Мисоллар 1-мисол

bet	1/4
Sana	11.06.2020
Hajmi	0.59 Mb.
	#117200

1 2 3 4

Bog'liq
1- Масала ва машқлар тўплами (1)

Масалалар
Мисоллар

Мисоллар

1-МИСОЛ. Агар A={k: k=4n+1, n



N} бўлса, А тўпламга тегишли

бўлган 4 та элементни, тегишли бўлмаган 3 элементни ёзинг



n=1, k=4



1+1=5, n=4, k=4



4+1=17

n=7, k=4



7+1=29, n=10, k=4



10+1=41

k=4n+1 ифода 3, 6, 8 га тенг бўладиган n натурал сон мавжуд эмас.

Шунинг учун 3, 6, 8



А, 5, 7, 29, 41



А.



2-МИСОЛ. Кўпайтириш амалининг айириш амалига нисбатан

дистрибутивлик қонуни ўринли, яъни

(А\В)



С=(А



С)\(В



С)

(1)





(A\B)



C ихтиёрий элемент бўлсин, бундан x



(A\B) ва x



С.



А\В бўлгани учун айириш амалининг таърифига кўра x



А ва х



В.

Шундай қилиб x



А, x



С демак, x



А



С, аммо х





С. Охирги

муносабатлардан x



(А



С)\(В



С), демак

(А\В)



С



(А



С)\(В



С).

(2)

Энди

(А\В)





(А



С)\(В



С)

(3)

3-МИСОЛ.



(В\С)=(А



В)\С

муносабатни

Эйлер-Виен

диаграммалари ёрдамида исботланг.

Берилган муносабатни чап ва ўнг томонида турган тўпламларни Эйлер-

Виен диаграммалардаги тасвири

4-МИСОЛ A



(B\C)





B)\C муносабат щринли. Берилган

тенгликни ўринли эмаслигини қуйидаги Эйлер-Виен диаграмалларидан хам

кўриш мумкин (1.3-чизма)

1.2 Қуйидаги тўпламларнинг қайси бири бўш тўплам?

а)

𝐴 = {𝑥: 𝑥

+ 2𝑥 + 10 = 0, 𝑥 ∈ ℝ }

б) B=

{𝑥: 𝑥

− 2𝜋𝑥 + 5 = 0, 𝑥𝜖ℤ }

в) C=

{𝑥: 30 ≤ 𝑥 ≤ 40, 𝑥 ∈ ℕ, 𝑥 − туб сон }

г)

𝐷 = {𝑥: 𝑠𝑖𝑛2𝑥 =

, 𝑥 ∈ ℝ, 𝑥 > 0 }

1.3 а) Агар А

= {1,2,3,5,7,10,12}, В = {2,4,6,8,10}

бўлса, А

∪

В, А

∩

В ,В\А,

А\В, А

∆

В тўпламларни топинг.

б) Агар

𝐴 = {𝑘: 𝑘 = 4𝑛 + 1, 𝑛 ∈ ℤ}, 𝐵 = {𝑘: 𝑘 = 4𝑛 + 3, 𝑛 ∈ ℤ}

бўлса,

∪

В тўпламни топинг.

в) Агар

А = [0; 2], В = [1; 5]

бўлса, А

∪

В, А

∩

В ,В\А, А\В, А

∆

В

тўпламларни топинг.

г) тўпламлар устида амалларни бажаринг.

[8; 15] ∩ [9; 20] ; (−1; 1] ∩ [−1; 0) ; (−1; 0] ∩ [1; ∞);

[1;+

∞) ∪ [0; +∞); [−1; 0) ∪ (0; 4]; {4} ∪ (−∞; 4);

(0; 2) ∪ [0; 2]; [3; 15]

\(5;16) ; [3;16]\[5;15]

[3;5]∆[2;7] ; [2;5]

△[3;7]

Х универсал тўпламнинг ихтиёрий А,В ва С қисм тўпламлари учун

қуйидаги муносабатларни исботланг ва Эйлер –Виен диаграммаларида

тасвирланг.

𝐴(𝐵 ∪ 𝐶) = (𝐴\𝐵) ∩ (𝐴\𝐶)

2) (𝐴 ∪ 𝐵)(𝐴 ∩ 𝐵) =

(𝐴\𝐵) ∪ (𝐵\𝐴)

3) 𝐴(𝐵 ∩ 𝐶) = (𝐴\𝐵) ∪ (𝐴\𝐶)

4) 𝐴(𝐴\𝐵) = 𝐴 ∩ 𝐵

5)𝐴\𝐵 = 𝐴(𝐴 ∩ 𝐵)

6) 𝐴 ∩ (𝐵\𝐶) = (𝐴 ∩

𝐵)\𝐶

МИСОЛ, А

= {2,3,4,6}.

