Muhammad al-xorazmiy nomidagi toshkent axborot

H I S O B  ( C a l c u l u s )

1

MUHAMMAD AL-XORAZMIY NOMIDAGI

TOSHKENT AXBOROT 

TEXNOLOGIYALARI UNIVERSITETI

HISOB 

(CALCULUS)

MTH1018

Funksiyalarni Lagranj

interpolyatsion formulasi

yordamida

approksimatsiyalash va egri chiziq

yasash

07

MAVZU

SADADDINOVA SANOBAR SABIROVNA

Oliy matematika kafedrasi dotsenti

H I S O B  ( C a l c u l u s )

2

1) Approksimatsiyalash haqida tushuncha

2) Interpolyatsiyalash turlari.Chiziqli interpolyatsiya

3) Kvadratik interpolyatsiya. Kubik interpolyatsiya

4) Lagranj interpolyatsion formulasi

Tayanch ibоra va tushunchalar

Approksimatsiya, interpolyatsiya, interpolyatsiya tuguni, funksiya,

jadval, Lagranj interpolyatsion ko’phadi

Funksiyalarni Lagranj interpolyatsion formulasi yordamida

approksimatsiyalash va egri chiziq yasash

H I S O B  ( C a l c u l u s )

Approksimatsiyalash nima?

3

Approksimatsiyalash

– yaqinlashtirish

H I S O B  ( C a l c u l u s )

Funksiyalar qanday hollarda approksimatsiyalanadi?

4

2

. Agar y=f(x) funksiya ma

’lum va uzluksiz, biroq murakkab bo‘lsa,

uni amaliy hisoblashlarda

qo‘llash qiyinchilik tug‘dirsa, u holda unga

yaqin va hisoblash qulay bo

‘lgan y=P(x) funksiya tuziladi.

1. Agar biror [a, b] oraliqda y=f(x) funksiyaning jadval qiymatlari yoki

grafigi

ma’lum bo‘lsa, shu oraliqda unga yaqin

y=P(x) funksiya

tuziladi.

H I S O B  ( C a l c u l u s )

5

1. Jadvalni algebraik

ko’phadga keltirish:

n

n

x

a

x

a

x

a

a

x

f











...

)

(

2

2

1

0

2. Jadvalni trigonometrik

ko’phadga keltirish:

















1

0

)

sin(

)

cos(

2

)

(

n

n

n

t

n

b

t

n

a

a

t

f





3. Jadvalni eksponensial

ko’phadga keltirish:

x

n

x

x

x

n

e

a

e

a

e

a

e

a

x

f



















...

)

(

2

1

0

2

1

0

Interpolyatsiyalash

turlari

Funksiyani jadval yoki

grafik shakldan analitik

shaklga

o’tkazish

interpolyatsiyalash

deyiladi

. 

Chiziqli

interpolyatsiya

Kvadratik

interpolyatsiya

Kubik

interpolyatsiya

Lagranj

interpolyatsion

formulasi

H I S O B  ( C a l c u l u s )

Interpolyatsiyalash formulalari amaliyotda

…

6

Er. avv. III asrda Vavilonda

quyosh, oy va

planetalarning joylashuvini bashorat qilish uchun

chiziqli interpolyatsiyadan foydalanishgan.

Er. avv. 150 yillarda Gretsiyada

fazoviy jismlar

o‘rnini hisoblashda sinusoidal funksiyaga o‘xshash

interpolyatsiyadan foydalanishgan.

Eramizning 600 yillarida Xitoyda

“Imperiya

taqvimi

”

kvadratik

interpolyatsiya

usulida

hisoblangan...

Hozirda

ko’pgina amaliy masalalar interpolyatsiya yordamida yechiladi.

H I S O B  ( C a l c u l u s )

Interpolyatsiyalash tugunlari

7

oraliqda yotuvchi, tajriba asosida olingan

nuqtalarni

o’sish tartibida raqamlab chiqamiz va ularni

tugunlar

deb ataymiz:

b

x

x

x

x

a

n













...

2

1

0

]

 

;

[

b

a

i

x

H I S O B  ( C a l c u l u s )

Chiziqli interpolyatsiya nima?

