Mustaqil ishlash uchun misol va masalalar

1.1 Mustaqil ishlash uchun misol va masalalar
1. Quyidagi to‘plamlar keltirilgan amallarga nisbatan gruppa bo‘ladimi?
• (nZ, +) – natural n soniga karrali butun sonlar to‘plami qo‘shish amaliga
nisbatan;
• ({2n+1 | n ∈ Z}, +) – barcha toq butun sonlar to‘plami qo‘shish amaliga
nisbatan;
• (R₊, ·) – musbat haqiqiy sonlar to‘plami ko‘paytirish amaliga nisbatan;
• ({z ∈ C | zⁿ = 1}, ·) – birning n-darajali barcha kompleks ildizlari to‘plami ko‘paytirish amaliga nisbatan;
• (R, ∗) – haqiqiy sonlar to‘plami, a ∗ b = a kabi aniqlangan amalga nis-batan;
• (R, ∗) – haqiqiy sonlar to‘plami, a ∗ b = ^a+₂^b kabi aniqlangan amalga nisbatan;
• (R, ∗) – haqiqiy sonlar to‘plami, a ∗ b = a^b kabi aniqlangan amalga nis-batan;
• (M × M, ∗) to‘plam, (x, y) ∗ (z, t) = (x, t) kabi aniqlangan amalga nis-batan, bu yerda M qandaydir to‘plam, M × M – dekart ko‘paytma.
2. G = R \ {1} to‘plamni a ∗ b = a + b − ab amalga nisbatan gruppa tashkil qilishini isbotlang.
3. G = R \ {−1} to‘plamni a ∗ b = a + b + ab amalga nisbatan gruppa tashkil qilishini isbotlang.
4. G = {(a, b)| a, b ∈ R, b 6= 0} to‘plamdan olingan ixtiyoriy (a, b), (c, d) ∈ G elementlar o‘rtasida ∗ binar amal (a, b) ∗ (c, d) = (a + bc, bd) ko‘rinishida aniqlansa, u holda (G, ∗) nokommutativ gruppa bo‘lishini isbotlang.
5. Quyidagi matritsalar to‘plaminining qaysilari matritsalarni qo‘shish amaliga nisbatan gruppa bo‘lishini aniqlang.
7. Quyidagi matritsalar to‘plami ko‘rsatilgan amallarga nisbatan gruppa bo‘ladimi?
• Simmetrik matritsalar to‘plami qo‘shish amaliga nisbatan.
• Simmetrik matritsalar to‘plami ko‘paytirish amaliga nisbatan.
• Determinanti noldan farqli bo‘lgan matritsalar to‘plami qo‘shish amaliga
nisbatan.
• Determinanti noldan farqli bo‘lgan matritsalar to‘plami ko‘paytirish
amaliga nisbatan.
• Dioganal ko‘rinishidagi matritsalar to‘plami qo‘shish amaliga nisbatan.
• Dioganal ko‘rinishidagi matritsalar to‘plami ko‘paytirish amaliga nis-batan.
• Yuqori uchburchak ko‘rinishidagi matritsalar to‘plami qo‘shish amaliga nisbatan.
• Yuqori uchburchak ko‘rinishidagi matritsalar to‘plami ko‘paytirish ama-liga nisbatan.
• Yuqori uchburchak ko‘rinishidagi teskarilanuvchi matritsalar to‘plami ko‘paytirish amaliga nisbatan.
• Barcha ortogonal (A^T A = AA^T = E shartni qanoatlantiruvchi) matri-tsalar to‘plami ko‘paytirish amaliga nisbatan.