I. Маъруза материаллари

I. Маъруза материаллари

1-Маъруза: Ечиш босқичлари ҳақида умумий маълумот. Элементар масалалар

Режа:

1. 
   Ясашга доир масалаларни ечишдаги умумий метод – асосий босқичлар.
   
2. 
   Ечиш босқичлари ҳақида умумий маълумот.
   
3. 
   Элементар масалалар
   

Таянч сўзлар: умумий метод, фигурани ясаш, кесмаларни берилган нисбатда бўлиш.

Одатда ясашга дойр геометрик масалаларни ечишни енгиллашти рувчи ва унинг тўла ечилишини таъминловчи тўртта босқичга риоя қилинади. Улар анализ, ясаш, исботлаш ва текшириш босқичларидир; бу босқичлар эрамиздан тўрт аср муқаддам грек олимлари томонидан яратилгаи. Масалани ана шу тартибда босқичлаб ечишни қисқача умумий метод деб аташ уринли чунки, ҳамма методлар воситаси билан масалалар ечишда асосан шу босқичлар ишлатилади.

1. 
   Ан а л и з (analysis) грекча суз булиб, бирор жисм ёки ҳодисани булакларга ажратиб текшириш деган маънони билдиради.
   

Ясашга дойр масалани анализ қилиш деб, бу масалани ечилиши олдиндан маълум булган масалаларга ажратиш ва уларнинг ечилиш тартибини аниқлашга айтилади.

Анализда «изланувчи фигура топилди» деб фараз қилиниб, уни масаланинг талабига мумкин қадар тула жавоб берадиган тарзда тахминан чизиб қўйилади. Сунгра бу тахминий фигура (яъни анализ чизмаси)да берилган маълумотларнинг бор-йўқлиги аниқланади ва етишмаганлари масала шартига мувофиц чизиб қўйилади, бу фигура асосида изланувчи фигура билан масалада берилганлар орасидаги боғланишлар аниқланади. Сунгра бу фигуранинг қайси элементларини қай тартибда ясаш мумкинлиги белгиланади.

Бу эса изланувчи фигурани ясаш планининг ўзгинаси бўлади.

Анализда кўпинча масалада берилганларга таяниб, шундай ёрдамчи фигура топиш назарда тутиладики, бу ёрдамчи фигурани осонроқ топиш мумкин бўлсин ва ундан изланувчи фигурага ўтиш ҳам мумкин бўлсин.

Шунинг учун анализ — масала ечишнинг энг муҳим (ижодий) босқичи ёки тайёргарлик босқичи деб аталади.

2. 
   Ясаш масала ечишнинг амалий босқичидир. Бу босқичда анализда тузилган план буйича циркуль ва чизгич ёрдамида изланувчи фигуранинг айрим элементларини ва бутун фигурани усталик билан чиза билиш талаб этилади.
   
3. 
   Исбот. Бу босқич масала ечишнинг синаш босқичи бўлиб, унда масаланинг тўғри ечилганлиги, яъни ясалган фигуранинг масала талабларига жавоб бериши исбот қилинади. Буни ясашда бажарилган ишларга ва тегишли теоремаларга таяниб исботланади.
   
4. 
   Текшириш. Бу босқич ҳам масала ечишнинг ижодий босқичи булиб, ясашга доир масаланинг ечилиши умуман шу босқичда якунланиши керак.
   

Бу боскичда масалада берилган маълумотларнинг узгариши масала ечимига қандай таъсир этиши ўрганилади, яъни қайси ҳолларда ечимнинг бўлиши ва нечта бўлиши, қандай ҳолларда ечимнинг бўлмаслиги аниқланади.

Ясашга доир масалаларни босқичлаб ечиш, тўғри ечишнинг гаровидир. Лекин шуни эсда тутиш лозимки, ҳар қандай масалани ечишда ҳам бу тўртала босқичга қатъий риоя қилиш шарт эмас. Масаланинг оғир-енгиллигига, содда-мураккаблигига қараб, бу босцичларнинг баъзиларигагина тўхталиш мумкин. Масалан, ечилиш йули масала шартидан англашилиб турса, анализга ҳожат қолмайди, ечишнинг тўгрилиги анализ ва ясашдан очиқ маълум бўлса, исбот учун эҳтиёж қолмайди.

Ечиш босқичларининг моҳиятини турли қийинликдаги масалаларни ечиш вақтларида равшанроқ кўриш мумкин.

масала. Бир катети ва иккинчи катетига ўтказилган медианаси берилган тўғри бурчакли учбурчак ясанг.

Анализ. Изланувчи учбурчак топилди деб фараз қилиб, уни тахминан чизиб қўяйлик:

чизмадаги A ABC — изланувчи учбурчак ва унинг берилган элементлари ВС = a, BD = ть ва ZLC=90^<> булсин. Бу учбурчакни ясаш учун унинг А, В ва С учларини топиш керак.

ВС = а томони берилгани учун унинг В ва С учлари маълум. А учи учбурчак АС ва АВ томонларининг кесишиш нуқтаси бўлса ҳам бу томонлар номаълум бўлгани учун улар ёрдамида А нуқтани бевосита топиб бўлмайди. Шунинг учун тўғри бурчакли A BCD ни қараймиз. Унинг ВС катети, BD гипотенузаси ва /L С = 90° берилгани учун уни ясаш мумкин. Берилишига кўра, BD кесма медиана бўлгани учун AD = CD. Шунинг учун A BCD нинг CD катети давомида унга тенг кесма олиб, А нуқтани топиш мумкин. Сунгра А ва В нуқталарни туташтирсак, A ABC ҳосил бўлади.

Демак, масала шартида берилганлар бўйича тўғри бурчакли A BCD ни ясаб, унинг ёрдамида изланувчи Д ABC га ўтиш мумкин экан. Масала ечишда фойдаланилган A BCD ёрдамчи фигура бўлади.

Ечишнинг ясаш, исботлаш ва текшириш босқичлари ўз-ўзидан равшан бўлгани учун улар устида тухташга эҳтиёж йуқ!

Фойдаланилган адабиётлар рўйхати

1. 
   Отажонов Р.К. Геометрик ясаш методлари. Т. “Ўқитувчи”, 1986
   
2. 
   Додажонов Н.Д., Жўраева М.Ш. Геометри . Т. “Ўқитувчи”, 1996
   
3. 
   Погорелов A. В, Геометрия. Т. “Ўқитувчи”, 1987
   
4. 
   Александров А.Д., Нецветаев Н.Ю. Геометрия. М.,Наука,1990.