Комплекс сонни геометрик тасвирлаш. Комплекс текислик. Риман сфераси

КОМПЛЕКС СОННИ ГЕОМЕТРИК ТАСВИРЛАШ. КОМПЛЕКС ТЕКИСЛИК. РИМАН СФЕРАСИ.

Ихтиёрий комплекс сонни олайлик. Бу (х,у) жуфтлик билан аниклансин:

Текисликда абциссаси х га, ординатаси эса у га тенг булган нукта z комплекс соннинг геометрик тасвири дейилади.

Хусусан, (х,0)=х куринишдаги комплекс соннинг геометрик тасвири абциссалар укида жойлашган нукта булди. (0,у)=iу куринишдаги комплекс соннинг геометрик тасвири эса ординаталар укида жойлашган нукта булади.

Абциссалар уки хакикий ук, ординаалар уки эса мавхум ук деб юритилади.
Демак, С тупламдан олинган хар бир комплекс сонга текисликда,бу сонни геометрик тасвирловчи битта нукта мос келар экан.
Энди текисликда ихтиёрий нукта олайлик. Унинг абциссаси х, ординатаси у булсин. Бу сонлардан тузилган (х,у) жуфтлик битта комплекс сонни аниклайди. Олинган нуктага шу комплекс сонни мос куйиш билан текисликдаги хар бир нуктага битта комплекс сон мос келишини аниклаймиз.
Шундай килиб, С билан текисликдаги барча нукталар туплами орасида узоро бир кийматли мослик урнатилди. Бу эса С тупламнинг геометрик тасвирини теикислик деб караш имконини беради. Бундай текислик комплекс сонлар ткислиги деб аталади ва у хам С каби белгиланади.
Комплекс сонни бошкача хам тасвирлаш мумкин. Бунинг учун фазода Декарт координаталар системасини олиб, унда маркази нуктада, раиуси га тенг булган ушбу
(9)
сферани караймиз. Равшанки, бу сфера укни (0,0,0) хамда N (0,0,1) нукталарда кесади. N (0,0,1) нуктани шимолий кутб деб атаймиз.х ва у укларни мос равишда ва укларига устма-уст куямиз.

хОу комплекс текисликдаги нукта билан шимолий N кутбни нур ёрдамида туташтирамиз. Натижада нур S сферани кандайдир Zнуктада кесади. Биз мосликка эга буламиз.

Шундай килиб, комплекс текисликдаги барча нукталар туплами билан сферанинг нукталари туплами узоро бир кийматли мосликда булар экан.
Комплекс текисликдаги z нукта координата бошидан узоклаша борган сари унинг сферадаги тасвири N нуктага якинлаша боради.
Агар комплекс текисликда нукта олинса ва уни сферадаги N га мос келувчи нукта деб каралса, унда

туплам билан S сфера нукталаридан иборат туплам узоро бир киймали мосликда булади.

Бу мослик комплекс текисликданинг стереографик проекцияси дейилади.
Одатда тупмам кенгайтирилган комплекс текислик, S сирт эса Риман сфераси деб аталади.Сферадаги нукта координаталари билан комплекс текисликдаги мос нукталар коор-динаталари орасидаги богланишни топайлик.
Равшанки, N(0,0,1) хамда нукталар оркали утувчи тугри чизик тенгламаси куйидагига
(10)
булади, бунда t=0 да N нукта, t=1 да z нукта хосил булади.
Комплекс текисликдаги z нукта координаталари маълум булганда Z нукта координаталари лар куйидагича аникланади.
Маълумки нукта хамS сферада ётади. Шуни эътиборга олиб, ларни сфера тенгламаси

даги ларнинг урнига куйиб топамиз.


Демак,
(11)
булади.
Агар лар маълум булса х ва у лар куйидагича аникланади: (10) тугри чизик тенгламасидан

булишини топиб, уни (10) нинг биринчи иккита тенгламасидаги t урнига куямиз:

булардан

булиши келиб чикади.
Биз С да 2 та метрика киритамиз.

1. 
   Оддий Евклид метрикаси: нукталар орасидаги масофа дейилади.
   

2) Сферик метрика: учун

Бу формулани га ёйиш мумкин.