Лекции по алгебре и геометрии

Лекции по алгебре и геометрии. Семестр 1.
Лекция 1. Основные алгебраические структуры.
Краткое содержание: отображение множеств, декартово (прямое) произведение множеств, декартов квадрат, алгебраическая операция (внутренняя и внешняя), алгебраическая структура, нейтральный и симметрический элементы, мультипликативная и аддитивная формы записи алгебраической операции, закон сокращения, группа, поле, векторное пространство, кольцо, делители нуля, область целостности, закон сокращения в кольце без делителей нуля.

Глава 1. Основные алгебраические структуры.

п.1. Отображение множеств.
Определение. Пусть А и В – произвольные множества. Отображением множества А в множество В называют правило (соответствие), которое каждому элементу множества А ставит в соответствие единственный для этого элемента элемент множества В.

Обозначение. . Здесь, – имя (наименование) отображения. Если – элемент множества А, то элемент множества В, который ставится ему в соответствие при этом отображении обозначают и пишут . Элемент называют значением отображения "в точке а" или образом элемента а. При этом сам элемент а называют прообразом элемента .

Замечание. Слова отображение и функция являются синонимами, при этом множество А называют областью определения функции (отображения) и обозначают , а множество значений обозначают и называют образом отображения . является подмножеством множества В: .

п.2. Задание отображений.

Для того, чтобы определить (задать) отображение множества А в множество В нужно задать сами множества А и В, а затем задать правило с помощью которого мы сможем для каждого находить соответствующий ему элемент . Это правило можно задать простой таблицей, если множество А конечное и имеет небольшое число элементов. Это правило можно задать с помощью формулы (математического выражения). Это правило можно задать с помощью некоторого алгоритма (процедуры). Все зависит от конкретной ситуации.

п.3. Декартово (прямое) произведение множеств.

Определение. Пусть – элементы каких-то множеств (не обязательно одного множества). Две пары элементов и будем называть равными и писать , если и .
Такие пары называют упорядоченными парами, т.е. пару элементов называют упорядоченной парой, если при .

Определение. Декартовым (прямым) произведением множества А на множество В называют множество всех упорядоченных пар , где первый элемент пары является элементом множества А, а второй – множества В и обозначается .

Иначе, . Здесь знак означает равенство по определению.
Пример. Пусть – множество первых восьми букв латинского алфавита. – множество первых восьми натуральных чисел. Тогда декартово произведение множества А на множество В есть множество . Для удобства записи все элементы этого множества можно записывать проще: и мы получаем обозначение всех 64 клеток шахматной доски.

п.4. Декартов квадрат множества.

Определение. Декартовым квадратом множества А называют декартово произведение множества А на множество А (т.е. само на себя).

Обозначение: .

Пример. Пусть – множество действительных чисел. Тогда – множество всех упорядоченных пар действительных чисел. Это множество можно интерпретировать как множество точек на координатной плоскости с соответствующими координатами.

п.5. Понятие алгебраической операции.

Определение. Пусть А - произвольное множество, - его декартов квадрат. Внутренней бинарной алгебраической операцией на множестве А называют отображение .

Другими словами, говорят, что на множестве А задана алгебраическая операция, если каждой упорядоченной паре (х, у) элементов х и у множества А поставлено в соответствие, по некоторому правилу, единственный для этой пары элемент . Говорят, что этот элемент есть результат алгебраической операции, примененной к паре (х, у) и этот элемент (результат операции) записывается специальным образом. Вот примеры записи результата алгебраической операции: . Применяются и другие символы.

п.6. Задание алгебраической операции.

Пусть А - произвольное множество. Для того, чтобы задать на множестве А алгебраическую операцию * необходимо выполнить два условия:
1) нужно определить правило, по которому любым двум элементам х и у множества А ставился бы в соответствие единственный для этой пары элементов (именно в этом порядке: х, у) элемент ;
2) этот элемент должен принадлежать множеству А. В этом случае говорят, что множество А замкнуто относительно данной операции *.
Так как по определению алгебраическая операция есть отображение множеств, то способы задания алгебраической операции повторяют способы задания отображения (функции): описательный, аналитический, табличный, графический и т.д.
Рассмотрим на примере табличный способ задания алгебраической операции.

