Matematika kafedrasi “Z


Download 257.53 Kb.
Pdf ko'rish
bet1/5
Sana24.06.2020
Hajmi257.53 Kb.
  1   2   3   4   5

O’ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY VA O’RTA MAXSUS TA’LIM 

VAZIRLIGI 

NAMANGAN DAVLAT UNIVERSITETI 

FIZIKA-MATEMATIKA FAKULTET

MATEMATIKA  KAFEDRASI 

 

 

“Z



5

   MAYDON   USTIDA   DARAJASI n DAN OSHMAYDIGAN 

KELTIRILMAYDIGAN   KO`PHADLAR”    MAVZUSIDAGI  

 

 

BITIRUV    MALAKAVIY    ISHI 

 

 



 

 

 

 

 

 

 

Namangan – 2016 

 

 

R E J A 

 

KIRISH 

ASOSIY QISM 

I-BOB. Cheksiz maydon ustidagi ko‘phadlar. 

1- §   Halqa ustidagi ko‘phad tushunchasi  

2-§   Ko‘phadning ildizi 

3-§   Ko‘phadlarning   EKUBi 

                4-

§   Keltiriladigan va keltirilmaydigan ko‘phadlar 



II-BOB. Chekli maydon ustidagi ko‘phadlar 

       1-

§ Chekli maydon ustidagi ko‘phadlar  va ularning ildizlari 

2-§ Z


5

 maydon ustidagi darajasi n dan oshmaydigan keltirilmaydigan 

ko‘phadlar  

XULOSA 

FOYDALANILGAN   ADABIYOTLAR   RO`YXATI 

INTERNET   MA`LUMOTLARI 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

 

K i r i sh 

 

O‘zbekiston Respublikasi demokratik huquqiy davlat va   fuqorolik 



jamiyati qurish yo‘lini tanlangan va amalga oshirib kelmoqda. 

Respublikamizdagi  amalga  oshirilayotgan  qayta  qurishning  

asosiy  maqsad  va  uning  harakatlantiruvchi  kuchi  inson,  shaxsning  har 

tomonlama rivojlanishi  hisoblanadi. Mamlakatimiz taraqqiyotining muhim 

sharti kadrlarni tayyorlash tizimini mukammal bo‘lishi, zamonaviy iqtisod, 

fan-madaniyat, texnika va tehnalogiyalar asosida rivojlanish hisoblanadi. 

«Kadrlar  tayyorlash  milliy  dasturi»  uzliksiz  ta'lim  va  kadrlarni  tayyorlash 

tizimlarini tubdan isloh qilishga qaratilgan. 

Milliy  dasturni  amalga  oshirishda  mavjud  ta'lim  va  kadrlarni 

tayyorlash  tizimlarini  tubdan  o‘zgartirish  zamonaviy  ilmiy  fikrlar  yutiqlari 

va  ijodiy  tajribalarga,  ta'lim  jarayonini  hammasi  shakli  ta'limlarga 

tayangan  holda  amalga  oshiriladi.  Hozirgi  zamonaviy  bosqichda 

pedagogik 

dolzarb 


vazifalarga 

fan-texnika, 

ilg‘or 

texnalogiyalar 



yutuqlaridan  foydalanish  asosida  shaxsni  tarbiyalash,  o‘qitish  va 

rivojlanishi  maqsadlari,  mazmuni,  metodlari,  vositalari  va  tashkiliy 

shakllarini  ilmiy  ta'minlash  kiradi.  Kadrlar  tayyorlash  sohasidagi  davlat 

siyosati  uzluksiz  ta'lim  tizimi  orqali  har  tomonlama  rivojlangan  shaxs-

fuqaroning tashkil topishini ko‘zda tutadi. Ushbu ta'lim tizimida va kadrlar 

tayyorlashda  ta'lim  xizmatlarining  istemolchisi,  buyurtmachisi  sifatida  va 

xuddi shunday ishlab chiqaruvchi sifatida ishtirok etadi. 

Shaxs  ta'lim  jarayonining  ishlab  chiqaruvchi  sifatida  ta'lim,  moddiy 

ishlab  chiqarish,  fan,  madaniyat  va  xizmatlar  sohasi  faoliyatida  bilim  va 

tajribalarni  berishda  ishtirok  etadi.  Respublikamizda  shaxsga  o‘zining 

ijodiy  imkoniyatlarini  amalga  oshirish  uchun  professional  ta'lim  dasturini 


tanlash huquqini  bergan. «Kadrlar tayyorlash milliy  dasturi»  asosida oliy 

ta'limning  asosiy  vazifalari  belgilab  berilgan.  Oliy  ta'limning  eng  muhim 

vazifalaridan  biri  zamonaviy  o‘quv  dasturlari  asosida  yuqori  saviyada 

o‘qitish  va  malakali  kadrlar  tayyorlashni  ta'minlash  hisoblanadi.  Oliy 

ta'limni islox qilishning hozirgi bosqichi oliy ta'lim maktabi o‘qituvchisining 

vazifasini ham o‘zgartiradi. 

