ÄãÉÖÅêÄ äÇÄíÖêçàéçéÇ Определим операции над двумя кватернионами

ÄãÉÖÅêÄ äÇÄíÖêçàéçéÇ Определим операции над двумя кватернионами(Ikki kvaternion ustida amallarni aniqlang)

1. 
   Qo’shimchaСложение двух кватернионов осуществляется путем сложения всех его компонент(Ikki kvaternionni qo'shish uning barcha komponentlarini qo'shish orqali amalga oshiriladi)
   
2. 
   2.kopaytirish Вычисление произведения двух кватернионов производится при помощи обычных распределительных законов с учетом соотношений (1) и дает следующую формулу: (Ikki kvaternionning mahsuloti (1) munosabatlarni hisobga olgan holda odatiy taqsimot qonunlari yordamida hisoblanadi va quyidagi formulani berad)
   

где введены операции скалярного и векторного произведений векторов(bu yerda vektorlarning skalyar va vektor mahsuloti amallari kiritiladi)
Нетрудно видеть, что произведение двух кватернионов есть опять кватернион. Важной особенностью введенной операции умножения (2) является ее некоммутативность, то есть, вообще говоря, Q1Q2 ­ ­ Q2Q1 . Для случая s1 = s2 = 0, то есть когда имеем произведение двух векторов, записанное в форме кватернионов, их произведение уже не есть вектор, а кватернион(Ikki kvaternionning ko'paytmasi yana to'rtlik ekanligini ko'rish oson. Kiritilgan ko'paytirish amalining (2) muhim xususiyati uning o'zgarmasligi, ya'ni umuman olganda Q1Q2 ¬ ¬ Q2Q1 dir. s1 = s2 = 0 holi uchun, ya'ni bizda ikki vektorning ko'paytmasi kvaternionlar ko'rinishida yozilgan bo'lsa, ularning ko'paytmasi endi vektor emas, balki kvaternion bo'ladi.)
причем скалярная часть кватерниона Q1Q2 есть взятое с обратным знаком скалярное произведение векторов v1 и v2 , а векторная часть кватерниона Q1Q2 равна векторному произведению векторов v1 и v2 . Введенная операция умножения векторов как кватернионов (5) объединяет хорошо известные виды умножения векторов – скалярное и векторное (3) и (4). Исходя из формулы (5), найдем Q1Q2 и Q2Q1 , при этом учтем, что v2 × v1 = −v1 × v2 (это легко проверяется исходя из формулы (4)):( bundan tashqari, Q1Q2 kvaterniyasining skalyar qismi qarama-qarshi belgi bilan olingan v1 va v2 vektorlarining skalyar koʻpaytmasi, Q1Q2 kvaternionining vektor qismi esa v1 va v2 vektorlarining vektor koʻpaytmasiga teng. Vektorlarni kuaternionlar sifatida ko'paytirishning joriy qilingan operatsiyasi (5) vektorlarni ko'paytirishning taniqli turlarini - skaler va vektor (3) va (4) birlashtiradi. Formula (5) asosida biz Q1Q2 va Q2Q1 ni topamiz, shu bilan birga v2 × v1 = -v1 × v2 (buni formula (4) asosida osongina tekshirish mumkin):
Исходя из (5) и (6) найдем выражение для скалярного и векторного произведений векторов через введенную нами операцию( (5) va (6) ga asoslanib, biz kiritgan amal orqali vektorlarning skalyar va vektor mahsuloti ifodasini topamiz
ëÓÔflÊÂÌËÂ Кватернион называется сопряженным по отношению к Q = s + ai + bj + ck, если = s − (ai + + bj + ck). В этом случае произведение есть число, равное квадрату модуля кватерниона Q: |Q| 2 = = s 2 + a2 + b2 + c2 .( Kvarternion Q = s + ai + bj + ck ga nisbatan konjugat deyiladi, agar = s - (ai + bj + ck). Bunda ko'paytma Q kvaternion modulining kvadratiga teng son bo'ladi: |Q| 2 = = s2 + a2 + b2 + c2)
Нетрудно видеть, что квадрат модуля кватерниона равен сумме квадратов его компонент. Это свойство аналогично такому же свойству для векторов, однако существенное отличие от векторов подчеркивает следующее свойство(Kuaternion modulining kvadrati uning komponentlari kvadratlari yig'indisiga teng ekanligini ko'rish oson. Bu xususiyat vektorlar uchun bir xil xususiyatga o'xshaydi, lekin vektorlardan muhim farq quyidagi xususiyat bilan ta'kidlangan.)
é·‡˘ÂÌË Для каждого ненулевого кватерниона существует ему обратный. Обратным по отношению к кватерниону Q называется кватернион Q−1 , обладающий свойством QQ−1 = Q−1 Q = 1.( Har bir nolga teng bo'lmagan to'rtlik uchun teskari mavjud. Q to‘rtburchakning teskarisi Q-1 = Q-1 Q = 1 xossaga ega bo‘lgan Q-1 to‘rtlikdir)
Очевидно, что обратный находится по следующему правилу, весьма похожему на правило нахождения обратного к комплексному числу: v1 v2 ⋅ = 1 2 –-- v1v2 + v2v1 ( ), v1 × v2 = 1 2 -- v1v2 – v2v1 ( ). Q Q QQ Q–1 = Q Q 2(Shubhasiz, teskari quyidagi qoida bo'yicha topiladi, bu murakkab songa teskarisini topish qoidasiga juda o'xshaydi: v1 v2 ⋅ = 1 2 –-- v1v2 + v2v1 ( ), v1 × v2 = 1 2 - - v1v2 – v2v1 ( ). Q Q QQ Q–1 = Q Q 2)