Integralning

^2.2. Aniq integralning asosiy xossalari.
1-xossa. O‘zgarmas ko‘paytuvchini aniq integral belgisi tashqarisiga chiqarish mumkin, ya’ni
𝑏 𝑏
∫ 𝐴𝑓⁽𝑥⁾𝑑𝑥 = 𝐴 ∫ 𝑓⁽𝑥⁾𝑑𝑥
𝑎 𝑎
bu yerda 𝐴 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.
Xususan, agar ^[𝑎; 𝑏^]da𝑓⁽𝑥⁾ = 1, bo‘lsa
𝑏
∫ 𝐴𝑑𝑥 = 𝐴(𝑎 − 𝑏).
𝑎
7-rasmda bu formulaning geometrik tasviri keltirilgan.

7-rasm. 8-rasm.

9-rasm. 10-rasm.
2-xossa.Chekli sondagi funksiyalar algebrik yig‘indisining aniq integrali qo‘shiluvchilar aniq integrallarining algebrik yig‘ndisiga teng, ya’ni
^𝑏 𝑏 𝑏 𝑏
∫^[𝑓⁽𝑥⁾ + 𝜑⁽𝑥⁾ − 𝑔(𝑥)^] 𝑑𝑥 = ∫ 𝑓⁽𝑥⁾𝑑𝑥 + ∫ 𝜑⁽𝑥⁾𝑑𝑥 − ∫ 𝑔⁽𝑥⁾𝑑𝑥
_𝑎 𝑎 𝑎 𝑎
3-xossa. Agar ^[𝑎; 𝑏^] ( bu yerda (𝑎 < 𝑏) da 𝑓(𝑥) ≤ 𝜑(𝑥) bo‘lsa, u holda
𝑏 𝑏
∫ 𝑓⁽𝑥⁾𝑑𝑥 ≤ ∫ 𝜑⁽𝑥⁾𝑑𝑥
𝑎 𝑎

bo‘ladi, ya’ni katta funksiya katta integralga ega bo‘ladi (bitta intervalning o‘zida, chapdan o‘ngga tomon hisoblaganda) (8,9 va 10-rasm).
4-xossa. (Aniq integralni baholash haqida). Agar 𝑓(𝑥) funksiyaning ^[𝑎; 𝑏^](𝑎 ≤ 𝑏) dagi eng katta va eng kichik qiymatlari m va 𝑀 bo‘lsa, u holda
𝑏
𝑚(𝑏 − 𝑎) ≤ ∫ 𝑓⁽𝑥⁾𝑑𝑥 ≤ 𝑀⁽𝑏 − 𝑎⁾.
𝑎

11. 
    rasmda bu xossaning geometrik tasviri keltirilgan. Agar 𝑓(𝑥) ≥ 0 bo‘lsa,
    

𝑏
𝑆_{𝑎𝐴1𝐵1𝑏} ≤ ∫ 𝑓⁽𝑥⁾𝑑𝑥 ≤ 𝑆_{𝑎𝐴2𝐵2𝑏}.
𝑎

Ushbu
¹ 𝑏 ( )

𝜇 =
_{𝑏 − 𝑎} ∫ 𝑓 𝑥
𝑑𝑥

kattalik 𝑓(𝑥) funksiyaning ^[𝑎; 𝑏^] dagi o‘rtacha qiymati deyiladi.

5. 
   
   𝑎
   xossa. (O‘rtacha qiymat haqida.) Agar 𝑦 = 𝑓(𝑥) funksiya ^[𝑎; 𝑏^] da uzluksiz bo‘lsa, u holda bu kesmada hech bo‘lmaganda shunday bitta 𝜉 nuqta topiladiki, unda
   

𝑏
∫ 𝑓⁽𝑥⁾𝑑𝑥 = 𝑓⁽ξ^{) (}𝑏 − 𝑎⁾
𝑎
bo‘ladi (12 va 13-rasmlarga qarang).

11-rasm. 12-rasm.

13-rasm.

5. 
   xossa.Istalgan uchta 𝑎, 𝑏, 𝑐, son uchun quyidagi tenglik o‘rinli:
   

𝑏 𝑐 𝑏
∫ 𝑓⁽𝑥⁾𝑑𝑥 = ∫ 𝑓⁽𝑥⁾𝑑𝑥 + ∫ 𝑓⁽𝑥⁾𝑑𝑥,
𝑎 𝑎 𝑐
bu yerda uchala integral mavjud deb faraz qilinadi. 14 va 15-rasmlar bu formulaning geometrik tasviri bo‘ladi.

14-rasm. 15-rasm.

1. 
   
   𝑎
   ^izoh.∫^{𝑏 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 integral tushunchasini kiritishda a>b bo‘lganda ta’rifga ko‘ra}
   

𝑏 𝑎
∫ 𝑓⁽𝑥⁾𝑑𝑥 = − ∫ 𝑓⁽𝑥⁾𝑑𝑥
𝑎 𝑏
deb faraz qilgan edik.

2. 
   izoh. Agar 𝑎 = 𝑏 bo‘lsa, ta’rifga ko‘ra 𝑥 = 𝑎 nuqtada chegaralangan istalgan funksiya uchun
   

tenglik o‘rinli bo‘ladi.
𝑎
∫ 𝑓⁽𝑥⁾𝑑𝑥 = 0
𝑎

3. 
   izoh .Agar ^[𝑎; 𝑏^] da 𝑓⁽𝑥⁾ < 0 va 𝑎 < 𝑏 bo‘lsa, u holda
   

𝑏
∫ 𝑓⁽𝑥⁾𝑑𝑥 < 0
𝑎
Masalan, ^[𝑑; 𝑒^] intervalda 15-rasm
𝑒
∫ 𝑓⁽𝑥⁾𝑑𝑥 < 0
𝑑
bo‘ladi.