O‘zbekiston  Respublikasi  davlat  mustaqilligiga  erishib,  iqtisodiy  va 

ijtimoiy  rivojlanishning  o‘ziga  xos  yo‘lini  tanlashi  kadrlar  tayyorlash 

tuzilmasi  va  mazmanini  qayta  tashkil  etishni  zarur  qilib  qo‘ydi  va  qator 

chora-tadbirlar ko‘rishni: «Ta'lim to‘g‘risida» gi qonunni joriy etishni, yangi 

o‘quv  rejalari,  dasturlari,  darsliklarini  joriy  etishning  zamonaviy  didaktik 

ta'minotini ishlab chiqishni,  o‘quv  yurtlarini attestatsiyadan  o‘tkazishni va 

akkreditatsiyalashni,  yangi  tipdagi  ta'lim  muassasalarini  tashkil  etishni 

taqazo  etdi.  Mana  shunday  fan-texnika  taraqqiyoti  davrida  matematika 

sohasida ham, xususan, algebrada katta natijalarga erishilmoqda. Algebra 

matematikaning  abstrakt  holda  to‘plam  va  unda  aniqlangan  algebraik  

amallar  orqali    o‘rganuvchi  bo‘limi  hisoblanadi.  Algebraning  hozirgi 

zamon  matematikasidagi  ahamiyati  nihoyatda  katta.  Umuman,  hozirgi 

zamon  matematikasida  ko‘p  bo‘limlarining  «algebraiklashuvi»  kuchayib 

bormoqda.  Matematika  boshqa  bo‘limlari  masalalarining  algebra  tiliga 

o‘tkazilishi,  ularni  yechish  uchun  nihoyatda  unumli  bo‘lgan  farmal 

algebraik hisoblashlarni tadbiq qilishga imkon beradi. 

             1. Mavzuning  dolzarbligi   va ahamiyati. 

O‘rta maktab matematikasida ko‘phadlar juda ham ko‘p qo‘llaniladi. 

O‘rta  maktab  algebra  kursida  o‘rganiladigan  bir  o‘zgaruvchili  funksiyalar 

tenglamalarning  asosi  bir  o‘zgaruvchili  ko‘phadlarga  borib  taqaladi. 

Lekin,  maktab  matematika  kursidagi  ko‘phadlar  faqat  butun  sonlar  va 

haqiqiy  sonlar  ustida  qaraladi.  Ko‘phadlarning  ildizlari  (tenglamalarning 

yechimlari) ham butun yoki haqiqiy sonlar ichidan izlanadi. 


Oliy  algebrada  esa  ko‘phadlar  halqasi  ixtiyoriy  maydon  ustida 

qaraladi.  Ayniqsa    maydon  chekli  bo‘lsa,  bunday  ko‘phadlar  ustida 

amallar  bajarish,  uning  ildizlarini  aniqlash,  xossalari  qay  xolatda  o‘rinli 

bo‘lishini aniqlash masalasi oliy algebraning muxim masalasi hisoblanadi. 



2. Bitiruv malakaviy ishining  maqsadi                                                                                                                                                                                                      

va vazifalari. 

Bitiruv  malakaviy  ishini  bajarishdan  maqsad,  o‘rta  maktab  algebra  kursi 

bilan  oliy  maktab  algebra  kursidagi  yana  bir  bog‘lanishni  o‘rganishdan 

undagi uzviylikni ta'minlab, undagi farqni aniqlashdan iborat. 



          3.Tanlangan ob'yektlar va tadqiqot usullari. 

Tanlangan  ob’yektlar  universitetning  matematika  fakultetidagi 

bakalavr  yunalishi  kurslaridan  iborat.  Chunki,  algebra  fanining  asosiy  

kursida  ixtiyoriy  halqa  ustidagi  bir  o‘zgaruvchili  ko‘phadlar  va  ularning 

barcha  xossalari,  unga  bog‘liq  barcha  tushunchalar  (darajasi,  ildizlari, 

qiymati,  EKUBI  va  EKUK  iva  hokazo)  o‘rganiladi.  So‘ngra  bu  halqa 

ustidagi  ko‘phad  tushunchasi  maydon  ustidagi  ko‘phad  tushunchasi  

maydon    ustida  qaralib,  tushunchalar  umumlashtiriladi.  Algebraning 

maxsus  kursida  esa  ko‘phadlar  chekli  maydon  ustida  qaralib,  chekli 

maydon ustida ko‘phad (o‘zini qanday tutishi) o‘rganiladi. 



4. Ishning amaliy ahamiyati. 

 

Bitiruv  malakaviy  ishida  ko‘phadlarni  2  sinfga,  cheksiz  maydon  va 



chekli  maydon  ustidagi  ko‘phadlarga  ajratib  o‘quvchilarga    o‘rta 

maktabdanoq tanish bo‘lgan koefsientlari  cheksiz maydonlardan olingan    

ko‘phadlar    halqasi  aloxida  o‘rganiladi,  bunday  xalkalar  uchun  asosiy 

tushunchalar,  asosiy  xossalar  aloxida    keltirildi.  So‘ngra  koefsientlari  

chekli  maydondan    olingan  ko‘phadlar  uchun  yukoridagi  asosiy 

tushunchalar  ta'riflanib,  bu  tushunchalarning  asosiy  xossalari,  xarakterli 

xususiyatlari  ochib  berildi,hamda  cheksiz  maydon  ustidagi  ko‘phadlar 


chekli  maydon    ustidagi  ko‘phadlar  bilan  taqqoslab,  o‘xshash  va  farqli 

jixatlari keltirildi. 



6. Bitiruv malakaviy ishining tuzilishi haqidagi umumiy ma'lumotlar

 

Bitiruv malakaviy ishi 3 ta qism, 2 ta bob va 6 ta paragrfdan iborat. 



1-  qism  kirish,  2-asosiy  qism,  3-xulosa.  Asosiy  qism  6  tadan  paragrfga 

bo‘linib, o‘rganildi. Bitiruv malakaviy ishi  jamida       bet xajmni egalladi. 

 

 

 



 

 

 



 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Asosiy qism. 

1-BOB. Cheksiz maydon ustidagi ko‘phadlar. 

1- 

§    Halqa ustidagi ko‘phad tushunchasi. 



K

-



 halqa bo‘lsin 

Ta'rif: 

  

n



n

x

а

х

а

х

а

а

+

+



+

+

...



