Mexanik tebranishlar

Mexanik tebranishlar.
Reja:

1. 
   Garmonik tebranishlar. Garmonik tebranishlar amplitudasi, siklik chastotasi va fazasi.
   
2. 
   Mexanik garmonik tebranishlar differensial tenglamasi va ularning yechimi.
   
3. 
   Mexanik garmonik ossillyatorlar.
   
4. 
   Prujinali, matematik va fizik mayatniklar.
   
5. 
   Garmonik tebranma harakat qilayotgan jismning energiyasi.
   
6. 
   Tebranishlarni qo‘shish.
   
7. 
   Erkin, so‘nuvchi tebranishlar.
   
8. 
   So‘nuvchi tebranishlar tenglamasi. So‘nish koeffitsienti, logarifmik dekrement.
   
9. 
   Majburiy tebranishlar. Rezonans.
   

Tabiat va texnikada juda ko‘p tarqalgan takrorlanuvchi protsess asosida tebranishlar va ularni hosil qilgan to‘lqinlar yotadi. Bunday protsesslarga soat mayatnigining tebranishi, zanjirdagi o‘zgaruvchan tok, tovush va shu kabilarning harakati misol bo‘la oladi. Daraxt barglari tebranadilar, musiqa asboblarining torlari ham tebranadilar. Texnikada ichki yonish dvigatellarining porsheni tebranadi, samolyotning fyuzellaji, avtomobilning kuzovi ham tebranadilar.

Bizning planetamizning hayotida ham tebranma harakat ro‘y beradi. U esa okean va dengizlarda suvning qalqib ko‘tarilishi va suvning qaytishi, yer qimirlashi. Tirik organizmda ham tebranish ro‘y beradi. U esa yurak urishi, tovush bog‘ichlarining harakati va hokazo.
Fizikaviy tabiatiga qarab tebranishlarning ikki turi bor. Ular esa mexanik va elektromagnit tebranishlar. Tebranayotgan jism hamisha boshqa jismlar bilan bog‘liq va ular bilan birga sistemani tashkil qiladilar. Shu tufayli hosil bo‘lgan sistema tebranayotgan sistema deb ataladi.
Tebranma harakat yoki tebranish deb davriy ravishda takrorlanadigan harakatga aytiladi. Texnika va tabiatda uchraydigan turli ko‘rinishdagi tebranishlar bir xil qonuniyatlarga bo‘ysunadi.
Hozirgi zamon fizikasida tebranishlar fizikasi maxsus soha sifatida ajralib chiqqan bo‘lib, unda turli xil tebranish yagona nuqtai nazardan qaralib chiqiladi. Tebranishlar fizikasining xulosalari mexanik tebranishlar, o‘zgaruvchan tok, elektrotexnika va radiotexnikaning nazariy asosini tashkil qiladi.
Tebranma harakatning asosiy belgilaridan biri uning davriyligidir. Har qanday davriy ravishda takrorlanuvchi harakat quyidagi fizik kattaliklar bilan harakterlanadi: amplituda, davr, chastota, faza, doiraviy yoki siklik chastota.
Tebranish davri deb bir marta to‘la tebranish uchun ketgan vaqtga miqdor jihatdan teng bo‘lgan fizik kattalikka aytiladi. Tebranish davri T harfi bilan belgilanadi va quyidagi formula bilan aniqlanadi:
(1)
bu yerda: t – tebranish vaqti;
N – tebranishlar soni.
SI sistemasida davr sekundda o‘lchanadi: [T] = 1 s.
Tebranish chastotasi harfi bilan belgilanadi va quyidagi formula bilan aniqlanadi:
(2)
(Gers).
Tebranish chastotasi SI sistemasida gersda o‘lchanadi.
Tebranish davri va chastota orasidagi bog‘lanish quyidagi formula bilan aniqlanadi:
yoki (3)
Bu ifodadan ko‘rinadiki, davr bilan chastota bir-biriga nisbatan teskari munosabatdadir.
Tebranish amplitudasi deb tebranuvchi nuqta yoki sistemaning muvozanat vaziyatidan eng katta chetlanish masofasiga teng bo‘lgan kattalikka aytiladi.
Amplituda A harfi bilan belgilanadi va uning birligi qilib metr (m) qabul qilingan.
[A] = 1 m
Amplitudasi A ning vaqt bo‘yicha o‘zgarishiga qarab tebranishlar ikki xil, so‘nmas va so‘nuvchi tebranishlarga bo‘linadi.
Vaqt o‘tishi bilan amplitudasining moduli o‘zgarmas qoladigan tebranishga so‘nmas tebranish deyiladi. Vaqt o‘tishi bilan kamayib boruvchi tebranishga esa so‘nuvchi tebranish deyiladi.
Tebranayotgan nuqtaning holatini ham berilayotgan paytdagi harakatning yo‘nalishini ham harakterlaydigan kattalik tebranish fazasi deb ataladi.
Tebranish fazasi yoki fazaviy burchak harfi bilan belgilanadi va radianlarda hisoblanadi:
.
2 sekund ichida ro‘y beradigan tebranishlar soniga son jihatdan teng bo‘ladigan kattalikka doiraviy yoki siklik chastota deyiladi. Siklik chastota harfi bilan belgilanadi.
Tebranma harakatning davri T, chastotasi va siklik chastotasi quyidagi munosabat bilan bog‘lanishga ega:
(4)
(5)
Tebranish fazasini davr T va chastota orqali ifodalash mumkin:
(6)
Tebranma harakatning eng sodda turi deb garmonik tebranishlar qabul qilingan va shu tebranishlar yordamida murakkab tebranishlarni tushuntira olish mumkin.
Garmonik tebranish deb sinus yoki kosinus funksiyalari bilan ifodalanadigan tebranma harakatga aytiladi.
Garmonik tebranma harakatning tenglamalari deb quyidagi formulalar qabul qilib olingan:
(7)
(8)
(9)
(10)
Garmonik tebranishning (7-10) tenglamalarida boshlang‘ich ( ) paytida tebranishning fazasi nolga teng, ya’ni tebranish muvozanat holatidan boshlangan edi. Ko‘pincha boshlang‘ich ( ) paytda tebranayotgan nuqtaning vaziyati boshlang‘ich faza deb ataluvchi burchak bilan, siljish X esa tebranishning fazasini ifodalovchi burchak bilan aniqlanadi, ya’ni:
(11)
Tebranish fazasining bu ifodasi (7-10) formulalarga qo‘yilsa, garmonik tebranishning umumiy ko‘rinishdagi quyidagi tenglamasi kelib chiqadi:
(12)
Garmonik tebranishni grafik ravishda tasvirlash mumkin. Buning uchun koordinata sistemasining ordinata o‘qiga X siljishni va abssissa o‘qiga vaqtni qo‘yilsa, garmonik tebranishning grafigi sinusoida chizig‘ini hosil qiladi (1 – rasm).