Пример. Пусть - произвольное множество из трех элементов. Зададим на А алгебраическую операцию * с помощью таблицы:

Эта таблица пока еще не задает никакой алгебраической операции на множестве А, т.к. мы еще не определили отображения . Заполним эту таблицу, поставив в соответствие каждой упорядоченной паре элементов множества А конкретный элемент множества А:
.
Здесь , и т.д.
Такая таблица, задающая операцию, называется таблицей Кэли. Если операцию называют сложением, то таблицу Кэли называют таблицей сложения. Если операцию называют умножением, то таблицу Кэли называют таблицей умножения.
Понятно, что заполняя клетки этой таблицы другими элементами множества А, мы получим другую операцию на том же множестве А. Нетрудно подсчитать, что на данном множестве А можно определить алгебраических операций. Действительно, каждую клетку этой таблицы (а их ровно 9) можно заполнить тремя способами.
Таким образом, мы видим, что алгебраических операций, даже на конечных множествах можно определить довольно много. Конечно же не все из них представляют интерес. А интерес для нас будут представлять только те алгебраические операции, которые обладают некоторыми свойствами.

п.7. Свойства алгебраических операций.

Определение. Алгебраическая операция *, определенная на множестве А называется коммутативной, если она подчиняется закону коммутативности, т.е. для любых двух элементов х и у множества А выполняется равенство: х*у = у*х.
В школьных учебниках математики, когда говорят об операциях сложения и умножения чисел, это свойство называется переместительным законом.

Определение. Алгебраическая операция *, определенная на множестве А называется ассоциативной, если она подчиняется закону ассоциативности, т.е. для любых трех элементов х, у, z множества А выполняется равенство: .

Здесь сначала определяется результат операции в скобках, а затем еще раз применяется операция к оставшимся двум элементам. При этом, если результат операции не зависит от способа расстановки скобок, то операция называется ассоциативной. В школьных учебниках математики, когда говорят об операциях сложения и умножения чисел, это свойство называется сочетательным законом.

Пусть на множестве А определены две алгебраических операции, которые мы обозначим символами * и .

Определение. Говорят, что операция * дистрибутивна относительно операции , если верны два равенства:
и .
В школьных учебниках математики, когда говорят об операциях сложения и умножения чисел, это свойство называют распределительным законом умножения относительно сложения.
Пример. Пусть дано некоторое множество . Обозначим через – множество всех подмножеств множества . Тогда на множестве определены две операции: объединение и пересечение множеств. Действительно, для любых двух подмножеств А и В множества , и – тоже подмножества множества . Легко проверяется (например, с помощью диаграмм Венна), что обе операции являются коммутативными, ассоциативными и каждая из них является дистрибутивной относительно другой.

п.8. Аддитивная и мультипликативная формы записи алгебраической операции.

Наиболее распространенными обозначениями алгебраических операций являются символы и . В соответствии с этими обозначениями алгебраические операции носят название сложения и умножения. Результат алгебраической операции называют соответственно суммой и произведением.

Определение. Если алгебраическую операцию называют сложением и обозначают символом сложения , то говорят, что алгебраическая операция имеет аддитивную форму записи. Если алгебраическую операцию называют умножением и обозначают символом умножения , то говорят, что алгебраическая операция имеет мультипликативную форму записи.

п.9. Понятие алгебраической структуры и некоторые ее замечательные элементы.

Определение. Множество А, вместе с одной или несколькими алгебраическими операциями, определенными на этом множестве называют алгебраической структурой.
Обозначение: (А, *) – алгебраическая структура с одной алгебраической операцией; – алгебраическая структура с двумя алгебраическими операциями.
Рассмотрим сначала алгебраическую структуру с одной алгебраической операцией (А, *).

Определение. Элемент называется нейтральным элементом относительно алгебраической операции *, если выполняется равенство: .

Нейтральный элемент относительно сложения называется нулевым элементом или просто нулем и обозначается соответствующей цифрой 0:
,
Нейтральный элемент относительно умножения называется единичным элементом или просто единицей и обозначается либо цифрой 1, либо буквой е:
, или .

Теорема. Пусть (А, *) – алгебраическая структура. Тогда, если в множестве А существует нейтральный элемент, то он единственный.

Доказательство. Допустим, что в множестве А имеется два нейтральных элемента: и . Тогда выполняются равенства: и . Это значит, что эти равенства выполняются и при и при : и . Отсюда следует, что , ч.т.д.
Определение. Пусть (А, *) – алгебраическая структура с нейтральным элементом е. Элемент называется симметричным элементу относительно алгебраической операции *, если .

Определение. Пусть (А, *) – алгебраическая структура с нейтральным элементом е. Если каждый элемент имеет симметричный ему , тогда говорят, что множество А симметрично относительно операции *.

Теорема. Пусть (А, *) – алгебраическая структура с нейтральным элементом е и ассоциативной алгебраической операцией *. Если элемент имеет симметричный ему элемент , то такой элемент единственный.

