M a’ruza 2 funksiyaning limiti. Aniqmasliklar turlari. Yechish usullari. Ajoyib limitlar. Dasturiy paketlar yordamida hisoblash


Download 312.49 Kb.
Pdf ko'rish
Sana26.04.2020
Hajmi312.49 Kb.
#101555
Bog'liq
9-ma'ruza, jahon etnomadaniyatida avstraliya va okeaniya xalqlarining tutgan orni, jahon etnomadaniyatida avstraliya va okeaniya xalqlarining tutgan orni, Test Booklet for Teachers, axborot tizimlari (1), axborot tizimlari (1), Boshlang’ich sinf o’quvchilarni kasb-hunarga yo’naltirishning umumiy masalalari, Boshlang’ich sinf o’quvchilarni kasb-hunarga yo’naltirishning umumiy masalalari, 9-may xotira va qadirlash kuni, abu nasr farobiyning pedagogikaga oi, 2 5226790373904352806, 2 5226790373904352806, 2 5226790373904352806, 2 5226790373904352806

M A’RUZA 2  

4.2. FUNKSIYANING LIMITI. ANIQMASLIKLAR TURLARI. YECHISH USULLARI. 

AJOYIB LIMITLAR. DASTURIY PAKETLAR YORDAMIDA HISOBLASH. 

Reja.  

1. Funksiya limiti. 

2. Funksiyaning limiti haqidagi teoremalar: 

3. Ajoyib limitlar. 

4. Asosiy aniqmasliklarni yechish. 

Tayanch iboralar. Limit, ajoyib limitlar, aniqmaslik. 

1. 

Funksiya limiti.

 

Ta’rif: 

x

  argument 



0

x

  nuqtaga  intilganda  uning  funksiyasi  f(x)  biror  A  soniga  intilsa,  A  soni 



f(x)

y



 funksiyasining 

0

x



 nuqtadagi limiti deyiladi va u 

0

lim



( x )

A

x



x

f



 ko’rinishda yoziladi. 

Agar 


f(x)

  funksiya 

0

x

x



  nuqtada  aniqlangan  bo’lsa,  u  holda 

)

(

0



x

y

  ifoda  funksiyaning 

0

x

 



nuqtadagi  qiymati  bo’ladi.  Agarda  funksiyaning 

0

x



  nuqtadagi  limiti  A,  shu 

0

x



  nuqtadagi 

funksiya qiymatiga teng bo’lsa, ya’ni 

0

0

lim f(x )



f(x )

x

x



 bo’lsa, shu 

0

x



 nuqtada funksiyani uzluksiz 

deyiladi.



2. Funksiyaning limiti haqidagi teoremalar: 

1. O’zgarmas 

C

y



 funksiyaning limiti shu o’zgarmasning o’ziga teng: 

C

limC



0



x

x

 

2. O’zgarmas ko’paytuvchini limit ishorasidan tashqariga chiqarish mumkin: 



0

   


          

0

)



(

lim


)]

(

lim[



x

x

x

x

x

f

k

x

kf



 

3. Funksiyalar yig’indisining (ayirmasining) limiti shu funksiyalar limitlarining  



yig’indisi (ayirmasiga) teng: 

)

(



limf

(x)


limf

(x)


limf

(x)]


f

(x)


f

(x)


lim[f

n

2



1

n

2



0

0

0



0

1

     



x

x

       



          

x

x



      

x

x



     

          

          

          

  

x

x



x









 

4. Funksiyalar ko’paytmasining limiti shu funksiyalar limitlarinng ko’paytmasiga teng: 



(x)

limf


(x)

limf


(x)

limf


(x)]

f

)



f(x

 

 



)

lim[f(x


n

0

0



2

0

1



2

0

1



x

x

x



x

x

x



n

    


x

x











 

Natija: Agar 

A

(x)



limf

0

x



x



 bo’lsa, u holda 

n

n



x

x

A



]

[f(x)


lim

0



  bo’ladi, 

0



A



 da   

      


          

          

x

x

/n



1

n

0



A

f(x)


lim



 bo’ladi. 

5.  Agar    bo’luvchi  f

2

(x)  ning  limiti  0  ga  teng  bo’lmasa,  f



1

(x)  va  f

2

(x)ikki  funksiya  nisbatining 



limiti shu funksiyalar limitlarining nisbatiga teng: 

0

0



0

x

x



li m

( x )


1

( x )


1

li m


( x )

li m


( x )

2

2



x

x

x

x

f

f

f

f



 



3. 

Ba’zi bir muhim limitlar:

 

1. 


1

x

Sinx



lim

0

x



x



 yoki 

1

Sinx



x

lim


0

x

x



 



2. 

e

/x)



1

(1

lim



x

x





 yoki 

e

x)



(1

lim


/x

1

x





 

Limitlarning yuqoridagi teoremalaridan foydalanib, ba’zi funksiyalar limitlarini hisoblaymiz: 



1. 

4

2



1

1

1



x

2

lim



1

x

limx



2

1

x



limx

2)

x



2

(x

1



x

lim










1

 

2.  



3

π

2



/

1

6



π/

Sinx


6

π/

x



lim

x

6



π/

x

lim



Sinx

x

6



π/

x

lim







 

3.  