2

2

1



0

      (1) 

ko‘rinishdagi  ifodaga 

x

  o‘zgaruvchili    ko‘phad  deyiladi,  bu  yerda 



n



 

nomanfiy  butun  son, 

n

0

,



,

,

,



2

1

a



a

a

a

  lar 



K

  halqaning  elementlari  bo‘lib  ular 

ko‘phadning koeffitsiyentlari deyiladi. 

(1)  ifodaning  koeffitsiyentlari 



K

  halqadan    olingan  bo‘lsa  ko‘phadni   



K

 

halqa ustidagi ko‘phad deyiladi. 



Masalan: 

 

     



-



2

-



 

,



-

х



-

1

5



3

4

3



2

+

+



     lar  

  butun sonlar halqasi 

Z

  ustidagi ko‘phadlardir.  

9

2

2



9

5

1



,

4

2



2

3

х



х

x

х

+



+

        ,    bularesa  haqiqiy  sonlar  halqasi 



R

  ustidagi  

ko‘phadlardir. 

Shuni ta'kidlash  kerakki (1) ifoda bir butun yaxlit belgi sifatida qaraladi. 

Ya'ni  hech  qanday  qo‘shish  yoki  ko‘paytirish  amallari  uning  alohida  qismlari 

uchun  bajarilmaydi. 



K

  halqaning 



k

a

 

  elementi   



        

n)

 



,

0,1,2,


(k

=



(1) 

ko‘phadning 

k

х

 



 

oldidagi  koeffitsiyenti  deyiladi, 

k

>



  bo‘lgan  holda 

k

x



 

oldidagi  koeffitsiyent  nolga  teng  deb  hisoblanadi.  Ko‘phadlar 

),...

(

),



(

x

g

x

f

kabi 


belgilanadi. 

Ta'rif. Agar 

)

(



1

x

f

 ko‘phadning barcha koeffitsiyentlari 

)

(

2



x

f

 ko‘phadning 

barcha koeffitsiyentlariga mos ravishda teng bo‘lsa, ya'ni                                                                                                      

m

m

n

n

x

b

x

b

x

b

b

x

f

x

a

x

a

x

a

a

x

f

+

+



+

+

=



+

+

+



+

=

...



)

(

...



)

(

2



2

1

0



2

2

2



1

0

1



                    (3)       bo‘lib,  

bu yerdagi 

κ



n

1

0



,

,

,



a

a

a

 , 


...,

,

,



,

m

1



0

,

=



,

,

=



,

=

,



=

 ,



2

2



1

1

0



0

i

i

b

а

b

а

b

а

b

а

b

b

b

κ

 

 bo‘lsa, u holda 



)

(

1



x

f

 va 


)

(

2



x

f

 ko‘phadlar teng  deyiladi va 

)

(

1



x

f

 q 


)

(

2



x

f

 kabi 


yoziladi. 

(2)  va  (3)  formulalar  orqali  berilgan 

)

(

1



x

f

  va 


)

(

2



x

f

  ko‘phadlar  uchun  

ularning yig‘indisi, ayirmasi va ko‘paytmasini quyidagicha aniqlanadi: 

a) 


k

k

k

x

b

a

x

b

a

x

b

a

b

a

x

f

x

f

)

(



...

)

(



)

(

)



(

)

(



)

(

2



2

2

1



1

0

0



2

1

+



+

+

+



+

+

+



+

=

+



   (4) 

 b)


k

k

k

x

b

a

x

b

a

x

b

a

b

a

x

f

x

f

)

(



...

)

(



)

(

)



(

)

(



)

(

2



2

2

1



1

0

0



2

1



+

+



+

+



=



     (5) 

 bu yerda 

n

m

   



m}

мах{n,


 

k

>



=

 bo‘lganda

0

=

m



a

   va  


m

>

n

 bo‘lganda  

0

b



n

=

 deb 



hisoblanadi. 

Masalan: 

4

3

2



4

3

2



4

3

2



4

2

2x



x

2x

x



-

3

7)x



(5

1)x


(0

1)x


-

(3

0)x



(-1

1)

(2



)

7x

-



x

x

-



(1

)

5x



3x

x

-



(2

+

+



+

=

+



+

+

+



+

+

+



+

=

=



+

+

+



+

 

v) 



)

(

1



x

f

  va 


)

(

2



x

f

  ko‘phadlarning    ko‘paytmasi  barcha  tuzish  mumkin  bo‘lgan 



v

u

    ko‘rinishdagi    ko‘paytmalarning    yig‘indisiga  teng  bo‘ladi,  bu  yerda 



u

)



(

1

x



f

  ko‘phadning,



v

  esa 


)

(

2



x

f

  ko‘phadning 

  hadi.  O‘xshash  hadlarni 



ixchamlagandan  so‘ng quyidagi ko‘phad hosil bo‘ladi: 

 

 x



c

.

x



c

x

c



c

 

(x)



(x)

m

n



m

n

2



2

1

0



2

1

+



+

+



+

+

+



=



f



f

         (6) 

bu yerda   

b

x



...

x

b



x

x

b



x

x

b



x

с

0



k

k

2



-

k

2



-

k

2



2

1

-



k

1

-



k

1

k



k

0

k



k

a

a

a

a

=



+

+



+

+



=

 



)x

b

...



b

b

b



(

k

0



k

2

-



k

2

1



-

k

1



k

0

a



a

a

a

+

+



+

+

=



 

bundan, 


 

b

b



с

0

k



2

-

k



2

1

-



k

1

k



0

k

a



a

а

а

а

а

+



+

+

+



=

              (7) 

(bu yerda yuqoridagi  kabi 

n

>



l

 bo‘lganda  

m

 

  



0

 

>



=

l

a

l

 bo‘lganda   

 

0

=



l

b

 deb hisoblanadi. 

