На отрезке ав взяты точки м и N. Известно, что ав = 12 см, am = см, bn = см. Найдите длину

---

1. На отрезке АВ взяты точки М и N. Известно, что АВ = 12 см, AM = 5 см, BN = 4 см. Найдите длину 
отрезка MN. (3 см) 
2. На отрезке АВ длиной 36 см взята точка К. Найдите длину отрезков АК и ВК, если АК : В К = 4:5.
(16 см; 20 см) 
3. Отрезок АВ = 16 см. Точка М – середина отрезка АВ, точка К – середина отрезка МВ. Найдите 
длину отрезка АК. (12 см) 
4. На отрезке АВ длиной 12 см взяты точки С и D так, что AС = 3 см, CD = 4 см. Найдите длину отрезка 
BD. (5 см) 
5. На отрезке MN длиной 36 см взята точка К. Найдите длину отрезков МК и NK, если МК : NK = 
7:5. (21 см; 15 см) 
6. Точка М – середина отрезка AB, точка К– середина отрезка МВ. Найдите длину отрезка АК, если 
ВК = 3 см. (9см) 
7. Луч ОС проходит между сторонами угла АOB, равного 120°. Найдите 
∠AOC, если он меньше ∠СОВ 
в два раза. (40°) 
8. Между сторонами развернутого угла AOD проходят лучи ОВ и ОС так, что 
∠АОВ = 53°, ∠ВОС = 
91°. Найдите величину угла COD.( 36°)
9. Какой из лучей а, b или с проходит между двумя другими, если 
∠аb =112°, ∠ас = 34°, ∠сb = 78°? (с) 
10. Луч ОС проходит между сторонами угла АОВ, равного 120°. Найдите 
∠COB, если ∠AOC на 30° 
больше АСОВ. (45°)
11. Между сторонами развернутого угла A OD проходят лучи ОБ и ОС так, что 
∠AOB = 34°, ∠COD = 
27°. Найдите величину угла СОВ.( 119°) 
12. Какой из лучей а, b или с проходит между двумя другими, если 
∠ab = 65°, ∠ac = 91°, ∠cb = 26°? (b) 
13. Один из смежных углов больше другого на 20°. Найдите величины этих углов. ( 80° и 100°)
14. Один из углов, образовавшихся при пересечении двух прямых, равен 21°. Найдите остальные 
неразвернутые углы. (21°; 159°; 159°)
15. Сумма трех неразвернутых углов, образовавшихся при пересечении двух прямых, равна 325°. 
Найдите величины этих углов. ( 145°; 145°; 35°) 
1. Периметр равнобедренного треугольника равен 37 см. Основание меньше боковой стороны на 5 см. 
Найдите стороны этого треугольника. (14 см; 14 см; 9 см)
2. Периметр равнобедренного треугольника равен 45 см. Боковая сторона меньше основания на 3 см. 
Найдите стороны треугольника. (17 см; 14 см; 14 см ) 
3. Отрезок прямой АВ точками Р и Q делится на три равные части, причем A–P–Q. По одну сторону 
от прямой АВ взяты точки С и D так, что АС = ВD и CQ = DP, ∠DPB + ∠CQA = 140°. Найдите 
величину угла DPB. (70°) 
4. Отрезок прямой АВ точками Р и М делится на три равные части, причем А–Р–М. Вне отрезка АВ 
по разные стороны от него взяты точки С и К так, что АС = ВК и СМ = КР, ∠CAM + ∠KBP = 130°. 
Найдите величину угла САМ. (65°) 
5. В треугольнике АВС стороны АВ и ВС равны, внешний угол при вершине В равен 110°. Найдите 
углы треугольника АВС. ( ∠A = ∠C= 55°; ∠B = 70°) 
6. Внешний угол треугольника равен 140°, а внутренние углы, не смежные с ним, относятся как 3 :4. 
Найдите величины всех внутренних углов треугольника. ( 60°; 80°; 40) 
7. Треугольник АВС равнобедренный с основанием АВ. Биссектрисы углов при основании 
пересекаются в точке D. ∠ADB = 100°. Найдите величину угла С. ( 20°) 
1. В треугольнике АВС угол В равен 70°, a 
∠С = 60°. Какая из сторон треугольника имеет наименьшую 
длину? (ВС)
2. Одна из сторон тупоугольного равнобедренного треугольника на 17 см меньше другой. Найдите 
стороны этого треугольника, если его периметр равен 77 см.( 20 см; 20 cм; 37 cм )
3. Сторона АВ треугольника АВС продолжена за точку В. На продолжении отмечена точка D так, что 
ВС = BD. Найдите угол ACD, если ∠ACB = 60°, а ∠ABC = 50°.(85°) 