8

Agar  berilgan jadval yoki grafikdan foydalanib, 

algebraik ikkihad tuzilsa, unga

chiziqli interpolyatsiya

deyiladi.  

(1)

    

          

)

(

1

0

x

a

a

x

f





1

0

, a

a

Bunda berilgan oraliqqa tegishli 2 ta

tugunlar olinadi va 2

noma’lumli chiziqli

tenglamalar sistemasi tuziladi.



















1

1

0

1

1

0

)

(

)

(

i

i

i

i

x

a

a

x

f

x

a

a

x

f

1

 ,



i

i

x

x

Sistemadan

koeffitsiyentlar topilib, (1)-

formulaga

qo’yiladi.

H I S O B  ( C a l c u l u s )

Kvadratik interpolyatsiya nima?

9

(2)

          

)

(

2

2

1

0

x

a

x

a

a

x

f







3

ta

haddan

iborat

interpolyatsion

ko‘phadga

kvadratik

interpolyatsiya deyiladi:

Bunda 3 ta                  tugunlar olinadi va 3 

noma’lumli tenglamalar sistemasi tuziladi:                     









































2

1

2

1

1

0

1

2

2

1

0

2

1

2

1

1

0

1

)

(

)

(

)

(

i

i

i

i

i

i

i

i

i

x

a

x

a

a

x

f

x

a

x

a

a

x

f

x

a

x

a

a

x

f

koeffitsiyentlar topilib, (2)-formulaga

qo’yiladi. 

2

1

0

,

,

a

a

a

1

1

 ,

 ,





i

i

i

x

x

x

H I S O B  ( C a l c u l u s )

Kubik interpolyatsiya nima?

10

4 ta tugun qatnashadigan

ko’phadga

kubik interpolyatsiya

deyiladi:

Ko’phadga 4 ta tugun qiymatlari qo’yib chiqilsa, 4 noma’lumli

tenglamalar sistemasi hosil

bo’ladi. 

(3)

       

)

(

3

3

2

2

1

0

x

a

x

a

x

a

a

x

f









H I S O B  ( C a l c u l u s )

1-misol. 

11

Raketaning

ko‘tarilish tezligi vaqtning

funksiyasi sifatida jadvalda keltirilgan.          

sekunddagi raketa tezligini

hisoblang.

Yechish:

x

a

a

x

f

1

0

)

(





t

a

a

t

v

1

0

)

(





16



t

35

.

517

)

(

      

;

20

78

.

362

)

(

      

;

15

1

1

0

0









t

v

t

t

v

t

16



t

I.

Сhiziqli interpolyatsiyani tuzib, tezlikni

aniqlaymiz:

H I S O B  ( C a l c u l u s )

12

914

.

30

93

.

100

1

0







a

a

20

t

15





20

t

15

      

,

93

.

100

914

.

30

)

(









t

t

v

m/s

   

7

.

393

93

.

100

16

914

.

30

)

16

(









v

Ko‘tarilish tezligining

chiziqli

interpolyatsiyasi:



















35

.

517

20

)

20

(

78

.

362

15

)

15

(

1

0

1

0

a

a

v

a

a

v

t

t

a

a

t

v

914

.

30

93

.

100

)

(

1

0











H I S O B  ( C a l c u l u s )

13

2

2

1

0

)

(

t

a

t

a

a

t

v







2

2

1

0

)

(

x

a

x

a

a

x

f









































35

.

517

20

20

)

20

(

78

.

362

15

15

)

15

(

04

.

227

10

10

)

10

(

2

2

1

0

2

2

1

0

2

2

1

0

a

a

a

v

a

a

a

v

a

a

a

v





























35

.

517

400

20

78

.

362

225

15

04

.

227

100

10

2

1

0

2

1

0

2

1

0

a

a

a

a

a

a

a

a

a

20

16

10





35

.

517

)

(

    

,

20

78

.

362

)

(

     

,

15

04

.

227

)

(

    

,

10

2

2

1

1

0

0













t

v

t

t

v

t

t

v

t

II. Kvadratik interpolyatsiyadan foydalanib tezlikni aniqlaymiz:

H I S O B  ( C a l c u l u s )

14

20

t

10

     

,

05

.

12

733

.

17

3766

.

0

)

(

2











t

t

t

v

16



t

m/s

   

19

.