Masalan:  

6

5



4

3

2



2

4

3



х



-



-

-2



)



)(-1

х



-

(2



+

+

+



+

=

+



+

+

+



 

Xususiy  holda, 

4

х



 

  oldidagi    koeffitsiyent  (7)  formula  bo‘yicha 

quyidagicha hisoblab  topiladi: 

1

2·(-1)



1·3

0· 2


(-3)· 0

2· 0


=

+

+



+

+

 



Qo‘shish va ko‘paytirishning bunday aniqlash ko‘phadlarning tengligi 

ta'rifiga mos keladi. Ya'ni agar 

)

(

1



x

f

 q 


)

(

2



x

f

 va 


)

(

2



x

g

 



=

)

(



2

x

g

     bo‘lsa, u holda  



)

(

 ⋅



)

(

 



=

)

(



 ⋅

)

(



 

 )

(



 

+

)



(

 

=



)

(

+



2

2

1



1

2

2



1

x

f

x

g

x

g

x

f

ва

x

x

f

x

f

g

g



 

(x)


1

 bo‘ladi. 



Izox:  

1)    Ko‘phadning  ifodasidagi 



x

  harfining  o‘rnida 

  boshqa  harf  bo‘lishi 



mumkin.  Agar  ko‘phadning  berilishida  bu  qaysi  harf  ekani  ma'lum  bo‘lsa,  u 

holda  ko‘phadning  belgilanishini  qisqartirib, 

 

 

g...



 

,

f

  ko‘rinishda  yozish 

mumkin. 


2)    Ko‘phadning  (1)  ko‘rinishida  berilishidan  ko‘rdikki,  ko‘phad  mavjud  

bo‘lishi  uchun  uning koeffitsiyentlari berilishi kerak ekan. Bu koeffitsiyentlarni 



K

  halqaning  qandaydir    elementlari  ketma-ketligi

 

K

a

a

a



n

1

0



,

,

,



  o‘rinishida  

ifodalash  mumkin. Unga  mos  holda qo‘shish  va ko‘paytirish amallarini bunday 

ketma-ketliklar ustida aniqlasak, ko‘phadni qisqaroq yozuvda ya'ni ketma-ketlik 

ko‘rinishida ifodalash mumkin bo‘ladi. 

Ko‘phadlarni qo‘shish va ko‘paytirish quyidagi  xossalarga ega: 

1

.    Qo‘shishning kommutativligi  

)

(

1



x

f

 va 


)

(

2



x

f

   ko‘phadlar (2) va (3) 

formulalar orqali berilgan bo‘lsin. U holda ta'rifga ko‘ra 

k

k



k

2

2



2

1

1



0

0

1



2

k

k



k

2

2



2

1

1



0

0

2



1

)x

(b



(b



(b

)

(b



(x)

(x)


)x

b

(



)x

b

(



)x

b

(



)

b

(



(x)

(x)


a

a

a

a

f

f

a

a

a

a

f

f

+

+



+

+



+

+

+



+

=

+



+

+



+

+

+



+

+

+



=

+

 



bu yerda 

m}

{n,



max

k

=



 bo‘ladi. 

K

 halqada qo‘shish  

  ya'ni 

k

p

,...


2

,

1



,

0

=



 

bo‘lganda 



p

p

p

a

a

+

=



+

b

b



p

 bo‘lagani uchun  

(x)

(x)


(x)

 

(x)



1

2

2



1

f

f

f

f

+

=



+

         bo‘ladi. 



2

0

.     Qo‘shishning assotsiativligi  

)

(

1



x

f

,

)



(

2

x



f

,

)



(

3

x



f

 ko‘phadlar uchun 



 

(x))


(x))

(x)


(

(x)


(x))

 

(x)



(

3

2



1

3

2



1

f

f

f

f

f

f

+

+



=

+

+



  

 tenglikning  bajarilishini 



K

 halqada qo‘shishning assotsiativligidan foydalanib, 

osongina tekshirib ko‘rish mumkin. 

3

0

  .  Nolning  mavjudligi.  Barcha  koeffitsiyentlari  nolga  teng  bo‘lgan 

ko‘phad nol ko‘phad deyiladi va 0 bilan belgilanadi. 

Bu  ko‘phad  nol  element  (qo‘shishga  nisbatan  neytral  element)  vazifasini 

bajaradi.  

Ko‘phadlarni  qo‘shish    amalining  ta'rifiga  ko‘ra 

(x)


f

  ko‘phad 



uchun  

(x)


0

(x)


f

f

=

+



 ekanligi tushunarli. 

4

0

.  Qarama-qarshi elementning  mavjudligi.  

(x)

f

 ko‘phaddagi barcha 

koeffitsientlarni  mos ravishda  ularning  qarama-qarshi  lari bilan almashtirishdan 

xosil  qilingan  ko‘phadni  –

(x)

f

  kabi  belgilanadi.  Ravshanki 

(x)

f

  +


0

(x))


(

=



f

 

ya'ni 



 –

(x)


f

 ko‘phad 

(x)

f

  ko‘phad uchun qarama-qarshi ko‘phaddir. 



5

0

Ko‘paytirishning qo‘shishga nisbatan distributivligi. 

 3 ta ko‘phad berilgan bo‘lsin. 

n

n

n

n

n

n

x

с

x

с

x

с

с

x

f

x

x

x

x

f

x

a

x

a

x

a

a

x

f

+

+



+

+

=



+

+

+



+

=

+



+

+

+



=

...


)

(

b



...

b

b



b

)

(



...

)

(



2

2

1



0

3

2



2

1

0



2

2

2



1

0

1



 

 

)



(

)

(



)

(

)



(

)

(



))

(

)



(

(

3



2

3

1



3

2

1



x

g

x

g

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

+

=



+

 

 



(8)                         

ekanini isbotlaymiz. 

