M a’ruza 2 funksiyaning limiti. Aniqmasliklar turlari. Yechish usullari. Ajoyib limitlar. Dasturiy paketlar yordamida hisoblash
Download 312.49 Kb. Pdf ko'rish
|
- Bu sahifa navigatsiya:
- 2. Funksiyaning limiti haqidagi teoremalar
- 4. Aniqmasliklarni ochish.
- Mavzuni mustahkamlash uchun savollar
|
M A’RUZA 2 4.2. FUNKSIYANING LIMITI. ANIQMASLIKLAR TURLARI. YECHISH USULLARI. AJOYIB LIMITLAR. DASTURIY PAKETLAR YORDAMIDA HISOBLASH. Reja. 1. Funksiya limiti. 2. Funksiyaning limiti haqidagi teoremalar: 3. Ajoyib limitlar. 4. Asosiy aniqmasliklarni yechish.
x argument 0 x nuqtaga intilganda uning funksiyasi f(x) biror A soniga intilsa, A soni f(x) y funksiyasining 0 x nuqtadagi limiti deyiladi va u 0 lim ( x ) A
x f ko’rinishda yoziladi. Agar
f(x) funksiya 0 x
nuqtada aniqlangan bo’lsa, u holda ) (
x y ifoda funksiyaning 0 x
nuqtadagi qiymati bo’ladi. Agarda funksiyaning 0 x nuqtadagi limiti A, shu 0 x nuqtadagi funksiya qiymatiga teng bo’lsa, ya’ni 0 0
f(x ) x x bo’lsa, shu 0 x nuqtada funksiyani uzluksiz deyiladi. 2
1. O’zgarmas C y
funksiyaning limiti shu o’zgarmasning o’ziga teng: C limC 0 x x
2. O’zgarmas ko’paytuvchini limit ishorasidan tashqariga chiqarish mumkin: 0
0 ) ( lim
)] ( lim[ x x x x x f k x kf
3. Funksiyalar yig’indisining (ayirmasining) limiti shu funksiyalar limitlarining yig’indisi (ayirmasiga) teng: ) ( limf (x)
limf (x)
limf (x)]
f (x)
f (x)
lim[f n 2 1 n 2 0 0 0 0 1
x x
x x x x
x
x
4. Funksiyalar ko’paytmasining limiti shu funksiyalar limitlarinng ko’paytmasiga teng: (x) limf
(x) limf
(x) limf
(x)] f ) f(x
) lim[f(x
n 0 0 2 0 1 2 0 1 x x x x x x n
x x Natija: Agar A (x) limf 0 x x bo’lsa, u holda n n x x A ] [f(x)
lim 0 bo’ladi, 0
da
x x
1 n 0 A f(x)
lim bo’ladi. 5. Agar bo’luvchi f 2 (x) ning limiti 0 ga teng bo’lmasa, f 1 (x) va f 2 (x)ikki funksiya nisbatining limiti shu funksiyalar limitlarining nisbatiga teng: 0 0 0 x x li m ( x )
1 ( x )
1 li m
( x ) li m
( x ) 2 2 x x x x f f f f
3. Ba’zi bir muhim limitlar: 1.
1 x Sinx lim 0 x x yoki 1 Sinx x lim
0 x x
2. e /x) 1 (1 lim x x yoki e x) (1 lim
/x 1 x
Limitlarning yuqoridagi teoremalaridan foydalanib, ba’zi funksiyalar limitlarini hisoblaymiz: 1. 4 2 1 1 1 x 2 lim 1 x limx 2 1 x limx 2) x 2 (x 1 x lim
1
2. 3 π 2 / 1 6 π/ Sinx
6 π/ x lim x 6 π/ x lim Sinx x 6 π/ x lim 3.
100 1 100 lgx lim
x lim
lgx) (x lim 10 x 10 x 10 x 2 2
4. Aniqmasliklarni ochish. Ba'zi
hollarda ) ( ) (
c f
kasr ko’rinishidagi funksiyalarni tekshirganimizda 0 ,
, x a x x x intilganda 0 0
ko’rinishdagi aniqmasliklarga uchraymiz. Bu aniqmasliklarni hosila yordamida Lopital qoidasiga ko’ra ochishni ko’raylik.
nuqtalarda differensiallanuvchi bo’lib,
lim
a x f(x)= φ(x)=0 (yoki lim a x f(x)= lim a x
) va φ'(a)≠0 bo’lsa, u holda lim a x ) ( ) ( x x f
lim a x ) ( ' ) ( '
x f (1). tenglik o’rinli bo’ladi.
lim
a x f(x)= lim a x
Bu holda f(x), φ(x) funksiyalar [a,b] kesmada Koshi teoremasining shartlarini qanoatlantiradi. Jumladan [a,x] (a ) ( ' ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( c c f a x a f x f x x f (2) (2) dagi c kattalik x ga bo’liq bo’lib, x a da c ham a ga intiladi, chunki a Demak,
lim a x ) ( ) ( x x f
lim a x ) ( ' ) ( ' lim ) ( ) ( lim
) ( ' ) ( ' lim ) ( ' ) ( ' x x f x x f x x f c c f a x a x a x
eslatma. Agar lim
a x ) ( ' ) ( '
x f limit yana 0 0 yoki ko’rinishdagi aniqmaslikka olib kelsa, va f'(x), φ'(x) funksiyalar esa f (x), φ(x) funksiyalar qanoatlantirgan barcha shartlarni qanoatlantirsa, u holda ) (
) ( ' x x f
ga yana Lopital qoidasini qo’llash mumkin: lim
a x ) ( ) ( x x f
lim a x ) ( ' ) ( '
x f = lim a x ) ( ' ' ) ( ' ' x x f
Agar zaruriyat bo’lib, teorema sharti qanoatlantirilsa shu jarayonni davom ettirish mumkin.
1 James Stewart Calculus 7E 62-72 betlar eslatma. 0· , - ko’rinishdagi aniqmasliklar ham 0 0 yoki ko’rinishdagi aniqmaslikka keltiriladi.
0 , 1 , 0 ko’rinishdagi aniqmasliklar odatda ) ( )) ( (
x f ko’rinishdagi ifodani logarifmlash natijasida 0 0 yoki ko’rinishdagi aniqraasliklarga keltiriladi.
1. 5
5 cos
5 lim
)' 5 ( )' 5 (sin lim ) 0 0 ( 5 5 sin
lim x x x x x a x a x a x
2. 0 2 lim ) ( 2 lim ) ( lim 2
x x x x x e e x e x
3. 0 lim
1 1 lim ) ( 1 1 lim
) 0 ( ) ( lim 0 2 0 0 0 x x x x nx xinx x x x x
4. 0 sin
cos lim
) 0 0 ( cos
sin 1 lim ) ( cos sin cos
1 lim
2 2 2 x x x x x x x x x x
5. x x x 1 2 ) 1 ( lim ; bu 0 ko’rinishdagi aniqmaslik y=
x 1 2 ) 1 ( desak 1ny= ); 1
1 2
x
0 1 1 2 lim
) 1 ( 1 lim
1 lim
2 2 x x x x n ny x x x
. 1 ) 1 ( lim
1 lim
0 ) 1 ( lim
) lim
( 1 1 2 x x x x x x y ny y n
1. Limit tushunchasi qanday kiritiladi. 2. Cheksiz kichik va cheksiz katta funksiyalarning ta’rifi. 3. Funksiya limitining xossalari. 4. Ajoyib limitlar. 5. Asosiy aniqmasliklarning turlari va ularni ochish.
Download 312.49 Kb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|