392

05

.

12

16

733

.

17

16

3766

.

0

)

(

2













t

v

Chiziqli interpolyatsiya asosida topilgan tezlik qiymati: 

m/s

   

7

.

393

)

16

(



v

Kvadratik interpolyatsiya formulasidan topilgan tezlik qiymati: 

m/s

   

19

.

392

)

16

(



v

%

 

3841

.

0

%

 

100

19

.

392

7

.

393

19

.

392











a

Haqiqiy qiymatga yaqinlashish

xatosi: 

Ko‘tarilish tezligining

kvadratik interpolyatsiyasi

: 

3766

.

0

733

.

17

05

.

12

2

1

0







a

a

a

H I S O B  ( C a l c u l u s )

Lagranj interpolyatsion formulasi qanday?

15

Tugunlar soni ortib borishi bilan hisoblash

ishlari ham murakkablashib ketadi. Chunki

n

noma’lumli tenglamalar sistemasini

yechish amaliyoti

ko‘p vaqt va xotira (EHM) 

talab qiladi. Lagranj interpolyatsion

formulasi ancha sodda: 







n

i

i

i

n

x

f

x

L

x

f

0

)

(

)

(

)

(

Lagranj interpolyatsion formulasi: 

(n+1 ta

qo’shiluvchi): 













n

i

j

j

j

i

j

i

x

x

x

x

x

L

0

)

(

Lagranj

ko‘phadi

(n ta 

ko’paytuvchi)

:

Afzalligi: 

▪ tenglamalar sistemasi tuzilmaydi, 

▪ arifmetik hisoblashlar bajariladi.

n

i

,

0



i

i

y

x

f



)

(

H I S O B  ( C a l c u l u s )

2-misol.

Raketaning

ko‘tarilish

tezligi

uchun

Lagranj

interpolyatsion formulasini

tuzing va t=16 sekunddagi raketa

tezligini hisoblang.

16

H I S O B  ( C a l c u l u s )

1-tartibli Lagranj interpolyatsion formulasini tuzamiz.  Bunda 2 ta tugunni

olamiz:

17







n

i

i

i

n

x

f

x

L

x

f

0

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

1

1

0

0

1

0

t

v

t

L

t

v

t

L

t

v

t

L

t

v

i

i

i











35

.

517

)

(

      

;

20

78

.

362

)

(

      

;

15

1

1

0

0









t

v

t

t

v

t

1

0

1

1

0

0

0

0

)

(

t

t

t

t

t

t

t

t

t

L

j

j

j

j



















0

1

0

1

1

0

1

1

)

(

t

t

t

t

t

t

t

t

t

L

j

j

j

j



















35

.

517

15

20

15

78

.

362

20

15

20

)

(

)

(

)

(

1

0

1

0

0

1

0

1





























t

t

t

v

t

t

t

t

t

v

t

t

t

t

t

v

m/s

 

69

.

393

35

.

517

2

.

0

78

.

362

8

.

0

35

.

517

15

20

15

16

78

.

362

20

15

20

16

)

16

(



























v

Lagranj interpolyatsion formulasi

ko’tarilish tezligi

(4)

H I S O B  ( C a l c u l u s )

2-tartibli Lagranj interpolyatsion formulasini tuzish uchun 3 ta tugun

olinadi va uchhad tuziladi:

18

Lagranj interpolyatsion formulasi

ko’tarilish tezligi







n

i

i

i

n

x

f

x

L

x

f

0

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

2

2

1

1

0

0

2

0

t

v

t

L

t

v

t

L

t

v

t

L

t

v

t

L

t

v

i

i

i













,

)

(

2

0

2

1

0

1

2

0

0

0

0

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

L

j

j

j

j

























2

1

2

0

1

0

2

1

0

1

1

)

(

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

L

j

j

j

j

























1

2

1

0

2

0

2

2

0

2

2

)

(

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

L

j

j

j

j

























)

(

)

(

)

(

)

(

2

1

2

1

0

2

0

1

2

1

2

0

1

0

0

2

0

2

1

0

1

t

v

t

t

t

t

t

t

t

t

t

v

t

t

t

t

t

t

t

t

t

v

t

t

t

t

t

t

t

t

t

v





































(5)

H I S O B  ( C a l c u l u s )

19

Approksimatsiyalash xatoligi:

%

 

3841

.

