𝐵𝐶 tomoniga tushirilgan balandlik tashqi chizilgan aylanani 𝐴
1
nuqtada kesib o‘tsin. To‘qqiz nuqta aylanasining markazidan 𝐵𝐶 tomongacha bo‘lgan 
masofa 
1
4
𝐴𝐴
1
ga teng ekanligini isbotlang. 
164. 𝐴𝐵𝐶 uchburchakning 𝐴𝐴
1
balandligi o‘tkazilgan va balandliklarining kesishish 
nuqtasi 𝐻 bo‘lsin. Unga tashqi chizilgan aylananing istalgan 𝑃 nuqtasi tanlangan bo‘lib, 𝐻𝑃 
to‘g‘ri chiziqda shunday 𝑀 nuqta olinganki, bunda 𝐻𝑃 ∙ 𝐻𝑀 = 𝐻𝐴
1
∙ 𝐻𝐴 (agar 𝐴𝐵𝐶 
uchburchak o‘tkir burchakli bo‘lsa, 𝐻 nuqta 𝑀𝑃 kesmada; o‘tmas burchakli bo‘lsa, 𝐻 nuqta 
𝑀𝑃 kesmadan tashqarida). 𝑀 nuqta 𝐴𝐵𝐶 uchburchakning to‘qqiz nuqta aylanasida 
yotishini isbotlang. 
165. 𝐴𝐵𝐶 uchburchakda 𝐵𝐾 – balandlik, 𝐵𝐿 – mediana, 𝑀 va 𝑁 nuqtalar mos ravishda 𝐴 va 
𝐶 nuqtalarning 𝐵 burchak bissektrisalaridagi proyeksiyalari. 𝐾, 𝐿, 𝑀, 𝑁 nuqtalari markazi 
𝐴𝐵𝐶 uchburchakning to‘qqiz nuqta aylanasida bo‘lgan aylanada yotishini isbotlang. 
166. Balandliklarining kesishish nuqtasi 𝐻 bo‘lgan uchburchakka tashqi chizilgan 
aylanada biror 𝐹 nuqta olingan bo‘lsin. 𝐹 nuqtaga mos Simson to‘g‘ri chizig‘i 𝐹𝐻 to‘g‘ri 
chiziqning to‘qqiz nuqta aylanasi bilan kesishish nuqtalarining biridan o‘tishini isbotlang 
(II.153, II.159- masalalarga qarang). 
167. 𝐴𝐵𝐶 uchburchakka tashqi chizilgan aylananing markazidan o‘tuvchi 𝑙 to‘g‘ri chiziqqa 
𝐴, 𝐵, 𝐶 nuqtalarning mos ravishda 𝐴
1
, 𝐵
1
, 𝐶
1
proyeksiyalari yasalgan. 𝐴
1
, 𝐵
1
, 𝐶
1
nuqtalardan mos ravishda 𝐵𝐶, 𝐶𝐴, 𝐴𝐵 perpendikular to‘g‘ri chiziqlar o‘tkazilgan. Bu to‘g‘ri 
chiziqlar 𝐴𝐵𝐶 uchburchakning to‘qqiz nuqta aylanasida yotuvchi nuqtada kesishishini 
isbotlang. 
168. (Viktor Tebo masalasi) 𝐴𝐵𝐶 uchburchakning 𝐴𝐴
1
, 𝐵𝐵
1
, 𝐶𝐶
1
balandliklari o‘tkazilgan. 
𝐴𝐵
1
𝐶
1
, 𝐴
1
𝐵𝐶
1
, 𝐴
1
𝐵
1
𝐶 uchburchaklarning Eyler to‘g‘ri chiziqlari 𝐴𝐵𝐶 uchburchakning 
to‘qqiz nuqta aylanasida yotuvchi 𝑃 nuqtada kesishishini hamda 𝑃𝐴, 𝑃𝐵, 𝑃𝐶 kesmalardan 
biri qolgan ikkisining yig‘indisiga tengligini isbotlang. 
169. Uchburchakning uchi va shu uchidan tushirilgan balandligining asosidan o‘tib, shu 
uchga o‘tkazilgan tashqi chizilgan aylananing radiusiga urinuvchi uchala aylana 
o‘tkazilgan. Bu aylanalar shu uchburchak Eyler aylanasining ikki nuqtasida kesishishini 
isbotlang. 
170. Uchburchakning uchi hamda shu uchidagi ichki va tashqi burchaklar 
bissektrisalarining asoslaridan o‘tuvchi har uchala aylana o‘tkazilgan (bunday aylana 

---

Apolloniy aylanasi deyiladi). a) Bu aylanalar ikkita (𝑀
1
va 𝑀
2
) nuqtada kesishishini; b) 
𝑀
1
𝑀
2
to‘g‘ri chiziq uchburchakka tashqi chizilgan aylananing markazidan o‘tishini; d) 𝑀
1
va 𝑀
2
nuqtalarning uchburchak tomonlaridagi proyeksiyalari ikkita muntazam 
uchburchakning uchlari bo‘lishini isbotlang. 
171. Uchburchakning medianasiga shu uchdan chiqqan bissektrisaga nisbatan simmetrik 
to‘g‘ri chiziq simediana deb ataladi. 𝐴𝐵𝐶 uchburchakning 𝐵 uchidan chiqarilgan 
simediana 𝐴𝐶 tomonni 𝐾 nuqtada kesib o‘tsin. 𝐴𝐾: 𝐾𝐶 = 𝐴𝐵
2
: 𝐵𝐶
2
ekanligini isbotlang. 
172. 𝐴𝐵𝐶 uchburchakning 𝐴𝐵, 𝐵𝐶, 𝐶𝐴 tomonlarida mos ravishda 𝐹, 𝐷, 𝐸 nuqtalar 𝐷𝐸 ∥
𝐴𝐵, 𝐷𝐹 ∥ 𝐴𝐶 bo‘ladigan qilib olingan. 𝐷, 𝐸, 𝐹 nuqtalardan o‘tuvchi aylana 𝐵𝐶, 𝐶𝐴, 𝐴𝐵 
tomonlarni ikkinchi bor mos ravishda 𝐷
1
, 𝐸
1
, 𝐹
1
nuqtalarda kesib o‘tadi. 𝐷𝐸 va 𝐹
1
𝐷
1
hamda 𝐷𝐹 va 𝐷
1
𝐸
1
to‘g‘ri chiziqlar mos ravishda 𝑀 hamda 𝑁 nuqtalarda kesishsin. 𝑀 va 𝑁 
nuqtalar 𝐴 uchdan chiqqan simedianada yotishini isbotlang. Agar bunda 𝐷 nuqta 
simediananing asosi bilan mos tushsa, 𝐷, 𝐸, 𝐹 nuqtalardan o‘tuvchi aylana 𝐵𝐶 tomonga 
urinishini isbotlang (bu aylana Tukker aylanasi deyiladi). 
173. Uchburchakka tashqi chizilgan aylana va shu uchburchak Apolloniy aylanalarining 
umumiy vatarlari shu uchburchak simedianalari ekanligini isbotlang. 
174. 𝐴𝐵𝐶𝐷 trapetsiyaning 𝐶𝐷 yon tomoni 𝐴𝐷 va 𝐵𝐶 asoslariga perpendikular. 𝐴𝐵 
diametrli aylana 𝐴𝐷 kesmani ikkinchi bor 𝑃 nuqtada kesib o‘tadi. Aylanaga 𝑃 nuqtada 
o‘tkazilgan urinma 𝐶𝐷 ni 𝑀 nuqtada kesib o‘tadi. 𝑀 nuqtadan aylanaga o‘tkazilgan 
ikkinchi urinmaning aylanaga urinish nuqtasi 𝑄. 𝐵𝑄 to‘g‘ri chiziq 𝐶𝐷 kesmani teng ikkiga 
bo‘lib o‘tishini isbotlang. 
175. 𝐴𝐵𝐶 uchburchak balandliklarining kesishish nuqtasining 𝐵 uchdagi ichki va tashqi 
burchak bissektrisalaridagi proyeksiyalari mos ravishda 𝑀 va 𝑁 bo‘lsin. 𝑀𝑁 to‘g‘ri chiziq 
𝐴𝐶 kesmani teng ikkiga bo‘lib o‘tishini isbotlang. 
176. Aylanaga uning 𝐴 va 𝐵 nuqtalarida o‘tkazilgan urinmalar 𝐶 nuqtada kesishadi. 𝐶 
nuqtadan o‘tuvchi aylana 𝐴𝐵 to‘g‘ri chiziqqa 𝐵 nuqtada urinadi va dastlabki aylana bilan 
ikkinchi bor 𝑀 nuqtada kesishadi. 𝐴𝑀 to‘g‘ri chiziq 𝐶𝐵 kesmani teng ikkiga bo‘lib o‘tishini 
isbotlang. 
177. Aylanadan tashqaridagi 𝐴 nuqtadan aylanaga o‘tkazilgan urinmalarning urinish 
nuqtalari 𝑀 va 𝑁 bo‘lib, undan o‘tkazilgan kesuvchi aylanani 𝐾 va 𝐿 nuqtadalarda kesib 
o‘tadi. 𝐴𝑀 to‘g‘ri chiziqqa parallel istalgan 𝑙 to‘g‘ri chiziqni o‘tkazamiz. 𝐾𝑀 va 𝐿𝑀 to‘g‘ri 
chiziqlar 𝑙 to‘g‘ri chiziqni mos ravishda 𝑃 va 𝑄 nuqtalarda kesib o‘tadi. 𝑀𝑁 to‘g‘ri chiziq 
𝑃𝑄 kesmani teng ikkiga bo‘lib o‘tishini isbotlang. 
178. 𝐴𝐵𝐶 uchburchakka ichki chizilgan aylananing 𝐵𝐶 tomon bilan urinish nuqtasidan 
chiqarilgan diametri qolgan urinish nuqtalarini tutashtiruvchi vatarni 𝑁 nuqtada kesib 
o‘tadi. 𝐴𝑁 to‘g‘ri chiziq 𝐵𝐶 kesmani teng ikkiga bo‘lib o‘tishini isbotlang. 
179. 𝐴𝐵𝐶 uchburchakka ichki chizilgan aylana 𝐴𝐶 tomonga 𝑀 nuqtada urinadi. 
Aylananing 𝑀𝐾 diametri o‘tkazilgan. 𝐵𝐾 to‘g‘ri chiziq 𝐴𝐶 kesmani 𝑁 nuqtada kesib o‘tadi. 
𝐴𝑀 = 𝑁𝐶 ekanligini toping. 
180. 𝐴𝐵𝐶 uchburchakka ichki chizilgan aylana 𝐵𝐶 tomonga 𝑀 nuqtada urinadi. 
Aylananing 𝑀𝐾 diametri o‘tkazilgan. 𝐴𝐾 to‘g‘ri chiziq aylanani 𝑃 nuqtada kesib o‘tadi. 
Aylanaga 𝑃 nuqtada o‘tkazilgan urinma 𝐵𝐶 tomonni teng ikkiga bo‘lib o‘tishini isbotlang. 
181. 𝑙 nuqta aylanaga 𝐴 nuqtada urinadi. Aylananing 𝑙 to‘g‘ri chiziqqa parallel 𝐶𝐷 vatari 
o‘tkazilgan va 𝑙 to‘g‘ri chiziqning biror 𝐵 nuqtasi olingan. 𝐶𝐵 va 𝐷𝐵 to‘g‘ri chiziqlar 
aylanani ikkinchi marta mos ravishda 𝐿 va 𝐾 nuqtalarda kesib o‘tadi. 𝐿𝐾 to‘g‘ri chiziq 𝐴𝐵 
kesmani teng ikkiga bo‘lib o‘tishini isbotlang. 

---

182. Kesishuvchi ikki aylananing kesishish nuqtalaridan biri 𝐴. Aylanalar umumiy 
vatarining davomidagi nuqtadan aylanalarning biriga 𝑀 va 𝑁 nuqtalarda urinuvchi 
urinmalar o‘tkazilgan. 𝑀𝐴 va 𝑁𝐴 to‘g‘ri chiziqlarning ikkinchi aylana bilan 𝐴 nuqtadan 
boshqa kesishish nuqtalari mos ravishda 𝑃 va 𝑄 nuqtalar bo‘lsin. 𝑀𝑁 to‘g‘ri chiziq 𝑃𝑄 
kesmani teng ikkiga bo‘lib o‘tishini isbotlang. 
183. 𝐴𝐵𝐶 uchburchakning 𝐵𝐷 balandligini diametr qilib o‘tkazilgan aylana 𝐴𝐵 va 𝐵𝐶 
tomonlarni mos ravishda 𝐾 va 𝐿 nuqtalarda kesib o‘tadi. Aylanaga 𝐾 va 𝐿 nuqtalarda 
o‘tkazilgan urinmalar 𝑀 nuqtada kesishadi. 𝐵𝑀 to‘g‘ri chiziq 𝐴𝐶 tomonni teng ikkiga 
bo‘lib o‘tishini isbotlang. 
184. 𝐴𝐵 kesmaning 𝐵 oxiriga 𝑙 perpendikular o‘tkazilgan. Markazi 𝑙 to‘g‘ri chiziqda bo‘lgan 
aylana 𝐴 nuqtadan o‘tib, 𝑙 to‘g‘ri chiziqni 𝐶 va 𝐷 nuqtalarda kesib o‘tadi. aylanaga 𝐴 va 𝐶 
nuqtalarda o‘tkazilgan urinmalar 𝑁 nuqtada kesishadi. 𝐷𝑁 to‘g‘ri chiziq 𝐴𝐵 kesmani teng 
ikkiga bo‘lib o‘tishini isbotlang. 
185. 𝐴𝐵𝐶 uchburchakka tashqi aylana chizilgan. 𝑁 – aylanaga 𝐵 va 𝐶 nuqtalarda 
o‘tkazilgan urinmalarning kesishish nuqtasi, 𝑀 – aylananing 𝐴𝑀 ∥ 𝐵𝐶 bo‘ladigan nuqtasi, 
𝐾 – 𝑀𝑁 to‘g‘ri chiziq va aylananing kesishish nuqtasi. 𝐾𝐴 to‘g‘ri chiziq 𝐵𝐶 kesmani teng 
ikkiga bo‘lib o‘tishini isbotlang. 
186. 𝐴 nuqta berilgan aylana markazining 𝑙 to‘g‘ri chiziqdagi proyeksiyasi bo‘lsin. Shu 
to‘g‘ri chiziqda 𝐵 va 𝐶 nuqtalar 𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 bo‘ladigan qilib olingan. 𝐵 va 𝐶 nuqtalardan 
aylanaga o‘tkazilgan kesuvchilar aylanani mos ravishda 𝑃, 𝑄 va 𝑀, 𝑁 nuqtalarda kesib 
o‘tadi. Agar 𝑁𝑃 va 𝑀𝑄 to‘g‘ri chiziqlar 𝑙 to‘g‘ri chiziqni 𝑅 va 𝑆 nuqtalarda kesib o‘tsa, 
𝑅𝐴 = 𝐴𝑆 ekanligini isbotlang. 
187. 𝐴𝐵𝐶 uchburchakda 𝐴
1
, 𝐵
1
, 𝐶
1
nuqtalar mos ravishda 𝐵𝐶, 𝐶𝐴, 𝐴𝐵 tomonlarning 
o‘rtalari; 𝐾 va 𝐿 nuqtalar mos ravishda 𝐵 va 𝐶 nuqtalardan mos ravishda 𝐴
1
𝐶
1
va 𝐴
1
𝐵
1
to‘g‘ri chiziqlarga o‘tkazilgan perpendikularlarning asoslari; 𝑂 – 𝐴𝐵𝐶 uchburchak to‘qqiz 
nuqta aylanasining markazi bo‘lsin. 𝐴
1
𝑂 to‘g‘ri chiziq 𝐾𝐿 kesmani teng ikkiga bo‘lib 
o‘tishini isbotlang. 
188. 𝐴
1
, 𝐵
1
, 𝐶
1
nuqtalar biror 𝑃 nuqtaga 𝐴𝐵𝐶 uchburchakning mos ravishda 𝐵𝐶, 𝐶𝐴, 𝐴𝐵 
tomonlariga nisbatan simmetrik nuqtalar bo‘lsin. a) 𝐴
1
𝐵𝐶, 𝐴𝐵
1
𝐶, 𝐴𝐵𝐶
1
uchburchaklarga 
tashqi chizilgan aylanalar umumiy nuqtaga ega ekanligini; b) 𝐴
1
𝐵
1
𝐶, 𝐴
1
𝐵𝐶
1
, 𝐴𝐵
1
𝐶
1
aylanalar umumiy nuqtaga ega ekanligini isbotlang. 
189. Yarimaylananing 𝐴𝐵 diametrida 𝑀 nuqta olingan bo‘lsin. Yarimaylanada 𝐶, 𝐷, 𝐸, 𝐹 
nuqtalar ∠𝐴𝑀𝐷 = ∠𝐸𝑀𝐵, ∠𝐶𝑀𝐴 = ∠𝐹𝑀𝐵 bo‘ladigan qilib olingan. Agar 𝐶𝐷 va 𝐸𝐹 to‘g‘ri 
chiziqlar 𝑃 nuqtada kesishsa, 𝑃𝑀 va 𝐴𝐵 to‘g‘ri chiziqlarning o‘zaro perpendikular 
ekanligini isbotlang. 
190. 𝐴𝐵𝐶 uchburchakda 𝐴𝐵 tomonning 𝐷 o‘rtasidan chiqarilgan perpendikular unga 
tashqi chizilgan aylanani 𝐸 nuqtada (𝐶 va 𝐸 nuqtalar 𝐴𝐵 to‘g‘ri chiziqdan bir tomonda) 
kesib o‘tadi, 𝐹 – 𝐸 nuqtaning 𝐴𝐶 to‘g‘ri chiziqdagi proyeksiyasi. 𝐷𝐹 to‘g‘ri chiziq 𝐴𝐵𝐶 
uchburchak perimetrini teng ikkiga bo‘lib o‘tishini va uchburchakning har bir tomoni 
uchun yasalgan shunday to‘g‘ri chiziqlar bir nuqtada kesishishini isbotlang. 
191. Uchburchakning perimetri va yuzini bir xil nisbatda bo‘lib o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq unga 
ichki chizilgan aylananing markazidan o‘tishini isbotlang. 
192. (Nagel nuqtasi) Uchburchakning uchlaridan o‘tib, uning perimetrini teng ikkiga bo‘lib 
o‘tuvchi to‘g‘ri chiziqlar bitta 𝑁 nuqtada kesishishini isbotlang. Uchburchakning og‘irlik 
markazi 𝑀, ichki chizilgan aylananing markazi 𝐼, uchlari shu uchburchak tomonlarining 
o‘rtalarida bo‘lgan uchburchakka ichki chizilgan aylananing markazi 𝑆 bo‘lsin. U holda, 
𝑀𝑁 = 2𝐼𝑀, 𝐼𝑆 = 𝑆𝑁 bo‘lishini isbotlang. 

