O`zmu matematik analiz kafedrasi
Download 95.93 Kb. Pdf ko'rish
|
xosmas intedrallar 1 maruza
- Bu sahifa navigatsiya:
- .Chegaralari cheksiz xosmas integral tushunchasi.
- O`zMU MATEMATIK ANALIZ KAFEDRASI 101 MATEMATIK TAHLIL 2020
- O`zMU MATEMATIK ANALIZ KAFEDRASI 102 MATEMATIK TAHLIL 2020
- O`zMU MATEMATIK ANALIZ KAFEDRASI 103 MATEMATIK TAHLIL 2020
- O`zMU MATEMATIK ANALIZ KAFEDRASI 104 MATEMATIK TAHLIL 2020
- Teorema (Koshi teoremasi).
- O`zMU MATEMATIK ANALIZ KAFEDRASI 107 MATEMATIK TAHLIL 2020
- O`zMU MATEMATIK ANALIZ KAFEDRASI 108 MATEMATIK TAHLIL 2020
- O`zMU MATEMATIK ANALIZ KAFEDRASI 109 MATEMATIK TAHLIL 2020
- Keys banki 4-keys.
- Keysni bajarish bosqichlari va topshiriqlar
|
MATEMATIK ANALIZ KAFEDRASI
MATEMATIK TAHLIL
) (x f funksiya ) ,
+∞ a oraliqda ) (
a ∈ berilgan bo‘lib, ixtiyoriy ] , [ t a
da ) ( +∞ < ≤
a integrallanuvchi bo‘lsin: ]). ,
) (
a R x f ∈
Ushbu ∫ = t a dx x f t F ) ( ) (
belgilashni kiritamiz. 1-ta’rif. Agar
+∞ →
da )
F funksiyaninglimitimavjudbo‘lsa, bulimiti ) (x f funksiyaning ) ,
∞ +
cheksizoraliqbo‘yichaxosmasintegralideyiladiva ∫ +∞ a dx x f ) ( kabi belgilanadi: ∫ ∫
→ +∞ → +∞ = = t a t t a dx x f t F dx x f . ) ( lim
) ( lim ) ( (1) (1) integralni chegarasi cheksiz xosmas integral ham deb yuritiladi. Qulaylik uchun, bundan keyin “chegarasi cheksiz xosmas integral” deyish o‘rniga “integral” deymiz.
MATEMATIK ANALIZ KAFEDRASI
MATEMATIK TAHLIL
Agar
+∞ →
da )
F funksiyaning limiti mavjud va chekli bo‘lsa, (1) integral yaqinlashuvchi deyiladi. Agar
+∞ →
da )
F funksiyaning limiti cheksiz yoki mavjud bo‘lmasa, (1) integral uzoqlashuvchi deyiladi.
Ushbu
∫ +∞ − 0 dx е x
integralni qaraylik. Bu holda 1 ) ( 0 + − = = − − ∫
t x e dx e t F
bo‘lib, 1 ) ( lim = +∞ → t F t
bo‘ladi. Demak, berilgan integral yaqinlashuvchi va . 1 0 = ∫ +∞ −
е x
Ushbu ) 0 , 0 ( > > ∫ +∞ α α a x dx a
integral uchun ≠ + − + − = − = = + + ∫ бўлса 1 агар
, 1 - 1 бўлса
1 агар
, ln ln ) ( 1 - 1 - α α α α α α α a t a t x dx t F t a ,
bo‘lib, +∞ → t da
) 1 ( ) ( , ) 1 ( 1 ) ( 1 ≤ +∞ → > − → − α α α α t F a t F
bo‘ladi.
MATEMATIK ANALIZ KAFEDRASI
MATEMATIK TAHLIL
Demak, ∫ +∞
x dx α
integral 1 > α bo‘lganda yaqinlashuvchi, 1 ≤
bo‘lganda uzoqla-shuvchi bo‘ladi. 3-misol. Ushbu
∫ +∞ 0 cos xdx
integral uzoqlashuvchi bo‘ladi, chunki +∞ →
da ∫
= t t xdx t F 0 sin cos ) ( funksiyaning limiti mavjud emas. YUqoridagidek, ∫ ∫ ∞ − +∞ ∞ −
dx x f dx x f ) ( , ) ( xosmas integrallar va ularning yaqinlashuvchiligi, uzoqlashuvchiligi ta’riflanadi: ∫ ∫
− −∞ → = a a t t dx x f dx x f , ) ( lim
) (
∫ ∫ −∞ → +∞ → +∞ ∞ − = u v v u dx x f dx x f . ) ( lim
) (
2 0 . Yaqinlashuvchi xosmas integralning sodda xossalari. Xosmas integralning turli xossalarini ) (x f funksiyaning ) ,
+∞ a oraliq bo‘yicha olingan ∫ +∞ a dx x f ) ( integrali uchun bayon etamiz. Bu xossalarni
MATEMATIK ANALIZ KAFEDRASI
MATEMATIK TAHLIL
∫
∞ − +∞ ∞ −
dx x f dx x f ) ( , ) ( integrallar uchun keltirishni o‘quvchiga havola etamiz. 1-xossa. Agar
∫ +∞
dx x f ) ( integral yaqinlashuvchi bo‘lsa, u holda ) ( ) (
a dx x f b < ∫ +∞ integral ham yaqinlashuvchi bo‘ladi va aksincha . Bunda ∫ ∫
+∞ +∞ + = b a b a dx x f dx x f dx x f ) ( ) ( ) (
(2) tenglik bajariladi. 2-xossa. Agar
∫ +∞
dx x f ) ( integral yaqinlashuvchi bo‘lsa, u holda ∫ +∞ ⋅ a dx x f С ) ( ham ) ( const С = yaqinlashuvchi bo‘lib, ∫ ∫ +∞ +∞ = ⋅ a a dx x f С dx x f С ) ( ) (
bo‘ladi.
