Murakkab va teskari funksiyalarni hosilalari

Murakkab va teskari funksiyalarni hosilalari
murakkab funksiyani qaraymiz. Bu yerda oraliqdagi argument bo’lib, esa asosiy argumentdir. murakkab funksiyani hosil qilishda ikkita va argument ishtirok etganligi uchun qaysi argument bo’yicha hosila olinganligi quyidagicha belgilanadi: funksiyaning bo’yicha hosilasi:



funksiyaning bo’yicha, funksiyaning bo’yicha hosilasi mos ravishda



Teorema. Agar: 1) funksiya biror nuqtada hosilaga ega; 2) funksiya esa tegishli nuqtada hosilaga ega bo’lsa, murakkab funksiya nuqtada hosilaga ega va bu hosila va funksiyalar hosilalarining ko’paytmasiga tengdir:



yoki qisqacha

Isbot. Teoremaning shartiga asosan

Shuning uchun nisbatning o’zi limit bilan cheksiz kichikning yig’indisiga teng bo’ladi:

Bu yerda kattalik ga bog’liq bolib, u bilan birga nolga intiladi. (1) dan

(2) ni hadma-had ga bo’lsak:

Agar nolga intilsa, u holda ham nolga intiladi, shu bilan birga bilan bog’langan kattalik ham nolga intiladi. (3) da ni nolga intiltirib limitga o’tsak:

Quyidagi murakkab funksiyalarning hosilalari topilsin:

1-misol.

Yechish. (4) formulaga asosan

2-misol.

Yechish.



Teorema. Agar 1) funksiya nuqtada chekli va noldan farqli hosilaga ega; 2) bu funksiya uchun nuqtada uzluksiz teskari funksiya mavjud bo’lsa, u holda teskari funksiya uchun nuqtada ga teng hosila mavjud bo’ladi, ya’ni



yoki



Isbot. ga ixtiyoriy orttirma beramiz, u vaqtda funksiya ham orttirmaga ega bo’ladi: funksiya uzluksiz bo’lgani uchun da bo’lishini ta’kidlab, ushbuga ega bo’lamiz:



Bundan limitga o’tsak, o’ng tomonidagi maxraj limitga intiladi. Demak, chap tomon uchun qiymatga teng limit mavjud. Bu esa hosiladan iboratdir. Shunday qilib, sodda

formulaga ega bo’lamiz.