Определяется формулой (7) удовлетворяет уравнению

Теорема. Если , , , то функция , определяется формулой (7) удовлетворяет уравнению (1) и условиям (2), (3).



.


.
,



.


. (1)
где ,
, (2)
. (3)
С этой целью вычислим следующий предел:



. (4)
В силу (2),

. (5)
Отсюда, примення сначала правило интегрирования по частям, а затем формулы
, , (6)
и условие
, , , (7)
получим
. (8)
Так как,
.
Далее пользуясь равенствами
, , (9)
, (10)
нетрудно убедиться, что

.
где , .
Тогда



. (11)
Рассмотрим

и условия (7), получим
.
Отсюда, во внутреннем интеграле, выполнив замену переменной по формуле а затем применя формулу
(12)
получим

Так как , при , то из последнего неравенства следует, что

. (13)
Рассмотрим следующие

Так как и (7) имеем,

Отсюда, во внутреннем интеграле, выполнив замену переменной по формуле а затем применя формулу (12), получим
.
Так как и при , то из последнего неравенства следует, что
. (14)
Из (11), (13), (14) следует, что . Тогда
.
Далее, пользуясь равенствами (9), (10) легко убедится, что


.(15)
где .
Тогда

, условия (7) и при , получим
.
Отсюда, во внутреннем интеграле, выполнив замену переменной по формуле а затем применя формулу (12), получим
.
Выполняя в этом интеграле замену , учитывая при и используя формулу (12), получаем следующее
.
Тогда

Так как , и (7) имеем,
.
В силу доказанных выше перавенств, из (15) следует, что