---

193. 𝐴𝐵𝐶 uchburchakning tomonlari 𝑎, 𝑏, 𝑐 va 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 2𝑝; medianalarining kesishish 
nuqtasi 𝐺; tashqi va ichki chizilgan aylanalarning markazlari mos ravishda 𝑂 va 𝐼 hamda 
radiuslari mos ravishda 𝑅 va 𝑟; 𝐵𝐶 tomonga tashqi hamda 𝐴𝐵 va 𝐴𝐶 tomonlarning 
davomlariga urinuvchi aylananing markazi va radiusi mos ravishda 𝐼
𝑎
va 𝑟
𝑎
bo‘lsin. 
Isbotlang: a) 𝑎
2
+ 𝑏
2
+ 𝑐
2
= 2𝑝
2
− 2𝑟
2
− 8𝑅𝑟; b) 𝑂𝐺
2
= 𝑅
2
−
1
9
(𝑎
2
+ 𝑏
2
+ 𝑐
2
); d) 
𝐼𝐺
2
=
1
9
(𝑝
2
+ 5𝑟
2
− 16𝑅𝑟); e) 𝑂𝐼
2
= 𝑅
2
− 2𝑅𝑟 (Eyler formulasi); f) 𝑂𝐼
𝑎
2
= 𝑅
2
+ 2𝑅𝑟
𝑎
; g) 
𝐼𝐼
𝑎
2
= 4𝑅(𝑟
𝑎
− 𝑟). 
194. 𝐴𝐵𝐶 uchburchakda 𝐵 va 𝐶 burchaklarning 𝐵𝐵
1
va 𝐶𝐶
1
bissektrisalari o‘tkazilgan 
bo‘lsin. II.193- masala belgilashlarida 𝐵
1
𝐶
1
=
𝑎𝑏𝑐
(𝑏+𝑎)(𝑐+𝑎)𝑅
𝑂𝐼
𝑎
ekanligini isbotlang. 
195. Uchburchakka ichki-tashqi chizilgan aylanalarning markazlariga tashqi chizilgan 
aylananing markaziga nisbatan simmetrik nuqtalar olingan. Ular ichki chizilgan aylana 
bilan konsentrik va radiusi tashqi chizilgan aylananing diametricha bo‘lgan aylanada 
yotishini isbotlang. 
196. 𝐴𝐵𝐶 uchburchakka ichki tashqi chizilgan aylanalarning uchburchak tomonlari va 
tomonlarining davomlariga urinuvchi nuqtalari tutashtirilib, uchta uchburchak hosil 
qilingan. Shu uch uchburchak yuzlarining yig‘indisi dastlabki uchburchak va unga ichki 
chizilgan aylananing uchburchak tomonlariga urinish nuqtalarini tutashtirib hosil qilingan 
uchburchak yuzining yig‘indisiga tengligini isbotlang. 
197. Uchburchakka ichki va tashqi chizilgan aylanalarning radiuslari mos ravishda 𝑟 va 𝑅. 
Ichki chizilgan aylananing uchburchak tomonlariga urinish nuqtalarini tashqi chizilgan 
aylana markazi bilan tutashtiruvchi kesmalar kvadratlarining yig‘indisini toping. 
198. 𝐴𝐵𝐶 uchburchak bissektrisalarining asoslari orqali aylana o‘tkazilgan. Bu aylana 
uchburchak tomonlaridan ajratgan vatarlardan biri qolgan ikkisining yig‘indisiga 
tengligini isbotlang. 
199. 𝐴𝐵𝐶 uchburchakning 𝐴𝐴
1
, 𝐵𝐵
1
, 𝐶𝐶
1
bissektrisalari o‘tkazilgan. 𝐴𝐴
1
va 𝐵
1
𝐶
1
to‘g‘ri 
chiziqlar 𝐿 nuqtada, 𝐶𝐶
1
va 𝐴
1
𝐵
1
to‘g‘ri chiziqlar esa 𝐾 nuqtada kesishsin. 𝐵𝐵
1
nur ∠𝐿𝐵𝐾 
burchakning bissektrisasi ekanligini isbotlang. 
200. 𝐴𝐵𝐶 uchburchakning 𝐴𝐵 va 𝐵𝐶 tomonlarida mos ravishda 𝐾 va 𝐿 nuqtalar 
𝐴𝐾 = 𝐾𝐿 = 𝐿𝐶 bo‘ladigan qilib olingan. 𝐴𝐿 va 𝐶𝐾 to‘g‘ri chiziqlarning kesishish 
nuqtasidan 𝐵 burchakning bissektrisasiga parallel qilib o‘tkazilgan to‘g‘ri chiziq 𝐴𝐵 to‘g‘ri 
chiziqni 𝑀 nuqtada kesib o‘tadi. 𝐴𝑀 = 𝐵𝐶 ekanligini isbotlang. 
201. 𝐴𝐵𝐶 uchburchakda 𝐵 burchakning bissektrisasi 𝐴𝐶 tomon va 𝐴𝐶 tomonga tushirilgan 
balandlikning o‘rtasidan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziqni 𝑀 nuqtada kesib o‘tadi va 𝑁 – 𝐵 burchak 
bissektrisasining o‘rtasi. 𝐶 burchakning bissektrisasi ∠𝑀𝐶𝑁 burchakning ham 
bissektrisasi ekanligini isbotlang. 
202. a) (Shteyner-Lemus masalasi) Ikkita bissektrisasi teng bo‘lgan uchburchakning teng 
yonli bo‘lishini isbotlang. b) 𝐴𝐵𝐶 uchburchakda 𝐴 va 𝐶 burchaklarga qo‘shni bo‘lgan 
burchaklarning bissektrisalari teng hamda ikkalasi ham ∠𝐴𝐵𝐶 burchakning ichida (yoki 
tashqarisida) bo‘lsa, 𝐴𝐵 = 𝐵𝐶 bo‘lishini isbotlang. Ikki tashqi burchak bissektrisasining 
tengligidan uchburchakning teng yonli ekanligi kelib chiqadimi? 
203. Uchburchak bissektrisalarining asoslaridan tuzilgan uchburchak teng yonli bo‘lsa, 
dastlabki uchburchakning o‘zi ham teng yonli bo‘ladimi? 
204. (Paskal masalasi) Aylanaga 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 oltiburchak ichki chizilgan. 𝐴𝐶 va 𝐵𝐹 to‘g‘ri 
chiziqlar 𝐾 nuqtada, 𝐶𝐸 va 𝐹𝐷 to‘g‘ri chiziqlar esa 𝐿 nuqtada kesishsin. Oltiburchakning 
𝐴𝐷 va 𝐵𝐸 diagonallari hamda 𝐾𝐿 to‘g‘ri chiziq bir nuqtada kesishishini isbotlang. 

---

205. 𝐴𝐵𝐶 uchburchak va 𝑀 nuqta berilgan. 𝑀 nuqtadan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq 𝐴𝐵, 𝐵𝐶, 𝐶𝐴 
to‘g‘ri chiziqlarni mos ravishda 𝐶
1
, 𝐴
1
, 𝐵
1
nuqtalarda kesib o‘tadi. 𝐴𝑀, 𝐵𝑀, 𝐶𝑀 to‘g‘ri 
chiziqlar 𝐴𝐵𝐶 uchburchakka tashqi chizilgan aylanani mos ravishda 𝐴
2
, 𝐵
2
, 𝐶
2
nuqtalarda 
kesib o‘tadi. 𝐴
1
𝐴
2
, 𝐵
1
𝐵
2
, 𝐶
1
𝐶
2
to‘g‘ri chiziqlar 𝐴𝐵𝐶 uchburchakka tashqi chizilgan aylanada 
yotuvchi nuqtada kesishishini isbotlang. 
206. Uchburchak balandliklarining kesishish nuqtasidan o‘zaro perpendikular ikki to‘g‘ri 
chiziq o‘tkazilgan. Bu to‘g‘ri chiziqlar uchburchak tomonlarida kesgan kesmalarning (hosil 
bo‘lgan uchburchaklarning tomonlari) o‘rtalari bir to‘g‘ri chiziqda yotishini isbotlang. 
207. 𝐴𝐵𝐶 uchburchak va biror 𝑃 nuqta berilgan. 𝑃 nuqtadan 𝐴𝐵𝐶 uchburchakning 
tomonlariga tushirilgan perpendikularlarning asoslari 𝐴
1
𝐵
1
𝐶
1
uchburchakning; 𝐴𝑃, 𝐵𝑃, 
𝐶𝑃 to‘g‘ri chiziqlar 𝐴𝐵𝐶 uchburchakka tashqi chizilgan aylanani kesib o‘tgan uchburchak 
uchlaridan boshqa nuqtalar 𝐴
2
𝐵
2
𝐶
2
uchburchakning uchlaridir. 𝐴
1
𝐵
1
𝐶
1
va 𝐴
2
𝐵
2
𝐶
2
uchburchaklarnign o‘zaro o‘xshashligini isbotlang. Turli tomonli 𝐴𝐵𝐶 uchburchak uchun 
𝐴
1
𝐵
1
𝐶
1
va 𝐴
2
𝐵
2
𝐶
2
uchburchaklar 𝐴𝐵𝐶 uchburchakka o‘xshash bo‘ladigan nechta 𝑃 nuqta 
topish mumkin? 
208. 𝐴𝐵𝐶 uchburchakning 𝐵𝐶, 𝐶𝐴, 𝐴𝐵 tomonlariga biror 𝑀 nuqtadan tushirilgan 
perpendikularlarning asoslari mos ravishda 𝐴
1
, 𝐵
1
, 𝐶
1
bo‘lsin. 𝐵
1
𝐶
1
va 𝑀𝐴, 𝐶
1
𝐴
1
va 𝑀𝐵, 
𝐴
1
𝐵
1
va 𝑀𝐶 kesmalarning o‘rtalaridan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziqlar bir nuqtada kesishishini 
isbotlang. 
209. (Eyler masalasi) Yuzi 𝑆 bo‘lgan uchburchakka tashqi chizilgan aylananing radiusi 𝑅 
bo‘lsin. Tashqi chizilgan aylananing markazidan 𝑑 masofada olingan nuqtadan 
uchburchak tomonlariga tushirilgan perpendikularlarning asoslari hosil qilgan 
uchburchakning 𝑆
1
yuzi uchun 𝑆
1
= 𝑆 1 −
𝑑
2
𝑅
2
ekanligini isbotlang. 
210. Tekislikning istalgan 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 nuqtalari olingan. 𝐴𝐵, 𝐴𝐶, 𝐴𝐷; 𝐵𝐴, 𝐵𝐶, 𝐵𝐷; 𝐶𝐴, 𝐶𝐵, 
𝐶𝐷; 𝐷𝐴, 𝐷𝐵, 𝐷𝐶 kesmalarning o‘rtalaridan o‘tuvchi to‘rt aylananing umumiy nuqtaga ega 
ekanligini isbotlang. 
211. 𝐴𝐵𝐶 uchburchak va tekislikning biror 𝐷 nuqtasi berilgan. 𝐷 nuqtadan 
uchburchakning tomonalriga tushirilgan perpendikularlarning asoslari hosil qilgan 
uchburchakni 𝐴𝐵𝐶 uchburchakning 𝐷 nuqtaga nisbatan pedal uchburchagi, bu 
uchburchakka tashqi chizilgan aylana esa pedal uchburchak deyiladi. 𝐴𝐷, 𝐵𝐷, 𝐶𝐷 to‘g‘ri 
chiziqlarga mos ravishda 𝐴, 𝐵, 𝐶 burchaklarning bissektrisalariga nisbatan simmetrik 
to‘g‘ri chiziqlarning kesishish nuqtadini 𝐷
1
bilan belgilaymiz. 𝐷 va 𝐷
1
nuqtalarning pedal 
uchburchaklari mos ekanligini ayting. 
212. Tekislikning hech qaysi uchtasi bir to‘g‘ri chiziqda yotmaydigan to‘rtta nuqtasi 
olingan. Har bir nuqtaning qolgan uchta nuqta hosil qilgan uchburchakka nisbatan pedal 
aylanalari umumiy nuqtaga ega ekanligini isbotlang. 
213. 𝐴𝐵𝐶 uchburchakka tashqi chizilgan aylananing markazidan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq 𝐴𝐵 
va 𝐴𝐶 to‘g‘ri chiziqlarni mos ravishda 𝐶
1
va 𝐵
1
nuqtalarda kesib o‘tadi. 𝐵𝐵
1
va 𝐶𝐶
1
kesmalarni diametr qilib yasalgan aylanalarning kesishish nuqtalaridan biri 𝐴𝐵𝐶 
uchburchakka tashqi chizilgan aylanada, ikkinchisi esa 𝐴𝐵𝐶 uchburchakning to‘qqiz nuqta 
aylanasida yotishini isbotlang. 
5- §. To‘rtburchaklar 
214. Diametri 𝐴𝐵 bo‘lgan aylanaga 𝐴𝐵𝐶𝐷 to‘rtburchak ichki chizilgan. 𝐴𝐷 va 𝐶𝐷 
tomonlarning 𝐵𝐶 tomondagi proyeksiyalari tengligini isbotlang. 

