Mustaqil ish bajardi: 64-21 gurux talabasi Yunusov Nodirbek Qabul qildi: Farg‘ona 2022 Chiziqsiz tenglamalar sistemasini yechishning Reja

O‘ZBEKISTON RESPUBLIKASI

OLIY VA O‘RTA MAXSUS TA’LIMI VAZIRLIGI
FARG‘ONA POLITEXNIKA INSTITUTI
“Oliy matematika” fanidan

MUSTAQIL ISH

Bajardi: 64-21 gurux talabasi

Yunusov Nodirbek
Qabul qildi: ____________________
Farg‘ona 2022


Chiziqsiz tenglamalar sistemasini yechishning


Reja:

1. 
   Chiziqli bo`lmagan tenglamalar tizimining moxiyati va axamiyati.
   
2. 
   Ketma – ket (boshlang’ich) yaqinlashish usuli.
   
3. 
   Usulning ishchi algoritmi.
   

Shu paytgacha biz faqat chiziqi tenglamalar tizimini echish usullari bilan tanishdik. endi tenglamalar tizimi chiziqli bulmagan hol ustida tuxtalamiz. soddalik uchun ikki noma`lumli ikkita chizimi bulmagan tizimni oddiy iteratsiya usuli bilan echishga tuxtalamiz. bunday tizim quyidagicha yoziladi:

(3.34)
faraz kilaylik boshlangich x , u yaqinlashishlar berilgan bo`lsin. berilgan tizimni quyidagicha yozamiz:
(3.35)
hamda bu tizimning ung tomonidagi x va u lar o`rniga boshlangich yaqinlashish x , u larni kuyib, birinchi yaqinlashishni aniqlaymiz:
(3.36)
xuddi shuningdek ikkinchi yaqinlashishni aniqlaymiz:
x₂ = f (x₁, y₁)
y₂ = f (x₁, y₂) (3.37)
va umuman
(3.38)
agarda (x, u) va f(x, u) funktsiyalar uzluksiz, hamda x₁, x₂, …, x_n, … va y₁, y₂, …, y_n, … ketma-ketliklar yaqinlashuvchi bo`lsa, u xolda ularning limitlari berilgan tenglamaning echimi bo`ladi.

1. 
   ketma – ket (boshlang’ich) yaqinlashish usuli
   

yuqorida keltirilgan iteratsion jarayonning yaqinlashuvchi bo`lish shartlariga tuxtalamiz.
teorema, x va u (3.34) tizimning aniq echimlari, a <x < b, c <y < d bo`lib, x=a,x=b, y=c va y=d to`g’ri chiziqlar bilan chegaralangan to`g’ri turtburchak ichida boshqa echimlar yo`q bo`lsa, u xolda ko`rsatilgan turri turtburchakda quyidagi

(r₁ + r₂  m < 1 va q₁ + q₂  m < 1) tengsizliklar bajarilsa, iteratsion jarayon yaqinlashuvchi bo`ladi va boshlangich yaqinlashish x,u sifatida turri turtburchakning ixtiyoriy nuqtasini olish mumkin.
teoremaning isbotini keltirib utirmaymiz.
misol

tizimning musbat echimini iteratsion usul bilan uch xona aniqlikda toping.
berilgan tizimni quyidagi ko`rinishda yozib olamiz:

0x1, 0y1 kvadratni karaymiz. agarda x₀, y₀ nuqta shu kvadratga tegishli bo`lsa, u xolda 00, y<sub>0</sub>) < 1 va 0 0, y<sub>0</sub>) < 1 bo`ladi. (x₀, y₀) boshlangich yaqinlashish qanday tanlanishidan kat`i nazar (x<sub>k</sub>, y<sub>k</sub>) yaqinlashishlar kvadratga tegishli bo`ladi, chunki

bundan tashqari (x_k, y_k) nuqtalar kvadratga tegishli. bu kvadrat nuqtalari uchun:

bajariladi.
demak, ko`rsatilgan kvadratda tizim yagona echimga ega va uni iteratsion usulda aniqlash mumkin.
va deb olamiz, u xolda


bu erda q₁ = q₂ = 34/72 <0,5 bo`lgani sababli birinchi uchta unlik rakamlarning mos tushganligi kerakli aniqlikdagi echimni topish imkoniyatini beradi. shunday kilib kuyndagi echimga ega buldik.
x = 0,532; y = 0,351
SHunday qilib optimal parametrni aniqlash

funksiyaning  bo‘yicha minimumini topishga olib kelindi. q() funksiyaning grafigidan uning minimumi

shartdan aniqlanishi lozim ekanligi kelib chiqadi va

bo‘ladi. - ning bu qiymatida

bo‘ladi.
SHu sababli xatolik uchun

baho o‘rinlidir.

2)Nyuton metodi.

Faraz qilamiz boshlang‘ich yaqinlashish x₀ ma’lum bo‘lsin. f(x) funksiyani Teylor qatorining kesmasi bilan almashtiramiz.
f(x) H₁(x) = f(x₀) +f (x₀)(x-x₀)
va keyingi yaqinlashish sifatida H₁(x) = 0 tenglama ildizini olamiz, ya’ni

qilib olamiz.
_Umuman, agar x_k yaqinlashish ma’lum bo‘lsa, Nyuton metodi bo‘yicha x_{k+1 yaqinlashishi}
(7)
kabi aniqlanadi.
Nyuton metodi, boshqacha yana urinmalar metodi ham deb aytiladi, chunki x_k+1 nuqta f(x) funksiya grafigining (x_k,f(x_k)) nuqtasida o‘tkazilgan urinmaning abssissa o‘qi bilan kesishgan nuqtasining abssissasidir. Bu metodning yaqinlashishi keyinroq ko‘rsatiladi. Hozir bu metodning o‘ziga xos xususiyatlarini bayon etamiz.
Birinchidan metod kvadratik yaqinlashishga ega, ya’ni keyingi qadamdagi yaqilashish xatoligi oldingi qadamdagi xatolikning kvadratiga proporsional:
x_k+1 - x_* = O((x_k - x_*)²).
Ikkinchidan metodning bunday yaqinlashishiga, boshlang‘ich yaqinlashishning ildizga etarlicha yaqin bo‘lgandagina kafolat bersa bo‘ladi. Agar boshlang‘ich yaqinlashish noqulay tanlangan bo‘lsa, metod yo sekin yaqinlashadi, yo umuman yaqinlashmasligi mumkin.


3)O‘zgartirilgan Nyuton metodi.
Agar f(x) hosilaning qiymatini ko‘p marta hisoblashdan qutilmoqchi bo‘lsalar, unda
(8)
formuladan foydalanadilar.
Bu metod boshlang‘ich yaqinlashishga uncha ko‘p talab qo‘ymaydi, lekin u sekin, faqat birinchi tartibli yaqinlashadi. (10) – metod bo‘lganda nolga bo‘lish sodir bo‘lmasligiga kafolat beradi.