M a’ruza 5 yuqori tartibli hosila. Lopital qoidasi
Download 197.65 Kb. Pdf ko'rish
|
- Bu sahifa navigatsiya:
- 1. Yuqori tartibli hosila.
|
M A’RUZA 5 4.5.YUQORI TARTIBLI HOSILA. LOPITAL QOIDASI. , 0 0 KO’RINISHDAGI ANIQMASLIKLARNI OCHISH. Reja. 1. Yuqori tartibli hosila. 2. Lopital qoidasi. , 0 0 ko’rinishdagi aniqmasliklarni ochish. Tayanch iboralar. yuqori tartibli hosila, aniqmasliklar, Lopital qoidasi. 1. Yuqori tartibli hosila. Agar f(x) funksiya [a,b] kesmada differensiallanuvchi bo’lsa, u holda bu funksiyaning hosilasi f'(x) umuman aytganda yana x ning funksiyasi bo’ladi. Shuning uchun undan x bo’yicha hosila olsak, hosil bo’lgan hosilaga berilgan funksiyadan olingan ikkinchi tartibli hosila deyiladi va y "
y"=f"(x)=(y')'=(f'(x)) '.
y"=f "(x) ikkinchi tartibli hosiladan olingan hosilaga y=f(x) funksiyaning uchinchi tartibli hosilasi deyiladi:
y'''=f'"(x)=(f"(x))' Shu jarayonni n marta davom ettirsak y=f(x) funksiyaning n tartibli hosilasi y (n)
=f (n)
(x)=(y n-1
)'=(f (n-i)
(x))' ko’rinishda bo’ladi. Misol. y=f(x) =2x 4 +3x 3 -5x
2 +6x-8
y'=8x 3 +9x 2 -10x+6
y"=24x 2 +18x-10 y"'=48x+18
Agar u(x), v(x) funksiyalar differensiallanuvchi bo’lib, u (n) (x), v
(n) (x) hosilalarga ega bo’lsa, u holda 1. (Cu) < n) =Cu
(n) (C-o’zgarmas son) 2. (u+v) (n)
=u (n)
+ v (n)
3. (uv)
(n) =u (n) +nu (n-1)
v'+ 2 1 ' ' ) 1 ( ) 2 (
u n n n + ...+uv
(n) . tengliklar o’rinli bo’ladi. Oxirgi tenglikka Leybnis formulasi deyiladi. 2. Lopital qoidasi 1-teorema qoidasi Lopital ochishning larni aniqmaslik rinishdagi ko ' 0 0 0
nuqtaning biror atrofida ) ( x f va
) ( x g funksiyalkar uzluksiz, differensiallanuvchi va 0 )
g bo‘lsin.Agar 0 )
lim 0 x f x x va
0 ) ( lim 0 x g x x bo‘lib, k x g x f x x ) ( ) ( lim 0 (chekli yoki cheksiz) limit mavjud bo‘lsa, u holda ) ( ) ( lim
) ( ) ( lim
0 0
g x f x g x f x x x x (4.2.9) bo‘ladi. Isboti. ) ( x f va ) ( x g funksiyalar uchun 0
nuqtaning biror atrofida yotuvchi ] ;
0 x x
kesmada Koshi teoremasini qo‘llaymiz. U holda ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 0 c g c f x g x g x f x f , bu yerda c nuqta
x va
0 x nuqtalar orasida yotadi. 0 )
) ( 0 0 x g x f ni hisobga olib topamiz: ) (
( ) ( ) (
g c f x g x f (4.2.10) 0
da c ham
0 x ga intiladi. (4.2.10) tenglikda limitga o‘tamiz: ) (
( lim
) ( ) ( lim
0 0
g c f x g x f x c x x . k x g x f x x ) ( ) ( lim 0 ekanidan k c g c f x c ) ( ) ( lim 0 . Shu sababli ) ( ) ( lim
) ( ) ( lim
0 0
g x f x g x f x x x x . Izohlar: 1. 1- teorema ) ( x f va
) ( x g funksiyalkar 0
da aniqlanmagan, ammo 0 ) ( lim 0 x f x x va
0 ) ( lim 0 x g x x bo‘lganda ham o‘rinli bo‘ladi. Bunda 0 )
lim ) ( 0 0
f x f x x
va 0 ) ( lim ) ( 0 0
g x g x x deb olish etarli. 2. 1-teorema x da ham o‘rinli bo‘ladi. Haqiqatan ham z x 1 deb, topamiz: . ) ( ) ( lim 1 1 1 1 lim 1 1 lim 1 1 lim ) ( ) ( lim
2 2 0 0 0 0 x g x f z z g z z f z g z f z g z f x g x f x z z z x
) ( x f va ) ( x g funksiyalar 1-teoremaning shartlarini qanoatlantirsa teorema takror qo‘llanishi mumkin: ) ( ) ( lim ) ( ) ( lim
) ( ) ( lim
0 0 0 x g x f x g x f x g x f x x x x x x va hokazo. Misol e e x x x x ln 1 lim
2 1 limitni topamiz.. e e x g x x x f x ) ( , ln 1 ) ( 2
funksiyalar 1 x nuqta atrofida aniqlangan. 0 )
lim ) ( lim 1 1 x g x f x x , ya’ni 0 0
ko‘rinishdagi aniqmaslik hosil bo‘ladi. e e x x x g x f x x x 3 1 2 lim
) ( ) ( lim
1 1 mavjud
va 0 ) ( e x g . U holda 1-teoremaga ko‘ra ) (
( lim
) ( ) ( lim
1 1
g x f x g x f x x . Demak,
e e e x x x x 3 ln 1 lim
2 1 .