Тўпламда аниқланган

𝜏 = {< 2; 2 >, < 3; 3 >, < 4; 4 >, < 6; 6 >, < 6; 2 >, < 6; 3 >, < 4; 2 >}

бинар

муносабатни граф ёрдамида ифодаланг (1.7-чизма)

2 3

6 4 1.7-чизма

1-МИСОЛ. А= {1,2,3}, B={a,b} берилган бўлса, A



B, B



A, A



A, B



B ларни

топинг:

A



B={<1:a>,<2;a>;<3;a>,<1;b>, <2;b>, <3;b>};



A={, ,, , , };



A={<1;1>, <1;2>,<1;3>, <2;1>,}<2;2>, <2;3>, <3;1>, <3;2>, <3;3>}



B={, , , }

2-МИСОЛ. А=[1;3], B=[2;4] лар берилган бўлса, А



В, В



А ларни

топинг:



B=[1;3]



[2;4]={:1



a 3, 2



b



4}

B



A=[2;4]



[1;3] = {: 2



a



4, 1



b



3}

МИСОЛ: М

тўпламда



={<1,2>, <2;2>, <1;3>} ва



={<1;1>, <2;2>, <3;1>} бинар муносабатлар аниқланган бўлсин, у холда



={<1;2>; <2;2>; <1;1>},



={<1;2>, <1;3>, <2;2>, <3;2>, <3;3>} бўлади.

2.A={6,8,9} ва B={2,3,4} тўпламларда а



А, b



B, a



b- "a сон b га

каррали бўлиш" муносабатидан иборат бўлсин, у ҳолда



={<6;2>,<6:3>, <8;2>, <8;4>, <9;3>}







-1

={<2;6>, <3;6>,<2;8>,<4;8>,<3;9>}







-1

a - " b сон а ни бўлувчиси" муносабати бўлиб,

Dоm



=A, Im



=B, Dоm



-1

=B, Im



-1

=A бўлади.

МИСОЛ.

]

5

)

[(

)

(



b

a

b

a

Z

b

a

Z

A













ёки a-b=5n, n



Z. Бу ҳолда



Z да

эквивалентлик муносабати бўлади.



Ҳақиқатан ҳам.

nn

n

n

n

n

n

n

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

D

...

















Бу

)

(М



эквивалентлик муносабати Z тўпламни ўзаро кесишмайдиган

қисм тўпламларга ажратади.



Ҳақиқатан ҳам





















































{

,...}

,...,

{...,

,...}

,...,

{...,

,...}

,...,

{...,

,...}

,...,

{...,

,...}

,...,

,....,

{...,



Z

Z

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

Қуйидаги тўпламларни Декарт координаталар системасида геометрик

тасвирини топинг.

1) [0;1]

[0;1]

[−1; 1] × [2; 3]

[1; 3] × (−∞; 3]

[0; 3] × [1; +∞)

5) [1;4]

× (−∞; +∞)

[−1; 5] × {2,3,4}

[0; +∞) × {1,3}

(−∞; +∞) × {1,2,3}

Масалалар

МИСОЛЛАР. 1. М - ихтиёрий табиатли элементларнрнинг қандайдир

бўш бўлмаган тўплами, А={B:В



М} бўлсин. У ҳолда f:A



A акслантиршни



(В



А) f(b)=M\b кўринишда аниқласак, f А тўпламда аниқланган унар амал

(оператор) дан иборат бўлади.

2. А 1- мисолдаги тўплам бўлсин. Агар f:A



A акслантирш



(В



A) f(В

)= В



f(В

)= В



кўринишда берилса, ҳар иккала ҳолда ҳам f-A тўпламда аниқланган бинар

амалдан иборат бўлади.

3. N натурал сонлар тўплами,





N) тайинланган натурал сон бўсин.

У ҳолда f:A



A акслантириш



,...,m



N) f(m

,m

2

,...,m

=(m

,...,m

) кўринишда берилса, f - N тўпламда аниқланган n-ар амал

бўлади. Бу жойда (m

,...,m

),- m

,...,m

натурал сонларнинг энг катта

умумий бўлувчиси.

4. Бўлиш амали бутун сонлар системасида аниқланган қисман амалдан

иборат.

МИСОЛЛАР. 8. Бутун сонлар системасида 0 қўшиш амалига нисбатан, 1

кўпайтириш амалига нисбатан ҳам ўнг ҳам чап нейтрал элементлардир.



тўпламларнинг бирлашмаси амалига нисбатан универсал тўплам Х

тўпламнинг кесишмаси амалига нисбатан нейтрал элементлардир.

МИСОЛЛАР. 10. Бутун сонларни қўшиш амалига нисбатан а га (-а)

симметрик (қарама-қарши) элемент бўлади.

