Отчёт по предмету

Ikkinchi tartibli oddiy differentsial tenglamalarni chekli ayirmali usul yordamida sonli echish. Progonka usuli.
Ikkinchi darajali oddiy differentsial tenglamaning umumiy ko'rinishda bo'lsin
(a,b) (1)
chegaraviy shartlari bilan
x=a (2)
x=b (3)
[a, b] segmentini N qismga ajrataylik,

, (4)

Bundan tashqari, hosilalarni cheklangan farqlar bilan almashtirish, differentsial tenglama (1) quyidagi shaklda yozilishi mumkin


i=1.,N-1 (5)


i=0 (6)
i=N (7)
Tenglamalarni (5-7) quyidagi shaklda yozish mumkin

bu erda

(11)
, , , (12)

Biz (8) tenglamaning echimini quyidagi shaklda izlaymiz

(13)

va oxirgi ifodani (8) ga qo’yamiz

(14)

va uni y_i ga echib topishimiz mumkin

(15)

(13) da biz indeksni bittaga ko'paytiramiz, ya'ni i ni i + 1 bilan almashtirib

quyidagini olish mumkin


(16)

(15) va (16) munosabatlarni taqqoslab, buni topishimiz mumkin

(17)

(9)- ifodadan topamiz

(18)

(13) dan i = 1 holi uchun topish mumkin

(19)

(18) bilan solishtirish quyidagi ifodani beradi

(20)

(13) munosabatni i=N uchun yozamiz

(21)

va (10) -ifodaga qoyamiz

(22)
Oxirgi ifodadan topamiz


(23)
Shunday qilib, progonka usulining algoritmi quyidagi shaklga ega buladi:

1). Chegaraviy shartlardan koeffitsientlarni topish zarur

2). Quyidagi shart bajarilganda


(24)
usul ung progonka uculi deb nomlanadi va quyidagi bosqichlardan iborat buladi:

I).

II).
III).
IV).

Quyidagi shart bajarilganda

(25)
bu usul chap progonka usuli deb nomlanadi va quyidagi bosqichlardan iborat buladi:

I).

II).
III).
IV).


Пример 1. Quyidagi diferensial tenglama berilgan bulib
(1)
quyidagi chegaraviy shartlar o’rinli bolsin


при x=0 (2)
при x=1 (3)
Chegaraviy masala(1-3) uchun chekli ayirmali tenglamalar tuzilsin va (24-25)
shartlarning haqiqiyligini tekshirilsin, ya'ni
yoki
Muammoning echimi: h ni topish uchun [0,1] segmentni N ga bo'lamiz

va tugun nuqtalarni topamiz

(1-3) tenglamalarda hosilalarini chekli ayirmalar bilan almashtiramiz, ya'ni.


i=1.,N-1 (1)¹
i=0 (2)¹
i=N (3)¹
Chegaraviy shartlarni (9-10) shaklida yozamiz, ya'ni
(4)
(5)
(4-5) ni (9) va (10) bilan taqqoslab bularni topamiz
(6)


(7)
h=0.1 bo'lsin, u holda (6) -dan (24) shartning bajarilmasligini korish mumkin, ya'ni

Endi biz (25) shartni tekshiramiz. (7) dan quyidagi ifodani topish mumkin

Demak, (1-3)¹ chekli ayirmali tenglamalarining sonli echimi uchun chap progonka usulini qo'llash kerak.

Vazifa .
Quyidagi chegara masalaning sonli echimini progonka usuli bilan topish


(1)
(2)
va aniq echim bilan solishtiring talab qilinadi
(3)