)

(

)



(

2

1



x

f

x

f

+

  ko‘phad  (4)  formula  orqali  berilgan  ko‘phadlarni  ko‘paytirish 



amalining ta'rifiga  ko‘ra  

e

p

e

p

x

d

x

d

x

d

d

x

f

x

f

x

f

+

+



+

+

+



=

+

...



)

(

))



(

)

(



(

2

2



1

0

3



2

1

   



bu yerda  

0

1



1

1

0



0

)

b



(

...


)

b

(



)

b

(



c

a

c

a

c

a

d

k

k

k

k

k

+

+



+

+

+



+

=



 

K

  halqada  distributivlikning  o‘rinliligidan  foydalanib 



k

d

  ni   


II

k

I

k

d

d

+

 



  yig‘indi 

ko‘rinishida ifodalashimiz mumkin bunda 

0

2

2



1

1

0



...

c

a

c

a

c

a

c

a

d

k

k

k

k

I

k

+

+



+

+

=



 



0

2

2



1

1

0



b

...


b

b

b



c

c

c

c

d

k

k

k

k

II

k

+

+



+

+

=



 



)

(

1



)

(

1



x

f

x

f

d

I

k

  ko‘phaddagi 



k

x

 

  oldidagi  koeffitsiyent  ekanligi  kelib  chiqadi. 



Bundan  (8)  tenglikning  o‘rinliligi    kelib  chiqadi  xuddi  shu  mulohazalardan 

foydalanib 2- distributivlik 

  

)

(



)

(

)



(

)

(



))

(

)



(

)(

(



2

3

1



3

2

1



3

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

+



=

+



  

ham isbotlandi. 



1

0

-5

0 

  xossalardan  ko‘ramizki,  koeffitsiyentlari 



K

  halqadan  olingan 

ko‘phadlar  to‘plamining    o‘zi  ham  ko‘phadlar  ustida    aniqlangan  qo‘shish  va 

ko‘paytirish amallariga nisbatan  halqa tashkil qiladi. 

Bu  halqa 

K

  halqa  ustidagi  (



x

  o‘zgaruvchili)  ko‘phadlar  halqasi  deyilib, 

]

[x



K

  kabi  belgilanadi.  Barcha  halqalardagi  kabi  ko‘phadlar  halqasida  ham 

qo‘shish amaliga teskari  amal ayirish amali aniqlangan. Kelgusida biz amalning 

halqa aksiomalaridan kelib chiqadigan asosiy sodda xossalarini ko‘rsatamiz. (2) 

va  (3)  ko‘rinishda  berilgan    ko‘phadlarning  ayirmasi  (5)  formula  yordamida 

topiladi. Bu tenglikning  o‘rinli ekanligini ayrimani  

))

(

(



)

(

)



(

)

(



)

(

2



1

2

1



1

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

+



=



  

ko‘rinishda ifodalasa osongina isbotlanadi. 



x

  ni o‘z ichiga olmagan ko‘phadlar, ya'ni (1) ifodada  

0

=

n



 bo‘lgan holda 

K

  halqaning  elementlari  bo‘ladi.  Ulardagi  qo‘shish  va  ko‘paytirish  amali, 

ta'rifdan  ko‘rinadiki 

K

  halqada  bajariladi.  Boshqacha    aytganda, 



K

  halqa 


]

[x



K

 

halqaning qism halqasi bo‘ladi. 



(1)  Ifodadagi 

n

n

x

a

x

a

x

a

a

,

.



.

.

,



,

,

2



2

1

0



 

  qo‘shiluvchilar  ko‘phadning 

hadlari deyiladi. Xususan, 

0



a

 ozod had deyiladi. Odatda (yozuvni soda bo‘lishi 



uchun)ko‘phadning  yozuvida  koeffitsiyenti    nolga  teng  bo‘lgan  hadlar  tashlab 

yuboriladi. 

 Masalan:  

4

3



2

0

4



3

0

6



x

x

x

x

+



+



+

  ko‘phad 

3

2

4



3

6

x



x

+



 

 

 kabi yoziladi.  



k

ax

 

 ko‘rinishidagi ko‘phad bir had deyiladi. 



Ko‘phadlarning yig‘indisi ta'rifiga ko‘ra (1) ko‘phadni  

m

n

x

a

x

a

x

a

a

,

...



,

,

,



2

2

1



0

 

  



birhadlarning    yig‘indisi  deb  qarasak,  ko‘phadning  yozuvidagi  «+»  belgini 

qo‘shish amali deb qarash mumkin bo‘ladi. 



k

x

a)

(



 

 

k



ax

 

birhadga  qarama-qarshi  birhad  deyiladi.  Shuning  uchun 



qandaydir ko‘phadga 

k

x

a)

(



 

birhadni qo‘shish deganda ko‘phaddan 



k

ax

 

birhadni 



ayirish  tushuniladi.  Bu  «-»  ni  ko‘phadlarni  ayirish    sifatida  qarab 

+

k



x

a)

(



 

 

o‘rniga -



k

ax

 

 ni yozish imkonini beradi.  



Masalan:  

               

2

2

)



3

(

1



x

x

+



+

   


ko‘phad o‘rniga  

      


2

2

3



1

x

x

+



 

ko‘phadni yozish mumkin. 

Endi 

K

  halqa  birlik  elementga    ega  bo‘lsin  deb  faraz  qilamiz. 



x

x

p

1

)



(

=

 



ko‘phadni qaraymiz. Ko‘phadlarni ko‘paytirish formulasiga ko‘ra,  

3

2



3

2

2



1

)

(



))

(

(



))

(

(



1

)

(



)

(

))



(

(

x



x

p

x

p

x

p

x

x

p

x

p

x

p

=

=



=

=

 



  

va xokozolarga ega bo‘lamiz. Umuman, 



k

k

k

x

x

p

x

p

x

p

1

)



(

))

(



(

))

(



(

1

=



=

  



bo‘ladi . 

[ ]


x

K

 halqada 



k

x

1

 ko‘phadni 



a

 elementga ko‘paytirsak,  



k

k

ax

x

p

a

=



))

(

(



 

hosil  bo‘ladi.    Odatda 



k

x

p

))

(



(

  ifodani 

)

(x



p

k

  kabi  belgilash 

ishlatiladi. 

Nihoyat, bir nechta xuddi shunday tengliklarni qo‘shish natijasida 



[ ]

x

K

a

a

a

a

n



,...,

,

,



2

1

0



 

n

n

n

n

x

a

x

a

x

a

a

x

p

a

x

p

a

x

p

a

a

+

+



+

+

=



+

+

+



+

...


))

(

(



...

))

(



(

)

(



2

2

1



0

2

2



1

0

     



ga ega bo‘lamiz.  

Bu tenglik  qanday ma'noni  anglatadi? 

Uning chap tomoni ko‘phadning  ta'rifiga ko‘ra ko‘phadning ifodasini bildiradi, 

o‘ng  tomonida  esa   



n

a

a

a

a

,...,


,

,

2



1

0

 



    elementlar    va   

[ ]


x

K

  halqaning 

)

(x



p

 

elementlari  o‘rtasida  bu  halqadagi  qo‘shish  va  ko‘paytirish  amali  bajarildi. 



Shuning  uchun 

K

  halqada  birlik  element  mavjud  bo‘lsa  biz   

)

(x



p

    deb 


belgilagan  ko‘phadni 

x

  harfi  orqali  ifodalab  ko‘phadning  formal  ifodasiga  

mazmun berdik. 

 

Ko‘phad  haqidagi  dastlabki  ma'lumotlarning    yakunida  ko‘phadning 



darajasi tushunchasini va unga bog‘liq bo‘lgan boshqa bir nechta tushunchalarni 

kiritamiz. 



Ta'rif : 

 Noldan farqli bo‘lgan  



n

n

x

a

x

a

x

a

a

x

f

+

+



+

+

=



...

)

(



2

2

1



0

  

ko‘phadning darajasi  deb, 



0



k



a

 bo‘lgandagi eng katta 



k

 soniga aytiladi. 

Nol ko‘phadning  darajasi  -

 deb hisoblanadi. 



)

(x



f

 ko‘phadning darajasi  

.

дap

)

(x



f

  kabi belgilandi.  

Nolinchi  darajali  ko‘phad-  bu 

K

  halqaning  noldan    farqli  elementidir. 

Darajasi 

0



n

 bo‘lgan 

 ko‘phad  



n

n

x

a

x

a

x

a

a

+

+



+

+

...



2

2

1



0

  

ko‘rinishda  yoziladi, bu yerda 



0



n



a

 va  


n

n

x

a

  

 



 uning bosh hadi ,  

n

a

  esa bosh 

koeffitsiyenti deyiladi. 

Ta'rif : 

Bosh  koeffitsiyenti  1  ga  teng  bo‘lgan  (agar 



K

  halqada  birlik  element 

mavjud bo‘lsa) ko‘phad normallashgan ko‘phad deyiladi. 


Ko‘phadlarning  yig‘indisi  va  ko‘paytmasini  ifodalovchi  (4)  va  (6) 

formulalardan  ko‘rinadiki    yig‘indi  ko‘phad 

{ }

m

n,

max


  dan  ko‘paytma  ko‘phad 

esa 


m

n

+

 dan yuqori darajali hadga ega bo‘lmaydi. 



Bundan  

 

{



}

)

(



.

),

(



.

max


))

(

)



(

.(

2



1

2

1



x

f

дар

x

f

дар

x

f

x

f

дар

+



   (9)   

 

      



)

(

.



)

(

.



)

(

)



(

.

2



1

2

1



x

f

дар

x

f

дар

x

f

x

f

дар

+



           (10) 

munosabatlar kelib chiqadi. 

Hozirga  qadar  biz 



K

  halqaga  hech  qanday  shart  qo‘ymadik. 

(Ko‘paytirishning  kommutativligi  yoki  assotsiativligini  talab  qilmadik). 

[ ]


x

K

 

halqada ko‘paytirish amali yuqoridagi u yoki bu hossani  qanoatlantirishi uchun 



bu  xossalarning     

K

    halqada  o‘rinli  bo‘lishini  talab  qilish  lozim  bo‘ladi.  Shu  

nuqtai  nazardan 

K

  halqada  butunlik  sohasi  bo‘lishini,  ya'ni  birlik  elementli 

nolning  bo‘luvchilariga  ega  bo‘lmagan,  kommutativ,assotsiativ    halqa  bo‘lgan 

holni ko‘rib chiqamiz.  

Shunday  qilib    qaralayotgan  ko‘phadlarning  koeffitsiyentlari  butunlik  

sohasidan olingan bo‘lsin. 



K

 butunlik sohasi bo‘lganda ko‘phadlarni ko‘paytirish amali uchun o‘rinli 

bo‘lgan bir nechta qo‘shimcha xossalar kelib chiqadi. 

6

0

.

 

  Ko‘paytirishning  kommutativligi,  ko‘paytirishning  ta'rifidan  (6)  va 

(7)  formulalardan  bevosita    kelib  chiqadi.  Avvalo  bir  hadlarni  ko‘paytirishning 

kommutativligini isbotlaymiz. 



n

ax

 va 


m

bx

 birhadlar uchun    



m

n

n

m

m

n

n

m

bax

ax

bx

abx

ax

bx

+

+



=

=



 bo‘ladi. 



K

 halqada ko‘paytirish kommutativ bo‘lgani uchun 



ba

ab

=

  bo‘ladi, demak, 



n

m

m

n

ax

bx

bx

ax

=



  

 bo‘ladi. 



Endi   

)

(



1

x

f

  va   


)

(

2



x

f

lar   


      ko‘phadlar  bo‘lsin 

)

(

)



(

2

1



x

f

x

f

  ko‘phad  



barcha  tuzish  mumkin  bo‘lgan 

v

u

  ko‘rinishdagi    ko‘paytmalarning  



yig‘indisiga  teng,  bunda 

)

(



1

x

f

u

    ko‘phadning    hadi, 



v

  esa 


)

(

2



x

f

  ko‘phadning  

hadi.  

Masalan:  



x

x

x

x

x

x

x

x

x

5

3



5

)

3



(

5

2



3

2

)



5

3

)(



3

2

(



2

2

2



+



+

+



+



=

+

+



  

Bunga  mos  ravishda 



)

(

)



(

1

2



x

f

x

f

  ko‘phad  barcha    tuzish  mumkin  bo‘lgan 



u

v

    ko‘rinishdagi  ko‘paytmalarning  yig‘indisiga  teng,  bunda  ham 



u

  va 


v

  lar 


yuqoridagi ma'noga ega. 

 Masalan: 

2

2

2



+

+

+



+

+

=



+

+

5x· x



5x· (-3x)

5x·2


3· x

3· (-3x)


3·2

)

x



3x

-

5x)· (2



(3

 

 



  

Yuqorida  isbotlandiki,  birhadlarning  ko‘paytirish  kommutativ    u  holda  

)

(

1



x

f

    ko‘phadning 

 

u



  hadi  va 

)

(



2

x

f

  ko‘phadning 

 

v



  hadi  uchun 

u

v

v

u

=



 

tenglik  o‘rinli. Bundan  



)

(

)



(

)

(



)

(

1



2

2

1



x

f

x

f

x

f

x

f

=



 

 kelib chiqadi. 



7

0

.

 

 Ko‘paytirishning assotsiativligi.  

            

)

(

))



(

)

(



(

3

2



1

x

f

x

f

x

f



  ko‘phad  barcha  tuzish  mumkin  bo‘lgan 

)

(



v

u



w

 

ko‘rinishidagi  ko‘paytmalarning  yig‘indisiga  teng,  bu  yerda 



u

-

)



(

1

x



f

 

ko‘phadning, 



v

)



(

2

x



f

  ko‘phadning, 



w

-

)



(

3

x



f

  ko‘phadning  hadi.  Xuddi 

shuningdek, 

))

(



)

(

(



)

(

3



2

1

x



f

x

f

x

f



  ko‘phad barcha  tuzish mumkin bo‘lgan 

)

(



w

v

u



 

ko‘rinishdagi  ko‘paytmalarning  yig‘indisidan    iborat,  bunda 



v

u

  va 



w

  lar 


yuqoridagi  ma'noga  ega.  Shuning  uchun   

w

v

,

,



  birhadlar    uchun 

)

(



v

u



w

=

)

(



w

v

u



 ekanini isbotlash kifoya. 

p

m

n

cx

bx

ax

,

,



   

birhadlar uchun 

)

(

)



(

)

(



)

(

bc



a

c

ab

abcx

bcx

ax

cx

bx

ax

abcx

cx

abx

cx

bx

ax

p

m

n

p

m

n

p

m

n

p

m

n

p

m

n

p

m

n

=

=



=



=



=



+

+

+



+

+

+



 

bo‘lgani uchun  



)

(

)



(

p

m

n

p

m

n

cx

bx

ax

cx

bx

ax



=



  

bo‘ladi. 



8

0

.

 

Birlik  elementning    mavjudligi. 

[ ]


x

K

  halqaning  birlik  elementi 

(ko‘paytirish  amaliga  nisbatan  neytral  elementi)

K

  halqaning    birlik  elementi 

bo‘ladi.  Haqiqatdan  ham    ko‘phadlarni  ko‘paytirish  amalining  ta'rifiga  ko‘ra, 

)

(x



f

 ko‘phad uchun   



)

(

)



(

1

x



f

x

f

=



 

 bo‘ladi. 

Xususiy  holda, 

k

k

x

x

=



1

  shuning  uchun    ko‘phadning    yozuvida,    odatda  

birga teng koeffitsiyentlar yozilmaydi. 

9

0

. Ko‘phadning nolning bo‘luvchilariga ega emasligi.  

2 ta noldan farqli ko‘phadlar berilgan bo‘lsin: 



m

m

m

m

n

n

n

n

x

b

x

b

x

b

x

b

b

x

g

x

a

x

a

x

a

x

a

a

x

f

+

+



+

+

+



=

+

+



+

+

+



=



1



1

2

2



1

0

1



1

2

2



1

0

...



)

(

...



)

(

 



Ularning ko‘paytmasi  noldan farqli bo‘lishini ko‘ramiz. Ta'rifga ko‘ra  

 

 



m

n

m

n

m

n

m

n

m

n

x

b

a

x

b

a

b

a

x

b

a

b

a

b

a

x

g

x

f

+



+



+

+

+



+

+

+



=

1

1



1

0

1



1

0

0



0

)

(



...

)

(



)

(

)



(

  

bo‘lgani  uchun 



)

(

)



(

x

g

x

f

  ko‘phaddagi 



m

n

x

+

  oldidagi  koeffitsient 



m

n

b

a

  ga    teng 

bo‘ladi. 