11. Рационал сонларни кўпайтириш амалига нисбатан а



0 рационал

сонга а

-1

=1/а симметрик (тескари) элемент бўлади.

МИСОЛ. 12. Агар В,С



N, B={2,4,6,...,2n,...}, C={1,3,5,...,2n-1,...} бўлса, В

натурал сонларни қўшиш ва кўпайтириш амалларига нисбатан ёпиқ, С эса

кўпайтириш амалига нисбатан ёпиқ.

Қуйидаги тўпламларда +, -,

∙

, : амалларининг қайси бири алгебраик

амал бўлади. Агар алгебраик амал бўлса, улар коммутатив, ассоциатив

бўладими?

ℕ; 2) 2ℕ=

{2𝑛: 𝑛 ∈ 𝑁}

; 3) T=

{2𝑛 − 1: 𝑛 ∈ 𝑁}

ℤ;

2ℤ = {2𝑛: 𝑛 ∈ ℤ}

; 6)

ℚ; 7) ℝ; 8) ℝ\

{0}

; 9)

ℝ

= {𝑥: 𝑥 ∈ ℝ, 𝑥 > 0 }

;

10)

ℝ\ℚ

; 11)

{0}

; 12)

{1}

; 13)

{0,1}

.

2.2 Агар

𝐴

= {0,1}, 𝐴

= {0,1,2} , 𝐴

= {0,1,2,3}

тўпламларда

∗

амал мос равишда қуйидаги Келли жадвали ёрдамида берилган бўлса, уни

коммутатив ва ассоциатив эканлигини исботланг.

2) 3)

ℝ

2.3

{𝑥: 𝑥 ∈ ℝ, 𝑥 > 0 }

тўпламда

аниқланган

қуйидагиларнинг қайси бири амал бўлади? Агар

амал

бўлса, улар коммутатив ва ассоциатив бўладими?

𝑎 ∗ 𝑏 =

𝑎+𝑏

; 2)

𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑎 + 𝑏 − 1

; 3)

𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑎 ∙ 𝑏

;

𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑎

𝑏

; 5)

𝑎 ∗ 𝑏 = √𝑎 ∙ 𝑏

; 6)

𝑎 ∗ 𝑏 = log

𝑎

𝑏

;

𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑚𝑎𝑥{𝑎, 𝑏}

; 8)

𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑚𝑖𝑛{𝑎, 𝑏};

𝑎 ∗ 𝑏 = |𝑎 − 𝑏|;

10)

𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑎

2.4

𝐴 = {𝑎 + 𝑏√2: 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ}

тўплам қўшиш ва кўпайтириш амалларига

нисбатан ёпиқ бўладими, бу тўпламда қўшиш ва кўпайтириш амалларига

нисбатан нейтрал элементлар мавжудми?

∗

Қуйидаги тўпламларни қайси бири алгебраик система бўлади:

1) Z[

√2

]=

{𝑎 + 𝑏√2: 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑍}; 2) 𝑄[√3] = {𝑎 + 𝑏√3: 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑄 };

𝐾 = {( 𝑎

𝑏

3𝑏 𝑎

) : 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑄} ; 4) 𝐿 = {(𝑎 0

𝑎 𝑏

) : 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑄} ;

𝑃 = {( 𝑎

𝑏

−𝑏 𝑎

) : 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑄} ; 6) 𝐸 = {(−𝑎 𝑏

−𝑏 𝑎

) : 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ} ;

2ℤ; 8) ℝ; 9) 𝑇 = {2𝑛 − 1: 𝑛 ∈ ℤ}.

Мисоллар

𝑧

+ 𝑧̅ = 0

тенгламани ечинг.

∆ 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖

бўлсин, у ҳолда

𝑧̅ = 𝑎 − 𝑏𝑖

бўлади.

(𝑎 + 𝑏𝑖)

+ (𝑎 − 𝑏𝑖) ⇒ 𝑎

+ 2𝑎𝑏𝑖 − 𝑏

+ 𝑎 − 𝑏𝑖 = 0 ⇒

(𝑎

2

+ 𝑎 − 𝑏

) + (2𝑎𝑏 − 𝑏)𝑖 = 0 ⇔

{𝑎

+ 𝑎 − 𝑏

= 0

2𝑎𝑏 − 𝑏 = 0

⇒ 𝑏(2𝑎 − 1) = 0 ⇒ (𝑏 = 0⋁𝑎 =

2

) ;

𝑎) 𝑏 = 0 бўлганда 𝑎

+ 𝑎 = 0 ⇒ (𝑎

= 0⋁𝑎

= −1)

𝑏) 𝑎 =

бўлганда 𝑏

⇒ (𝑏

√3

⋁𝑏

= −

√3

Демак,

𝑧

1

= 0, 𝑧

= −1 , 𝑧

=

1

+ 𝑖

√3

, 𝑧

− 𝑖

√3

лар берилган тенгламанинг илдизлари бўлади.

