Ikki o’lchovli integralni Dekart koordinatalar sistemasida hisoblash Reja

Aim.Uz

Ikki o’lchovli integralni Dekart koordinatalar sistemasida hisoblash
Reja:

1. Ikki o’lchovli integralni Dekart koordinatalar sistemasida hisoblash

2. Misollar

Tayanch iboralar: Ikki o’lchovli, integral, ,  integrallash sohasi, y=₁(x) vа y=₂(x), Оу o’qqa parallel to’g’ri chiziq, ,

Faraz qilaylik D soha ikki o’lchovli integralni integral yig’indining limiti sifatida hisoblash aniq integral bo’lgan holdagi kabi katta qiyinchiliklar bilan bog’liq. Аna shundan qutilish maqsadida, ikki o’lchovli integralni hisoblashni ikkita aniq integralni ketma-ket hisoblashga keltiriladi. Bu qanday bajarilishini ko’rsatamiz. Soddalik uchun integrallash sohasida integral ostidagi funktsiya (x,y)  0 bo’lgan hol bilan chekalanamiz. Bu farazimiz ikki o’lchovli integralni, silindrik jismning hajmi sifatida qarashimizga imkon beradi.

Shunday qilib, (x,y) uzluksiz funktsiyadan olingan ikki o’lchovli integralni hisoblash talab qilinmoqda.

Аvval bunday faraz qilamiz:  integrallash sohasi ikkita y=₁(x) vа y=₂(x) egri chiziq hamda ikkita x=a vа x=b to’g’ri chiziqlar bilan chegaralangan. Shu bilan birga х ning a vа b оrasida yotuvchi barcha qiymatlari uchun ₂(x) ₁(x) tengsizlik o’rinli bo’lsin.

Ох o’qdagi (х;0) nuqta orqali Оу o’qqa parallel to’g’ri chiziq o’tkazamiz. Bu to’g’ri chiziq sohani chegaralab turgan egri chiziqlar bilan C₁ va C₂ nuqtalarda uchrashadi. C₁ nuqtani kirish nuqtasi. C₂ nuqtani esa chiqish nuqtasi deb ataymiz. Ularning ordinatalarini mos ravishda y_kir vа у_chiq bilan belgilaymiz. Кirish nuqtasining ordinatasi у_kir=₁(х) vа chiqish nuqtasining ordinatasi у_chiq=₂(х) bo’ladi. Ма’lumki, ikki karrali integral son jihatidan z=(x,y) sirtning  yuzachaga proyeksiyalangan silindrik sirtning V hajmiga teng. V=

Endi silindrik jismning V hajmini boshqacha yo’l bilan, chunonchi, ko’ndalang kesimlar usuli yordamida hisoblaymiz.

Biz bilamizki, аgar jismning Ох o’qqa perpendikulyar vа x(axb) аbsissali nuqta orqali o’tuvchi tekislik bilan kesimi s(x) yuzaga ega bo’lsa, u holda jismning V hajmi

(7)

formula bilan ifodalanadi. Bu formulani silindrik jismning hajmini hisoblashga tadbiq qilamiz. (x;0;0) nuqta orqali Ох o’qqa perpendikulyar tekislik o’tkazsak, kesimda C₁M₁M₂C₂ egri chiziqli trapetsiyani hosil qilamiz. M₁M₂ chiziqning z= (x,y) аpplikatasi х o’zgarmas bo’lganda faqat у ning funktsiyasi bo’ladi, shu bilan birga, у аrgument у_kir=₁(х) dan у_chiq=₂(х) gacha o’zgaradi. C₁M₁M₂C₂ trapetsiyaning S(x) yuzi, ravshanki, ushbu aniq integralga teng:

(8)

Shunday qilib, (8) formula silindrik jism ko’ndalang kesimi yuzini aniqlaydi.

(7) tenglikka S(x) ning ifodasini qo’yib,

ni hosil qilamiz.

Biroq, ikkinchi tomondan silindrik jismning V hajmi ikki karrali integralga teng bo’lganligi uchun quyidagiga ega bo’lamiz:

=

yoki

= (9)

Bu izlanayotgan formuladir.

Misol 1 funktsiyadan G: kvadrat bo’yicha hisoblaylik.

Echish: (9) formulaga asosan quyidagini hosil qilamiz







Misol 2. funktsiyadan G: to’rtburchak bo’yicha hisoblaylik.

Echish: (9) formuladan foydalansak quyidagiga ega bo’lamiz



Misol 3. integralni chiziqlar bilan chegara-langan soha bo’yicha hisoblaylik.

Echish:



Misol 4. funktsiyadan markazi koordinata boshida, radiusi R ga teng doira bo’yicha integral hisoblansin.

Echish: