Ma’ruza rejasi: Ikki o‘lchovli integral tushunchasiga keltiriladigan masala
Download 0.83 Mb. Pdf ko'rish
|
3-maruza (Sirtqi 2-kurs, 3-sem.)
- Bu sahifa navigatsiya:
- Ikki o‘lchovli integral tushunchasiga keltiriladigan masala.
- Ikki o‘lchovli integral.
- Ikki o‘lchovli integralni hisoblash. 2-Ta’rif.
- Uch o‘lchovli integralni hisoblash.
|
3-Ma’ruza Ikki va uch o‘lchovli integrallar,ularning xossalari, geometrik va mexanik ma’nosi. Ikki va uch olchovli integrallarni hisoblash. Ma’ruza rejasi: 1. Ikki o‘lchovli integral tushunchasiga keltiriladigan masala. 2. Ikki o‘lchovli integral. 3. Ikki o‘lchovli integralni hisoblash. 4. Ikki o‘lchovli integralning tadbiqlari. 5. Uch o‘lchovli integral va uning xossalari. 6. Uch o‘lchovli integralni hisoblash.
trapetsiyaning yuzini hisoblash masalasi aniq integral tushunchasiga olib kelgan edi. Ikki o‘lchovli integral tushunchasiga silindrik jismning hajmini hisoblash masalasini yechish orqali kelamiz.
𝑂𝑥𝑦𝑧 to‘g‘ri burchakli koordinatalar sistemasida quyidan 𝑂𝑥𝑦 tekislikning 𝐷 yopiq sohasi bilan, yon tomonlardan 𝑂𝑧 o‘qiga parallel silindrik sirt bilan va yuqoridan 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) tenglama bilan aniqlanuvchi sirt bilan chegaralangan 𝑄 jismni qaraymiz (1-rasm). Bu yerda (𝑥; 𝑦) ∈ 𝐷 nuqtalarda 𝑓(𝑥, 𝑦) funksiya nomanfiy qiymatlarni qabul qiladi deb faraz qilamiz. Bunday tasvirlangan 𝑉 jismni silindrik jism, 𝑥 va 𝑦 o‘zgaruvchilarning 𝐷 o‘zgarish sohasi esa silindrik jismning asosi deb ataladi. Qaralayotgan 𝑄 jismning 𝑉 hajmini topish uchun uning 𝐷 asosini ixtiyoriy chiziqlar bilan o‘zaro kesishmaydigan 𝑛 ta 𝐷 𝑖 qismiy sohalarga ajratamiz. U holda 𝑄 jismni asoslari 𝐷 𝑖
𝑖 , 𝑖 = 1, 𝑛 ̅̅̅̅̅ silindrik ustunning yig‘indisi deb qarash mumkin. Har bir qismiy sohada birorta 𝑃 𝑖
𝑖 , 𝜂
𝑖 ) ∈ 𝐷
𝑖 nuqtani tanlaymiz (2-rasm). Agar har bir silindrik ustunni balandligi 𝑓(𝜉
𝑖 , 𝜂
𝑖 ) bo‘lgan to‘g‘ri silindr bilan almashtirsak, 𝑄 𝑖 ustunning ∆𝑉 𝑖 hajmi taqriban 𝑓(𝜉
𝑖 , 𝜂
𝑖 )∆𝑆
𝑖 ko‘paytmaga teng bo‘ladi, bu yerda ∆𝑆 𝑖 qismiy 𝐷 𝑖 sohaning yuzi. U holda 𝑄 jismning yuzi taqriban 𝑉 ≈ ∑
𝑛 𝑖=1
∆𝑉 𝑖 = ∑ 𝑛 𝑖=1
𝑓(𝜉 𝑖 , 𝜂 𝑖 )∆𝑆
𝑖 (1) 𝑓(𝑃 𝑖
𝑃 𝑖
𝐷 𝑖
2-rasm 𝐷 𝑖 𝑂 𝑦 𝑥 𝐷 3-rasm 1-rasm 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑧 𝑂
𝑥 𝐷
yig‘indiga teng bo‘ladi.
Bu munosabatning aniqligini oshirish uchun 𝐷 𝑖 qismiy sohalarning sonini oshirish hisobiga ularning o‘lchamlarini kamaytirish kerakligi ravshan. Hajmning 𝑉 aniq qiymati sifatida (1) yig‘indining 𝐷 𝑖 , 𝑖 = 1, 𝑛 ̅̅̅̅̅ to‘plamlar eng katta 𝑑
𝑉 = lim
𝑛→∞ ∑ 𝑛 𝑖=1 ∆𝑉 𝑖 = lim 𝑛→∞
∑ 𝑛 𝑖=1 𝑓(𝜉 𝑖 , 𝜂 𝑖 )∆𝑆
𝑖 (2) Ikki o‘lchovli integral. Agar chiziqning boshlang‘ich va oxirgi nuqtasi ustma-ust tushsa,biz uni yopiq chiziq deb ataymiz. Yopiq chiziq bilan chegaralanagan to‘plamga chegaralovchi chiziq ham tegishli bo‘lsa, bunday to‘plamlar yopiq to‘plam deb ataladi. 𝑂𝑥𝑦 tekislikning 𝐷 sohasida uzluksiz 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) funksiya aniqlangan bo‘lsin. 𝐷 sohani biror usul bilan 𝑛 ta 𝐷 𝑖 , 𝑖 = 1, 𝑛 ̅̅̅̅̅ qismiy sohalarga ajratamiz va ularning yuzlarini mos ravishda ∆𝑆 𝑖
𝑑 𝑖 va bu diametrlarning eng kattasini 𝑑 orqali belgilaymiz (3-rasm). Har bir 𝐷 𝑖 sohada yxtiyoriy ravishda 𝑀 𝑖 (𝜉 𝑖 ; 𝜂 𝑖 ) nuqtani tanlaymiz va 𝑓(𝜉 1
1 )∆𝑆
1 + 𝑓(𝜉
1 , 𝜂
1 )∆𝑆
1 + ⋯ + 𝑓(𝜉 𝑛 , 𝜂
𝑛 )∆𝑆
𝑛 = ∑
𝑛 𝑖=1
𝑓(𝜉 𝑖 , 𝜂 𝑖 )∆𝑆
𝑖 (3) yig‘indini tuzamiz. Bu yig‘indi 𝑓(𝑥, 𝑦) funksiyaning 𝐷 soha bo‘yicha integral
𝑑 = 0 nuqtada chekli 𝐼 limitga ega bo‘lib, u 𝐷 sohani bo‘lish usuliga va undagi nuqtalarning tanlanishiga bog‘liq bo‘lmasa, bu limitni biz 𝑓(𝑥, 𝑦) funksiyaning 𝐷 soha bo‘yicha olingan ikki o‘lchovli integrali deb ataymiz va uni 𝐼 = ∬
𝐷 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑆 = ∬ 𝐷 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 orqali belgilaymiz.
Shunday qilib, ikki o‘lchovli integral ∬ 𝐷 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 = lim 𝑛→∞ 𝑑→0
∑ 𝑛 𝑖=1 𝑓(𝜉 𝑖 , 𝜂 𝑖 )∆𝑆
𝑖 (4) tenglik bilan aniqlanar ekan. Bunday holda 𝑓(𝑥, 𝑦) funksiya 𝐷 sohada integrallanuvchi va 𝐷 −integrallash sohasi deb ataladi.
(2) va (4) tengliklarni taqqoslab, yuqorida qaralgan silindrik jism hajmi 𝑉 = ∬ 𝐷 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 (5) formula bilan hisoblanadi deb xulosa chiqarish mumkin. 𝑁 1 𝑦 = 𝑦
2 (𝑥)
𝑦 = 𝑦 1 (𝑥) 𝑦 𝑂 𝑥 𝑎 𝑏 𝑀 1
𝑀 2
𝑁 2
𝐷 4-rasm
𝑐 𝑑 𝑂 𝑥 𝑦 𝑥 = 𝑥 1 (𝑦) 𝑥 = 𝑥
2 (𝑦)
5-rasm 6-rasm
1 𝑂 𝑥 𝑦 1 𝐷 𝑦 = 𝑥
2 Ikki o‘lchovli integralni hisoblash. 2-Ta’rif. 𝐷 integrallash sohasini 𝐷 = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑹 2 : 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏], 𝑦 1 (𝑥) ≤ 𝑦 ≤ 𝑦 2 (𝑥)} (6) ko‘rinishda ifodalsh mumkin bo‘lsa, uni 𝑂𝑦 o‘q yo‘nalishi bo‘yicha to‘g‘ri soha deb
ataladi, bu yerda 𝑦 1 (𝑥) va 𝑦 2 (𝑥) funksiyalar [𝑎, 𝑏] kesmada uzluksiz va 𝑦 1 (𝑥) ≤
𝑦 2 (𝑥) tengsizlikni qanoatlantiradi (4-rasm). Bunday sohalarning ichki nuqtasi (ya’ni chegara nuqtasi bo‘lmagan) orqali 𝑂𝑦 o‘qqa parallel qilib o‘tkazilgan har qanday to‘g‘ri chiziq sohaning chegarasini faqat ikki nuqtada kesib o‘tadi. 4-rasmda 𝑀 1 va 𝑀 2 nuqtalar. 𝑂𝑥 o‘q yo‘nalishi bo‘yicha to‘g‘ri soha ham xuddi shu singari aniqlanadi (5-rasm). Bir vaqtning o‘zida ham 𝑂𝑥 va ham 𝑂𝑦 o‘qlar yo‘nalishi bo‘yicha to‘g‘ri sohani oddiy qilib to‘g‘ri soha deb ataymiz. 4-rasmda to‘g‘ri soha tasvirlangan.
𝑓(𝑥, 𝑦) funksiyaning (6) ko‘rinishdagi 𝐷 soha bo‘yicha ikki o‘lchovli integrali mavjud va har bir fiksirlangan 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] qiymatda 𝜑(𝑥) = ∫ 𝑦
(𝑥) 𝑦 1 (𝑥) 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 aniq integral mavjud bo‘lsin. U holda ∫ 𝑏
𝜑(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑏 𝑎 [ ∫ 𝑦 2 (𝑥) 𝑦 1 (𝑥) 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦] 𝑑𝑥 integral ham mavjud va uning qiymati 𝐼 ga teng bo‘ladi: ∬ 𝐷
𝑏 𝑎 𝑑𝑥 ∫ 𝑦 2 (𝑥) 𝑦 1 (𝑥) 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦. (7)
(7) formula 𝑂𝑦 o’q yo’nalishi bo’yicha to’g’ri sohadan olingan ikki o’lchovli integralni hisoblash formulasi deb ataladi. Xuddi shu singari 5-rasmda tasvirlangan 𝑂𝑥 o’q yo’nalishi bo’yicha to’g’ri sohadan olingan ikki o’lchovli integralni hisoblash ∬ 𝐷 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∫ 𝑑 𝑐 𝑑𝑦 ∫ 𝑥 2 (𝑦) 𝑥 1 (𝑦) 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦. (8) formula bilan amalga oshiriladi.
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 2 𝑦
funksiyaning 𝐷 = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑹 2 : 𝑥 ∈ [0,1], 𝑥 2 ≤ 𝑦 ≤ 1} soha bo‘yicha ikki olchovli integralini hisoblaymiz. ►Integrallash sohasi 𝑂𝑦 o‘q yo‘nalishi bo‘yicha to‘g‘ri soha va 𝑦 1 (𝑥) = 𝑥 2 va
𝑦 2 (𝑥) ≡ 1 (6-rasm). (7) formulaga ko‘ra ikki o‘lchovli integralni hisoblaymiz: ∬ 𝐷 𝑥 2 𝑦 3 𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∫ 1 0 𝑑𝑥 ∫ 1 𝑥 2 𝑥 2 𝑦 3 𝑑𝑦 = ∫ 1 0 1 4 𝑥 2 𝑦 4 | 𝑥 2 1 𝑑𝑥 = = 1 4 ∫ 1 0 (𝑥 2 − 𝑥 10 )𝑑𝑥 = 1 4 ( 𝑥 3 3 − 𝑥 11 11 )| 0 1 = 1 4 ( 1 3 − 1 11 ) =
2 33 . ◄ Uch o‘lchovli integral. Ikki o‘lchovli integralni umumlashtirish orqali hosil qilinadigan uch o‘zgaruvchili funksiyaning uch o‘lchovli integralini qarab chiqamiz. Bunday integrallar ikki o‘lchovli integrallar singari turli geometrik, fizik va texnik
masalalrni yechishda tadbiq qilinadi. Ikki va uch o‘lchovli integrallar orasida to‘liq o‘xshashlik mavjudligi tufayli biz faqat tasdiqlarni bayon qilish bilan chegaralanamiz. Ularning isbotini ikki o‘lchovli integrallardagi isbotlarni uch o‘zgaruvchili funksiyalarga osongina moslashtirish orqali hosil qilish mumkin. Jismning massasini hisoblash haqida masala. Fazoviy Ω sohani massa bilam to‘ldirilgan jism berilgan bo‘lsin. Agar har bir 𝑃 ∈ Ω nuqtada 𝜇 = 𝜇(𝑃) = 𝜇(𝑥, 𝑦, 𝑧), 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝛺 massa taqsimlanishining zichligi berilgan bo‘lsa, bu jismning 𝑚 massasini topish talab qilingan bo‘lsin.
Ω sohani qandaydir sirtlar bilan hajmlari ∆𝑉 1 , ∆𝑉 2 ,…, ∆𝑉
𝑛 bo‘lgan 𝑛 ta ΔΩ 1
ΔΩ 2 , …, ΔΩ 𝑛 qismlarga ajratamiz. Har bir ΔΩ 𝑖
𝑃 𝑖 (𝑥 𝑖 , 𝑦
𝑖 , 𝑧
𝑖 ) nuqtani tanlaymiz. ΔΩ 𝑖 sohada zichlik taqriban o‘zgarmas va u 𝜇(𝑃 𝑖 ) ga teng deb faraz qilamiz. U holda bu bo‘lakning massasini ∆𝑚 𝑖 ≈ 𝜇(𝑃 𝑖 )∆𝑉 𝑖
taqribiy tenglik bilan aniqlash mumkin, butun jismning massasi esa taqriban 𝑚 ≈ ∑ 𝑘 𝑖=1 𝜇(𝑃 𝑖 )∆𝑉 𝑖 (9) yig‘indiga teng bo‘ladi.
ΔΩ 𝑖 bo‘laklarning o‘lchamlari qanchalik kichik bo‘lsa, (9) taqribiy tenglik shunchalik aniqroq bo‘ladi. Qaralayotgan jismning massasi sifatida (9) tenglik o‘ng tomonidagi yig‘indining ΔΩ 𝑖 (𝑖 = 1,2, … , 𝑛) bo‘laklar diametrlarining eng kattasi 𝑑 nolga intilgandagi limitini olish mumkin: 𝑚 = lim
𝑑→0 ∑ 𝑛 𝑘=1 𝜇(𝑃
𝑖 )∆𝑉
𝑖 . (10) Fazoda 𝑆 sirt bilan chegaralangan Ω soha berilgan va bu soha va uning 𝑆 chegarasida uzluksiz 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) funksiya aniqlangan bo‘lsin.
Ω sohani qandaydir sirtlar bilan hajmlari ∆𝑉 1 , ∆𝑉 2 ,…, ∆𝑉
𝑛 bo‘lgan 𝑛 ta ΔΩ 1
ΔΩ 2 , …, ΔΩ 𝑛 qismlarga ajratamiz. Bu bo‘laklar diametrlarini 𝑑 𝑖
eng kattasini 𝑑 orqali belgilaymiz. Har bir ΔΩ 𝑖 sohada ixtiyoriy ravishda bittadan 𝑃 𝑖 (𝑥 𝑖 , 𝑦
𝑖 , 𝑧
𝑖 ) nuqtani tanlaymiz va 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) funksiyaning bu nuqtalardagi 𝑓(𝑥 𝑖
𝑖 , 𝑧
𝑖 ) qiymatlarini hisoblab: ∑ 𝑛
𝑓(𝑥 𝑖 , 𝑦 𝑖 , 𝑧
𝑖 )∆𝑉
𝑖 (11) yig‘indini tuzamiz. Bu yig‘indi 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) funksiyaning Ω soha bo‘yicha integral
𝑑 = 0 nuqtada chekli 𝐼 limitga ega bo‘lib, u Ω sohani ΔΩ 1 , ΔΩ 2 , …, ΔΩ 𝑛 qismlarga bo‘lish usuliga va ulardagi 𝑃 𝑖
nuqtalarning tanlanishiga bog‘liq bo‘lmasa, bu limitni biz 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) funksiyaning Ω soha bo‘yicha olingan uch o‘lchovli integrali deb ataymiz va uni 𝐼 = ∭
Ω 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉 = ∭ Ω 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 orqali belgilaymiz.
