Mavzu: Ikkilik Prinsipi haqidagi teeorema Reja: Ikkilik prinsipi umumiy ta’rif Ikkilik teoremalar

Mavzu: Ikkilik Prinsipi haqidagi teeorema
Reja:
1Ikkilik prinsipi umumiy ta’rif
2 Ikkilik teoremalar 
3 Ikkilik printsipi mantiqiy algebraga asoslanishi.


Ikkilik prinsipi, duallik prinsipi, oʻzaro proporsionallik prinsipi— proyektiv geometriyanit asosiy teoremalaridan biri. Isbotlash mumkin boʻlgan bir te-oremadan bevosita ikkinchi teoremani keltirib chiqarishga imkon beradi. I.p. nazariyada oʻzaro dual (ko’sh) tushunchalar mavjudligiga asoslangan. Nazariyada I.p. oʻrinli boʻlishi uchun har bir aksiomaga dual jumla yo aksioma, yoki teorema boʻlishi kerak. Shu sababli, biror jumlani isbotlash mumkin boʻlsa, unga dual jumla ham toʻgʻri boʻladi. Mac, tekislik proyektiv geometriyasida "nuqta" va "toʻgʻri" oʻzaro dual tushunchalar, quyidagi aksioma va teoremalar esa dual jumlalardir: Ixtiyoriy turli ikki nuqtadan bir toʻgʻri chiziq oʻtadi. (Paskal teoremasi). Ikkinchi tartibli har qanday chiziqqa ichki chizilgan oltiburchaklikda uch juft qaramaqarshi tomonlar kesishgan uchta nuqta bir toʻgʻri chiziqda yotadi.
Ixtiyoriy turli ikki toʻgʻri chiziq bir nuqtada kesishadi. (Brianshon teoremasi). Ikkinchi tartibli har qan-day chiziqqa tashqi chizilgan oltiburchaklida uch juft qaramaqarshi uchlarni tutashtiruvchi uchta toʻgʻri chiziq bir nuqtada kesishadi.
Fazo proyektiv geometriyasida "nuk,ta" va "tekislik" tushunchalari, matematik mantikda dizʼyunksiya (mantiqiy yigʻindi) va konʼyunksiya (mantiqiy koʻpaytma) mavjudlik va umumiylik kvantorlari ikkilangandir. I.p. toʻplamlar, kategoriyalar nazariyalarida, topologiyada ham mavjud. I.p.ni birinchi marta proyektiv geometriya uchun fransuz olimi J.Ponsele (1788—1867) ifodalab bergan.

Proyeksiyalovchi tekislik C niaksiomatik tarzda tushkunlik strukturasi sifatida , P nuqtalar to'plami, L chiziqlar to'plami va qaysi nuqtalar qaysi to'g'rilar ustida yotishini aniqlaydigan I tushish munosabati sifatida aniqlash mumkin. Ushbu to'plamlar tekislik dual tuzilishini aniqlash uchun ishlatilishi mumkin .

"Nuqtalar" va "chiziqlar" rolini almashtiring
C = ( P , L , I)
ikki tomonlama tuzilmani olish uchun
C ^∗ = ( L , P , I ^∗ ) ,
Bu yerda I ^∗ - I ning qarama - qarshi munosabati . C ^∗ ham proyektiv tekislik bo'lib, S ning qo'sh tekisligi deb ataladi .
Agar C va C ^∗ izomorf bo'lsa, u holda C o'z-o'zidan dual deb ataladi . Har qanday maydon uchun (yoki umuman olganda, har bir bo'linish halqasi (skewfield) uchun uning dualiga izomorf) K proyektiv tekisliklari PG(2, K ) o'z-o'zidan dualdir. Xususan, chekli tartibli Dezarges tekisliklari har doim o'z-o'zidan ikkilanadi. Biroq, o'z-o'zidan ikkilamchi bo'lmagan Dezarges samolyotlari bor, masalan, Hall samolyotlari va ba'zilari, masalan, Xyuz samolyotlari .
Proyektiv tekislikda nuqtalar, chiziqlar va ular orasidagi insidentni o'z ichiga olgan, boshqa shunday gapdan "nuqta" va "chiziq" so'zlarini almashtirish va zarur bo'lgan har qanday grammatik tuzatishlarni kiritish orqali olingan bayonot birinchisining tekislik ikkilik bayonoti deb ataladi. . "Ikki nuqta yagona chiziqda" ning tekis dual bayonoti "Ikki chiziq yagona nuqtada uchrashadi". Gapning dual tekisligini hosil qilish gapni dualizatsiya qilish deb ataladi.
Agar proyeksiyalovchi C tekisligida gap rost bo'lsa, u holda C ^∗ dual tekislikda bu bayonotning dual tekisligi to'g'ri bo'lishi kerak . Bu shundan kelib chiqadi, chunki " C da" isbotidagi har bir bayonotni dualizatsiya qilish " C ^∗ " da dalilning tegishli bayonotini beradi .