0

%

 

100

19

.

392

69

.

393

19

.

392











a

)

(

)

(

)

(

)

(

2

1

2

1

0

2

0

1

2

1

2

0

1

0

0

2

0

2

1

0

1

t

v

t

t

t

t

t

t

t

t

t

v

t

t

t

t

t

t

t

t

t

v

t

t

t

t

t

t

t

t

t

v





































35

.

517

)

(

    

,

20

78

.

362

)

(

     

,

15

04

.

227

)

(

    

,

10

2

2

1

1

0

0













t

v

t

t

v

t

t

v

t































78

.

362

20

15

20

16

10

15

10

16

04

.

227

20

10

20

16

15

10

15

16

)

16

(

v

(5)

m/s

  

19

.

392

35

.

517

15

20

15

16

10

20

10

16

















H I S O B  ( C a l c u l u s )

20

3

0

3

2

0

2

1

0

1

3

0

0

0

0

)

(

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

L

j

j

j

j































3

1

3

2

1

2

0

1

0

3

1

0

1

1

)

(

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

L

j

j

j

j































3

2

2

1

2

1

0

2

0

3

2

0

2

2

)

(

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

L

j

j

j

j































)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

3

3

2

2

1

1

0

0

3

0

t

v

t

L

t

v

t

L

t

v

t

L

t

v

t

L

t

v

t

L

t

v

i

i

i















2

3

2

1

3

1

0

3

0

3

3

0

3

3

)

(

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

L

j

j

j

j































3-tartibli Lagranj interpolyatsion formulasini tuzishda 4 ta tugun

olinadi:

97

.

602

)

(

  

,

5

.

22

35

.

517

)

(

    

,

20

78

.

362

)

(

     

,

15

04

.

227

)

(

    

,

10

3

3

2

2

1

1

0

0

















t

v

t

t

v

t

t

v

t

t

v

t

H I S O B  ( C a l c u l u s )

21

3-tartibli Lagranj interpolyatsion formulasi:











































78

.

362

5

.

22

15

5

.

22

16

20

15

20

16

10

15

10

16

04

.

227

5

.

22

10

5

.

22

16

20

10

20

16

15

10

15

16

)

16

(

v











































97

.

602

20

5

.

22

20

16

15

5

.

22

15

16

10

5

.

22

10

16

35

.

517

5

.

22

20

5

.

22

16

15

20

15

16

10

20

10

16

m/s

   

06

.

392



%

 

033269

.

0

%

 

100

06

.

392

19

.

392

06

.

392











a









































)

(

)

(

)

(

1

3

1

3

2

1

2

0

1

0

0

3

0

3

2

0

2

1

0

1

t

v

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

v

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

v

)

(

)

(

3

2

3

2

1

3

1

0

3

0

2

3

2

3

1

2

1

0

2

0

t

v

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

v

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t







































(6)

Approksimatsiyalash xatoligi:

H I S O B  ( C a l c u l u s )

22

Funksiyalarni approksimatsiyalash

va egri chiziq yasash uchun dasturiy

paketlar

MATLAB

MathCad

Excel

Maple

Ushbu mavzuda funksiya

ko’rinishini tiklashni o’rgandik. 

Keyingi 7-mavzuda funksiya grafigini chizishni

o’rganamiz.

H I S O B  ( C a l c u l u s )

23

Mavzuni mustahkamlash uchun savоllar

1. Approksimatsiyalash deb nimaga aytiladi?

2.

Interpolyatsiyalash turlarini sanab bering.

3.

Chiziqli interpolyatsiya nima?

4. Kvadratik interpolyatsiya formulasi qanday hosil qilinadi?

5. Lagranj interpolyatsion formulasi qanday va uning afzalligi nimada?

6. Lagranj ko’phadini yozing.

H I S O B  ( C a l c u l u s )

24

MUHAMMAD AL-XORAZMIY NOMIDAGI 

TOSHKENT AXBOROT 

TEXNOLOGIYALARI UNIVERSITETI

SADADDINOVA SANOBAR 

SABIROVNA

Oliy matematika kafedrasi

dotsentii

E’TIBORINGIZ UCHUN RAXMAT!