1 – rasm

Garmonik tebranayotgan nuqtaning harakati X siljish bo‘yicha o‘zgaruvchan bo‘lganligi uchun, u oniy tezlik va oniy tezlanishga ega bo‘ladi.

Garmonik tebranayotgan nuqtaning oniy tezligi X siljishdan vaqt bo‘yicha olingan birinchi tartibli hosilasidan iborat, ya’ni:
(13)
bunda - tezlikning amplituda ifodasi.
Garmonik tebranayotgan nuqtaning oniy tezlanishi tezlikdan vaqt bo‘yicha olingan birinchi tartibli hosilasiga yoki X siljishdan olingan ikkinchi tartibli hosilaga teng, ya’ni:
(14)
(15)
(16)
bunda - tezlanishning amplituda ifodasi.
(13) va (16) dan ko‘rinadiki, garmonik tebranayotgan nuqtani tezlik va tezlanishi ham garmonik ravishda o‘zgarar ekan.
Garmonik tebranayotgan massali nuqta tezlikka ega bo‘lganligidan va kuch ta’sirida bo‘lganligi uchun kinetik va potensial energiyalarga ega bo‘ladi:
(17)
bunda - elastiklik kuchi.
Demak, (18)
bunda - elastiklik koeffitsiyenti. Shuning uchun tebranayotgan nuqtaning potensial energiyasi quyidagi formuladan aniqlanadi:
(19)
chunki unda kinetik energiya quyidagiga teng bo‘ladi:
(20)
Garmonik tebranayotgan moddiy nuqtaning to‘liq energiyasi quyidagiga teng bo‘ladi:
…. (21)
chunki
unda . (22)
Energiyaning saqlanish qonuniga binoan garmonik tebranayotgan moddiy nuqtaning to‘liq energiyasi o‘zgarmas bo‘lib, kinetik energiya potensial energiyaga va aksincha aylanib turadi, ya’ni:
(23)
Muvozanat holatidan chiqarilgan va tashqi kuchlar ta’sirida bo‘lmagan mayatniklarning tebranishlariga erkin tebranishlar yoki xususiy tebranishlar deyiladi. Mayatniklarning erkin tebranishlari faqat ishqalanish bo‘lmagan hollardagina garmonik tebranishlar bo‘la oladi.
Mayatnik deb og‘irlik markazdan o‘tmagan ixtiyoriy o‘q atrofida tebrana oladigan har qanday qattiq jismga aytiladi.
Mayatniklarning eng sodda turi matematik mayatnikdir.
Matematik mayatnik deb vaznsiz ingichka cho‘zilmaydigan ipga osilgan, ma’lum massali moddiy nuqtadan iborat sistemaga aytiladi.
Juda kichik shar osilgan ingichka ipdan tashkil topgan mayatnik amalda matematik mayatnik bo‘la oladi (2 - rasm).