---

4. В треугольнике АВС угол А равен 40°, а 
∠В = 50°. Какая из сторон треугольника имеет наибольшую 
длину? (АВ) 
5. Одна из сторон прямоугольного треугольника на 8 см меньше другой и на 4 см меньше третьей 
стороны, а его периметр равен 48 см. Найдите гипотенузу треугольника. (20 cм)
6. На стороне МК треугольника МКР отмечена точка А так, что АР = АК. Найдите угол АРМ, если 
∠KPM= 75°, a ∠MAP = 60°.( 45°) 
7. Найдите сумму углов выпуклого двенадцатиугольника.
(1800°)
8. В выпуклом пятиугольнике две стороны равны, третья сторона на 3 см больше, а четвертая – в 2 
раза больше первой стороны, пятая – на 4 см меньше четвертой. Найдите стороны пятиугольника, 
если известно, что его периметр равен 34 см.(5) 
9. В выпуклом шестиугольнике три стороны равны, четвертая – в 2 раза больше первой стороны, пятая 
– на 3 см меньше четвертой, а шестая – на 1 см больше второй. Найдите стороны шестиугольника, 
если известно, что его периметр равен 30 см.
(4 см, 4 см, 4 см, 8 см, 5 см, 5 см)
10. Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, если сумма его углов равна 2160°? (14) 
11. Выпуклый четырехугольник ABCD имеет две пары равных между собой смежных сторон: АВ = 
AD, ВС = CD, О – точка пересечения диагоналей четырехугольника. Сравните периметры 
пятиугольников ABCOD и ABOCD. (равны) 
12. Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, если сумма его углов равна 2520°? (14) 
13. Диагональ АС невыпуклого четырехугольника ABCD разделяет этот четырехугольник на два 
треугольника, причем АВ > ВС, АВ = AD, BC = CD, а прямые, содержащие диагонали 
четырехугольника, пересекаются в точке О. Сравните периметры пятиугольников BCODA и 
DCOBA.(РАВНЫ) 
14. Каждый угол выпуклого многоугольника равен 162°. Найдите число сторон этого 
многоугольника.(20) 
15. В выпуклом шестиугольнике ABCDEF все стороны равны. Большая диагональ, проведенная из 
вершины А, параллельна стороне ВС, ∠BAD = ∠CDА. Сравните периметры пятиугольников 
ABDEF и ACDEF. .(РАВНЫ) 
16. Каждый угол выпуклого многоугольника равен 165°. Найдите число сторон этого 
многоугольника.(24) 
17. В выпуклом пятиугольнике ABCDE все стороны имеют равные длины. Диагональ, проведенная из 
вершины А, параллельна стороне ED, ∠ЕАС = ∠DCA. Сравните периметры четырехугольников 
ЕАВС и DCBA. .(РАВНЫ) 
18. В прямоугольном треугольнике АВС к гипотенузе АВ проведена высота СН так, что АС = 2 
см, ВН = 3 см. Найдите СВ, СН, АН. В каком отношении СН делит площадь треугольника АВС?
(СН=√3см; СВ = 2√3см; 𝐴𝐻 = 1 𝑐м; 𝑆
𝐴𝐶𝐻
: 𝑆
𝐵𝐶𝐻
= 1: 3) 
19. В прямоугольном треугольнике АВС из вершины прямого угла проведена высота ВК так, что 
АК = 5 см, ВС = √6 см. Найдите ВК, КС, АВ. В каком отношении ВК делит площадь треугольника 
АВС? (AB=√30см; В𝐾 = 5 см; 𝐾𝐶 = 1 𝑐м; 𝑆
𝐴𝐵𝐾
: 𝑆
𝐶𝐵𝐾
= 5: 1) 
20. В равнобедренном треугольнике АВС (АВ = ВС) ∠А = 30°. Найдите высоту, опущенную к 
основанию, если AD = 20 см (D ∈ прямой АВ, CD ⊥ АВ). 
1. В четырехугольнике ABCD: АВ || CD, ВС || AD, АС = 20 см, BD = 10 см, АВ = 13 см. Диагонали 
четырехугольника ABCD пересекаются в точке О. Найдите периметр Δ COD.(28см) 
2. Из вершины В параллелограмма ABCD с острым углом А проведен перпендикуляр ВК к прямой 
AD; ВК = АВ : 2. Найдите ∠C, ∠D.( ∠C = 30°, ∠D = 150°)
3. В четырехугольнике ABCD АВ || CD, ВС || AD, О – точка пересечения диагоналей. Периметр Δ AOD 
равен 25 см, АС = 16 см, BD = 14 см. Найдите ВС. (10) 
4. В параллелограмме ABCD с острым углом А из вершины В опущен перпендикуляр ВК к прямой 
AD, AK = ВК. Найдите ∠C, ∠D. (∠C = 45°, ∠D = 135°) 

