Matritsalar ustida amallar

Matritsalar ustida amallar.


Reja:
1. Matritsalar. Matritsial ustida amallar.
2. Teskari matritsa.
3. Chiziqli tеnglamalar sistеmasini teskari matrisalar yordamida yеchish
Tayanch iboralar: matritsa, kvadrat matritsa, ustun matritsa, diagonal matritsa, birlik matritsa, nol matritsa, teskari matritsa,
1.1. Matritsalar. Matritsial ustida amallar.
Ta’rif: m × n o’lchamli matritsa deb, a_ij, , sonlardan tuzilgan m ta satr, n ta ustunli quyidagi:
A= yoki A= (1)
jadvalga aytiladi. A matrisani qisqacha A=||a_ij|| ; ham yozish mumkin.
a_ij larga matrisaning elementlari deyiladi.
Agar m × n bo’lsa, (1) ga to’g’ri burchakli matritsa deyiladi. Agar m=n bo’lsa, (1) ga kvadrat matritsa deyilib, uning o’lchami n × n bo’ladi.
- kvadrat matritsa -ustun matritsa -yo’l matritsa
Matritsa faqat jadval bo’lib, u biror sonni ifodalamaydi. Matritsaga katta, kichik degan tushuncha bo’lmaydi. Matritsalar odatda lotin alifbosining katta harflari bilan belgilanadi.
MATRITSALARNI ELEMENTAR ALMASHTIRISH
Matritsalarni quyidagi almashtirishlar elementar almashirishlar deb ataladi.
a) faqat nollardan iborat satrni (ustunni) o’chirish
b) ikkita satrni (ustunni ) o’rnini almashtirish.
c) bir satr (ustun)nini barcha elementlarini biror ko’paytiruvchiga ko’paytirib, boshqa satr (ustunlarni) mos elementlariga qo’shish .
g) satr ( ustun )ning barcha elementlarini noldan farqli bir xil songa ko’paytirish.
Elementar almashtirishlar matritsa rangini o’zgartirmaydi.
Kvadrat matritsalar uchun uning elementlaridan tuzilgan determinant quyidagicha bo’ladi.
A= , det A=|A|=
Barcha elementlari nol bo’lgan matritsa nol matritsa deyiladi. Bosh diagonal elementlaridan boshqa hamma elementlari nol bo’lgan kvadrat matritsaga diagonal matritsa deyiladi. Bosh diagonal elemenlari bir bo’lib, boshqa barcha matitsa elementlari 0 bo’lgan kvadrat matritsaga birlik matritsa deiladi va u odatda E harfi bilan belgilanadi.
E= , |E|=1 .
Har qanday A va B matritsalarning A=B bo’lishi uchun ular bir xil o’lchovli va barcha mos elementlari teng bo’lishi shart.
Ta’rif: Biror A matritsani k songa ko’paytirish deb, A matritsaning hamma elementlarini shu k songa ko’paytirishdan hosil bo’lgan matritsaga aytiladi va kA ko’rinishda yoziladi:
kA=Ak=
Ta’rif: Agar A va B matritsalar bir xil o’lchovli bo’lsa, ularning yig’indisi deb, shunday C matrit-saga aytiladiki, bu C matritsaning elementlari A va B matritsalarning mos elementlarining yig’indisidan iborat bo’ladi.
A= , B=
bunda m=p; n=q,
C=A+B= +
Misol.
Berilgan matritsalarni ko’paytirish uchun A matritsaning ustunlar soni n, B matritsaning yo’llar soni p ga teng, ya’ni n=p bo’lishi shart. Aks holda AB ma’noga ega bo’lmaydi. Ikkita matritsani ko’paytirganda hosil bo’lgan matritsaning yo’llar soni ko’payuvchi matritsaning yo’llar soniga, ustunlar soni esa ko’payuvchi matritsaning ustunlar soniga teng bo’ladi.
A_m×n ×B_p×q=C_mq
C=A×B=
Ikkita matritsaning ko’paytmasi yana matritsa bo’lib, uning C_ij elementi A matritsaning i-yo’lida-gi hamma elementlarini B matritsaning j-ustundagi mos elementlariga ko’paytmalarining yig’indisidan iborat bo’ladi.
C_ij=a_ijb_ij+a_i2b_2j+…+a_inb_nj= ;
Misol:
.
A va B matritsalar uchun A·B≠BA ya’ni matritsalar ko’paytmasi uchun kommutativlik xossasi o’rinli emas:
Misol :
A= B=
A×B= × =
B×A
Ko’rinib turibdiki A·B±B·A .
Bevosita tekshirish yo’li bilan quyidagi:
1) (BA) ·B=A· (AB) =A (AB) A-son
2) (A+B) ·C= A·C+B·C
3) C (A+B) = CA+CB
4) A (B·C) = (A·B) C
Xossalari o’rinli ekaniga ishonch hosil qilish mumkin.
Agar A va B n×n o’lchamli kvadrat matritsalar bo’lsa, u holda
1º det (AB) =detA detB
2º det (λA) = λⁿdetA. munosabatlar o’rinli bo’ladi.