---

215. Qavariq 𝐴𝐵𝐶𝐷 to‘rtburchakning diagonallari 𝑂 nuqtada kesishsin. Agar 𝐵, 𝐶, 𝑂 
nuqtalarning 𝐴𝐷 to‘g‘ri chiziqdagi proyeksiyalari mos ravishda 𝐸, 𝐹, 𝐺 bo‘lsa, 
to‘rtburchakning yuzi 
𝐴𝐷∙𝐵𝐸∙𝐶𝐹
2𝑂𝐺
ekanligini isbotlang. 
216. Qavariq 𝐴𝐵𝐶𝐷 to‘rtburchakning uchtadan tomonlariga urinadigan to‘rtta aylanani 
qaraymiz. a) Bu aylanalarning markazlari bitta aylanada yotishini isbotlang. b) Bu 
aylanalardan 𝐷𝐶, 𝐷𝐴, 𝐴𝐵, 𝐵𝐶 tomonga urinmaydiganlarining radiuslari mos ravishda 𝑟
1
, 
𝑟
2
, 𝑟
3
, 𝑟
4
bo‘lsin. U holda, 
𝐴𝐵
𝑟
1
+
𝐶𝐷
𝑟
3
=
𝐵𝐶
𝑟
2
+
𝐴𝐷
𝑟
4
ekanligini isbotlang. 
217. Tomonlari 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 va yarimperimetri 𝑝 bo‘lgan aylanaga ichki chizilgan 
to‘rtburchakning 𝑆 yuzi uchun 𝑆 = (𝑝 − 𝑎)(𝑝 − 𝑏)(𝑝 − 𝑐)(𝑝 − 𝑑) tenglikni isbotlang. 
218. Tomonlari 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 va qarama-qarshi burchaklarining yig‘indisi 2𝜑 bo‘lgan 
to‘rtburchakka aylana ichki chizilgan. To‘rtburchakning 𝑆 yuzi uchun 𝑆 = 𝑎𝑏𝑐𝑑 sin 𝜑 
tenglikni isbotlang. 
219. Qavariq 𝐴𝐵𝐶𝐷 to‘rtburchakning 𝐴𝐵 va 𝐶𝐷 tomonlarida mos ravishda 𝐴𝑀: 𝑀𝐵 =
𝐶𝑁: 𝑁𝐷 bo‘ladigan 𝑀 va 𝑁 nuqtalar olingan. Bu nuqtalarni to‘rtburchakning hamma 
uchlari bilan tutashtirilganda to‘rtburchak oltita uchburchak va bitta to‘rtburchakka 
ajraldi. Hosil bo‘lgan to‘rtburchakning yuzi 𝐵𝐶 va 𝐴𝐷 tomonlarga yopishgan 
uchburchaklar yuzlarining yig‘indisiga tengligini isbotlang. 
220. Aylananing 𝐴𝐵 diametri va uni kesib o‘tmaydigan 𝐶𝐷 vatari o‘tkazilgan. 𝐴 va 𝐵 
nuqtalardan 𝐶𝐷 to‘g‘ri chiziqqa tushirilgan perpendikularlarning asoslari mos ravishda 𝐸 
va 𝐹 bo‘lsin. 𝐴𝐸𝐹𝐵 to‘rtburchakning yuzi 𝐴𝐶𝐵 va 𝐴𝐷𝐵 uchburchaklarning yuzlari 
yig‘indisiga tengligini isbotlang. 
221. Qavariq 𝑄
1
to‘rtburchak tomonlarining o‘rta perpendikularlari 𝑄
2
to‘rtburchak hosil 
qiladi. Xuddi 𝑄
2
to‘rtburchak hosil qilnganidek, 𝑄
3
to‘rtburchak hosil qilindi. 𝑄
1
va 𝑄
3
to‘rtburchaklarning o‘xshashligini isbotlang. 
222. Qavariq 𝐴𝐵𝐶𝐷 to‘rtburchakning 𝐵𝐶 va 𝐷𝐴 tomonlarida mos ravishda 𝑀 va 𝑁 
nuqtalar 𝐵𝑀: 𝑀𝐶 = 𝐴𝑁: 𝑁𝐷 = 𝐴𝐵: 𝐶𝐷 bo‘ladigan qilib olindi. 𝑀𝑁 to‘g‘ri chiziqning 𝐴𝐵 va 
𝐶𝐷 to‘g‘ri chiziqlar hosil qilgan burchak bissektrisasiga parallel ekanligini isbotlang. 
223. Qavariq to‘rtburchakning diagonallari uni ajratgan uchburchaklarga ichki chizilgan 
aylanalarning radiuslari teng. Bu to‘rtburchakning romb ekanligini isbotlang. 
224. To‘rtburchakning diagonallari uni perimetrlari teng bo‘lgan to‘rtta uchburchakka 
ajratadi. Bu to‘rtburchakning romb ekanligini isbotlang. 
225. 𝐴𝐵𝐶𝐷 to‘rtburchakda 𝐴𝐵𝐶, 𝐵𝐶𝐷, 𝐶𝐷𝐴, 𝐷𝐴𝐵 uchburchaklarga ichki chizilgan 
aylanalarning radiuslari teng. 𝐴𝐵𝐶𝐷 to‘rtburchakning to‘g‘ri to‘rtburchak ekanligini 
isbotlang. 
226. Aylanaga 𝐴𝐵𝐶𝐷 to‘rtburchak ichki chizilgan. 𝐴 va 𝐶 nuqtalarga o‘tkazilgan 
urinmalarning kesishish nuqtasi 𝑀, 𝐵 va 𝐷 nuqtalarga o‘tkazilgan urinmalarning kesishish 
nuqtasi 𝑁, 𝐴 va 𝐶 burchaklar bissektrisalarining kesishish nuqtasi 𝐾, 𝐵 va 𝐷 burchaklar 
bissektrisalarining kesishish nuqtasi 𝐿 bo‘lsin. Agar quyidagi to‘rt vaziyatdan biri 
bajarilsa, qolganlari ham bajarilishini isbotlang: 1) 𝑀 nuqta 𝐵𝐷 to‘g‘ri chiziqda yotadi; 2) 
𝑁 nuqta 𝐴𝐶 to‘g‘ri chiziqda yotadi; 3) 𝐾 nuqta 𝐵𝐷 to‘g‘ri chiziqda yotadi; 4) 𝐿 nuqta 𝐴𝐶 
to‘g‘ri chiziqda yotadi. 
227. Aylanaga ichki chizilgan to‘rtburchakning uchidan shu uchdan o‘tmaydigan 
tomonlarga tushirilgan perpendikularlarning asoslaridan to‘g‘ri chiziq o‘tkazildi. Shunday 
hosil qilingan to‘rtta to‘g‘ri chiziqning bir nuqtada kesishishini isbotlang. 
228. Aylananing 𝐴𝐵 va 𝐶𝐷 vatarlari o‘tkazilgan. 𝐴𝐵 kesmaga 𝐴 nuqtada va 𝐶𝐷 kesmaga 𝐶 
nuqtada o‘tkazilgan perpendikularlar 𝑀 nuqtada, 𝐴𝐵 kesmaga 𝐵 nuqtada va 𝐶𝐷 kesmaga 

---

𝐷 nuqtada o‘tkazilgan perpendikularlar 𝑁 nuqtada kesishadi. 𝑀𝑁 to‘g‘ri chiziq 𝐵𝐶 va 𝐴𝐷 
kesmalarning kesishish nuqtasidan o‘tishini isbotlang. 
229. 𝐴𝐵𝐶𝐷 parallelogramning 𝐴 va 𝐵 hamda 𝐵 va 𝐶 uchlaridan 𝑅 radiusli aylanalar 
o‘tkazilgan. Bu aylanalarning ikkinchi kesishish nuqtasi 𝑀 bo‘lsin. 𝐴𝑀𝐷 va 𝐶𝑀𝐷 
uchburchaklarga tashqi chizilgan aylanalarning radiuslari 𝑅 dan ekanligini isbotlang. 
230. 𝐴𝐵𝐶𝐷 parallelogramda 𝐴𝐵 va 𝐴𝐷 to‘g‘ri chiziqlarga urinuvchi aylana 𝐵𝐷 to‘g‘ri 
chiziqni 𝑀 va 𝑁 nuqtalarda kesib o‘tadi. 𝑀 va 𝑁 nuqtalardan o‘tib, 𝐶𝐵 va 𝐶𝐷 to‘g‘ri 
chiziqlarga urinuvchi aylana mavjudligini isbotlang. 
231. 𝐴𝐵𝐶𝐷 parallelogramning 𝐴𝐶 diagonalini diametr qilib yasalgan aylana 𝐴𝐵 va 𝐴𝐷 
to‘g‘ri chiziqlarni mos ravishda 𝑀 va 𝑁 nuqtalarda kesib o‘tadi. 𝐵𝐷 va 𝑀𝑁 to‘g‘ri chiziqlar 
hamda aylanaga 𝐶 nuqtada o‘tkazilgan urinma bir nuqtada kesishishini isbotlang. 
232. 𝐴𝐵𝐶𝐷 to‘rtburchak aylanaga ichki chizilgan. 𝐴𝐵𝐶, 𝐵𝐶𝐷, 𝐶𝐷𝐴, 𝐷𝐴𝐵 uchburchaklarga 
ichki chizilgan aylanalarning markazlari mos ravishda 𝑂
1
, 𝑂
2
, 𝑂
3
, 𝑂
4
; balandliklarining 
kesishish nuqtasi mos ravishda 𝐻
1
, 𝐻
2
, 𝐻
3
, 𝐻
4
bo‘lsin. 𝑂
1
𝑂
2
𝑂
3
𝑂
4
to‘rtburchakning to‘g‘ri 
to‘rtburchak va 𝐻
1
𝐻
2
𝐻
3
𝐻
4
to‘rtburchakning 𝐴𝐵𝐶𝐷 to‘rtburchakka tengligini isbotlang. 
233. 𝐴𝐵𝐶 uchburchak va tekislikning biror 𝐷 nuqtasi berilgan. 𝐴𝐵𝐷, 𝐵𝐶𝐷, 𝐶𝐴𝐷 
uchburchaklar balandliklarining kesish nuqtalari 𝐴𝐵𝐶 uchburchakka tengdosh 
uchburchakning uchlari ekanligini isbotlang. 
234. To‘rtburchakka ichki aylana chizish mumkin bo‘lsa, uning diagonali ajratgan 
uchburchaklarga ichki chizilgan aylanalarning o‘zaro urinishini va bu aylanalarning 
to‘rtburchak tomonlariga urinish nuqtalari aylanaga ichki chizilgan to‘rtburchakning 
uchlari bo‘lishini isbotlang. 
235. Aylanaga ichki 𝐴𝐵𝐶𝐷 to‘rtburchak chizilgan. 𝐴𝐵𝐶 va 𝐴𝐶𝐷 hamda 𝐵𝐶𝐷 va 𝐵𝐷𝐴 
uchburchaklarga ichki chizilgan aylanalarning radiuslari yig‘indisi tengligini isbotlang. 
236. (Bretshneyder teoremasi – to‘rtburchak uchun kosinuslar teoremasi) 
To‘rtburchakning ketma-ket tomonlari 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 hamda diagonallari 𝑚 va 𝑛 bo‘lsin. Agar 
to‘rtburchakning qarama-qarshi burchaklari 𝐴 va 𝐶 bo‘lsa, 𝑚
2
𝑛
2
= 𝑎
2
𝑐
2
+ 𝑏
2
𝑑
2
−
2𝑎𝑏𝑐𝑑 cos(𝐴 + 𝐶) ekanligini isbotlang. 
237. (Ptolemey teoremasi) Aylanaga ichki chizilgan to‘rtburchakning ketma-ket tomonlari 
𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 va diagonallari 𝑚, 𝑛 bo‘lsa, 𝑚𝑛 = 𝑎𝑐 + 𝑏𝑑 bo‘ladi. 
238. (Pompeyu teoremasi) Teng tomonli 𝐴𝐵𝐶 uchburchakka tashqi chizilgan aylanada 
yotmaydigan 𝑀 nuqta olingan bo‘lsin. U holda, tomonlari 𝑀𝐴, 𝑀𝐵, 𝑀𝐶 bo‘lgan uchburchak 
yasash mumkin. Agar ∠𝐴𝑀𝐶 = 𝛼 bo‘lsa, shu uchburchakning 𝑀𝐵 tomon qarshisidagi 
burchagini toping. 
239. (Ptolemeyning umumlashgan teoremasi) Aylanaga 𝐴𝐵𝐶𝐷 to‘rtbuchak ichki chizilgan 
bo‘lib, 𝛼, 𝛽, 𝛾, 𝛿 aylanalar bu aylanaga mos ravishda 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 nuqtalarda urinadi. 𝑡
𝛼𝛽
bilan 𝛼 va 𝛽 aylanalarning 1) birinchi aylanaga bir xil (ichki yoki tashqi) uringan bo‘lsa, 
umumiy tashqi urinmasi kesmasini; 2) birinchi aylanaga har xil (biri ichki, ikkinchisi 
tashqi) uringan bo‘lsa, umumiy ichki urinmasi kesmasini belgilaymiz. Xuddi shu tarzda 
𝑡
𝛽𝛾
, 𝑡
𝛾𝛿
, 𝑡
𝛿𝛼
, 𝑡
𝛼𝛾
, 𝑡
𝛽𝛿
kesmalar aniqlanadi. U holda, 𝑡
𝛼𝛽
𝑡
𝛾𝛿
+ 𝑡
𝛽𝛾
𝑡
𝛿𝛼
= 𝑡
𝛼𝛾
𝑡
𝛽𝛿
ekanligini 
isbotlang. 
240. Tekislikda 𝛼, 𝛽, 𝛾, 𝛿 aylanalar olingan bo‘lib, istalgan uchta aylana uchun yoki uchta 
tashqi yoki bitta tashqi va ikkita ichki umumiy urinmalar 𝑡
𝛼𝛽
, 𝑡
𝛽𝛾
, 𝑡
𝛾𝛿
, 𝑡
𝛿𝛼
, 𝑡
𝛼𝛾
, 𝑡
𝛽𝛿
ko‘rinishda aniqlangan. Agar 𝑡
𝛼𝛽
𝑡
𝛾𝛿
+ 𝑡
𝛽𝛾
𝑡
𝛿𝛼
= 𝑡
𝛼𝛾
𝑡
𝛽𝛿
tenglik o‘rinli bo‘lsa, 𝛼, 𝛽, 𝛾, 𝛿 
aylanalar bitta aylanaga urinishini isbotlang. 
241. Qavariq 𝐴𝐵𝐶𝐷 to‘rtburchak 𝐴𝐵 va 𝐷𝐶 tomonlarining davomlari 𝐾 nuqtada, 𝐴𝐷 va 𝐵𝐶 
tomonlarining davomlari 𝐿 nuqtada kesishadi. Shu bilan birga, 𝐵𝐿 va 𝐷𝐾 kesmalar 