Agar ∫
a dx x f ) ( integral yaqinlashuvchi bo‘lib, ) , [ +∞ ∈ ∀ a x da
0 ) ( ≥ x f bo‘lsa, u holda 0 )
≥ ∫ +∞ a dx x f
bo‘ladi. 4-xossa. Agar
∫ +∞
dx x f ) ( va ∫ +∞ a dx x g ) ( integrallar yaqinla-shuvchi bo‘lsa, u
MATEMATIK ANALIZ KAFEDRASI
MATEMATIK TAHLIL
holda
∫ +∞ ± a dx x g x f )) ( ) ( ( integral ham yaqinla-shuvchi bo‘lib,
) ( ) ( )) ( ) ( ( a ∫ ∫ ∫ +∞ +∞ +∞ ± = ± a a dx x g dx x f dx x g x f
bo‘ladi. 5-xossa. Agar
) , [ +∞ ∈ ∀ a x da
) ( ) ( x g x f ≤ bo‘lib, ∫ +∞
dx x f ) ( va ∫ +∞ a dx x g ) ( integrallar yaqinlashuvchi bo‘lsa, u holda ∫ +∞
dx x f ) ( ∫ +∞ ≤ a dx x g ) ( bo‘ladi. 2)- 5)- xossalarning isboti xosmas integral va uning yaqinlashuvchiligi ta’riflaridan bevosita kelib chiqadi. Faraz qilaylik, ) (x f va
) (x g funksiyalar ) ,
+∞ a da berilgan bo‘lib, ) (x f funksiya chegaralangan , )
( M x f m ≤ ≤ ) ( , )) , [ x g a x +∞ ∈ funksiya esa o‘z ishorasini o‘zgartirmasin ) ,
( +∞ ∈ ∀ a x da har doim 0 )
≥ x g yoki
) 0 ) ( ≤
g .
Agar ∫
⋅ a dx x g x f ) ( ) ( va ∫ +∞
dx x g ) ( integrallar yaqin-lashuvchi bo‘lsa, u holda shunday o‘zgarmas ) (
m ≤ ≤ µ µ topiladiki, ∫ ∫ +∞ +∞ = ⋅ a a dx x g dx x g x f ) ( ) ( ) ( µ (3) bo‘ladi. Odatda, bu xossa o‘rta qiymat haqidagi teorema deyiladi.
MATEMATIK ANALIZ KAFEDRASI
MATEMATIK TAHLIL
Aytaylik, ) (x f funksiya ) ,
+∞ a oraliqda berilgan bo‘lsin. Ma’lumki, ∫ +∞ a dx x f ) ( xosmas integralning yaqinlashuvchiligi ushbu ∫ >
t a a t dx x f t F ) ( ) ( ) (
funksiyaning +∞ →
da chekli limitga ega bo‘lishidan iborat. 13-ma’ruzada funksiyaning chekli limitiga ega bo‘lishi haqidagi Koshi teoremasi, ya’ni ) (t F funksiyaning +∞ →
da chekli limitga ega bo‘lishi uchun ε ε < ′ − ′′ > ′′ ∀ > ′ ∀ > ∃ > ∀ ) ( ) ( : , , , 0 0 0 0
F t F t t t t a t
tengsizlikning bajarilishi zarur va etarli ekani keltirilgan edi. Bu tushuncha va tasdiqdan ∫ +∞ a dx x f ) ( (4) xosmas integralning yaqinlashuvchiligini ifodalaydigan quyidagi teoremaga kelamiz.
(4)integralning yaqinla-shuvchi bo‘lishi uchun 0
∀ ε son olinganda ham shunday ) ( 0 0 a t R t > ∈ topilib, ixtiyoriy 0 0 , t t t t > ′′ > ′ bo‘lganda ε < ∫ ′′ ′ t t dx x f ) ( tengsizlikning bajarilishi zarur va yetarli.
MATEMATIK ANALIZ KAFEDRASI
MATEMATIK TAHLIL
1. Ushbu
∫ +∞ 0 sin xdx x
xosmas integral yaqinlashuvchi bo‘ladimi? 2.
