Интеграл Алишер Якубжонов

Интеграл

Алишер Якубжонов

Понятие интеграл

Интеграл (от лат. integer — целый), одно из важнейших понятий математики, возникшее в связи с потребностью, с одной стороны, отыскивать функции по их производным (например, находить функцию, выражающую путь, пройденный движущейся точкой, по скорости этой точки), а с другой — измерять площади, объёмы, длины дуг, работу сил за определённый промежуток времени и т. п. Соответственно с этим различают неопределенные и определённые интегралы, вычисление которых является задачей интегрального исчисления.

Интегральное исчисление

Интегральное исчисление-это раздел математики, в котором изучаются свойства и способы вычисления интегралов и их приложения. Оно тесно связано с дифференциальным исчислением и составляет вместе с ним одну из основных частей математического анализа (или анализа бесконечно малых).

Коши Огюстен Луи

Коши Огюстен Луи (1789—1857), французский математик, член Парижской Академии Наук. Дал определение понятия непрерывности функции, определение интеграла как предела сумм, систематически развивал основы теории аналитических функций комплексного переменного, дал выражение аналитической функции в виде интеграла, разработал основные теоремы существования решений и метод интегрирования уравнений с частными производными 1-го порядка и др.

Евдокс Книдский

Евдокс Книдский (ок. 408-355 гг. до н.э.) – древнегреческий учёный. Дал доказательство теоремы об объёме пирамиды, применяя метод «исчерпывания», который нашёл своё использование в трудах его последователей. Через две тысячи лет метод «исчерпывания» был преобразован в метод интегрирования, с помощью которого удалось объединить самые разные задачи – вычисление площади, объёма, массы, работы, давления, электрического заряда, светового потока и многие, многие другие.

Архимед

Метод Евдоксиса Книдского был развит Архимедом, и использовался для расчёта площадей парабол, расчёта площади круга и ,позже, для нахождения объёма шара

Знак интеграла

Знак интеграла используется для обозначения интеграла в математике. Впервые он был использован немецким математиком и основателем дифференциального и интегрального исчислений Лейбницем в конце XVII века. Символ ∫ образовался из буквы S (от лат. summa — сумма).

Готфрид Вильгельм фон Лейбниц

Готфрид Вильгельм фон Лейбниц (1646-1716). Немецкий философ, математик, юрист, дипломат. Создал правила дифференцирования выражений, разъяснил признаки возрастания и убывания, максимума и минимума, выпуклости и вогнутости, а также точки перегиба, дал подразделение вещественных чисел на алгебраические и трансцендентные; ещё раньше он аналогично классифицировал кривые линии. Впервые в печати вводит символ интеграла и указывает, что эта операция обратна дифференцированию.

Определенный интеграл

Разность называют интегралом от функции на отрезке и обозначают так:

Названия символов

• a – нижний предел интегрирования
• b – верхний предел интегрирования
• - знак интеграла
• - подынтегральная функция
• x – переменная интегрирования
• - подынтегральное выражение

Формула Ньютона - Лейбница

Геометрический смысл интеграла

Основные свойства интеграла

Вычисление площадей с помощью определенного интеграла

Вычисление площадей с помощью определенного интеграла

Вычисление площадей с помощью определенного интеграла

Схема решения задач на вычисление площадей фигур по формуле

• Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

Этапы решения

1. Изобразить фигуру, площадь которой надо найти

Этапы решения

2. Найдите абсциссы точек пересечения графиков функций

и

т.е. решить уравнение

=

Этапы решения

3.Найдите площадь фигуры по формуле

Этапы решения

4. Запишите ответ