---

kesishadi. Agar quyidagi uchta tenglikdan biri bajarilsa, qolgan ikkitasi ham bajarlishini 
isbotlang: 1) 𝐴𝐵 + 𝐶𝐷 = 𝐵𝐶 + 𝐴𝐷; 2) 𝐵𝐾 + 𝐵𝐿 = 𝐷𝐾 + 𝐷𝐿; 3) 𝐴𝐾 + 𝐶𝐿 = 𝐴𝐿 + 𝐶𝐾. 
242. Qavariq 𝐴𝐵𝐶𝐷 to‘rtburchak 𝐴𝐵 va 𝐷𝐶 tomonlarining davomlari 𝐾 nuqtada, 𝐴𝐷 va 𝐵𝐶 
tomonlarining davomlari 𝐿 nuqtada kesishadi. Shu bilan birga, 𝐵𝐿 va 𝐷𝐾 kesmalar 
kesishadi. Agar quyidagi uchta tenglikdan biri bajarilsa, qolgan ikkitasi ham bajarlishini 
isbotlang: 1) 𝐴𝐷 + 𝐷𝐶 = 𝐴𝐵 + 𝐶𝐵; 2) 𝐴𝐾 + 𝐶𝐾 = 𝐴𝐿 + 𝐶𝐿; 3) 𝐵𝐾 + 𝐷𝐾 = 𝐵𝐿 + 𝐷𝐿. 
243. Agar 𝐴𝐵, 𝐵𝐶, 𝐶𝐷, 𝐷𝐴 to‘g‘ri chiziqlarga urinuvchi aylana mavjud bo‘lsa, uning 
markazi 𝐴𝐶 va 𝐵𝐷 kesmalarning markazlari bilan bir to‘g‘ri chiziqda yotishini isbotlang. 
244. Aylanaga 𝐴𝐵𝐶𝐷 to‘rtburchak ichki chizilgan. 𝐴 nuqtada 𝐵𝐴 va 𝐷𝐴 kesmalarga 
qo‘yilgan perpendikularlar mos ravishda 𝐶𝐷 va 𝐵𝐶 to‘g‘ri chiziqlarni mos ravishda 𝑀 va 𝑁 
nuqtalarda kesib o‘tadi. 𝑀𝑁 to‘g‘ri chiziq 𝐴𝐵𝐶𝐷 to‘rtburchakka tashqi chizilgan 
aylananing markazidan o‘tishini isbotlang. 
245. Aylanaga 𝐴𝐵𝐶𝐷 to‘rtburchak ichki chizilgan. 𝐴𝐵 va 𝐶𝐷 to‘g‘ri chiziqlarda mos 
ravishda 𝐸 va 𝐹 nuqtalar olingan. 𝐴𝐹 va 𝐷𝐸 to‘g‘ri chiziqlar aylanani mos ravishda 𝑀 va 𝑁 
nuqtalarda kesib o‘tadi. 𝐵𝐶, 𝐸𝐹, 𝑀𝑁 to‘g‘ri chiziqlar bir nuqtada kesishishini yoki o‘zaro 
parallel ekanligini isbotlang. 
246. Aylanaga ichki chizilgan to‘rtburchak diagonallarining kesishish nuqtasidan 
to‘rtburchakning tomonlariga tushirilgan perpendikularlarning asoslari uchlari bo‘lgan 
to‘rtburchakka ichki aylana chizish mumkinligini isbotlang. Agar to‘rtburchakning 
diagonallari perpendikular, birinchi aylananing radiusi 𝑅 va uning markazidan 
diagonallar kesishish nuqtasigacha bo‘lgan masofa 𝑑 bo‘lsa, ikkinchi aylananing radiusini 
toping. 
247. Aylanaga ichki chizilgan to‘rtburchakning diagonallari perpendikular. Uning 
tomonlarining o‘rtalari va diagonallar kesishish nuqtasidan tomonlarga tushirilgan 
perpendikularlarning asoslari bitta aylanada yotishini isbotlang. Agar birinchi aylananing 
radiusi 𝑅 va uning markazidan diagonallar kesishish nuqtasigacha bo‘lgan masofa 𝑑 
bo‘lsa, ikkinchi aylananing radiusini toping. 
248. To‘rtburchakka 𝑅 va 𝑟 radiusli aylanalar mos ravishda tashqi va ichki chizilgan bo‘lib, 
ularning markazlari orasidagi masofa 𝑑 bo‘lsin. U holda, 
1
(𝑅+𝑑)
2
+
1
(𝑅−𝑑)
2
=
1
𝑟
2
ekanligini 
isbotlang. Bu tenglik katta aylanaga ichki va kichik aylanaga tashqi chizilgan istalgan 
to‘rtburchak uchun o‘rinli. 
249. Qavariq to‘rtburchakni diagonallari bilan to‘rtta uchburchakka ajratilgan. Bunda 
hosil bo‘lgan qarama-qarshi uchburchaklarning og‘irlik markazlari orqali o‘tadigan to‘g‘ri 
chiziqlar perpendikular ekanligini isbotlang. 
250. Aylanaga 𝐴𝐵𝐶𝐷 to‘rtburchak ichki chizilgan. 𝑀 va 𝑁 nuqtalar mos ravishda 𝐴𝐶 va 𝐵𝐷 
tomonlarning o‘rtalari. Agar 𝐵𝐷 nur ∠𝐴𝑁𝐶 burchakning bissektrisasi bo‘lsa, 𝐴𝐶 nur 
∠𝐵𝑀𝐷 burchakning bissektrisasi bo‘lishini isbotlang. 
251. Aylanaga 𝐴𝐵𝐶𝐷 to‘rtburchak ichki chizilgan. Qarama-qarshi 𝐴𝐵 va 𝐶𝐷 tomonlarning 
davomlari 𝐾 nuqtada, 𝐵𝐶 va 𝐴𝐷 tomonlarning davomlari 𝐿 nuqtada kesishadi. ∠𝐵𝐾𝐶 va 
∠𝐵𝐿𝐴 burchaklarning bissektrisalari perpendikular bo‘lib, 𝐴𝐶 va 𝐵𝐷 tomonlarning 
o‘rtalarini tutashtiruvchi to‘g‘ri chiziqda kesishishini isbotlang. 
252. To‘rtburchakning diagonallari perpendikular. Uning har bir uchi va shu uchiga 
qo‘shni ikki uchi orqali o‘tkazilgan aylananing markazi hamda o‘sha uch orqali to‘g‘ri 
chiziq o‘tkazilgan. Shunday hosil qilingan to‘rtta to‘g‘ri chiziq bir nuqtada kesishishini 
isbotlang. 
253. (Brokar masalasi) Aylanaga ichki chizilgan to‘rtburchakning diagonallari kesishish 
nuqtasi 𝑃, qarama-qarshi tomonlarining davomlarining kesishish nuqtalari esa 𝑄 va 𝑀 

---

bo‘lsin. 𝑃𝑄𝑀 uchburchak balandliklarining kesishish nuqtasi shu to‘rtburchakka tashqi 
chizilgan aylananing markazi bilan ustma-ust tushishini isbotlang. 
254. Aylanaga tashqi chizilgan 𝐴𝐵𝐶𝐷 to‘rtburchakda 𝐴𝐵 va 𝐶𝐷 hamda 𝐴𝐷 va 𝐵𝐶 
tomonlarning davomlari mos ravishda 𝐾 va 𝐿 nuqtalarda kesishadi. 𝐾𝐿, 𝐴𝐶, 𝐵𝐷 to‘g‘ri 
chiziqlar hosil qilgan uchburchak balandliklarining kesishish nuqtasi shu aylana markazi 
bilan ustma-ust tushishini isbotlang. 
255. Qavariq 𝐴𝐵𝐶𝐷 to‘rtburchakda ∠𝐴𝐵𝐶 = ∠𝐴𝐷𝐶. 𝐴 nuqtadan 𝐵𝐶 va 𝐶𝐷 to‘g‘ri 
chiziqlarga tushirilgan perpendikularlarning asoslari mos ravishda 𝑀 va 𝑁, 𝑀𝐷 va 𝑁𝐵 
to‘g‘ri chiziqlarning kesishish nuqtasi 𝐾. 𝐴𝐾 va 𝑀𝑁 to‘g‘ri chiziqlarning o‘zaro 
perpendikular ekanligini isbotlang. 
256. (Mikel nuqtasi) Tekislikdagi to‘rtta kesishuvchi to‘g‘ri chiziq hosil qilgan to‘rtta 
uchburchakka tashqi chizilgan aylanalar umumiy nuqtaga ega ekanligini isbotlang. 
257. Tekislikdagi to‘rtta kesishuvchi to‘g‘ri chiziq hosil qilgan to‘rtta uchburchakka tashqi 
chizilgan aylanalarning markazlari bir aylanada yotishini isbotlang. 
258. Keshishuvchi to‘rtta to‘g‘ri chiziqlar uchun Mikel nuqtasi 𝑀 bo‘lsin (II.256). Agar 
to‘g‘ri chiziqlarning juft-juft kesishishidan hosil bo‘lgan oltita nuqtadan to‘rttasi 𝑂 
markazli aylanada yotsa, qolgan ikkita nuqta orqali o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq 𝑀 nuqtadan 
o‘tishini va 𝑂𝑀 to‘g‘ri chiziqqa perpendikular ekanligini isbotlang. 
259. Juft-juft kesishuvchi to‘rtta to‘g‘ri chiziq to‘rtta uchburchak hosil qiladi. Agar to‘g‘ri 
chiziqlardan biri qolgan uchta to‘g‘ri chiziq hosil qilgan uchburchakning Eyler to‘g‘ri 
chizig‘iga (II.147) parallel bo‘lsa, qolgan to‘g‘ri chiziqlar ham shu xossaga egaligini 
isbotlang. 
260. To‘g‘ri chiziq 𝐴𝐵𝐶 uchburchakning 𝐴𝐵, 𝐵𝐶, 𝐶𝐴 tomonlarini mos ravishda 𝐷, 𝐸, 𝐹 
nuqtalarda kesib o‘tadi. 𝐷𝐶, 𝐴𝐸, 𝐵𝐹 to‘g‘ri chiziqlar 𝐾𝐿𝑀 uchburchak hosil qiladi. 𝐷𝐶, 𝐴𝐸, 
𝐵𝐹 kesmalarni diametr qilib yasalgan aylanalar ikkita 𝑃 va 𝑁 nuqtalarda kesishishini (ular 
juft-juft kesishadi deb olamiz); 𝑃𝑁 to‘g‘ri chiziq 𝐾𝐿𝑀 uchburchakka tashqi chizilgan 
aylana markazidan hamda 𝐴𝐵𝐶, 𝐵𝐷𝐸, 𝐷𝐴𝐹, 𝐶𝐸𝐹 uchburchaklarning balandliklari 
kesishish uqtasidan o‘tishini isbotlang. 
261. To‘g‘ri chiziq 𝐴𝐵𝐶 uchburchakning 𝐴𝐵, 𝐵𝐶, 𝐶𝐴 tomonlarini mos ravishda 𝐷, 𝐸, 𝐹 
nuqtalarda kesib o‘tadi. 𝐴𝐵𝐶, 𝐵𝐷𝐸, 𝐷𝐴𝐹, 𝐶𝐸𝐹 uchburchaklarning balandliklari kesishgan 
nuqtalar Gauss to‘g‘ri chizig‘iga (II.53) perpendikular bo‘lgan bitta to‘g‘ri chiziqda 
yotishini isbotlang. 
262. (Ervey nuqtasi) Tekislikda to‘rtta to‘g‘ri chiziq hosil qilgan uchburchaklarning 
balandliklari kesishish nuqtalari va mos tashqi chizilgan aylanalarning markazlarini 
tutashtiruvchi kesmalarning o‘rta perpendikularlari bitta nuqtada kesishishini isbotlang. 
263. Tekislikning kesishuvchi to‘rtta to‘g‘ri chizig‘i hosil qilgan to‘rtta uchburchakka ichki 
va ichki-tashqi chizilgan aylanalarning markazlari bo‘lgan o‘n oltita nuqtani qaraymiz. Bu 
nuqtalarni har to‘rttasi bir aylanada yotadigan to‘rtta to‘rtlikka ajratish mumkinligini 
isbotlang. Birinchi taqsimotda bu to‘rtta aylananing markazlari bir to‘g‘ri chiziqda, 
ikkinchi taqsimotda ikkinchi to‘g‘ri chiziqda yotishini; shu ikki to‘g‘ri chiziqning o‘zaro 
perpendikular ekanligini; shu ikki to‘g‘ri chiziq to‘rtala uchburchakning Mikel nuqtasida 
kesishishini isbotlang. 
6- §. Aylana va urinmalar. Feyerbax teoremasi 
264. To‘g‘ri chiziqda ketma-ket 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 nuqtalar 𝐵𝐶 = 2𝐴𝐵, 𝐶𝐷 = 𝐴𝐶 bo‘ladigan qilib 
olingan. 𝐴 va 𝐶 hamda 𝐵 va 𝐷 nuqtalardan o‘tadigan ikki aylananing umumiy vatari 𝐴𝐶 
kesmani teng ikkiga bo‘lib o‘tishini isbotlang. 

---

265. (Arximed masalasi) 𝐴𝐶 kesmada 𝐵 nuqta olingan bo‘lsin. Diametrlari 𝐴𝐵, 𝐵𝐶, 𝐶𝐴 
bo‘lgan va 𝐴𝐶 to‘g‘ri chiziqdan bir tomonda yotgan yarimaylanalar chegaralagan shakl 
etikdo‘z pichog‘i yoki Arximed arbelosi deyiladi. 𝐵 nuqtada 𝐴𝐶 kesmaga o‘tkazilgan 
perpendikular to‘g‘ri chiziqqa perpendikular va yarimaylanalardan ikkitasiga urinuvchi 
ikki aylananinh radiuslari tengligini isbotlang. 
266. Markazlari 𝑂
1
, 𝑂
2
, 𝑂
3
bo‘lgan uchta aylananing har biri tekislikning berilgan ikki 
nuqtasidan o‘tadi. Bu nuqtalarning biridan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq aylanalarni ikkinchi 
marta 𝐴
1
, 𝐴
2
, 𝐴
3
nuqtalarda kesib o‘tadi. U holda, 𝐴
1
𝐴
2
: 𝐴
2
𝐴
3
= 𝑂
1
𝑂
2
: 𝑂
2
𝑂
3
ekanligini 
isbotlang. 
267. Kesishmaydigan ikki aylana berilgan. Bu aylanalarga o‘tkazilgan umumiy tashqi 
urinmalarning to‘rtta urinish nuqtalari bir aylanada yotishini; umumiy ichki 
urinmalarning to‘rtta urinish nuqtalari bir aylanada yotishini; umumiy tashqi va umumiy 
ichki urinmalarning to‘rtta kesishish nuqtalari bir aylanada yotishini; shu uch aylana 
o‘zaro konsentrik ekanligini isbotlang. 
268. Kesishmaydigan ikki aylana berilgan. Markazi shu ikki aylananing markazlar 
chizig‘ida yotgan uchinchi aylana bu aylanalarga ichki urinadi. Uchinchi aylana dastlabki 
ikki aylananing umumiy ichki urinmalarini kesib o‘tgan to‘rtta nuqta hosil qilgan 
to‘rtburchakning ikki tomoni dastlabki ikki aylanaga o‘tkazilgan umumiy tashqi 
urinmalarga parallel ekanligini isbotlang. 
269. Ikki aylanadan birining markazi orqali o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq shu aylanani 𝐴 va 𝐶 
nuqtalarda, ikkinchi aylanani 𝐵 va 𝐷 nuqtalarda kesib o‘tadi. Agar 𝐴𝐵: 𝐵𝐶 = 𝐴𝐷: 𝐷𝐶 
bo‘lsa, bu ikki aylananing perpendikular ekanligini (kesishish nuqtalariga o‘tkazilgan 
urinmalar perpendikular) isbotlang. 
270. 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 nuqtalar bir to‘g‘ri chiziqda yoki bir aylanada yotadi. 𝐴 va 𝐵, 𝐵 va 𝐶, 𝐶 va 𝐷, 
𝐷 va 𝐴 nuqtalar orqali to‘rtta aylana o‘tkazilgan. Birinchi va ikkinchi, ikkinchi va uchinchi, 
uchinchi va to‘rtinchi, to‘rtinchi va birinchi aylanalarning 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 nuqtalardan farqli 
kesishish nuqtalari mos ravishda 𝐵
1
, 𝐶
1
, 𝐷
1
, 𝐴
1
bo‘lsin. 𝐴
1
, 𝐵
1
, 𝐶
1
, 𝐷
1
nuqtalar bir to‘g‘ri 
chiziqda yoki bir aylanada yotishini isbotlang. 
271. Aylanadan tashqaridagi 𝐴 nuqtadan aylanaga 𝐴𝑀 va 𝐴𝑁 urinmalar o‘tkazilgan (𝑀 va 
𝑁 – urinish nuqtalari). 𝐴 nuqtadan shu aylanaga o‘tkazilgan kesuvchilardan birining 
aylana bilan kesish nuqtalari 𝑃 va 𝑄, ikkinchisining kesishish nuqtalari 𝐾 va 𝐿 bo‘lsin. 𝑃𝐾, 
𝑄𝐿, 𝑀𝑁 to‘g‘ri chiziqlarning bir nuqtada kesishishini yoki parallel ekanligini isbotlang. 
Shu masala yechimi yordamida berilgan aylanaga berilgan nuqtadan o‘tuvchi urinmani 
faqat chizg‘ich yordamida yasash algoritmini aniqlang. 
272. 𝑂 markazli aylana va 𝐴 nuqta berilgan. Aylanada biror 𝐵 nuqta olingan. Aylanaga 𝐵 
nuqtada o‘tkazilgan urinmalarning 𝑂 nuqtadan 𝐴𝐵 to‘g‘ri chiziqqa perpendikular qilib 
o‘tkazilgan to‘g‘ri chiziqlar bilan kesishish nuqtalarining geometrik o‘rnini toping. 
273. Aylanada 𝐴 va 𝐵 nuqtalar olingan. 𝐴𝐵 to‘g‘ri chiziqning biror 𝑁 nuqtasini belgilaymiz. 
Har biri 𝑁 nuqtadan o‘tib, aylanaga biri 𝐴 nuqtada, ikkinchisi esa 𝐵 nuqtada urinadigan 
ikki aylananing ikkinchi kesishish nuqtasi 𝑀 bo‘lsin. 𝑀 nuqtalarning geometrik o‘rnini 
toping. 
274. Aylananing ichida olingan 𝐴 nuqtadan kesishuvchi 𝑃𝑄 va 𝐾𝐿 vatarlar o‘tkazilgan. 𝑃𝐾 
va 𝑄𝐿 to‘g‘ri chiziqlar kesishish nuqtasining geometrik o‘rnini toping. 
275. Ikki aylana 𝐴 va 𝐵 nuqtalarda kesishadi. 𝐵 nuqtadan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq birinchi 
aylanani 𝐶 nuqtada va ikkinchi aylanani 𝐷 nuqtada kesib o‘tadi. Birinchi aylanaga 𝐶 va 
ikkinchi aylanaga 𝐷 nuqtada o‘tkazilgan urinmalar 𝑀 nuqtada kesishadi. 𝐴𝑀 va 𝐶𝐷 to‘g‘ri 
chiziqlarning kesishish nuqtasidan 𝐶𝑀 to‘g‘ri chiziqqa parallel qilib o‘tkazilgan to‘g‘ri 