2 – rasm

Matematik mayatnik muvozanat vaziyatidan juda kichik, ya’ni 5ºdan katta bo‘lmagan burchak ostidagi tebranishi ham garmonik tebranishdan iborat bo‘ladi.

Matematik mayatnik tebranish davrini ifodalovchi formulani kelib chiqishini qarab chiqamiz.
Garmonik tebranayotgan matematik mayatnik chetki muvozanat holatda bo‘lganda (2 – rasm), uning og‘irlik kuchini ikkita va tashkil etuvchi kuchlarga bo‘lamiz. Og‘irligining tashkil etuvchisi ipning - taranglik kuchi bilan muvozanatlashadi.
mayatnikni muvozanat holatiga qaytaruvchi tashkil etuvchi kuch esa tebranishni hosil qiladi. Bunda minus ishora kuch X siljishga qarama-qarshi yo‘nalganligini ifodalaydi. Rasmda bo‘lgani uchun kuch quyidagiga teng bo‘ladi:
(24)
Ikkinchi tomonidan, Nyuton ikkinchi qonuniga binoan matematik mayatnikning harakat tenglamasi quyidagiga tengdir:
(25)
(24) va (25) formulalarni tenglashtirib, matematik mayatnikning garmonik tebranishining tezlanishini aniqlaymiz:
(26)
Bu oniy tezlanish bo‘lganligi uchun
(27)
(27) formuladan matematik mayatniknig siklik chastotasi - ni aniqlaymiz:
Shunday qilib, matematik mayatnikning tebranishi garmonik bo‘lganda uning tebranish davri (26) dan quyidagiga teng bo‘ladi:
(28)
Matematik mayatnikning tebranish davri, uzunlikdan chiqarilgan kvadrat ildizga proporsional bo‘lib, erkin tushish tezlanishidan chiqarilgan ildizga teskari proporsional.
Mayatnikning tebranish davri uning massasiga va tebranish davri amplitudasiga bog‘liq bo‘lmaydi, ya’ni tebranishning boshidagi va oxiridagi davrlari bir xil bo‘ladi.
Mayatniklarning juda keng tarqalgan amaliy tadbiqi ulardan soatlarda vaqtni o‘lchash uchun foydalanishdir.
Laboratoriyada matematik mayatnik yordamida erkin tushish tezlanishi ning qiymatini aniqlash mumkin.
Buning uchun o‘lchanayotgan mayatnik tebranishining yetarlicha katta tebranish soni asosida uning tebranish davri topilib, esa (28) formuladan aniqlanadi:
(28’)
Erkin tushish, ya’ni og‘irlik kuchining tezlanishi og‘irlik singari balandlik va chuqurlik hamda joyning geografik kengligiga bog‘liqdir. Hamda tebranayotgan real sistemalar so‘nuvchi tebranishlarga ega, chunki sistemaga ishqalanish kuchlari yoki qarshilik kuchlari ta’sir qiladi va bu kuch quyidagi formula yordamida aniqlanadi:
(29)
bunda: - qarshilik koeffitsiyenti, - harakat tezligi.
So‘nuvchi tebranishlar uchun Nyutonning 2-qonunini yozamiz:
(30)
Agar: va bo‘lsa, u paytda (25) formula quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi:
(31)
Hosil bo‘lgan (26) formula so‘nuvchi tebranishlarning differensial tenglamasi deb aytiladi. Differensial tenglamani yechish natijasida siljishning vaqtga bog‘liqligi hosil bo‘ladi:
(32)
bunda
( - natural logarifm asosi) (33)
so‘nuvchi tebranishlar amplitudasi.
(28) formuladan ko‘rinib turibdiki, tebranish amplitudasi vaqt o‘tishi bilan kamaya boradi.
So‘nuvchi tebranishlarning siklik chastotasi esa:
(34)