Доказательство. Допустим, что элемент имеет два симметричных ему: и . Тогда из определения симметричного элемента следует, что выполняются два равенства: и . Но тогда , ч.т.д.

Замечание. В алгебраической структуре с аддитивной формой записи элемент симметричный элементу х называется противоположным и обозначается (– х):

.
В алгебраической структуре с мультипликативной формой записи элемент симметричный элементу х называется обратным и обозначается :
или .

п.10. Еще одно свойство алгебраической операции и закон сокращения.

Теорема (Общее свойство любой а.о.) Пусть – алгебраическая структура и . Если и , то и .
Доказательство. Из определения равенства упорядоченных пар следует, что . Теперь из определения алгебраической операции следует, что и . Так как каждой паре элементов множества А ставится в соответствие единственный элемент множества А (результат алгебраической операции), то из равенства сразу же следует равенство . Аналогично доказывается второе равенство. Теорема доказана.

Следствие. Если на множестве А определена операция сложения (умножения), то любые два равенства можно почленно складывать (умножать), т.е. если и , то и ( и ).

Определение. Пусть – алгебраическая структура и . Говорят, что алгебраическая операция подчиняется закону сокращения слева, если из равенства следует равенство и говорят, что алгебраическая операция подчиняется закону сокращения справа, если из равенства следует равенство .

Определение. Говорят, что алгебраическая операция подчиняется закону сокращения, если она подчиняется закону сокращения как слева, так и справа.

п.11. Основные алгебраические структуры: группа.

Определение. Группой называется множество , на котором определена одна внутренняя бинарная алгебраическая операция *, которая подчиняется трем законам (аксиомы группы).
1. Закон ассоциативности: , .
2. Существование нейтрального элемента:

3. Существование симметричного элемента:
.

Другими словами, группой называется множество с одной ассоциативной внутренней алгебраической операцией, обладающее нейтральным элементом и симметричное относительно этой операции.

Определение. Если группа подчиняется еще одному закону:

4. Закон коммутативности: , ,
тогда группа называется коммутативной.

Замечание. Если – группа, то алгебраическая операция * называется групповой операцией.

Часто коммутативную группу называют абелевой, если ее групповая операция записана в аддитивной форме.

Примеры групп.

1. Множество целых чисел относительно сложения .
2. Множество рациональных чисел относительно сложения .
3. Множество действительных чисел относительно сложения .
4. Обозначим и – множества рациональных и действительных чисел без нулевого элемента (без нуля). Тогда оба множества относительно умножения являются коммутативными группами.
5. Обозначим через множество всех векторов как направленных отрезков. Известно, что векторы можно складывать по правилу параллелограмма (или по правилу треугольника). Эта операция – сложения векторов является внутренней бинарной алгебраической операцией, т.к. для каждой упорядоченной пары векторов определена их сумма . Легко проверяется, что сложение векторов подчиняется законам ассоциативности и коммутативности: , и . В множестве векторов существует нулевой вектор : , . Для любого вектора существует противоположный ему и утативности: я, что сложение векторов подчиняется законам ассоциативности и каддитивной формк.ающая нейтральным элементом, в : .
Таким образом, множество векторов, как направленных отрезков относительно операции сложения является абелевой группой.

Теорема. В группе выполняется закон сокращения.

Доказательство. Пусть – группа и . Пусть и е – единичный элемент группы. Тогда .
Здесь – элемент группы, симметричный элементу а. Аналогично доказывается сокращение справа. Теорема доказана.

Следствие 1. В любой группе уравнение ( ) имеет единственное решение ( ), где – элемент группы, симметричный элементу а.

Доказательство. Пусть и е – единичный элемент группы. Легко проверить, что элемент является решением уравнения . Действительно, . Докажем единственность. Пусть – два решения уравнения , т.е. и . Тогда . Так как в группе справедлив закон сокращения, то из последнего равенства сразу же следует равенство . Аналогично доказывается существование и единственность второго уравнения, ч.т.д.

Следствие 2. Пусть – группа, е – единичный элемент. Если для некоторого элемента найдется элемент , такой что (или ), тогда .

Другими словами, ни один элемент группы не может иметь своего "индивидуального" нейтрального элемента.
Доказательство. Так как е – единичный элемент группы, то , откуда . Применяя закон сокращения, получаем . Аналогично доказывается второй случай. Теорема доказана.

п.12. Основные алгебраической структуры: поле.