∇

𝑧 = √24 − 10𝑖

ҳисоблансин.

∆ 𝑠𝑖𝑔𝑛 (−10) = −1

бўлгани учун қуйидагига эга бўламиз:

𝑧 = ± [√

24+√24

+10

− 𝑖√

−24+√24

+10

] =

= ± [√

24+√676

− 𝑖√

−24+√676

] = ± [√

24+26

− 𝑖√

−24+26

] =

= ±(5 − 𝑖), 𝑧

= 5 − 𝑖 , 𝑧

= 5 + 𝑖 . ∇

Алгебраик шаклдаги комплекс сонлар устида амалларни бажаринг.

) (5 + 4𝑖) + (3 − 7𝑖) − (2 + 5𝑖);

(1 + 𝑖)(2 + 𝑖) +

1+2𝑖

;

(2−3𝑖)(4−𝑖)

5−𝑖

;

5+𝑖

(1−2𝑖)(5−𝑖)

;

(5+2𝑖)(4−3𝑖)

(1−2𝑖)(1+3𝑖)

;

(1+2𝑖)

−(1−𝑖)

(3+2𝑖)

−(2+𝑖)

;

(1 + 2𝑖)

;

(1+𝑖)

𝑛

(1−𝑖)

𝑛−1

;

(1 + 𝑖)

1990

;

10)

(1 + 2𝑖)

− (1 − 2𝑖)

Мисоллар

𝑧 = 1 − 𝑖

сонни триганометрик шаклда ёзинг.

∆ 𝑎 = 1 , 𝑏 = −1

бўлгани учун

𝑟 = √𝑎

+ 𝑏

= √1 + 1 = √2 ⋀ cos 𝜑 =

𝑎

𝑟

=

√2

, sin 𝜑 = −

√2

= −

√2

𝑏

⇒

⇒ 𝜑 arg 𝑧 =

7𝜋

⋀𝑧 = 1 − 𝑖 = √2 (cos

7𝜋

+ 𝑖𝑠𝑖𝑛

7𝜋

) . ∇

𝑧 +

𝑧

= 1 бўлса, 𝑧

1990

𝑧

1990

ни ҳисобланг.

∆ 𝑧 +

𝑧

= 1 ⇒ 𝑧

− 𝑧 + 1 = 0 ⇒ 𝑧

=

1

− 𝑖

√3

, 𝑧

+ 𝑖

√3

𝑧

1990

ни ҳисоблаш учун

𝑧

1

ни триганометрик шаклга келтирамиз.

|𝑧

| = √

= 1

(Шу каби

|𝑧

2

|

) .

𝜑

= arg 𝑧

= 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(−√3) =

5𝜋

3

, чунки sin 𝜑

, cos 𝜑

= −

√3

шу

каби

𝜑

= arg 𝑧

= 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔√3 =

𝜋

. Демак,

𝑧

= cos

5𝜋

+ 𝑖𝑠𝑖𝑛

5𝜋

⇒ 𝑧

1990

= (cos

5𝜋

+ 𝑖𝑠𝑖𝑛

5𝜋

)

1990

= cos

5∙1990𝜋

+ 𝑖𝑠𝑖𝑛

5∙1990𝜋

= cos

2𝜋

+ 𝑖𝑠𝑖𝑛

2𝜋

= −

+ 𝑖

√3

𝑧

1990

= 𝑧

−1990

= −

− 𝑖

√3

, 𝑧

1990

𝑧

1990

= −1

Шу каби

𝑧

1990

𝑧

1990

ни ҳисоблашни ўқувчига қолдирамиз.

∇

Қуйидаги сонларни триганометрик шаклда ёзинг.

1) 2; 2) -2; 3)

2𝑖;

−2𝑖;

1 + 𝑖;

−1 + 𝑖;

−1 − 𝑖;

1 +

𝑖√3;

−1 + 𝑖√3;

10)

√3 − 𝑖;

11)

−√3 − 𝑖;

12)

√3

+ 𝑖

;

13)

√2

+ 𝑖

√2

;

14) -

√2

+ 𝑖

√2

; 15)

2 − 2𝑖;

16)

2 + √3 + 𝑖 .

Жадвалдан фойдаланиб, фуйидаги комплекс сонларни триганометрик

шаклда ёзинг.

3 + 𝑖 ;

4 − 𝑖 ;

−2 + 𝑖 ;

−1 − 2𝑖 ;

2 + 𝑖 .

1) Агар

𝑧 +

𝑧

= 1

бўлса,

𝑧

𝑛

𝑧

𝑛

= 2 cos

𝑛𝜋

эканлигини

исботланг;

Download 0.59 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:

1 2 3 4