Shunday qilib, uch o‘lchovli integral ∭ Ω 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = lim 𝑑→0 ∑ 𝑛 𝑖=1 𝑓(𝑥
𝑖 , 𝑦
𝑖 , 𝑧
𝑖 )∆𝑉
𝑖 (12) tenglik bilan aniqlanar ekan. Bunday holda 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) funksiya Ω sohada integrallanuvchi va Ω −integrallash sohasi deb ataladi. (11) va (12) tengliklarni taqqoslab, nuqtalaridagi zichligi 𝜇(𝑥, 𝑦, 𝑧) funksiya bilan aniqlanuvchi Ω jismning 𝑚 massasi uchun 𝑚 = ∭ Ω
formulani hosil qilamiz. Har qanday 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) funksiya uchun ham uch o‘lchovli integral mavjudmi degan savolga quyidagi teorema javob beradi. 3-Teorema. Yopiq chegaralanagan Ω sohada uzluksiz 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) funksiya, bu
sohada integrallanuvchi hamdir. Uch o‘lchovli integralni hisoblash. Ikki o‘lchovli integrallardagi singari uch o‘lchovli integralni hisoblash takroriy integralni hisoblashga keltiriladi. Fazodagi Ω soha quyidan 𝑆 1 : 𝑧 = 𝜑(𝑥, 𝑦) sirt bilan, yuqoridan 𝑆 2 : 𝑧 = 𝜓(𝑥, 𝑦) sirt bilan, 𝑂𝑧 o‘qqa parallel yon silindrik 𝑆 3 sirt bilan chegaralangan bo‘lsin, bu yerda (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷 nuqtalarda 𝜑(𝑥, 𝑦) ≤ 𝜓(𝑥, 𝑦) tengsizlik o‘rinli va 𝐷 −soha berilgan fazoviy Ω sohaning 𝑂𝑥𝑦 tekislikdagi proyeksiyasi (10-rasm). Agar Ω sohaning ixtiyoriy ichki nuqtasidan 𝑂𝑧 o‘qqa
parallel bo‘lib o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq, bu sohaning chegarasini faqat ikki nuqtada kesib o‘tsa, bunday soha 𝑧 −silindrik soha yoki 𝑂𝑧 o‘qi yo‘nalishi bo‘yicha to‘g‘ri soha deb ataladi. Ikki o‘lchovli integrallar uchun keltirilgan 2-Teoremaga o‘xshash quyidagi teorema o‘rinli.
𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) funksiyaning Ω = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝑹 3 : (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷, 𝜑(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑧 ≤𝜓(𝑥, 𝑦) soha bo‘yicha uch o‘lchovli integrali mavjud va har bir (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷 nuqta uchun 𝐼 = ∫ 𝜓(𝑥,𝑦)
𝜑(𝑥,𝑦) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑧 aniq integral mavjud bo‘lsa, u holda ∬ 𝐷 𝑑𝑥𝑑𝑦 ∫ 𝜓(𝑥,𝑦)
𝜑(𝑥,𝑦) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑧 (14) takroriy integral ham mavjud va 𝑧 = 𝜓(𝑥, 𝑦) 𝑧 = 𝜑(𝑥, 𝑦) (𝑆 1 ) (𝑆 2 ) (𝑆 3 ) 𝑥 𝐷 Ω 𝑦 𝑧 𝑂 7-rasm
∭ Ω 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = ∬ 𝐷 𝑑𝑥𝑑𝑦 ∫ 𝜓(𝑥,𝑦) 𝜑(𝑥,𝑦)
𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑧 (15) tenglik o‘rinli bo‘ladi. Mulohaza. Agar 4-Teoremadagi 𝐼 integral uchun 1-Teoremaning shartlari o‘rinli bo‘lsa, uni dastlab 𝑦 bo‘yicha, so‘ngra 𝑥 bo‘yicha olinadigan takroriy integral ko‘rinishida tasvirlash mumkin bo‘ladi. Bu holda (26) tenglik ∭ Ω
𝑏 𝑎 𝑑𝑥 ∫ 𝑦 2 (𝑥) 𝑦 1 (𝑥) 𝑑𝑦 ∫ 𝜓(𝑥,𝑦)
𝜑(𝑥,𝑦) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑧 (16) ko‘rinishni oladi. Agar
Ω fazoviy soha 𝑂𝑦 o‘qi yoki 𝑂𝑥 o‘qi yo‘nalishi bo‘yicha to‘g‘ri soha bo‘lsa, (16) formulada 𝑥, 𝑦, 𝑧 o‘zgaruvchilarning o‘rni almashtirilib, uch o‘lchovli integralni boshqa tartibdagi takroriy integralga keltirish mumkin.