---

5. На сторонах РК и МН параллелограмма МРКН взяты точки А и В, соответственно МР = РВ = АК; 
∠MPB = 60°. Найдите углы параллелограмма и сравните отрезки ВМ и АН. (МВ = АН, ∠M = ∠K = 
60°, ∠P = ∠H = 120°) 
6. На сторонах ВС и CD параллелограмма ABCD отмечены точки М и Н соответственно так, что 
отрезки ВН и MD пересекаются в точке О; ∠BHD = 95°, ∠DMC = 90°, ∠BOD = 155°. Найдите 
отношение длин отрезков АВ и MD и углы параллелограмма.( AB:MD=2:1, ∠C = ∠A = 30°, ∠B = 
∠D = 150°) 
7. 
На сторонах ВС и CD параллелограмма ABCD взяты точки К и М соответственно. Отрезки ВМ и 
KD пересекаются в точке О; ∠BOD = 140°, ∠DKB = 110°, ∠BMC = 90°. Найдите отношение длин 
отрезков МС и AD и углы параллелограмма.
 ( 
MC:AD=1:2, 
∠C = ∠A = 60°, ∠B = ∠D = 120°) 
1. 
Диагонали ромба равны 14 см и 48 см. Найдите плошадь ромба. (336) 
2. В треугольнике два угла равны 45° и 90°, а большая сторона — 20 см. Найдите две другие стороны 
треугольника. (10√2) 
3. Стороны прямоугольника равны 8 см и 12 см. Найдите его диагональ.(4
√13) 
4. В треугольнике ABC 
∠A = 90°, ∠B = 30°, АВ = 6 см. Найдите стороны треугольника. (2√3; 6; 4√3) 
5. В прямоугольной трапеции основания равны 5 см и 17 см, а большая боковая сторона — 13 см. 
Найдите площадь трапеции. (55) 
6. В треугольнике две стороны равны 10 см и 12 см, а угол между ними 45°. Найдите площадь 
треугольника.(30√2) 
7. В прямоугольной трапеции боковые стороны равны 15 см и 9 см, а большее основание — 20 см. 
Найдите площадь трапеции.(126) 
8. В треугольнике две стороны равны 12 см и 8 см, а угол между ними 60°. Найдите площадь 
треугольника.(24√3) 
9. В треугольнике АВС АВ = ВС. Высота АК делит сторону ВС на отрезки ВК = 24 см и КС = 1 см. 
Найдите площадь треугольника и сторону АС. (5√2; 87,5) 
10. В треугольнике АВС АВ = АС. Высота ВМ равна 9 см и делит сторону АС на два отрезка так, что 
AM = 12 см. Найдите площадь и периметр треугольника. (30+3√10; 67,5) 
11. Гипотенуза АВ прямоугольного треугольника АВС равна х. Произвольная точка М на катете ВС 
соединена с вершиной А, а точка Н на катете АС соединена с вершиной В. Найдите длину отрезка 
МН, если AM
2
+ ВН
2
= у
2
. (
√𝑦
2
− 𝑥
2
)