K

  da  nolning  bo‘luvchilari    bo‘lmagani  uchun   



m

n

b

a

0

  



  bo‘ladi  va 

demak 

)

(



)

(

x



g

x

f

0



 bo‘ladi. 

Yuqoridagi mulohazalardan kelib chiqadiki 

)

(

.



)

(

.



)

(

)



(

.

x



g

дар

x

f

дар

x

g

x

f

дар

+

=



    (11) 

Bu formula (11) tenglikni 



K

 halqa nolning bo‘luvchilariga ega bo‘lmagan 

holda aniqlangan. 

 

6

0

-9

0

-  xossalardan  ko‘rinadiki, 

[ ]

x

K

  butunlik  sohasi  bo‘lar  ekan  shuning 

uchun quyidagi teorema keltirildi. 

 

Teorema 1. 


Butunlik sohasi  ustidagi ko‘phadlar  halqasining o‘zi  ham butunlik sohasi 

bo‘ladi. 

   

Ko‘phadlar  halqasida  bo‘lish  amali  agar  uni  odatdagi  ma'noda  qaralsa, 



bajarilmaydi.  

Masalan: 

 

[ ]



x

R

  halqada 

2

x

 

ko‘phadni 



1

+

x

  ko‘phadga  bo‘lib  bo‘lmaydi,  ya'ni 

2

x

)

1

)(



(

+

=



x

x

g

  tenglikni  qanoatlantiruvchi 

)

(x



g

    ko‘phad  mavjud  emas.  (agar 

bunday  ko‘phad  mavjud  bo‘lganda  edi,  u  holda 

1



=

x

  bo‘lganda 

0

)

1



(

1



=

g

 

noto‘g‘ri  tenglikka    ega  bo‘lar  edik  )  shuning  uchun  ko‘p  hollarda  «qoldiqli 



bo‘lish»  deb  ataluvchi  amal  bajariladi.  Bu  amal  haqida  keyinroq  batafsil 

to‘xtalamiz.  Hozir  esa  uning  hususiy  holi  bo‘lgan 

0

x

x

 



ikki  hadga  qoldiqli 

bo‘lishni ko‘rib chiqamiz. 



Teorema 2.  

)

(x



f

  –  koeffitsiyentlari 



K

  halqadan  olingan  ko‘phad  bo‘lsin.



K

x



0

 

uchun 



)

(x



f

 ko‘phadni yagona usulda  



c

x

x

x

g

x

f

+



=

)

)(



(

)

(



0

                (13) 

 

ko‘rinishda ifodalash mumkin, bu yerda 



[ ]

K

с

x

K

x

g



,

)

(



 bo‘lib, 

r

c

=

 



Isboti: 

Agar 


K

a

x

f

=



)

(

 bo‘lsa, u holda 



0

,

0



)

(

=



=

c

x

g

  deb olish mumkin bo‘ladi. 

Ko‘rinib 

turibdiki, 

bu 

0

)



(

=

x



f

 

 



uchun 

yagona 


imkoniyat. 

Endi 


дар

0

)



(

.

>



=

n

x

f

  bo‘lsin. 

)

(x



f

  ko‘phadni   



x

  ning  darajalarini  pasaytish 

tartibida yozamiz: 

n

n

n

n

a

x

a

x

a

x

а

x

f

+

+



+

+

=



1



1

1

0



...

)

(



Ravshanki   

)

(x



f

  ko‘phadni  (13)  ko‘rinishda  ifodalash  mumkin  bo‘lsa,  u 

holda  

1

)



(

.



=

n

x

g

дар

 bo‘ladi.  

)

(x



g

 ni noaniq koeffitsiyentlar bilan yozamiz: 

1

2

2



1

1

0



...

)

(





+

+



+

+

=



n

n

n

n

b

x

b

x

b

x

b

x

g

 


)

(x



f

 va 


)

(x



g

 ifodalarini  (13)  tenglikka qo‘ysak, 



n

n

n

n

a

x

a

x

a

x

а

+

+



+

+



1

1



1

0

...



...

)

(



)

(

2



1

0

2



1

0

0



1

0

+



+

+



+

=





n

n

n

x

b

x

b

x

b

x

b

x

b

 

)



(

)

(



1

0

2



0

1



+



+

+

+



n

n

n

b

x

c

x

b

x

b

 

hosil bo‘ladi. 



Bundan ko‘phadlarning tengligi ta'rifiga ko‘ra: 

1

0



2

0

1



1

1

0



2

2

0



0

1

1



0

0





+

=

+



=

+

=



+

=

=



n

n

n

n

n

b

x

a

c

b

x

a

b

b

x

a

b

b

x

a

b

a

b

 

 



         

(14) 


 kelib chiqadi. 

bu  formulalar 

1

2

1



0

,...,


,

,



n

b

b

b

b

  va 


c

  larni  ketma-ket  aniqlash  imkoniyatini 

beradi. Yuqoridagi  mulohazalardan ko‘rinadiki (13) tenglikni qanoatlantiruvchi 

)

(x



g

 ko‘phad  va 



c

  element mavjud va u bir qiymatli aniqlanadi. 

)

(

0



x

f

с

=

  ekanini  isbotlash  uchun  (13)  tenglikdan    foydalanib, 



)

(x



f

 

ko‘phadning 



0

x

 nuqtadagi qiymatini hisoblaymiz: 

 

c

x

x

x

g

x

f

+



=

)

)(



(

)

(



0

0

0



0

  

bundan  



c

x

f

=

)



(

0

  



kelib  chiqadi.                                                   

  Teorema isbot bo‘ldi. 



 

 

 

 

 

 

 

2


Download 257.53 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:
  1   2   3   4   5




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2020
ma'muriyatiga murojaat qiling