Ko’p omilli regressiya va korrelyatsiya

KO’P OMILLI REGRESSIYA VA KORRELYATSIYA


Ko’p omilli regresiya deb natijaviy belgi (erksiz o’zgaruvchi) –y ning erkli o’zgaruvchilar(omillar) - bilan bog’lanishini ifodalovchi

funktsiyaga aytiladi.
Ko’p omilli regressiya tenglamasini tuzish uchun asosan quyidagi funktsiyalardan foydalaniladi:

• 
  chiziqli -
  
• 
  darajali -
  
• 
  giperbola - ;
  
• 
  eksponentli…- .
  

Bulardan tashqari chiziqli ko’rinishga keltirilishi mumkin bo’lgan boshqa funktsiyalardan ham foydalanish mumkin.
Ko’p omilli regressiya tenglamasini parametrlarini baholash uchun eng kichik kvadratlar usuli(EKKU) qo’llaniladi. Chiziqli tenglamalar va chiziqli ko’rinishga keltirilishi mumkin bo’lgan chiziqsiz tenglamalar uchun echimi regressiya parametrlarini baholash imkonini beruvchi quyidagi normal tenglamalar sistemasi tuziladi.

Sistemani Yechish uchun matritsalar algebrasidan foydalaniladi.

Ko’p omilli regressiya modelini tuzishning bashqa usuli bu –standartlashtirilgan masshtabdagi regressiya tenglamasi:
,
bu erda:
, - standartlashtirilgan o’zgaruvchilar;
–standartlashtirilgan regressiya koeffitsientlari.
Standartlashtirilgan masshtabdagi ko’p omilli regressiya tenglamasiga EKKUni qo’llab, standartlashtirilgan regressiya koeffitsientlari quyidagi tenglamalar tizimidan aniqlaniladi.

Ko’p omilli regressiya koeffitsienti standartlashtirilgan regressiya koeffitsienti bilan quyidagi munosabat orqali bog’langan:

a parametr quyidagicha aniqlanadi:

Chiziqli regressiya uchun elastiklikning o’rtacha koeffitsienti quyidagi formula yordamida hisoblanadi:
.
Elastiklikning xususiy koeffitsientini hisoblash uchun quyidagi formula qo’llaniladi:
.
Omillarning natijaga birgalikdagi ta’sir kuchi zichligi ko’p omilli korrelyatsiya indeksi bilan aniqlaniladi: .
Ko’p omilli korrelyatsiya indeksining qiymati [0,1] oralig’ida yotadi va u juft korrelyatsiya indeksining eng katta qiymatidan katta yoki unga teng bo’lishi kerak, ya’ni:
).
Standartlashtirilgan masshtabdagi tenglama uchun ko’p omilli korrelyatsiya indeksini quyidagicha yozish mumkin:

Korrelyatsiyaning xususiy koeffitsienti(indeksi) y natijaviy belgiga x_i – omilni , qolgan omillar o’zgarmagan holda ta’sir kuchini o’lchaydi va u quyidagi formula bilan hisoblanadi:

yoki quyidagi rekkurent formula bilan hisoblanadi:

Korrelyatsiyaning xususiy koeffitsientlari [-1,1] oralig’ida o’zgaradi. Tuzilgan modelning sifatini determinatsiya koeffitsienti(indeksi) baholaydi. Ko’p omilli determinatsiya koeffitsienti ko’p omilli korrelyatsiya indeksi kvadratiga teng: _.
Tuzatilgan ko’p omilli determinatsiya indeksi erkinlik darajasi sonini e’tiborga oladi va quyidagi formula bilan hisoblanadi:


,

bu erda n- kuztuvlar soni,

m-omillar soni.

Ko’p omilli regressiya tenglamasining ahamiyatliligi Fisherning F-kriteriyasi

yordamida baholanadi.
Xususiy F-kriteriya tenglamada har bir omilning ishtirokini statistik axamiyatliligini baholaydi. Umumiy ko’rinishda x_i omil uchun xususiy F-kriteriya quyidagicha aniqlaniladi:
.
Toza regressiya koeffitsientlarini Styudent t-kriteriyasi yordamida baholash quyidagi ifodaning qiymatini hisoblashga olib keladi:
.
bu erda regressiya koeffitsientining o’rtacha kvadratik xatoligi, u quyidagi formula bilan aniqlanishi mumkin:
.
Ko’p omilli regressiya tenglamalarini tuzishda omillarning multikollinearlik muammosi yuzaga kelishi mumkin, ya’ni omillarning o’zaro chiziqli bog’lanish darajasi yuqori bo’lishi holatlari. Bunday holatlarda ko’p omilli regressiya natijalari tuzilgan modelni ishonchli emasligiga olib keladi.
Omillarning multikollenearligini tekshirish uchun omillar bo’yicha juft korrelyatsiya koeffitsientlari matritsasi tuzilib uni determinanti hisoblanadi. Uchta o’zgaruvchili regressiya tenglamasi uchun

bo’lsa, ya’ni birga qancha yaqin bo’lsa o’zgaruvchi omillarning multikollenearlik darajasi shunchalik past bo’ladi, aksincha

,
bo’lgan holatda omillararo korrelyatsiya kuchli, multikollenearlik darajasi yuqori bo’lib, regressiya tenglamasining ishonchlilik darajasi past deb hisobdanadi.
Ko’p omilli regressiya tenglamalari parametrlarining qiymatlarini hisoblash uchun EKKU qo’llaniladi. Buning uchun qoldiq dispersiya gomoskedastik bo’lishi talab etiladi, ya’ni x_j omilning har bir qiymati uchun qoldiq ε_i bir hil dispersiyaga ega bo’lishi kerak. Agar mazkur shart bajarilmasa qoldiq dispersiya geteroskedastik bo’ladi, ya’ni qoldiq dispersiyalar o’zaro teng bo’lmaydi:

Ko’p omilli regressiya tenglamasiga erkli o’zgaruvchi sifatida sifat ko’rsatkichlari kiritilishi mumkin (masala.n: kasb, jins, ma’lumot, ob-havo sharoiti va x.k). Regression modelga bu kabi o’zgaruvchilarini kiritish uchun ularni tartiblab biror qiymat berilishi kerak, ya’ni sifat o’zgaruvchilari miqdor o’zgaruvchilarga aylantiriladi. Bunday ko’rinishdagi almashtirilgan o’zgaruvchilar ekonometrikada “sohta(fiktiv) o’zgaruvchilar” deb nomlanadi.
Masala.n, modelga “ma’lumot” iborasi sohta o’zgaruvchi kiritilayotgan bo’lsa, uni quyidagicha belgilash mumkin:

Sohta o’zgaruvchilarning ta’sirini ahamiyatligi haqidagi xulosani Ctyudent t-kriteriyasidan foydalanib chiqarish mumkin.