1-teorema 0 0 ko‘rinishdagi aniqmasliklarni ochish imkonini beradi. ko‘rinishdagi aniqmasliklarni ochish haqidagi teoremani isbotsiz keltiramiz. 2-teorema qoidasi Lopital ochishning larni aniqmaslik rinishdagi ko '
0
nuqtaning biror atrofida ) ( x f va
) ( x g funksiyalkar uzluksiz, differensiallanuvchi va 0 )
g bo‘lsin. Agar
) ( lim
) ( lim 0 0
g x f x x x x bo‘lib, ) (
( lim
0 x g x f x x limit mavjud bo‘lsa, u holda ) (
( lim
) ( ) ( lim
0 0
g x f x g x f x x x x bo‘ladi. Misol ) ln( ) ln(
lim a x a x e e a x limitni topamiz.
0 0 ) ( lim 1 lim
) ln(
) ln(
lim a x e e e e e e a x e e a x x a x a x a x x a x a x a x
1 0 1 1 ) ( 1 1 ) ( 1 1 lim ) ( lim
a a x e a x e e a x x x x a x . 0 0 va
ko‘rinishdagi aniqmasliklarga asosiy aniqmasliklar deyiladi. 0 yoki ko‘rinishdagi aniqmasliklar algebraik almashtirishlar yordamida asosiy aniqmasliklarga keltiriladi. 0 0 , 0 yoki 1 ko‘rinishdagi aniqmasliklardan ) ( ln ) ( ) ( ) ( x f x g x g e x f formula yordamida asosiy aniqmasliklar hosil qilinadi. Hosil qilingan asosiy aniqmasliklar yuqorida keltirilgan teoremalar yordamida ochiladi. Misollar 1.
0 lim
3 1 1 3 1 lim 1 ln lim ) 0 ( ln lim
3 0 4 0 3 0 3 0 x x x x x x x x x x x . 2. 0 0 sin
cos sin
lim ) ( 1 lim
0 0
x x x x ctgx x x x
0 0 cos sin sin
lim cos
sin sin
cos cos
lim 0 0 x x x x x x x x x x x x x x
. 0 2 0 sin cos
cos cos
sin lim
0
x x x x x x x
3. x x x x x x x x x x x e e e x sin
1 ln ln sin ln 0 0 sin
0 lim
lim 0 0 sin lim
) 0 ( lim
. 1 0 ) sin
( cos
sin sin
cos 1 lim lim lim
0 2 0 2 0
e e e x x tgx x x x x x x x x x
4. ) ( 1 ln lim 0 0 x x x
x x x x x e e 1 1 ln ln lim ) 0 ( 1 ln ln lim 0 0 x x x e 1 1 ln ln lim 0 0 1 1 ln 1 lim 1 1 1 ln 1 lim 0 2 2 0
e e e x x x x x x 1.
5. ) 1 ( ) sin
1 ( lim 0 ctgx x x 0 0 ) sin 1 ln(
lim 0 ) sin 1 ln( lim 0 0 tgx x x ctgx x x e e
) ( ) ) sin 1 (ln( lim 0 tgx x x e . 1 sin 1 1 lim cos
sin 1 cos lim 1 sin ) sin
1 ln(
lim cos
lim 0 0 0 0
e e e e x x x x x x x x x x x Mavzuni mustahkamlash uchun savollar. 1. Yuqori tartibli hosila qanday topiladi? 2. Lopital qoidalaridan qanday hollarda foydalaniladi? 3. Qanday aniqmasliklarni turini bilasiz? Download 197.65 Kb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|