Определение. Полем называется множество К, на котором определены две внутренние бинарные алгебраические операции (сложение и умножение) и подчиняющиеся следующим законам (аксиомы поля).
1. Закон ассоциативности относительно сложения:
.
2. Существование нулевого элемента:
.
3. Существование противоположного элемента:
.
4. Закон коммутативности относительно сложения:
.
5. Закон ассоциативности относительно умножения:
.
6. Существование единичного элемента:
.
7. Существование обратного элемента:
.
8. Закон коммутативности относительно умножения:
.
9. Закон дистрибутивности умножения относительно сложения:
и .

Другими словами, полем называется алгебраическая структура с двумя алгебраическими операциями (сложение и умножение), такая, что относительно сложения множество К является абелевой группой, а относительно умножения множество является коммутативной группой и умножение дистрибутивно относительно сложения.

Определение. Пусть К – поле. Тогда группу называют аддитивной группой поля К, а группу – мультипликативной группой поля К.

Теорема (Простейшие свойства поля)

1. .
2. .
3. Если х и у – элементы поля К, то равенство возможно лишь при или .
Доказательство. 1) Прибавим к элементу элемент х и воспользуемся аксиомами поля:
.
Таким образом имеем равенство . Так как поле К относительно сложения является группой, то справедлив закон сокращения и применяя его сразу получаем равенство .
2) Применяя аксиомы поля, получаем равенство:
.
Из этого равенства сразу же следует, что элемент является противоположным элементу х.
3) Если или , то по уже доказанному свойству верно равенство . Обратно, пусть . Допустим, что и . Тогда , т.к. – группа относительно умножения и следовательно , что противоречит предположению. Теорема доказана.

Примеры полей.

1. Множество рациональных чисел.
2. Множество действительных чисел.
3. Поле рациональных дробей с одной неизвестной.
4. Поле из двух элементов: . Здесь 0 – нулевой элемент, 1 – единичный. Сложение и умножение задаются таблицами Кэли:
и .
Нетрудно проверить справедливость всех аксиом поля.

п.13. Основные алгебраической структуры: векторные (линейные) пространства.

Определение. Пусть А и К – произвольные непустые множества. – декартово произведение этих множеств. Отображение называют внешней бинарной алгебраической операцией, определенной на множестве А над множеством К.
Другими словами, каждой паре элементов из декартова произведения ставится в соответствие единственный для этой пары элемент . (Обычно при написании результата алгебраической операции элемент пишется слева от элемента ).

Пример 1. Пусть – множество многочленов от одной переменной х с действительными коэффициентами, – поле действительных чисел. Тогда операция умножения многочлена на число является внешней алгебраической операцией на множестве многочленов: , т.е. в результате опять получается многочлен с действительными коэффициентами.

Пример 2. Пусть – множество всех векторов как направленных отрезков. Тогда умножение вектора на число есть внешняя алгебраическая операция на множестве : , так как в результате получается вектор (направленный отрезок).

Определение. Пусть - произвольное множество, элементы которого мы будем называть векторами, К - поле, элементы которого мы будем называть скалярами. Пусть на множестве определена внутренняя бинарная алгебраическая операция, которую мы будем обозначать знаком + и называть сложением векторов. Пусть также на множестве определена внешняя бинарная алгебраическая операция над полем К, которую мы будем называть умножением вектора на скаляр и обозначать знаком умножения. Другими словами определены два отображения:

;
.
Множество вместе с этими двумя алгебраическими операциями называют векторным пространством над полем К, если эти алгебраические операции подчиняются следующим законам (аксиомы векторного пространства).
1. Закон ассоциативности сложения:
.
2. Существование нулевого вектора:
.
3. Существование противоположного вектора:
.
4. Закон коммутативности сложения:
.
5. Закон ассоциативности умножения вектора на скаляр:
.
6. Закон дистрибутивности умножения вектора на скаляр относительно сложения векторов:
.
7. Закон дистрибутивности умножения вектора на скаляр относительно сложения скаляров:
.
8. , где 1 - это единица поля К.

Определение. Векторное пространство над полем вещественных чисел называется вещественным векторным пространством.

Теорема. (Простейшие свойства векторных пространств.)

1. В векторном пространстве существует единственный нулевой вектор.
2. В векторном пространстве любой вектор имеет единственный противоположный ему.
3. или х = 0.
4. .
Доказательство. Векторное пространство относительно сложения образует абелевую группу (аксиомы 1 – 4) откуда и следуют сразу же первые два утверждения теоремы.
3) а) Сначала мы докажем, что произведение нулевого скаляра на любой вектор равен нулевому вектору. Пусть . Тогда, применяя аксиомы векторного пространства, получаем:
.
Применяя закон сокращения, получаем .
б) Теперь докажем утверждение 4):
Пусть – произвольный вектор. Тогда
.
Отсюда сразу же следует, что вектор является противоположным вектору х.
в) Пусть теперь . Тогда, применяя аксиомы векторного пространства, получаем:

.
г) Пусть и допустим, что . Так как , где К – поле, то существует . Умножим равенство слева на : , откуда следует , и окончательно . Теорема доказана.