Ushbu ( ) ∫ +∞ − = + 0 3 2 8 1 1 ln
x x x
tenglik isbotlansin. Adabiyotlar 1.
Xudoyberganov G., Vorisov A. K., Mansurov X. T., Shoimqulov B. A. Matematik analizdan ma’ruzalar, II q. T. “Voris- nashriyot”, 2010. 2.
Fixtengols G. M.Курс дифференциального и интегрального исчисления, 1,2 т.
М . « ФИЗМАТЛИТ », 2001. 3.
Tao T.Analysis 2 . Hindustan Book Agency, India, 2014.
MATEMATIK ANALIZ KAFEDRASI
MATEMATIK TAHLIL
Agar +∞ →
da )
t F funksiyaning limiti mavjud bo‘lsa, bu limiti ) (
f funksiyaning ) ,
∞ +
cheksiz oraliq bo‘yicha xosmas integrali deyiladi va ∫ +∞
dx x f ) ( kabi belgilanadi: ∫ ∫
→ +∞ → +∞ = = t a t t a dx x f t F dx x f . ) ( lim
) ( lim ) ( (1) (1) integralni chegarasi cheksiz xosmas integral ham deb yuritiladi. Agar
+∞ →
da )
t F funksiyaning limiti mavjud va chekli bo‘lsa, (1) integral yaqinlashuvchi deyiladi. Agar
+∞ →
da )
t F funksiyaning limiti cheksiz yoki mavjud bo‘lmasa, (1) integral uzoqlashuvchi deyiladi. Agar
∫ +∞
dx x f ) ( integral yaqinlashuvchi bo‘lsa, u holda ) ( ) (
a dx x f b < ∫ +∞ integral ham yaqinlashuvchi bo‘ladi va aksincha . Bunda ∫ ∫
+∞ +∞ + = b a b a dx x f dx x f dx x f ) ( ) ( ) (
(2) tenglik bajariladi. Agar
∫ +∞
dx x f ) ( integral yaqinlashuvchi bo‘lsa, u holda
MATEMATIK ANALIZ KAFEDRASI
MATEMATIK TAHLIL
∫
⋅ a dx x f С ) ( ham ) ( const С = yaqinlashuvchi bo‘lib, ∫ ∫ +∞ +∞ = ⋅ a a dx x f С dx x f С ) ( ) (
bo‘ladi.
Agar ∫ +∞
dx x f ) ( integral yaqinlashuvchi bo‘lib, ) , [ +∞ ∈ ∀ a x da
0 ) ( ≥ x f bo‘lsa, u holda 0 )
≥ ∫ +∞ a dx x f
bo‘ladi. Agar ∫ +∞ a dx x f ) ( va ∫ +∞ a dx x g ) ( integrallar yaqinla-shuvchi bo‘lsa, u holda
∫ +∞ ± a dx x g x f )) ( ) ( ( integral ham yaqinla-shuvchi bo‘lib,
) ( ) ( )) ( ) ( ( a ∫ ∫ ∫ +∞ +∞ +∞ ± = ± a a dx x g dx x f dx x g x f
bo‘ladi. Agar ) , [ +∞ ∈ ∀ a x da
) ( ) ( x g x f ≤ bo‘lib, ∫ +∞
dx x f ) ( va ∫ +∞ a dx x g ) ( integrallar yaqinlashuvchi bo‘lsa, u holda ∫ +∞
dx x f ) ( ∫ +∞ ≤ a dx x g ) ( bo‘ladi. 2)- 5)- xossalarning isboti xosmas integral va uning yaqinlashuvchiligi ta’riflaridan bevosita kelib chiqadi. Faraz qilaylik, ) ( x f va
) (
g funksiyalar ) ,
+∞ a da berilgan
MATEMATIK ANALIZ KAFEDRASI
MATEMATIK TAHLIL
bo‘lib,
) (
f funksiya chegaralangan , )
( M x f m ≤ ≤ ) ( , )) , [ x g a x +∞ ∈ funksiya esa o‘z ishorasini o‘zgartirmasin ) ,
( +∞ ∈ ∀ a x da har doim 0 )
≥ x g yoki
) 0 ) ( ≤
g . Agar ∫ +∞ ⋅ a dx x g x f ) ( ) ( va ∫ +∞
dx x g ) ( integrallar yaqin-lashuvchi bo‘lsa, u holda shunday o‘zgarmas ) (
m ≤ ≤ µ µ topiladiki, ∫ ∫ +∞ +∞ = ⋅ a a dx x g dx x g x f ) ( ) ( ) ( µ (3) bo‘ladi. Odatda, bu xossa o‘rta qiymat haqidagi teorema deyiladi.
4-keys. Masala o`rtaga tashlanadi: Ushbu ( )
+∞ − = + 0 3 2 8 1 1 ln
x x x
tenglik isbotlansin. Keysni bajarish bosqichlari va topshiriqlar: •
keysdagi muammoni hal qilish mumkin bo`lgan asosiy formula, tushuncha va tasdiqlarni keltiring (individual va kichik guruhlarda); •
(individual). Download 95.93 Kb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|