Ω fazoviy soha hech bir koordinata o‘qi yo‘nalishi bo‘yicha to‘g‘ri bo‘lmasa, bu sohani har biri hech bo‘lmasa bitta o‘q yo‘nalishi bo‘yicha to‘g‘ri bo‘ladigan qismlarga ajratish kerak. So‘ngra har bir bo‘lakka 3-Teoremani qo‘llab integral hisoblanadi va hisoblangan integrallarning yig‘indisi berilgan uch o‘lchovli integralning qiymatini beradi. 5-Misol. Ω = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝑹 3 : 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏], 𝑦 ∈ [𝑐, 𝑑], 𝑧 ∈ [0, ℎ]} soha bo‘yicha integrallash chegaralarini qo‘yamiz. ►Mazkur holda Ω −qirralari koordinata o‘qlariga parallel bo‘lgan to‘g‘ri burchakli parallelepipeddan iborat (7-rasm). Bu parallelepiped barcha koordinata o‘qlari yo‘nalishi bo‘yicha to‘g‘ri yopiq soha. Vertikal to‘g‘ri chiziqlar uning quyi va yuqori yoqlarini 𝑧 1 = 0 va 𝑧 2 = ℎ qiymatlarda kesib o‘tadi. Shuning uchun (16) formulaga ko‘ra ∭ Ω 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = ∬ 𝐷 𝑑𝑥𝑑𝑦∫ ℎ 0 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑧 tenglik o‘rinli bo‘ladi, bu yerda 𝐷 = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑹 2 : 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏], 𝑦 ∈ [𝑐, 𝑑]} integrallash sohasi 𝑂𝑥𝑦 tekislikdagi to‘g‘ri to‘rtburchak. 1-Teoremani qo‘llab ∭ Ω
𝑏 𝑎 𝑑𝑥∫ 𝑑 𝑐 𝑑𝑦∫ ℎ 0 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑧 tenglikni hosil qilamiz.◄ 6-Misol. Ω = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝑹 3 : 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0, 𝑧 ≥ 0, 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 ≤ 1} tetraedr bo‘yicha integrallash chegaralarini qo‘yamiz (7-rasm). ► Ω integrallash sohasi barcha koordinata o‘qlari yo‘nalishi bo‘yicha to‘g‘ri soha. 𝑂𝑥𝑦 tekislikning (𝑥, 𝑦) nuqtasidan o‘tuvchi to‘g‘i chiziq Ω yopiq sohani quyidan (𝑥, 𝑦, 0) nuqtada va yuqorida 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1 tekislikning (𝑥, 𝑦, 1 − 𝑥 − 𝑦) nuqtasida kesib o‘tadi. Ω sohaning 𝑂𝑥𝑦 tekislikka proyeksiyasi 𝐷 = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑹 2 : 𝑥 ∈ [0,1], 𝑥 + 𝑦 ≤ 1} uchburchak bo‘ladi. Bu 𝐷 sohada 𝑂𝑦 o‘qqa parallel to‘g‘ri chiziqlar uning chegarasini 𝑦 = 0 va 𝑦 = 1 − 𝑥 to‘g‘ri chiziqlarda kesib o‘tadi. Shuning uchun (16) formulani va 4-Teoremani qo‘llasak, uch o‘lchovli integralni ∭ Ω 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = ∫ 1 0 𝑑𝑥 ∫ 1−𝑥 0 𝑑𝑦 ∫ 1−𝑥−𝑦 0 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑧 ko‘rinishda tasvirlash mumkin.◄
𝑧 𝑥 𝑦 𝑏 𝑎 𝑐 𝑑 ℎ 𝑂 𝛺 𝐷 8-rasm 𝑥 𝑦 𝑧 1 1 1 𝑂
9-rasm Download 0.83 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|