---

chiziq 𝐴𝐶 to‘g‘ri chiziqni 𝐾 nuqtada kesib o‘tadi. 𝐾𝐵 to‘g‘ri chiziq ikkinchi aylanaga 
urinishini isbotlang. 
276. Aylanaga 𝑙 urinma o‘tkazilgan. Urinish nuqtasi 𝑁 va aylananing 𝑁𝑀 diametri 
o‘tkazilgan. 𝑁𝑀 to‘g‘ri chiziqda 𝐴 nuqta belgilangan. Markazi 𝑙 to‘g‘ri chiziqda bo‘lib, 𝐴 
nuqtadan o‘tuvchi istalgan aylanani qaraymiz. Bu aylananing 𝑙 to‘g‘ri chiziq bilan kesishish 
nuqtalari 𝐶 va 𝐷, 𝑀𝐶 va 𝑀𝐷 to‘g‘ri chiziqlarning dastlabki aylana bilan kesishish nuqtalari 
mos ravishda 𝑃 va 𝑄 bo‘lsin. 𝑃𝑄 vatar tekislikning belgilangan nuqtasidan o‘tishini 
isbotlang. 
277. Markazlari 𝑂
1
va 𝑂
2
bo‘lgan aylanalar 𝐴 nuqtada kesishadi. Aylanalarga umumiy 
urinmalar o‘tkazilgan bo‘lib, urinish nuqtalarini tutashtirib 𝐵𝐶 va 𝐸𝐹 vatarlari o‘tkazilgan 
(𝐶 va 𝐹 nuqtalar 𝐴 nuqtadan eng uzoq joylashgan nuqtalar), 𝑀 va 𝑁 nuqtalar mos 
ravishda 𝐵𝐶 va 𝐸𝐹 kesmalarning o‘rtalari. ∠𝑂
1
𝐴𝑂
2
= ∠𝑀𝐴𝑁 = 2∠𝐶𝐴𝐸 ekanligini 
isbotlang. 
278. Aylananing 𝐴𝐵 diametri va unga perpendikular 𝐶𝐷 vatari o‘tkazilgan. 𝐶𝐷 vatar va 
𝐶𝐵𝐷 yoyga urinuvchi aylanaga 𝐴 nuqtadan o‘tkazilgan urinmaning uzunligi 𝐴𝐶 kesma 
uzunligiga tengligini isbotlang. 
279. Doiraviy segmentning vatari va yoyiga urinuvchi ikki ixtiyoriy aylana 𝑀 va 𝑁 
nuqtalarda kesishsin. 𝑀𝑁 to‘g‘ri chiziq tekislikning belgilangan nuqtasidan o‘tishini 
isbotlang. 
280. Ikkita teng kesishmaydigan aylanalar berilgan. Ularning umumiy ichki ichki 
urinmalarida 𝐹 va 𝐹
′
nuqtalar tanlangan. 𝐹 va 𝐹
′
nuqtalardan birinchi aylanaga 
o‘tkazilgan urinmalar 𝐴 nuqtada, ikkinchi aylanaga o‘tkazilgan urinmalar 𝐵 nuqtada 
kesishsin. 1) 𝐴𝐵 to‘g‘ri chiziq aylanalarning markazlar chizig‘iga parallel ekanligini 
(aylanalar teng bo‘lmasa, ichki urinmalarning kesishish nuqtasidan o‘tishini); 2) 𝐹𝐹
′
va 
𝐴𝐵 kesmalarning o‘rtalarini tutashtiruvchi kesma aylanalarning markazlarini 
tutashtiruvchi kesmaning o‘rtasidan o‘tishini isbotlang.
6
281. Uchta 𝛼, 𝛽, 𝛾 aylanalar berilgan. 𝛼 va 𝛽 aylanalarning umumiy ichki urinmalari 𝑙
1
va 
𝑙
2
, 𝛽 va 𝛾 aylanalarning umumiy ichki urinmalari 𝑚
1
va 𝑚
2
, 𝛾 va 𝛼 aylanalarning umumiy 
ichki urinmalari 𝑛
1
va 𝑛
2
bo‘lsin. Agar 𝑙
1
, 𝑚
1
, 𝑛
1
to‘g‘ri chiziqlar bir nuqtada kesishsa, 𝑙
2
, 
𝑚
2
, 𝑛
2
to‘g‘ri chiziqlar ham bir nuqtada kesishishini isbotlang. 
282. (Finley teoremasi) Aylananing 𝐴𝐵 yoyi 𝐶 va 𝐷 nuqtalar bilan teng uch qismga 
bo‘lingan (𝐶 nuqta 𝐴 nuqtaga yaqinroq). 𝐴 nuqta atrofida 
𝜋
3
burchakka burilganda 𝐵, 𝐶, 𝐷 
nuqtalar mos ravishda 𝐵
1
, 𝐶
1
, 𝐷
1
nuqtalarga o‘tadi. 𝐴𝐵
1
va 𝐷𝐶
1
to‘g‘ri chiziqlar 𝐹 nuqtada 
kesishadi. ∠𝐵
1
𝐵𝐴 burchakning bissektrisasida shunday 𝐸 nuqta olinganki, 𝐵𝐷 = 𝐷𝐸. 𝐶𝐸𝐹 
uchburchakning muntazam ekanligini isbotlang. 
283. Uchi 𝐴 nuqtada bo‘lgan burchakka aylana ichki chizilgan. Bu aylanaga o‘tkazilgan 
urinma burchak tomonlarini 𝐵 va 𝐶 nuqtalarda kesib o‘tsin. 𝐴𝐵𝐶 uchburchakka tashqi 
chizilgan aylana shu burchakka ichki chizilgan tayin bir aylanaga urinishini isbotlang. 
284. 𝐴𝐵𝐶 uchburchakning 𝐴𝐶 tomonida 𝐷 nuqta olingan. 𝐴𝐷 kesmaga 𝑀 nuqtada, 𝐵𝐷 
kesmaga va 𝐴𝐵𝐶 uchburchakka tashqi chizilgan aylanaga urinuvchi aylanani qaraymiz. 𝑀 
nuqtadan 𝐵𝐷 ga parallel qilib o‘tkazilgan to‘g‘ri chiziq 𝐴𝐵𝐶 uchburchakka ichki chizilgan 
aylanaga urinib o‘tishini isbotlang. 
285. (Viktor Tebo teoremasi) 𝐴𝐵𝐶 uchburchakning 𝐴𝐶 tomonida 𝐷 nuqta olingan. 𝐴𝐷, 𝐵𝐷 
kesmalar va 𝐴𝐵𝐶 uchburchakka tashqi chizilgan aylanaga urinuvchi aylananing markazi 
6
Bu masala professor V.Yermakov tomonida taklif qilingan va “Вестник опытной физики и элементарной математики” 
jurnalining 1887- yil 14(2)- sonida e’lon qilingan. Masala yechimi uchun jurnal o‘quvchilariga matematikadan kitob sovg‘a 
qilish va’da qilingan. 

---

𝑂
1
; 𝐶𝐷, 𝐵𝐷 kesmalar va 𝐴𝐵𝐶 uchburchakka tashqi chizilgan aylanaga urinuvchi 
aylananing markazi 𝑂
2
bo‘lsin. 𝑂
1
𝑂
2
to‘g‘ri chiziq 𝐴𝐵𝐶 uchburchakka ichki chizilgan 
aylananing 𝑂 markazidan o‘tishini va ∠𝐵𝐷𝐴 = 𝜑 bo‘lsa, 𝑂
1
𝑂: 𝑂𝑂
2
= tg
2 𝜑
2
ekanligini 
isbotlang. 
286. To‘rtta aylana bir aylana va uning kesishuvchi ikki vatariga urinadi. Uchlari shu 
aylanalarning markazlarida bo‘lgan to‘rtburchakning diagonallari o‘zaro perpendikular 
ekanligini isbotlang. 
287. (Feyerbax teoremasi) To‘qqiz nuqta aylanasi (II.160) uchburchakka ichki chizilgan 
aylanaga va ichki-tashqi chizilgan aylanalarning barchasiga urinishini isbotlang. 
288. 𝐴𝐵𝐶 uchburchak balandliklarining kesishish nuqtasi 𝐻 bo‘lsin. To‘qqiz nuqta aylanasi 
𝐴𝐻𝐵, 𝐵𝐻𝐶, 𝐶𝐻𝐴 uchburchaklarga ichki chizilgan aylanalar va ichki-tashqi chizilgan 
aylanalarning barchasiga urinishini isbotlang. 
289. 𝐴𝐵𝐶 uchburchak to‘qqiz nuqta aylanasining unga ichki chizilgan aylanaga va ichki-
tashqi chizilgan aylanalarga urinish nuqtalarini ketma-ket tutashtirib hosil qilingan 
to‘rtburchakning diagonallari kesishish nuqtasi 𝐴𝐵𝐶 uchburchakning o‘rta chizig‘ida 
yotishini isbotlang. 
290. (Viktor Tebo teoremasi) 𝐴𝐵𝐶 uchburchak to‘qqiz nuqta aylanasining unga ichki 
chizilgan aylanaga va ichki-tashqi chizilgan aylanalarga urinish nuqtalari mos ravishda 𝐹, 
𝐹
𝑎
, 𝐹
𝑏
, 𝐹
𝑐
(𝐹
𝑎
, 𝐹
𝑏
, 𝐹
𝑐
nuqtalar mos ravishda 𝐼
𝑎
, 𝐼
𝑏
, 𝐼
𝑐
markazli aylanalarga urinish nuqtalari); 
𝐴, 𝐵, 𝐶 uchlardagi ichki va tashqi burchaklarning bissektrisalari qarshi tomonni kesib 
o‘tgan nuqtalar mos ravishda 𝐴
1
va 𝐴
2
, 𝐵
1
va 𝐵
2
, 𝐶
1
va 𝐶
2
bo‘lsin. Quyidagi 
uchburchaklarning o‘zaro o‘xshashligini isbotlang: 𝐹
𝑎
𝐹
𝑏
𝐹
𝑐
va 𝐴
1
𝐵
1
𝐶
1
; 𝐹𝐹
𝑏
𝐹
𝑐
va 𝐴
1
𝐵
2
𝐶
2
; 
𝐹𝐹
𝑐
𝐹
𝑎
va 𝐵
1
𝐶
2
𝐴
2
; 𝐹𝐹
𝑎
𝐹
𝑏
va 𝐶
1
𝐴
2
𝐵
2
. 
7- §. Shakllarning kombinatsiyalari. Tekislikda harakat. Ko‘pburchaklar 
291. 𝐴𝐵𝐶 uchburchakning 𝐵𝐶, 𝐶𝐴, 𝐴𝐵 tomonlariga uchburchak tashqarisida 𝐵𝐶𝐷𝐸. 𝐴𝐶𝐹𝐺, 
𝐵𝐴𝐻𝐾 kvadratlar yasalgan. Agar 𝐹𝐶𝐷𝑄 va 𝐸𝐵𝐾𝑃 to‘rtburchaklar parallelogramlar bo‘lsa, 
𝐴𝑃𝑄 uchburchakning teng yonli to‘g‘ri burchakli uchburchak ekanligini isbotlang. 
292. 𝐴𝐵𝐶𝐷 to‘g‘ri to‘rtburchakda 𝐸 va 𝐹 nuqtalar mos ravishda 𝐵𝐶 va 𝐷𝐶 tomonlarda, 𝐸
1
va 𝐹
1
nuqtalar esa mos ravishda 𝐴𝐸 va 𝐴𝐹 kesmalarning o‘rtalari bo‘lsin. Agar 𝐴𝐸𝐹 
uchburchak muntazam bo‘lsa, 𝐷𝐸
1
𝐶 va 𝐵𝐹
1
𝐶 uchburchaklar ham muntazam bo‘lishini 
isbotlang. 
293. To‘g‘ri burchakli uchburchakning 𝐴𝐶 va 𝐵𝐶 katetlariga uchburchak tashqarisida 
𝐴𝐶𝐾𝐿 va 𝐵𝐶𝑀𝑁 kvadratlar yasalgan. Katetlar hamda 𝐿𝐵 va 𝑁𝐴 to‘g‘ri chiziqlar bilan 
chegaralangan to‘rtburchak 𝐿𝐵 va 𝑁𝐴 to‘g‘ri chiziqlar hamda 𝐴𝐵 gipotenuza chegaralagan 
uchburchakka tengdosh ekanligini isbotlang. 
294. Qavariq to‘rtburchakning tomonlariga uchburchak tashqarisida kvadratlar yasalgan. 
Agar to‘rtburchakning diagonallari o‘zaro perpendikular bo‘lsa, qarama-qarshi 
kvadratlarning markazlarini tutashtiruvchi kesmalar to‘rtburchakning diagonallari 
kesishgan nuqtadan o‘tishini isbotlang. 
295. Agar uchburchakning tomonlariga tashqi tomonda yasalgan kvadratlar markazlarini 
tutashtirib hosil qilingan uchburchakning yuzi berilgan uchburchak yuzidan ikki marta 
katta bo‘lsa, tomonlariga ichki tomonda yasalgan kvadratlarning markazlari bir to‘g‘ri 
chiziqda yotishini isbotlang. 
296. 𝐴𝐵𝐶 uchburchakning 𝐵𝐶, 𝐶𝐴, 𝐴𝐵 tomonlariga tashqi tomonda shunday 𝐴
1
𝐵𝐶, 𝐵
1
𝐶𝐴, 
𝐶
1
𝐴𝐵 uchburchaklar yasalganki, ∠𝐴
1
𝐵𝐶 = ∠𝐶
1
𝐵𝐴, ∠𝐶
1
𝐴𝐵 = ∠𝐵
1
𝐴𝐶, ∠𝐵
1
𝐶𝐴 = ∠𝐴
1
𝐶𝐵. 
𝐴𝐴
1
, 𝐵𝐵
1
, 𝐶𝐶
1
to‘g‘ri chiziqlar bir nuqtada kesishishini isbotlang. 