Пример. Обозначим через множество всех векторов как направленных отрезков. Мы уже знаем (см. выше примеры групп), что относительно сложения векторов множество является абелевой группой. Из школьного курса геометрии нам известна еще одна операция с векторами – умножение вектора на число, в результате которой получается тоже вектор. Значит эта операция является внешней бинарной алгебраической операцией на множестве над полем действительных чисел: . Осталось проверить все аксиомы векторного пространства, причем первые 4 нами уже проверены. Столь же легко проверяются и остальные аксиомы. Таким образом, множество всех векторов как направленных отрезков образует вещественное векторное пространство.

п.14. Основные алгебраической структуры: кольцо.

Определение. Пусть А – непустое множество, на котором определены две внутренние бинарные алгебраические операции, которые мы будем называть сложением и умножением и записывать соответственно. Алгебраическая структура называется кольцом, если относительно сложения множество А является абелевой группой и выполняется закон ассоциативности умножения и оба закона дистрибутивности умножения относительно сложения.
Другими словами, алгебраическая структура называется кольцом, если выполняются следующие законы:
1 – 4. Законы абелевой группы относительно сложения;
5. Закон ассоциативности умножения:
;
6. Закон дистрибутивности умножения относительно сложения:
и .

Определение. Если в кольце А выполняется:

7. Закон коммутативности умножения
,
то кольцо А называется коммутативным кольцом.

Определение. Если в кольце А существует единичный элемент относительно умножения:

8. Закон существования единичного элемента
,
то кольцо А называется кольцом с единицей.

Замечание. Любое поле является коммутативным кольцом с единицей. Но обратное утверждение является неверным, т.к. не в каждом коммутативном кольце с единицей справедлив закон существования обратного элемента.

Пример 1. Множество целых чисел Z относительно сложения и умножения является коммутативным кольцом с единицей.

Пример 2. Множество всех многочленов от одной буквы с коэффициентами из поля K относительно операций сложения и умножения многочленов является коммутативным кольцом с единицей.
Пример 3. Множество – всех числовых функций, определенных на отрезке числовой оси относительно обычных операций сложения и умножения числовых функций является коммутативным кольцом с единицей.

Теорема. (Простейшие свойства кольца)

Пусть А – произвольное кольцо. Тогда
1. .
2. Если кольцо А обладает единицей, то
.
Доказательство один к одному повторяет доказательство аналогичных свойств поля.

п.15. Область целостности.

Определение. Пусть А – произвольное кольцо, .
Если , но , тогда элемент а называют левым делителем нуля, а элемент b – правым делителем нуля. Если А – коммутативное кольцо, то элементы а и b называются делителями нуля.

Определение. Если кольцо не имеет делителей нуля, то оно называется кольцом без делителей нуля.

Определение. Коммутативное кольцо с единицей и без делителей нуля называется областью целостности.

Пример 1. Кольцо целых чисел Z является областью целостности.

Пример 2. Кольцо многочленов над произвольным полем является областью целостности. (Смотри доказательство в Дополнение 2. Построение кольца многочленов.)
Пример 3. Кольцо функций определенных на отрезке [0; 1] является коммутативным, с единицей, но с делителями нуля. Например, положим
, .
Тогда f(x) и g(x) – ненулевые функции, определенные на отрезке [0; 1], т.е. являются элементами кольца , но их произведение, очевидно, равно нулевой функции:
,
где по определению полагают , и, очевидно, является нулем кольца.
Аналогично можно показать, что кольцо функций также имеет делители нуля и поэтому не является областью целостности.

Следствие. Любое поле является областью целостности.

Доказательство сразу же следует из простейших свойств поля и того, что любое поле является коммутативным кольцом с единицей.

Теорема. В кольце без делителей нуля выполняется закон сокращения относительно умножения.

Доказательство. Пусть А – произвольное кольцо без делителей нуля, a, b, – его произвольные элементы и выполняется равенство: . Тогда . Так как по условию и в кольце нет делителей нуля, то . Таким образом мы доказали, что если
и , то , т.е. выполняется закон сокращения справа. Аналогично доказывается закон сокращения слева. Теорема доказана.


Заметим, что в любом кольце выполняется закон сокращения относительно сложения, т.к. кольцо относительно сложения является группой, а в любой группе, как мы видели, справедлив закон сокращения.