Koordinatalarni almashtirish. Qutb koordinatalari

Koordinatalarni almashtirish.
Qutb koordinatalari


Qutb koordinatalar sistemasi berilgan, agar tekislikda biror О nuqta - qutb boshi, shu nuqtadan o‘tuvchi OA to‘g‘ri chiziq - qutb o‘qi va masshtab birligi berilgan bo‘lsa, Qutb koordinatalar sistemasidagi M nuqtaning vaziyatini qutb boshidan shu nuqtagacha bo‘lgan masofa r = \OM\ qutb radiusi va qutb radiusi bilan qutb о‘qi tashkil etgan burchak φ qutb burchagi bir qiymatni aniqlaydi. Qutb o‘qiga nisbatan soat strelkasiga teskari yo‘nalishdagi burchak musbat soat strelkasi bo‘yicha burchak - manfiy burchak deyiladi. Qutb burchagi bir-biridan 2πn ga farq qiluvchi cheksiz ko‘p burchaklar qabul qiladi. 0<φ<2π shartni qanoatlantiruvchi burchakka bosh qutb burchagi deyiladi.
M(r;φ) yozuvi r va φ qutb koordinatali M nuqtani anglatadi.
Oxy dekart sistemaning boshini О qutb sistemasining boshi bilan ustma-ust tushadigan va qutb o‘qini abssissalar o‘qining musbat yo‘nalishi bilan ustma-ust tushadigan qilib joylashtiramiz.
M nuqta dekat sistemada x va у koordinatalarga, qutb sistemasida esa r va φ koordinatalarga ega bo‘lsin. U holda M nuqtaning dekart va qutb sistemalaridagi koordinatalari quyidagicha munosabatda bo‘ladi.
x=rcosφ , y-sinφ qutb sistemasidan dekart sistemaga o‘tish formulasi,
r= , cosφ = , tg φ = , 0 φ 2π , 0 r
Dekart sistemadan qutb sistemsiga o’tish formulasi.

Koordinata o‘qlarini parallel ko‘chirish
Ikkita dekart koordinatalar sistemasida bir xil ismli o‘qlar parallel, bir xil yo‘nalgan va o‘qlarning har birida bir xil masshtab birligi aniqlangan bo‘lsin. «Yangi» koordinatalar sistemasi «eski»sini parallel ko'chirishdan hosil qilingan bo‘lib, (x₀;y₀) yangi koordinatalar sistemasining eski sistemaga nisbatan koordinatalari bo’lsin. U holda, quyidagi chizmaga ko’ra:







(l)-tenglikdan koordinatalami almashtirishning o‘qlami parallel ko‘chirish formulasi hosil bo‘ladi.

Koordinata o‘qlarini burish
Tekislikda umumiy koordinata boshi О nuqta bo‘lgan Oxy (eski) koordinatalar sistemasi va bu sistemani a burchakka burishdan hosil qilingan Ox'y' (yangi) koordinatalar sistemasi berilgan bo‘lsin. Tekislikdagi ixtiyoriy M nuqtaning eski koordinatalarini yangi koordinatalari orqali ifodalovchi formulani keltirib chiqaramiz.










Bu holda, yuqoridagi chizmaga ko‘ra OC=OD-AB, CM=BD+MA bo‘lganida o‘qlarni burish formulalarini hosil qilamiz:


Ikkinchi tartibli egri chiziqlar: aylana, ellips, giperbola, parabola va ularning kanonik tenglamasini hosil qilish
Ta’rif. Tekislikda berilgan M(x₀y₀) nuqtadan bir xil R masofada yotuvchi barcha nuqtalarning geometrik o‘rni aylana deyiladi. Berilgan M (x₀y₀)nuqta aylana markazi, R masofa esa aylana radiusi deb ataladi.
Markazi M(x₀,y₀) nuqtada va radiusi R ga teng bo‘lgan aylana tenglamasini keltirib chiqaraylik. B(x, y) nuqta aylanada yotuvchi nuqta bo‘lsin. U holda, ta’rifga ko‘ra aylana tenglamasi quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi.
MB= =R yoki

1. 
   Tenglamada sodda almashtirishlarni bajarsak, aylana tenglamasini
   

Ko’rinishga olib kelish mumkin. (2)-ko’rinishdagi tenglamadan (1)-ko’rinishdagi tenglamaga o’tishi uchun (2) da to’liq kvadratlarni ajratish kerak bo’ladi.

Ikkinchi tartibli egri chiqizning umumiy tenglamasini kanonik ko’rinishga keltirish
Asosiy masala - koordinata o‘qlarini almashtirish yordamida ikkinchi tartibli egri chiziqning umumiy tenglamasini (1)ni soda ko’rinishga keltirib, qanday chiziqni ifodalalshni aniqlashdir.

1. 
   Koordinata o’qlarini parallel ko’chirish yordamida ikkinchi tartibli egri chiziqning umumiy tenglamasini soddalshtirishga harakat qilamiz. O(0;0) koordinatalar boshini