---

297. 𝐴𝐵 = 𝐵𝐶 bo‘lgan 𝐴𝐵𝐶 uchburchakda 𝐵𝐷 – balandlik. 𝐵𝐷 radiusli aylana 𝐴𝐶 to‘g‘ri 
chiziq bo‘ylab harakatlanmoqda. 𝐵 nuqta aylananing ichida bo‘lib tursa, aylananing 
uchburchak ichidagi yoyi uzunligi o‘zgarmas saqlanishini isbotlang. 
298. Kesishuvchi ikki to‘g‘ri chiziq bo‘ylab bir xil tezliklarda ikki nuqta harakatlanyapti. 
Tekislikning harakat davomida bu ikki nuqtadan baravar uzoqlikda bo‘ladigan 
belgilangan nuqtasi topilishini isbotlang. 
299. Kesishuvchi ikki aylana bo‘ylab ikki velosipedchi harakatlanyapti. Har bir 
velosipedchi o‘zining o‘zgarmas tezligi bilan harakatlanyapti. Velosipedchilar 
aylanalarning kesishish nuqtalaridan biridan chiqib, to‘la aylanib kelgach yana shu 
nuqtada uchrashishdi. Velosipedchilar a) soat mili yo‘nalishi bo‘yicha bir yo‘nalishda; b) 
turli yo‘nalishlarda harakatlanayotgan bo‘lsalar, velosipedchilardan bir xil masofada 
bo‘ladigan qo‘zg‘almas nuqta mavjudligini isbotlang. 
300. a) 𝑂 nuqta atrofida 𝛼 burchakka burish 𝑂 nuqtadan o‘tuvchi va oralaridagi burchak 
𝛼
2
bo‘lgan ikki o‘qqa nisbatan simmetrik almashtirishni ikki marta qo‘llashga; parallel 
ko‘chirish parallel o‘qlarga nisbatan ikki marta o‘qqa nisbatan simmetrik almashtirishga; 
b) 𝑂
1
nuqta atrofida 𝛼 burchakka va 𝑂
2
nuqta atrofida 𝛽 burchakka ketma-ket burish 
(0 ≤ 𝛼 < 2𝜋, 0 ≤ 𝛽 < 2𝜋 burchakka burishlar bir yo‘nalishda amalga oshiriladi) biror 𝑂 
nuqta atrofida 𝛼 + 𝛽 burchakka burishga (bunda 𝛼 + 𝛽 ≠ 2𝜋) ekvivalent ekanligini 
isbotlang. 𝑂𝑂
1
𝑂
2
uchburchakning burchaklarini toping. 
301. 𝐴𝐵𝐶 uchburchakning tomonlarini asos qilib teng yonli 𝐴𝐾𝐵, 𝐵𝐿𝐶, 𝐶𝑀𝐴 
uchburchaklar yasalgan bo‘lib, ∠𝐾 = 𝛼, ∠𝐿 = 𝛽, ∠𝑀 = 𝛾 (bunda 𝛼 + 𝛽 + 𝛾 = 2𝜋). Bundan 
tashqari barcha uchburchaklar 𝐴𝐵𝐶 uchburchakning ichiga yoki tashqarisiga yasalgan. 
𝐾𝐿𝑀 uchburchakning burchaklari 
𝛼
2
, 
𝛽
2
, 
𝛾
2
ekanligini isbotlang. 
302. Markazi 𝑂 nuqtada va radiusi 𝑅 bo‘lgan aylanaga ichki chizilgan 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 
oltiburchakda 𝐴𝐵 = 𝐶𝐷 = 𝐸𝐹 = 𝑅. 𝐵𝑂𝐶, 𝐷𝑂𝐸, 𝐹𝑂𝐴 uchburchaklarga tashqi chizilgan 
aylanalarning 𝑂 nuqtadan farqli juft-juft kesishish nuqtalari tomoni 𝑅 bo‘lgan muntazam 
uchburchakning uchlari ekanligini isbotlang. 
303. Qavariq to‘rtburchakning tomonlariga tashqi tomondan har birining o‘tkir burchagi 𝛼 
bo‘lgan romblar yasalgan. Bunda romblarning to‘rtburchakning bir uchiga yopishgan 
burchaklari teng. Qarama-qarshi romblarning markazlarini tutashtiruvchi kesmalar 
tengligini va ular orasidagi burchak 𝛼 ekanligini isbotlang. 
304. Uchburchakning tomonlariga tashqi va ichki tomonidan yasalgan muntazam 
uchburchaklarning markazlari mos ravishda ∆ va 𝛿 uchburchakning uchlari. U holda, a) ∆ 
va 𝛿 uchburchakning teng tomonli ekanligini; b) ∆ va 𝛿 uchburchakning markazlari 
berilgan uchburchakning og‘irlik markazi bilan ustma-ust tushishini; d) ∆ va 𝛿 
uchburchak yuzlarining farqi berilgan uchburchak yuziga tengligini isbotlang. 
305. Tekislikda uchta nuqta olingan. Ular orqali shunday to‘g‘ri chiziqlar o‘tkazilganki, 
ular kesishib teng tomonli uchburchak hosil qiladi. Shu uchburchaklar markazlarining 
geometrik o‘rnini toping. 
306. 𝐴𝐵𝐶 uchburchakning 𝐴 uchidan 𝐵𝐶 tomonga perpendikular qilib o‘tkazilgan to‘g‘ri 
chiziqda 𝐴
1
va 𝐴
2
nuqtalar 𝐴𝐴
1
= 𝐴𝐴
2
= 𝐵𝐶 bo‘ladigan qilib olingan (𝐴
1
nuqta 𝐵𝐶 to‘g‘ri 
chiziqqa 𝐴
2
nuqtadan ko‘ra yaqinroq). Xuddi shu usulda 𝐵 uchdan 𝐴𝐶 tomonga 
perpendikular qilib o‘tkazilgan to‘g‘ri chiziqda 𝐵
1
va 𝐵
2
nuqtalar 𝐵𝐵
1
= 𝐵𝐵
2
= 𝐴𝐶 
bo‘ladigan qilib olingan. 𝐴
1
𝐵
2
va 𝐴
2
𝐵
1
kesmalar tengligini va o‘zaro perpendikular 
ekanligini isbotlang. 

---

307. Aylanaga tashqi chizilgan teng tomonli ko‘pburchak uning tomonlari soni toq 
bo‘lsagina muntazam bo‘lishini isbotlang. 
308. Birlik aylanaga ichki chizilgan muntazam 𝑛 burchakning markazidan to‘g‘ri chiziq 
o‘tkazilgan. Ko‘pburchakning uchlaridan shu to‘g‘ri chiziqqacha bo‘lgan masofalar 
kvadratlarining yig‘indisini toping. 
309. Qavariq ko‘pburchakning a) hamma tomonlari teng; b) hamma burchaklari teng 
bo‘lsa, uning ichida olingan nuqtadan tomonlarigacha bo‘lgan masofalar yig‘indisi 
o‘zgarmas ekanligini isbotlang. 
310. 𝑂 markazli yarimaylanani 𝐴
0
, 𝐴
1
, 𝐴
2
, …, 𝐴
2𝑛+1
nuqtalar bilan 2𝑛 + 1 ta teng yoylarga 
ajratilgan (𝐴
0
va 𝐴
2𝑛+1
nuqtalar yarimaylananing oxirlari). 𝐴
1
𝐴
2𝑛
, 𝐴
2
𝐴
2𝑛−1
, …, 𝐴
𝑛
𝐴
𝑛+1
to‘g‘ri chiziqlar 𝑂𝐴
𝑛
va 𝑂𝐴
𝑛+1
to‘g‘ri chiziqlar bilan kesishganda hosil qilgan kesmalar 
uzunliklarining yig‘indisi yarimaylana radiusiga teng ekanligini isbotlang. 
311. Aylanada olingan nuqtadan unga ichki chizilgan 2𝑛 burchakning tomonlariga 
tushirilgan perpendikularlarning bitta oralatib ko‘paytmalari tengligini isbotlang. 
312. Aylanaga 𝐴
1
𝐴
2
… 𝐴
𝑛
ko‘pburchak ichki chizilgan bo‘lib, aylananing markazi 
ko‘pburchak ichida bo‘lsin. Aylanaga 𝐴
1
, 𝐴
2
, …, 𝐴
𝑛
nuqtalarda urinuvchi aylanalardan 
ikkita qo‘shnisining kesishish nuqtasi ko‘pburchakning mos tomonida yotadi. Agar 𝑛 toq 
bo‘lsa, hamma shunday aylanalarning radiuslari teng bo‘lishini; bu aylanalar tashqi 
qismlarining birlashmasi berilgan aylananing uzunligiga tengligini isbotlang. 
313. Muntazam 𝐴
1
𝐴
2
… 𝐴
2𝑛+1
ko‘pburchak ichki chizilgan aylanani qaraymiz. 𝐴
1
𝐴
2𝑛+1
yoyning biror 𝐴 nuqtasini olamiz. a) 𝐴 nuqtadan ko‘pburchakning juft nomerli 
uchlarigacha bo‘lgan masofalar yig‘indisi toq nomerli uchlarigacha bo‘lgan masofalar 
yig‘indisiga tengligini isbotlang. b) Berilgan aylanaga 𝐴
1
, 𝐴
2
, …, 𝐴
2𝑛+1
nuqtalarda 
urinuvchi teng aylanalar yasaymiz. 𝐴 nuqtadan aylana bilan juft nomerli uchlarida 
urinuvchi aylanalarga o‘tkazilgan urinmalar uzunliklarining yig‘indisi toq nomerli 
uchlarida urinuvchi aylanalarga o‘tkazilgan urinmalar uzunliklarining yig‘indisiga 
tengligini isbotlang. 
314. a) Aylanaga 𝐶𝐴 va 𝐶𝐵 urinmalar o‘tkazilgan (𝐴 va 𝐵 – urinish nuqtalari). Aylanaga 𝐴 
va 𝐵 nuqtalardan boshqa nuqtada urinuvchi 𝑙 urinma o‘tkazilgan. 𝐴, 𝐵, 𝐶 nuqtalardan 𝑙 
to‘g‘ri chiziqqacha bo‘lgan masofalar mos ravishda 𝑢, 𝑣, 𝑤 bo‘lsin. Agar ∠𝐴𝐶𝐵 = 𝛼 bo‘lsa, 
𝑢𝑣
𝑤
2
ni toping. 
b) Aylanaga ko‘pburchak tashqi chizilgan. Aylanaga ko‘pburchakning tomonlaridan 
hech biri bilan mos tushmaydigan 𝑙 urinma o‘tkazilgan. Ko‘pburchak uchlaridan 𝑙 to‘g‘ri 
chiziqqacha bo‘lgan masofalar ko‘paytmasining ko‘pburchakning aylana bilan urinish 
nuqtalaridan 𝑙 to‘g‘ri chiziqqacha bo‘lgan masofalar ko‘paytmasiga nisbati 𝑙 to‘g‘ri 
chiziqning joylashishiga bog‘liq emasligini isbotlang. 
d) Aylanaga 𝐴
1
𝐴
2
… 𝐴
2𝑛
muntazam 2𝑛 burchak tashqi chizilgan va aylanaga biror uning 
uchidan o‘tmaydigan biror 𝑙 urinma o‘tkazilgan bo‘lsin. Ko‘pburchakning toq nomerli 
uchlaridan 𝑙 to‘g‘ri chiziqqacha bo‘lgan masofalar ko‘paytmasining juft nomerli uchlaridan 
𝑙 to‘g‘ri chiziqqacha bo‘lgan masofalar ko‘paytmasiga nisbati 𝑙 to‘g‘ri chiziqning holatiga 
bog‘liq bo‘lmagan o‘zgarmas son ekanligini isbotlang. 
315. Aylanaga ichki chizilgan ko‘pburchakning kesishmaydigan diagonallari o‘tkazilib, uni 
uchburchaklarga ajratilgan. Bu uchburchaklarga ichki chizilgan aylanalar radiuslarining 
yig‘indisi diagonallarning qanday o‘tkazilishiga bog‘liq emasligini isbotlang. 
316. 𝑟 radiusli aylanaga perimetri 2𝑝 bo‘lgan 𝐴
1
𝐴
2
… 𝐴
𝑛
ko‘pburchak tashqi chizilgan 
bo‘lib, 𝐵
1
, 𝐵
2
, …, 𝐵
𝑛
nuqtalar aylananing mos ravishda 𝐴
1
𝐴
2
, 𝐴
2
𝐴
3
, …, 𝐴
𝑛
𝐴
1
kesmalarga 

