Kramer qoidasi. Matritsa usuli. Teskari matritsa

1- mavzu: Teskari matrisa. Chiziqli tenglamalar sistemasini yechish usullari.
Dars rejasi:

1. 
   Chiziqli tenglamalar sistemasi.
   
2. 
   Chiziqli tenglamalar sistemasini yechish va tekshirish.
   
3. 
   Kramer qoidasi.
   
4. 
   Matritsa usuli.
   

Teskari matritsa.
6-ta’rif. Bizga A – kvadrat matritsa berilgan bo’lsin. Agar X – kvadrat matritsa ( tartibi A matritsanikiga teng) uchun  bo’lsa, u holda X – matritsa A matritsaga teskari matritsa deyiladi.

Umuman olganda matritsalarni ko’paytirish kommutativ bo’lmaganligi sababli  ligini hisobga olishimiz kerak, lekin  matritsaga quyidagi ikki shart qo’yiladi:  va  . Bundan  matritsani  matritsa uchun ikki tomonlama teskari matritsa deyish mumkin. Agar boshqa  va  matritsalarni olsak va  va  bo’lsa, u holda  matritsa o’ng teskari matritsa,  esa chap teskari matritsa deyiladi. Agar o’ng va chap teskari matritsalar teng bo’lsa, bunday matritsa teskari matritsa deyiladi:  .
Agar matritsa maxsus bo’lsa, unga teskari matritsa mavjud emas, agar matritsa maxsusmas bo’lsa, unga teskari matritsa doimo mavjud.

1. 
   Matritsalarni qo'shish amali uchun kommutativlik – o'rin almashtirish xossasi o'rinli, ya'ni
   

;

2. 
   Matritsalarni qo'shish amali uchun assotsiativlik- guruhlash xossasi o'rinli, ya'ni
   

;

3. 
   Matritsalarni songa ko'paytirishda qo'shishga nisbatan distributivlik xossasi o'rinli, ya'ni
   

4. 
   Matritsalarnikupaytirishamalidakushishganisbatandistributivlikxossasio'rinli, ya'ni
   

yoki ;

5. 
   Matritsani songa ko'paytirish va matritsalarni matritsaga ko'paytirish orasida quyidagi xossa o'rinli, ya'ni
   

;

6. 
   Matritsalarni ko'paytirish amali uchun guruhlash xossasi o'rinlidir, ya'ni
   

.
Natural k son uchun quyidagi tenglik orqali

A matritsaning « k-darajasi» ni aniqlaymiz. U quyidagi xossalarga ega:

Eslatma. ekanligidan kelib chiqdi.
Shartliravishda va debqabulqilinadi.³
Biror  tartibli …matritsaning  ta yo’li va  ustunini olib, kxk tartibli kvadrat matritsa tuzamiz. Bu kvadrat matritsa determinanti A matritsaning  tartibli minori deyiladi.
Bunday k tartibli minorlar bir nechta bo’lib, ular turli xil qiymat qabul qilishi mumkin. Ular orasida noldan farqli bo’lgan yuqori tartibli minorni topish muhimdir.
A matritsaning noldan farqli minorlarining eng yuqori tartibi uning rangi deyiladi va rang A ko’rinishda belgilanadi.
Misol. rangini toping.
bo’lganligi uchun rang A
Rang hisoblashda turli xil deteminantlarni hisoblashga to’g’ri keladi. Shuning uchun rang hisoblashning osonroq usullaridan birini keltiramiz.
Berilgan matritsada
1) ikki parallel qator o’rinlarini almashtirish,
2) biror qatorni o’zgarmas songa ko’paytirish,
3) biror qatorga o’zgarmas songa ko’paytirilgan boshqa parallel qatorni qo’shish.
shu matritsaning elementar almashtirishlari deyiladi.
Elementaralmashtirishlarmatritsaranginio’zgartirmaydi.
Demak, matritsa dioganal ko’rinishga keltiriladi va rangi oson topiladi.
Misol. matritsani rangini toping.
Dastlab, 1-yo’lni (-1) ga ko’paytrib 4-yo’lga , (-3) ga ko’paytrib 2, 3–yo’llarga qoshamiz:

2–yo’lini (-1) ga ko’paytrib, 3, 4-yo’llarga qo’shamiz:

3-yo’lini (-1) ga ko’paytrib , 4- yo’lga qo’shamiz:

Bu matritsaningnoldan farqli eng katta minorlaridan biri  bo’ladi va ekanligidan rang A=3
Ushbu ko‘rinishdagi
tenglama chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi deb ataladi. Bu yerda  ta tenglama va  ta noma’lum sonlar, ya’ni bo‘lib, – noma’lumlar oldidagi koeffitsientlar, ya’ni – tenglamada -noma’lum oldidagi koeffitsient va sonlar berilgan bo‘lib, ular ozod hadlar deyiladi. Masala keltirilgan tengliklarni qanoatlantiruvchi sonlarni topishdan iborat.^
Chiziqli tenglamalar sistemasi iqtisodiyotning balans masalalarida, mexanikaning statika bo‘limida uchraydi. Masalan, iqtisodiy texnologiyaning "harajatlar-natijalar" modelida ta tovarlar, ularning ishlab chiqarilish miqdorlari  bo‘lsa, va , , texnologik koeffisientlar hamda sonlar shu tovarlarga bo‘lgan ehtiyojlar miqdori bo‘lsin. U holda balans tenglamalarga asosan

Faraz qilaylik birinchi darajali, ikkita noma’lumli ikkita algebraik tenglamalar sistemasi berilgan bo’lsin:
(1)
(1) sistemaning 1-tenglamasini a₂₂ga, 2-tenglamasini -a₁₂ gako’paytiribqo’shsak
(a₁₁a₂₂-a₁₂a₂₁)x₁= b₁a₂₂-b₂a₁₂  (2)

Agar (1) sistemaning 1-tenglamasini -a₂₁ga, 2-tenglamasini a₁₁ gako’paytiribqo’shsak

(a₁₁a₂₂-a₁₂a₂₁)x₂= b₂a₁₁-b₁a₂₁  (3)
(2) va (3) larga e’tibor bersak ikkinchi tartibli determinantning ta’rifiga ko’ra
; ; (4)
(4) ga Kramer formulasi deyiladi.¹