Литература Азамов А. А., Тилавов А. М. Простейшая нелинейная система с предельным циклом // Уз. Мат. Журнал, 2009, №2. с. 35-41

МЕТОД ХЕ ПРИ ВЫЧИСЛЕНИИ ПРЕДЕЛЬНОГО ЦИКЛА НЕКОТОРЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМЫ НА ПЛОСКОСТЫ
Определение существования и нахождение предельных циклов дифференциальных динамических систем является важным как в теоретическим так и в прикладном аспекте. Таким исследованиям посвящены многочисленные работы. Хе (Ji-Huan He) предложил новый вариационный метод приближенного нахождения предельных циклов.
В данное работе улучшается метод Хе для приближенного нахождения предельного цикла простейшей нелинейной динамической системы.
(1)
(2) Эта система изучалась было доказано существование предельного цикла.
Положим
(3)
где пока неизвестные константы . Тогда из (1) получим

Tогда из (4) получим производная

Подставляя (3) и (4) в (2) находим невязку R:

(5)
Неизвестные константы ,c и определяются из системы (условия ортогональности):

,
,
, (6)
,
,
г де период цикла.
Для них получаются следующие значения:
.
Эти значения определяют один и тот
же приближенный предельный цикл. При этом
период цикла .
Рис. 1.Цикл и его первые
три приближения.
Литература

1. 
   Азамов А.А., Тилавов А.М. Простейшая нелинейная система с предельным циклом // Уз.Мат.Журнал, 2009, №2.с.35-41.
   
2. 
   Н. Дилмуродов, Х. Мамаюсупов. Приближенное нахождение предельного цикла простейшей нелинейной системы вариационным методом Хе. Тезисы докладов международной конференции «Управление и оптимизация динамических систем­­–CODS-2009» Ташкент, 28-30 сентября 2009 г. с.35.
   
3. 
   Yu. Ilyashenko, Centennial history of Hilbert’s 16th problem, Bull. Amer.Math. Soc. (N.S.) 39 (2002), 301–354.
   
4. 
   He J.-H. Determination of limit cycles for strongly nonlinear oscillators, Physical Review Letters, 2003. vol. 90, № 17, Article ID 174301, 3 p. (Исправления: He J.-H. Erratum: determination of limit cycles for strongly nonlinear oscillators, Physical Review Letters, 2003. vol. 91, № 19, Article ID 199902, 1 p.) .