---

urinish nuqtalari bo‘lsin. aylananing markazidan 𝑑 masofada 𝑀 nuqta olamiz. U holda, 
𝑀𝐵
1
2
∙ 𝐴
1
𝐴
2
+ 𝑀𝐵
2
2
∙ 𝐴
2
𝐴
3
+ ⋯ + 𝑀𝐵
𝑛
2
∙ 𝐴
𝑛
𝐴
1
= 2𝑝(𝑟
2
+ 𝑑
2
) ekanligini isbotlang. 
317. (To‘rtburchakning Simson to‘g‘ri chizig‘i) Aylanaga 𝐴𝐵𝐶𝐷 to‘rtburchak ichki 
chizilgan bo‘lib, aylananing biror 𝑀 nuqtasi olingan bo‘lsin. 𝑀 nuqtaning 𝑀 nuqtaga 
nisbatan 𝐴𝐵𝐶, 𝐵𝐶𝐷, 𝐶𝐷𝐴, 𝐷𝐴𝐵 uchburchaklarning Simson to‘g‘ri chiziqlaridagi (II.153) 
proyeksiyalari bir to‘g‘ri chiziqda yotishini isbotlang. 
Induksiya yordamida 𝑛 + 1 burchakning Simson to‘g‘ri chizig‘ini 𝑛 burchakning Simson 
to‘g‘ri chizig‘i yordamida aniqlaymiz. Ya’ni, 𝑛 + 1 burchakka tashqi chizilgan aylananing 
biror 𝑀 nuqtasining 𝑀 nuqtaga nisbatan barcha 𝑛 burchaklarning Simson to‘g‘ri 
chiziqlaridagi proyeksiyalari bir to‘g‘ri chiziqda – 𝑛 + 1 burchakning Simson to‘g‘ri 
chizig‘ida – yotadi. 
318. 𝛼 aylananing ichida 𝛽 aylana joylashgan. 𝛼 aylanada 𝐴
1
, 𝐴
2
, 𝐴
3
, … va 𝐵
1
, 𝐵
2
, 𝐵
3
, … 
nuqtalar ketma-ketligi 𝐴
1
𝐴
2
, 𝐴
2
𝐴
3
, 𝐴
3
𝐴
4
, … va 𝐵
1
𝐵
2
, 𝐵
2
𝐵
3
, 𝐵
3
𝐵
4
to‘g‘ri chiziqlar 𝛽 aylanaga 
urinadigan qilib tanlangan. 𝐴
1
𝐵
1
, 𝐴
2
𝐵
2
, 𝐴
3
𝐵
3
, … to‘g‘ri chiziqlar markazi 𝛼 va 𝛽 
aylanalarning markazlaridan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziqda bo‘lgan bitta aylanaga urinishini 
isbotlang. 
319. (Ponsele teoremasi, II.318- masala natijasidan foydalanib isbotlang.) Agar bir 𝑛 
burchak 𝛼 aylanaga ichki va 𝛽 aylanaga tashqi chizilgan bo‘lsa, 𝛼 aylanaga ichki va 𝛽 
aylanaga tashqi chizilgan cheksiz ko‘p 𝑛 burchaklar topilishini isbotlang. Bunda birinchi 𝑛 
burchakning istalgan uchidan boshlab keyingi ko‘pburchaklarning keyingi uchlarini 
aniqlash mumkin. 
320. Muntazam 𝑃𝑄𝑅 uchburchakning tomonlarini asos qilib olib, tashqi tomonda teng 
yonli 𝑃𝑋𝑄, 𝑄𝑌𝑅, 𝑅𝑍𝑃 uchburchaklar yasalgan va ∠𝑃𝑋𝑄 =
1
3
(𝜋 + 2∠𝐴), ∠𝑄𝑌𝑅 =
1
3
(𝜋 + 2∠𝐵), ∠𝑅𝑍𝑃 =
1
3
(𝜋 + 2∠𝐶) ekanligi ma’lum, bunda ∠𝐴, ∠𝐵, ∠𝐶 burchaklar biror 
𝐴𝐵𝐶 uchburchakning burchaklari. 𝑍𝑃 va 𝑌𝑄, 𝑋𝑄 va 𝑍𝑅, 𝑌𝑅 va 𝑋𝑃 to‘g‘ri chiziqlarning 
kesishish nuqtalari mos ravishda 𝐴
0
, 𝐵
0
, 𝐶
0
bo‘lsin. 𝐴
0
𝐵
0
𝐶
0
uchburchakning burchaklari 
𝐴𝐵𝐶 uchburchakning burchaklariga tengligini isbotlang. 
Olingan natijaga ko‘ra Morley teoremasini isbotlang: uchburchak burchaklarini teng 
uchga bo‘luvchi nurlar chiqarilgan bo‘lsa (ular trisektrisalar deyiladi), bir tomonga 
yopishgan ikki trisektrisaning kesishish nuqtalari muntazam uchburchakning uchlari 
bo‘ladi. 
321. (To‘la Morley teoremasi) 𝐴𝐵𝐶 uchburchakning uchlari soat mili yo‘nalishiga qarama-
qarshi yo‘nalishda ketma-ket joylashgan. Istalgan 𝛼 va 𝛽 nurlar uchun 𝛼, 𝛽
bilan 𝛽 nurga 
o‘tish uchun soat strelkasiga qarama-qarshi yo‘nalishda 𝛼 nurni burish kerak bo‘lgan 
burchakka aytiladi. 𝛼
1
va 𝛼
1
′
bilan 𝐴 uchdan chiqib, 𝐴𝐵, 𝛼
1
= 𝛼
1
, 𝛼
1
′
= 𝛼
1
′
, 𝐴𝐶
=
1
3
∠𝐴; 
𝛼
2
va 𝛼
2
′
bilan 𝐴 uchdan chiqib, 𝐴𝐵, 𝛼
2
= 𝛼
2
, 𝛼
2
′
= 𝛼
2
′
, 𝐴𝐶
=
1
3
(∠𝐴 + 2𝜋); 𝛼
3
va 𝛼
3
′
bilan 𝐴 uchdan chiqib, 𝐴𝐵, 𝛼
3
= 𝛼
3
, 𝛼
3
′
= 𝛼
3
′
, 𝐴𝐶
=
1
3
(∠𝐴 + 4𝜋) bo‘ladigan nurlarni 
belgilaymiz (𝛼
𝑖
, 𝛼
𝑖
′
, bunda 𝑖 = 1, 2, 3, nurlarni mos ravishda birinchi, ikkinchi, uchinchi 
tartibli trisektrisalar deb ataymiz). Xuddi shu tartibda 𝛽
𝑗
, 𝛽
𝑗
′
va 𝛾
𝑘
, 𝛾
𝑘
′
, bunda 𝑗, 𝑘 = 1, 2, 3, 
nurlarni aniqlab olamiz. Endi 𝛼
𝑖
𝛽
𝑗
𝛾
𝑘
bilan mos ravishda 𝛼
𝑖
va 𝛽
𝑗
′
, 𝛽
𝑗
va 𝛾
𝑘
′
, 𝛾
𝑘
va 𝛼
𝑖
′
to‘g‘ri 
chiziqlar (nurlar emas) kesishishidan hosil bo‘lgan uchburchakni belgilaymiz. U holda, 
𝑖 + 𝑗 + 𝑘 − 1 son 3 ga bo‘linmaydigan barcha 𝑖, 𝑗, 𝑘 larda 𝛼
𝑖
𝛽
𝑗
𝛾
𝑘
uchburchaklar muntazam 
uchburchaklar bo‘lib, ularning tomonlari parallel hamda uchlari to‘qqizta to‘g‘ri chiziqda 
oltitadan joylashadi. 
8- §. Geometrik tengsizliklar. Eng katta va eng kichik qiymatga doir mashqlar 

---

322. XIX asr boshida italiyalik geometr Malfatti tomonidan “Uchburchakdan shunday 
uchta doira kesib olingki, ularning yuzlari yig‘indisi eng katta bo‘lsin” masalasi qo‘yilgan 
edi. Keyingi izlanishlarda Malfatti aylanalari deganda har biri uchburchakning ikki 
tomoniga va o‘zaro urinadigan uch aylana tushuniladigan bo‘ldi. Muntazam uchburchak 
uchun birinchi masalani qanoatlantiruvchi Malfatti aylanalari yo‘qligini isbotlang. 
(Faqatgina XX asrda hech bir uchburchak uchun birinchi masalani qanoatlantiradigam 
Malfatti aylanalari mavjudmasligi aniqlandi.) 
323. Uchburchakning yarimperimetri 𝑝, ichki va tashqi chizilgan aylanalarning radiuslari 
mos ravishda 𝑟 va 𝑅 bo‘lsa, 𝑝 ≥
3
2
6𝑅𝑟 tengsizlikni isbotlang. 
324. Uchburchak balandliklarining asoslarini tutashtirib hosil qilingan uchburchakning 
perimetri dastlabki uchburchakning yarimperimetridan katta emasligini isbotlang. 
325. Uchburchakning medianalaridan tuzilgan uchburchak o‘tmas burchakli bo‘lsa, 
dastlabki uchburchakning eng kichik burchagi 45° dan kichik ekanligini isbotlang. 
326. Qavariq 𝐴𝐵𝐶𝐷 to‘rtburchakda ∠𝐵𝐴𝐶, ∠𝐷𝐵𝐶, ∠𝐴𝐶𝐷, ∠𝐵𝐷𝐴 burchaklarning hech 
bo‘lmasa bittasi 
𝜋
4
dan katta emasligini isbotlang. 
327. Uchburchakning eng katta tomoniga o‘tkazilgan mediana qolgan tomonlar bilan hosil 
qilgan burchaklarning har biri uchburchakning eng kichik burchagining yarmidan kichik 
emasligini isbotlang. 
328. 𝐴𝐵𝐶 uchburchakda ∠𝐵 – o‘tmas va 𝐴𝐶 = 2𝐴𝐵 bo‘lsa, ∠𝐴 < 2∠𝐶 ekanligini isbotlang. 
329. Uchburchakka tashqi chizilgan aylana shu uchburchakka ichki-tashqi chizilgan 
aylananing markazidan o‘tmasligini isbotlang. 
330. Uchburchakning 𝐴 uchidan mediana, bissektrisa, balandlik chiqarilgan. Agar ∠𝐴 ning 
kattaligi ma’lum bo‘lsa, mediana va bissektrisa orasidagi burchak kattami yo bissektrisa 
va balandlik orasidagi burchakmi? 
331. 𝐴𝐵𝐶 uchburchakning 𝐵 va 𝐶 uchlaridan chiqarilgan medianalar o‘zaro perpendikular 
bo‘lsa, ctg 𝐵 + ctg 𝐶 ≥
2
3
ekanligini isbotlang. 
332. 𝐴𝐵𝐶 uchburchakda 𝐴𝐵 < 𝐵𝐶. 𝐵 uchdan chiqarilgan mediananing istalgan 𝑀 nuqtasi 
uchun ∠𝐵𝐴𝑀 > ∠𝐵𝐶𝑀 ekanligini isbotlang. 
333. Aylanadan tashqaridagi 𝐴 nuqtadan aylanaga o‘tkazilgan 𝐴𝐵 va 𝐴𝐶 urinmalarning 
mos ravishda 𝐷 va 𝐸 o‘rtalari orqali 𝐷𝐸 to‘g‘ri chiziq o‘tkazilgan. Bu to‘g‘ri chiziq aylanani 
kesib o‘tmasligini isbotlang. 
334. Agar to‘g‘ri chiziq aylanani kesib o‘tmasa, bu to‘g‘ri chiziqning istalgan ikki nuqtasi 
orasidagi masofa shu nuqtalardan aylanaga o‘tkazilgan urinmalar ayirmasi va yig‘indisi 
orasida bo‘lishini isbotlang. Shu tasdiqning teskarisini ham isbotlang: agar ikki nuqta 
birinchi tasdiqni qanoatlantirmasa, ular orqali o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq aylanani kesib o‘tadi. 
335. 𝐴𝐵𝐶 uchburchakda 3∠𝐴 − ∠𝐶 < 𝜋. ∠𝐵 burchak 𝐴𝐶 tomonni kesib o‘tadigan to‘g‘ri 
chiziqlar bilan teng to‘rt bo‘lakka bo‘lingan. 𝐴 uchdan boshlab hisoblaganda 𝐴𝐶 tomon 
bo‘lingan kesmalarning uchinchisi 
1
4
𝐴𝐶 dan kichik ekanligini isbotlang. 
336. To‘rtburchakning ketma-ket tomonlari 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 bo‘lsa, uning 𝑆 yuzi uchun 
𝑆 ≤
1
2
(𝑎𝑐 + 𝑏𝑑) ekanligini isbotlang. Bunda tenglik aylanaga ichki chizilgan va 
diagonallari o‘zaro perpendikular bo‘lgan to‘rtburchak uchungina bajariladi. 
337. Bissektrisalarining uzunliklari 1 dan kichik bo‘lgan uchburchakning yuzi 
3
3
dan 
kichik ekanligini isbotlang. 

---

338. Tomonlari 𝑎, 𝑏, 𝑐 va tashqi chizilgan aylananing radiusi 𝑅 bo‘lgan uchburchak 
𝑎
2
+ 𝑏
2
+ 𝑐
2
− 8𝑅
2
son musbat yoki 0 yoki manfiy bo‘lishiga qarab mos ravishda o‘tkir 
burchakli yoki to‘g‘ri burchakli yoki o‘tmas burchakli bo‘lishini isbotlang. 
339. Uchburchak o‘tkir burchakli yoki to‘g‘ri burchakli yoki o‘tmas burchakli bo‘lishi 
uchun uning yarimperimetri tashqi chizilgan aylananing diametri va ichki chizilgan aylana 
radiusining yig‘indisidan mos ravishda katta yoki teng yoki kichik bo‘lishi kerakligini 
isbotlang. 
340. Agar uchburchakning tomonlari orasida 𝑎
2
+ 𝑏
2
> 5𝑐
2
munosabat bajarilsa, 𝑐 tomon 
uzunligi bo‘yicha eng kichik bo‘lishini isbotlang. 
341. 𝐴𝐵𝐶 uchburchakda ∠𝐴 < ∠𝐵 < ∠𝐶 bo‘lib, 𝐼 va 𝑂 – mos ravishda ichki va tashqi 
chizilgan aylanalarning markazlari, 𝐻 – balandliklarining kesishish nuqtasi. 𝐼 nuqta 𝐵𝑂𝐻 
uchburchakning ichida yotishini isbotlang. 
342. 𝐴𝐵𝐶 va 𝐴𝑀𝐶 uchburchaklar shunday yasalganki, 𝑀𝐶 kesma 𝐴𝐵 kesmani 𝑂 nuqtada 
kesib o‘tadi va 𝐴𝑀 + 𝑀𝐶 = 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶. Agar 𝐴𝐵 = 𝐵𝐶 bo‘lsa, 𝑂𝐵 > 𝑂𝑀 ekanligini isbotlang. 
343. 𝐴𝐵𝐶 uchburchakning 𝐵𝐶 tomonida 𝑀 nuqta olingan. (𝐴𝑀 − 𝐴𝐶) ∙ 𝐵𝐶 ≤ (𝐴𝐵 − 𝐴𝐶) ∙
𝑀𝐶 ekanligini isbotlang. 
344. 𝐴𝐵𝐶 uchburchakning tomonlari 𝑎, 𝑏, 𝑐 bo‘lib, tekislikning biror 𝑀 nuqtasi olingan. 
𝑀𝐴
2
+ 𝑀𝐵
2
+ 𝑀𝐶
2
ifodaning eng kichik qiymatini toping. 
345. 𝛼 burchakning tomonlari bilyardning chetlari. Bilyard shari tomonlardan necha 
marta qayta olishi mumkin (sharning o‘lchamlari hisobga olinmasin)? 
346. To‘rtta qisloq tomoni 2 km bo‘lgan kvadratning uchlarida joylashgan. Qishloqlar 
orasida yo‘llar shunday o‘tkazilganki, istalgan qishloqdan boshqa qishloqlarga borish 
mumkin. Yo‘llarning umumiy uzunligi 5,5 km dan kam bo‘lishi mumkinmi? 
347. 𝐴 nuqta parallel to‘g‘ri chiziqlar orasida va ularning biridan 𝑎, ikkinchisidan 𝑏 
masofada yotadi. Bu nuqta qolgan ikki uchi parallel to‘g‘ri chiziqlarda bittadan yotib, shu 
uchdagi burchagi 𝛼 bo‘lgan uchburchakning uchi. Shunday uchburchaklardan yuzi eng 
kichik bo‘lganining yuzini toping. 
348. Markazi 𝑂 nuqtada va radiusi 𝑅 bo‘lgan aylananing 𝐴𝐵 diametri o‘tkazilgan. 𝑂𝐴 
radiusda 𝑀 nuqta olingan bo‘lib, 𝐴𝑀: 𝑀𝑂 = 𝑘. 𝑀 nuqtadan 𝐶𝐷 vatar o‘tkazilgan. 𝐴𝐵𝐶𝐷 
to‘rtburchak yuzining eng katta qiymatini toping. 
349. Uchi 𝐴 nuqtada bo‘lgan burchakning ichida 𝑀 va 𝑁 nuqtalar olingan. 𝑀 nuqtadan 
o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq burchakning tomonlarini 𝐵 va 𝐶 nuqtalarda kesib o‘tadi. 𝐴𝐵𝑁𝐶 
to‘rtburchakning yuzi eng kichik bo‘lishi uchun 𝐵𝐶 to‘g‘ri chiziq 𝐴𝑁 to‘g‘ri chiziqni 
𝐵𝑃 = 𝑀𝐶 bo‘ladigan 𝑃 nuqtada kesib o‘tishi zarur va yetarli ekanligini isbotlang. Shu 
to‘g‘ri chiziqni yasash algoritmini aniqlang. 
350. Uchi 𝐴 nuqtada bo‘lgan 𝛼 burchakning ichida 𝐴 nuqta belgilangan. Burchakning 
tomonlarida 𝑀 va 𝑁 nuqtalar olingan bo‘lib, ∠𝑀𝐴𝑁 = 𝛽 (bunda 𝛼 + 𝛽 < 𝜋). Agar 
𝐴𝑀 = 𝐴𝑁 bo‘lsa, 𝑂𝑀𝐴𝑁 to‘rtburchakning yuzi (𝑀 va 𝑁 nuqtalar o‘zgarishi bilan ega 
bo‘linadigan barcha to‘rtburchaklar orasida) eng katta qiymatni qabul qilishini isbotlang. 
351. (II.350- masala natijasidan foydalaning.) Uchi 𝑂 nuqtada bo‘lgan aylana ichida 𝐴 
nuqta olingan bo‘lib, 𝑂𝐴 to‘g‘ri chiziq burchak tomonlari bilan 𝜑 va 𝜓 burchaklar tashkil 
qiladi. Burchak tomonlarida shunday 𝑀 va 𝑁 nuqtalarni aniqlangki, ∠𝑀𝐴𝑁 = 𝛽 
(𝛽 + 𝜑 + 𝜓 < 𝜋) va 𝑂𝑀𝐴𝑁 to‘rtburchakning yuzi eng katta bo‘lsin. 
352. 𝑂𝐵𝐶 uchburchakda ∠𝐵𝑂𝐶 = 𝛼. 𝐵𝐶 tomonning istalgan 𝐴 nuqtasi uchun 𝑂𝐵 va 𝑂𝐶 
kesmalarda mos ravishda 𝑀 va 𝑁 nuqtalarni shunday tanlaymizki, ∠𝑀𝐴𝑁 = 𝛽 (bunda 
𝛼 + 𝛽 < 𝜋) va 𝑂𝑀𝐴𝑁 to‘rtburchakning yuzi eng katta qiymatga erishadi. Shu eng katta 
qiymat 𝑀𝑁 ∥ 𝐵𝐶 va 𝑀𝐴 = 𝐴𝑁 bo‘ladigan 𝐴, 𝑀, 𝑁 nuqtalar uchun eng kichik bo‘lishini 

