Лекция Простейший поток требование

Лекция 5. Простейший поток требование


План

1. Простейший поток вызовов

2. Вероятность поступления K-вызова (распределение Пуассона)
3. Математическая модель простейшего потока вызовов


Простейшим потоком вызовов называется стационарный ординарный поток без последействия. Простейший поток вызовов полностью определяется и задаётся вероятностью поступления точно К вызовов за время [ 0, t ) .
Обозначим эту вероятность ^P_k ^{( t )} при К =0,1, 2, 3, ... , и t >0 .
Найдём выражение для ^P_k ^{( t )} :
Δ t
1 2 n

₀ t ₀ t ₀+Δ t _t
Δ t = ^t
n

Рассмотрим малую длительность времени Δ t и вычислим вероятность того, что в этот промежуток времени поступит хотя бы один вызов. По определению, параметром потока мы назвали предел отношения:

λ= lim
P_K⩾1( t_0, t₀+Δ t ) _{= lim}
P_{K ⩾1}(Δ t )



( λ - стационарность)

Δ t ⟶0 ^{Δ t} Δ t ⟶ 0 ^{Δ t}
Следовательно, с точностью до бесконечно малых высшего порядка, при Δ t ⟶ 0 можно считать вероятностью того, что в промежуток времени Δ t поступит хотя бы один вызов, равной:

n
P _K⩾1(t _0, t₀+Δ t )=λ⋅Δ t =λ⋅^t _;
а вероятностью того, что не поступит ни одного вызова, равной:

n
P_K=0(t_0, t₀+Δ t )=1−λ⋅Δ t =1−λ⋅^t
Так как по определении простейший поток — это поток без последействия, то вероятности поступления вызовов в неперекрывающиеся промежутки времени независимы. Следовательно,

P_k (t)= . (2.4)

(2.4) Распределение вероятностей ^{PK ( t )} называется распределением Пуассона. Причем для распределения Пуассона справедливо P_k (t)=1 .
Это распределение дискретной случайной величины. При λ⋅t=4 распределение имеет следующий вид





Огибающие распределения Пуассона при различных λ⋅t имеют следующий вид:

Вероятность поступления k и более требование (вызовов) P _ik (t) за промежуток времени t определяется вледующией формулой

P _ik (t) = P_i (t)
Вероятность поступления k и менее требование (вызовов) P _ik (t) за промежуток времени t определяется вледующией формулой
; P _ik (t) = P_i (t)

Рассмотрим следующий пример распределения Пуассона. для простого потока с μ = 200 вызовов/ч определение вероятностей p i ≤ 5 (T) с точностью до K = 5 P₅ (t) и не более K=5 во временном интервале t=72 c.

Вопрос решается следующим образом. Поскольку поступающий поток требование простейший, то  = μ= 200 вызовов/час. t = (200x72)/3600 = 4
P₅ (t) = (4⁵ /5 !) e^-4 = 0,1563 .
P _i5 (t) = P₀ (t) + P₁ (t) + P₂ (t) + P₃ (t) + P₄ (t) + P₅ (t) = 0,3712.

В целях упрощения расчетов значения Р i и к (т) приведены в табличном виде [Корнышев, Мамонтова]. В этой таблице в основном используются следующие выражения для нахождения остальных интересующих нас значений вероятностей:

P_k (t) = P _{i k} (t) - P _{i k+1} (t);
P _ik (t) = 1- P _{i k+1} (t).

Закон распределения промежутков между требованиями Z_k (k=1,2,3,…) для простейшего определяется (подчиняется) показательному закону:

P(Zk< t) = 1- , (2.5)

Здесь Zk = t_k - t_k-1 , t_k момент поступления k – го требования.

Одной из важных характеристик нормального потока является , , .. когда объединяются n простшие потоки с параметрами , , .. , результирующий поток также является простейшим потоком, параметр которого равен сумме параметров объединяемых потоков потоков:

 = .
Математическое ожидание простейшего потока вызовов равна:


Mi(t) = Pi(t)= = t ; (2.6)
дисперсия простейшего потока вызовов равна математическому ожиданию
Di(t) = [ Pi(t)- ] = t. (2.7)