Mavzu: Xusussiy xosilali differensial tenglamalarni sonli yechish Birinchi tartibli oddiy differentsial tenglama uchun Koshi masalasini taqribiy yechish

Mavzu: Xusussiy xosilali differensial tenglamalarni sonli yechish
Birinchi tartibli oddiy differentsial tenglama uchun
Koshi masalasini taqribiy yechish.
Aytaylik bizga birinchi tartibli
y  = f (x,y) (1)
differentsial tenglama berilgan bo‘lib, [x,b] kesmada
x=x₀, y=y₀ (2)

boshlang‘ich shartni qanoatlantiruvchi yechimning qiymatlarini taqribiy hisoblash masalasi qo‘yilgan bo‘lsin. Bu masala Koshi masalasi deyiladi. Bu masalani taqribiy yechishning bir necha usullari majud bo‘lib shulardan biri Leonard Eyler shvetsariyalik, rus olimi, akademik(1707-1783) usulini ko‘ramiz.

1. Eyler usuli
Berilgan [x₀,b] kesmani n ta teng bo‘lakka bo‘lib bo‘linish nuqtalari orasidagi qadam
h=(b-x₀)/n (3)
bo‘lganda, bu nuqtalar koordinatalari
x_i=x_i-1+ h, i=1, 2, ….n (4)


bo‘ladi. Boshlang‘ich shartdagi x₀ va y₀ lardan foydalanib tenglama yechimining qiymatlarini taqriban quyidagicha hisoblaymiz.


y₁=y₀+hf (x₀,y₀)


y₂=y₁+hf (x₁,y₁)


y₃=y₂+hf (x₂,y₂) (5)
- - - - - - - - - -
y_n=y_n-1+hf (x _n-1,y _n-1)
natijada izlanayotgan yechimni qanoatlantiruvchi
(x₀;y₀), (x₁;y₁), (x₂;y₂), ……, (x_n;y_n)
nuqtalarni aniqlaymiz. Bu nuqtalarni tutashtiruvchi sinik chiziq Eyler chizig‘i deb ataladi va u tenglama yechimining taqribiy grafigini ifodalaydi.