bunda: - erkin, so‘nmas tebranishlarning siklik chastotasi. So‘nuvchi tebranishlarning davri esa:
(35)
So‘nuvchi tebranishlarning amplituda nisbatini va vaqt paytida topamiz.
Bunda: (36)
yoki (37)
- so‘nish koeffitsiyenti
(38)
bu yerda - so‘nishning logarifm dekrementi.
Erkin tebranishlar vaqt o‘tgandan keyin bora-bora to‘xtaydi, shu sababli ulardan amalda kamdan kam foydalanadi. Istagancha uzoq vaqt davom eta oladigan so‘nmas tebranishlar esa katta amaliy ahamiyatga ega.
So‘nmaydigan tebranishlarni hosil qilishning eng oson usuli sistemaga tashqi davriy ravishda o‘zgarib turuvchi kuch bilan ta’sir etishdir.
Tebranuvchi sistemada davriy ravishda o‘zgaruvchi tashqi kuch majbur etuvchi kuch ta’sirida sodir bo‘ladigan so‘nmovchi tebranishga majburiy tebranish deyiladi.
Dinamikaning asosiy tenglamasini majburiy tebranishlar uchun quyidagicha bo‘ladi:
(39)
bu yerda: - majburiy kuch, yoki (34) formulani quyidagi ko‘rinishda yozsak bo‘ladi:
(40)
(40) formula, majburiy tebranishlarning differensial tenglamasi.
Agar (41)
bo‘lsa va shu kuch ta’sirida hosil bo‘lgan tebranishlar garmonik bo‘lsa va
(42)
u paytda majburiy tebranishlarning amplitudasini topish kerak. (42) formuladan biz bilamizki,
(43)
Agar shu ifodalarni (40) tenglamaga qo‘ysak, u paytda quyidagini hosil qilamiz:
(44)
(44) tenglikning hama a’zolarini ga bo‘lib chiqamiz:
(45)
Demak, (45) tenglikni shunday yozishimiz mumkin:
bunda:
(46)
(46) ifoda asosida:
(47)
(47) formula majburiy tebranishlar amplitudasining formulasi deyiladi.
Majburiy tebranishning amplitudasi tebranayotgan sistemaning xossalariga, majburiy kuchning amplitudasi va chastotasiga, hamda sistema xususiy chastotasining nisbatiga bog‘liq bo‘ladi. Sistemaga ta’sir qiluvchi majburiy kuchning chastotasi o‘zgarganda uning amplitudasi ham o‘zgaradi. Davriy ravishda o‘zgaruvchi majburiy kuchning chastotasi sistemaning xususiy chastotasiga yaqinlanishi bilan majburiy tebranishning amplitudasi ortadi va chastotalar teng bo‘lganda u maksimal qiymatga erishadi.
Tebranayotgan sistemaga ta’sir qiluvchi davriy o‘zgaruvchi majburiy kuchning chastotasi sistemaning xususiy tebranish chastotasiga tenglashganda majburiy tebranish amplitudasining keskin o‘sishiga rezonans deyiladi.
Rezonans hodisasi tabiat va texnikada katta amaliy ahamiyatga ega. Rezonans hodisasi faqat mexanik hodisalardagina emas, hatto elektrotexnikada, optikada va yadro fizikasida ham foydalaniladi. Radiopriyomnik, televizor va hokazolarning ishlashi rezonans hodisasiga asoslangandir.
Rezonans hodisasi ko‘pgina zarar ham keltiradi. Masalan, ma’lum tovush chastotalarida ba’zan radiopriyomnik korpusi titraydi, ritmik ravishda ishlaydigan mashinalar o‘rnatilgan fundamentlar parchalanishi va buzilishi mumkin. Aviatsiyada rezonans hodisasi samolyotlarni parchalab yuborishi mumkin. Shuning uchun ham rezonans hodisasi zarar keltiradigan joylarda nazariya va tajribalar yordamida rezonans hosil bo‘lishining oldini olish mumkin.