---

isbotlang. (Bunday nuqtalar 𝐴𝐵𝐶 uchburchakning 𝐵 va 𝐶 burchaklari 
𝜋
2
+
𝛽
2
dan katta 
bo‘lmasa topiladi.) 
353. Aylanaga 𝐴𝐵𝐶𝐷 to‘rtburchak ichki chizilgan. Uning 𝐴𝐶 = 𝑎 diagonali 𝐴𝐵 va 𝐴𝐷 
tomonlari bilan mos ravishda 𝛼 va 𝛽 burchaklar tashkil qiladi. To‘rtburchakning yuzi 
sin (𝛼+𝛽) sin 𝛽
2 sin 𝛼
𝑎
2
va 
sin (𝛼+𝛽) sin 𝛼
2 sin 𝛽
𝑎
2
orasida ekanligini isbotlang. 
354. Uchi 𝑂 nuqtada bo‘lgan 𝛼 burchakning ichida 𝐴 nuqta berilgan. burchak tomonlarida 
olingan 𝑀 va 𝑁 nuqtalar uchun ∠𝑀𝐴𝑁 = 𝛽 (bunda 𝛼 + 𝛽 > 𝜋) bo‘lsin. Barcha 𝑂𝑀𝐴𝑁 
to‘rtburchaklarni qaraymiz. Agar ular orasida 𝑀𝐴 = 𝐴𝑁 bo‘ladigan to‘rtburchak topilsa, 
uning yuzi shu to‘rtburchaklar yuzlari orasida eng kichigi bo‘lishini isbotlang. 
355. Uchi 𝑂 nuqtada bo‘lgan burchakning ichida shunday 𝐴 nuqta olinganki, 𝑂𝐴 to‘g‘ri 
chiziq burchak tomonlari bilan 𝜑 va 𝜓 burchaklar tashkil qiladi. Burchak tomonlarida 
shunday 𝑀 va 𝑁 nuqtalar topingki, ∠𝑀𝐴𝑁 = 𝛽 (𝛽 + 𝜑 + 𝜓 > 𝜋) va 𝑂𝑀𝐴𝑁 
to‘rtburchakning yuzi eng kichik bo‘lsin. 
356. 𝑂𝐵𝐶 uchburchakda ∠𝐵𝑂𝐶 = 𝛼. 𝐵𝐶 tomonning barcha 𝐴 nuqtalari uchun 𝑂𝐵 va 𝑂𝐶 
kesmalarda mos ravishda 𝑀 va 𝑁 nuqtalarni shunday tanlaymizki, ∠𝑀𝐴𝑁 = 𝛽 va 𝑂𝑀𝐴𝑁 
to‘rtburchakning yuzi eng kichik qiymatga erishadi. Shu eng kichik qiymat 𝑀𝑁 ∥ 𝐵𝐶 va 
𝑀𝐴 = 𝐴𝑁 bo‘ladigan 𝐴, 𝑀, 𝑁 nuqtalar uchun eng katta bo‘lishini isbotlang. (Agar bunday 
𝐴 nuqta topilmasa, eng katta qiymat 𝐵𝐶 tomon oxiridagi 𝐴 nuqtada erishilini isbotlang.) 
357. Radiuslari 𝑅 dan bo‘lgan uchta doira bilan qoplash mumkin bo‘lgan eng katta 
doiraning radiusini toping. Masalani umumiy holda aylananing radiuslari 𝑅
1
, 𝑅
2
, 𝑅
3
bo‘lganda yeching. 
358. Uchta birlik kvadrat yordamida tomoni 
5
4
bo‘lgan kvadratni qoplash mumkinmi? 
359. Tomonining uzunligi 1 bo‘lgan uchta muntazam uchburchak yordamida qoplash 
mumkin bo‘lgan eng katta muntazam uchburchakning yuzini toping. 
360. 𝐴𝐵𝐶 uchburchakning 𝐴𝐶 va 𝐵𝐶 tomonlarida mos ravishda 𝑀 va 𝑁 nuqtalar, 𝑀𝑁 
kesmada esa 𝐿 nuqta olingan. Agar 𝐴𝐵𝐶, 𝐴𝑀𝐿, 𝐵𝑁𝐿 uchburchaklarning yuzlari mos 
ravishda 𝑆, 𝑃, 𝑄 bo‘lsa, 𝑆
3
≥ 𝑃
3
+ 𝑄
3
ekanligini isbotlang. 
361. Uchburchakning tomonlari 𝑎, 𝑏, 𝑐, yuzi 𝑆 va boshqa uchburchakning burchaklari 𝛼, 𝛽, 
𝛾 bo‘lsa, 𝑎
2
ctg 𝛼 + 𝑏
2
ctg 𝛽 + 𝑐
2
ctg 𝛾 ≥ 𝑆 ekanligini isbotlang. Bunda tenglik ikkala 
uchburchak o‘xshash bo‘lganidagina bajariladi. 
362. (Finsler, Xadviger) Tomonlari 𝑎, 𝑏, 𝑐 va yuzi 𝑆 bo‘lgan uchburchak uchun 
𝑎
2
+ 𝑏
2
+ 𝑐
2
≥ 4 3
3
𝑆 + (𝑎 − 𝑏)
2
+ (𝑏 − 𝑐)
2
+ (𝑐 − 𝑎)
2
ekanligini isbotlang. 
363. Tomonlari 𝑎, 𝑏, 𝑐 bo‘lgan uchburchak berilgan. Unga ichki chizilgan muntazam 
uchburchak yuzining eng kichik va tashqi chizilgan muntazam uchburchak yuzining eng 
katta qiymatini toping. 
364. 𝐴𝐵𝐶 uchburchakning ichida biror 𝑀 nuqta olingan. 𝐴𝑀 to‘g‘ri chiziq 𝐴𝐵𝐶 
uchburchakka tashqi chizilgan aylanani 𝐴
1
nuqtada kesib o‘tadi. 𝐴𝐵𝐶 uchburchakka ichki 
chizilgan aylananing 𝑟 radiusi uchun 
𝐵𝑀∙𝐶𝑀
𝐴
1
𝑀
≥ 2𝑟 ekanligini isbotlang. Bunda tenglik 𝑀 
nuqta ichki chizilgan aylananing markazi bo‘lganda bajariladi. 
365. 𝐴𝐵𝐶 uchburchakning ichida biror 𝑀 nuqta olingan. 𝐴𝑀 sin ∠𝐵𝑀𝐶 + 𝐵𝑀 sin ∠𝐴𝑀𝐶 +
𝐶𝑀 sin ∠𝐴𝑀𝐵 ≤ 𝑝 ekanligini isbotlang, bunda 𝑝 – 𝐴𝐵𝐶 uchburchakning yarimperimetri. 
Bunda tenglik 𝑀 nuqta ichki chizilgan aylananing markazi bo‘lganda bajariladi. 
366. 𝐴𝐵𝐶 uchburchakning balandliklari ℎ
1
, ℎ
2
, ℎ
3
, uchburchakning ichida olingan 𝑀 
nuqtadan uchburchakning shu balandliklar tushirilgan tomonlargacha bo‘lgan masofalar 

---

mos ravishda 𝑢, 𝑣, 𝑤 bo‘lsin. Isbotlang: a) 
ℎ
1
𝑢
+
ℎ
2
𝑣
+
ℎ
3
𝑤
≥ 9; b) ℎ
1
ℎ
2
ℎ
3
≥ 27𝑢𝑣𝑤; 3) 
(ℎ
1
− 𝑢)(ℎ
2
− 𝑣)(ℎ
3
− 𝑤) ≥ 8𝑢𝑣𝑤. 
367. (Erdesh) O‘tmas burchakli bo‘lmagan uchburchakka ichki va tashqi chizilgan 
aylanalarning radiuslari mos ravishda 𝑟 va 𝑅, eng uzun balandligi ℎ bo‘lsa, 𝑅 + 𝑟 ≤ ℎ 
ekanligini isbotlang. 
368. O‘tkir burchakli uchburchak medianalaridan tuzilgan uchburchakka tashqi chizilgan 
aylananing radiusi dastlabki uchburchakka tashqi chizilgan aylana radiusining 
5
6
qismidan 
katta ekanligini isbotlang. 
369. (Lemuan nuqtasi) Uchburchak tekisligida olingan nuqtadan uning tomonlarigacha 
bo‘lgan masofalar kvadratlarining yig‘indisi shu nuqtadan uchburchak tomonlarigacha 
bo‘lgan masofalar mos tomonga proporsional bo‘ladigan nuqtada eng kichik qiymatga 
erishishini va bu nuqta uchburchak simedianalarining kesishish nuqtasi bo‘lishini 
isbotlang. 
370. (Torichelli nuqtasi) Burchaklari 120° dan kichik bo‘lgan uchburchak berilgan. 
Uchburchak tekisligida olingan nuqtadan uning uchlarigacha bo‘lgan masofalar yig‘indisi 
shu nuqtadan uchburchakning tomonlari 120° burchak ostida ko‘ringanda eng kichik 
bo‘lishini isbotlang. 
371. Berilgan o‘tkir burchakli uchburchakka ichki chizilgan uchburchaklar orasida uchlari 
uchburchak balandliklarining asoslarida bo‘lganining perimetri eng kichik bo‘lishini 
isbotlang. 
372. (Shreyber teoremasi) 𝑟 radiusli aylanaga tashqi chizilgan uchburchakning ichida 
olingan nuqtadan uchburchak uchlarigacha bo‘lgan masofalar yig‘indisi 6𝑟 dan kam 
emasligini isbotlang. 
373. Uchburchakning 𝑎, 𝑏, 𝑐 tomonlari va 𝑎 tomoni qarshisidagi 𝐴 burchagi ma’lum. U 
holda, uchburchakning 𝑝 yarimperimetri uchun 
𝑏𝑐 cos 𝐴
𝑏+𝑐
< 𝑝 <
𝑏𝑐 +𝑎
2
𝑎
ekanligini isbotlang. 
374. (Xattori teoremasi) Qavariq 𝐴𝐵𝐶𝐷 to‘rtburchak diagonallarining kesishish nuqtasi 𝐾. 
𝐴𝐷, 𝐵𝐶, 𝐴𝐶 kesmalarda mos ravishda 𝐿, 𝑁, 𝑀 nuqtalar shunday olinganki, 𝐾𝐿 ∥ 𝑀𝑁, 
𝐿𝑀 ∥ 𝐷𝐶. 𝐾𝐿𝑀𝑁 to‘rtburchak parallelogramm ekanligini va uning yuzi 𝐴𝐵𝐶𝐷 to‘rtburchak 
yuzining 
8
27
qismidan kam ekanligini isbotlang. 
375. (Zalgaller teoremasi) Ikki uchburchak umumiy tomonga ega. Ularga ichki chizilgan 
aylanalar markazlari orasidagi masofa ustma-ust tushmaydigan uchlari orasidagi 
masofadan kam ekanligini isbotlang. 
376. 𝐴𝐵𝐶 uchburchakning burchaklari 𝛼, 𝛽, 𝛾. 𝐷𝐸𝐹 uchburchak unga shunday tashqi 
chizilganki, 𝐴, 𝐵, 𝐶 uchlar mos ravishda 𝐸𝐹, 𝐹𝐷, 𝐷𝐸 kesmalarda yotadi va ∠𝐸𝐶𝐴 =
∠𝐷𝐵𝐶 = ∠𝐹𝐴𝑏 = 𝜑. 𝐷𝐸𝐹 uchburchak yuzi eng katta qiymatga erishishi uchun 𝜑 ning 
qiymati qanday bo‘lishi kerak? 
377. 𝐴𝐵𝐶 uchburchakning 𝐵𝐶, 𝐶𝐴, 𝐴𝐵 tomonlarida mos ravishda 𝐴
1
, 𝐵
1
, 𝐶
1
nuqtalar 
olingan. 𝐴
1
𝐵
1
𝐶
1
uchburchakning yuzi 𝐴𝐵
1
𝐶
1
, 𝐴
1
𝐵𝐶
1
, 𝐴
1
𝐵
1
𝐶 uchburchaklardan hech 
bo‘lmasi birining yuzidan kam emasligini isbotlang. 
378. 𝑂, 𝐼 va 𝐻 – mos ravishda uchburchakka tashqi, ichki chizilgan aylanalarning 
markazlari va balandliklarining kesishish nuqtasi bo‘lsin. 𝑂𝐻 ≥ 𝐼𝐻 2 ekanligini isbotlang. 
379. Tomonlari 𝐵𝐶 = 𝑎, 𝐴𝐶 = 𝑏, 𝐴𝐵 = 𝑐 bo‘lgan 𝐴𝐵𝐶 uchburchak ichida biror 𝑀 nuqta 
olingan. 𝑀 nuqtadan 𝐴, 𝐵, 𝐶 gacha bo‘lgan masofalar mos ravishda 𝑥, 𝑦, 𝑧; 𝐵𝐶, 𝐶𝐴, 𝐴𝐵 
gacha bo‘lgan masofalar mos ravishda 𝑢, 𝑣, 𝑤; uchburchakning yuzi 𝑆; unga ichki va tashqi 
chizilgan aylanalarning radiuslari mos ravishda 𝑟 va 𝑅 bo‘lsin. Isbotlang: a) 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 +

---

𝑐𝑧 ≥ 4𝑆; b) (Erdesh) 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 ≥ 2(𝑢 + 𝑣 + 𝑤); d) 𝑥𝑢 + 𝑦𝑣 + 𝑧𝑤 ≥ 2(𝑢𝑣 + 𝑣𝑤 + 𝑤𝑢); e) 
2
1
𝑥
+
1
𝑦
+
1
𝑧
≤
1
𝑢
+
1
𝑣
+
1
𝑤
; f) 𝑥𝑦𝑧 ≥
𝑅
2𝑟
(𝑢 + 𝑣)(𝑣 + 𝑤)(𝑤 + 𝑢); g) 𝑥𝑦𝑧 ≥
4𝑅
𝑟
𝑢𝑣𝑤; h) 
𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑧𝑥 ≥
2𝑅
𝑟
(𝑢𝑣 + 𝑣𝑤 + 𝑤𝑢). 
380. Berilgan uchburchakning eng katta tomoniga mediana o‘tkazib, uni ikki 
uchburchakka ajratamiz. Hosil bo‘lgan uchburchaklardan har birining eng katta tomoniga 
mediana o‘tkazib, ularni ham ikki uchburchakka o‘tkazamiz va h.k. Shunday usulda hosil 
bo‘lgan uchburchaklarni chekli shunday sinflarga ajratish mumkinki, har bir sinfdagi 
uchburchaklar o‘zaro o‘xshash bo‘ladi. Shuni isbotlang. Bundan tashqari, hosil bo‘lgan 
uchburchaklardan istalganining istalgan burchagi dastlabki uchburchak eng kichik 
burchagining yarmidan kichik emasligini isbotlang. 
381. Tomonlari 1 birlikdan katta bo‘lmagan istalgan uchburchakni qoplash mumkin 
bo‘lgan eng kichik yuzli uchburchakni toping.