100

1

100



lgx

lim


x

lim


lgx)

(x

lim



10

x

10



x

10

x



2

2







 



4. Aniqmasliklarni ochish. 

 Ba'zi 


hollarda 

)

(



)

(

c



c

f

 



kasr 

ko’rinishidagi 

funksiyalarni 

tekshirganimizda 

0

,

,



,











x

a

x

x

x

  intilganda 

0

0

  yoki 



  ko’rinishdagi  aniqmasliklarga 



uchraymiz.  Bu  aniqmasliklarni  hosila  yordamida  Lopital  qoidasiga  ko’ra  ochishni 

ko’raylik.

 

Teorema.  Agar  f(x),  φ(x)  funksiyalar  x=a  nuqta  atrofidagi  (x=a  dan  tashqari)  barcha 

nuqtalarda differensiallanuvchi bo’lib,

 

lim


a

x

f(x)= φ(x)=0 (yoki



lim

a

x

f(x)= 



lim

a

x



φ(x)=

) va φ'(a)≠0 bo’lsa, u holda 



lim

a

x



)

(

)



(

x

x

f

 



lim

a

x

)



(

'

)



(

'

x



x

f

                             (1).



 

tenglik o’rinli bo’ladi.

 

Isboti. Aniqlik uchun 

lim


a

x

f(x)=



lim

a

x



φ(x)=f(a)=φ(a)=0 hol uchun isbotlaylik.

 

Bu  holda  f(x),  φ(x)  funksiyalar  [a,b]  kesmada  Koshi  teoremasining  shartlarini 



qanoatlantiradi. Jumladan  [a,x] (a

)

(



'

)

(



)

(

)



(

)

(



)

(

)



(

)

(



c

c

f

a

x

a

f

x

f

x

x

f







                           (2) 

(2)  dagi  c  kattalik  x  ga  bo’liq  bo’lib,  x

a  da  c  ham  a  ga  intiladi,  chunki  a

bo’lgani uchun. 

Demak, 


lim

a

x



)

(

)



(

x

x

f

 



lim

a

x

)



(

'

)



(

'

lim



)

(

)



(

lim


)

(

'



)

(

'



lim

)

(



'

)

(



'

x

x

f

x

x

f

x

x

f

c

c

f

a

x

a

x

a

x







 



eslatma.  Agar 

lim


a

x

)



(

'

)



(

'

x



x

f

  limit  yana 



0

0

  yoki 



  ko’rinishdagi  aniqmaslikka  olib  kelsa,  va 



f'(x),  φ'(x)  funksiyalar  esa  f  (x),  φ(x)  funksiyalar  qanoatlantirgan  barcha  shartlarni 

qanoatlantirsa, u holda  

)

(

'



)

(

'



x

x

f

 



ga yana Lopital qoidasini qo’llash mumkin:  

lim


a

x



)

(

)



(

x

x

f

 



lim

a

x

)



(

'

)



(

'

x



x

f

=



lim

a

x

)



(

'

'



)

(

'



'

x

x

f



.

 

Agar  zaruriyat  bo’lib,  teorema  sharti  qanoatlantirilsa  shu  jarayonni  davom  ettirish 



mumkin.

 

                                         



1

  James Stewart Calculus 7E 62-72 betlar 



eslatma. 0·

,



-



 ko’rinishdagi aniqmasliklar ham 

0

0



 yoki 



 ko’rinishdagi aniqmaslikka 

keltiriladi.

 

eslatma.  0

0

,



1

,



0

    ko’rinishdagi  aniqmasliklar  odatda 



)

(

))



(

(

x



x

f

  ko’rinishdagi  ifodani 



logarifmlash natijasida 

0

0



 yoki 



 ko’rinishdagi aniqraasliklarga keltiriladi.

 

Misollar. 

1. 

5

1



5

cos


5

lim


)'

5

(



)'

5

(sin



lim

)

0



0

(

5



5

sin


lim







x

x

x

x

x

a

x

a

x

a

x

  

2.



0

2

lim



)

(

2



lim

)

(



lim

2













x



x

x

x

x

x

e

e

x

e

x

 

3. 



0

lim


1

1

lim



)

(

1



1

lim


)

0

(



)

(

lim



0

2

0



0

0













x

x

x

x

nx

xinx

x

x

x

x

 

4. 



0

sin


cos

lim


)

0

0



(

cos


sin

1

lim



)

(

cos



sin

cos


1

lim


2

2

2

















x

x

x

x

x

x

x

x

x

x



 

5. 



x

x

x

1

2



)

1

(



lim





;  bu  

0



  ko’rinishdagi aniqmaslik 

y=

x



x

1

2



)

1

(



   desak 1ny=

);

1

(



1

2

x



x

 



0

1

1



2

lim


)

1

(



1

lim


1

lim


2

2









x

x

x

x

n

ny

x

x

x

 

.



1

)

1



(

lim


1

lim


0

)

1



(

lim


)

lim


(

1

1



2













x

x

x

x

x

x

y

ny

y

n

 

Mavzuni mustahkamlash uchun savollar: 

1. Limit tushunchasi qanday kiritiladi. 

2. Cheksiz kichik va cheksiz katta funksiyalarning ta’rifi. 

3. Funksiya limitining xossalari. 

4. Ajoyib limitlar. 

5. Asosiy aniqmasliklarning turlari va ularni ochish. 

 

 



Download 312.49 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2022
ma'muriyatiga murojaat qiling