# Part 1: mathematics 1 linear algebra and equation solving text: Chapter 1 in core textbook

Download 434.83 Kb.
Pdf ko'rish
 Sana 24.11.2020 Hajmi 434.83 Kb.
 1  ASB-1114 BUSINESS ANALYTICS   PART 1: MATHEMATICS 1  LINEAR ALGEBRA and EQUATION SOLVING    TEXT: Chapter 1 in core textbook: Curwin, J., Slater, R. and Eadson, D. (2015). Quantitative  methods for business decisions, seventh edition. Cengage Learning.    1.  Basic Algebra  1.1  Rules of linear algebra    This section is revision material. It is worthwhile reading through all of Section 1.1 to make sure  you are comfortable with the material. We will not go through this material in detail during the  lecture. Although we will use all of these skills during linear and non-linear algebra examples. If  you are not comfortable with this material, then you can go online to look for examples, or I  would encourage the use of a textbook such as Chapter 1 in the core textbook for this course:  Curwin, J., Slater, R. and Eadson, D. (2015). Quantitative methods for business decisions,  seventh edition. Cengage Learning.    1.1.1  Addition    a+b = b+a    a+b+c = (a+b)+c = a+(b+c)          [order of addition does not matter]     1.1.2  Multiplication     ab = ba    abc = (ab)c = a(bc)           [order of multiplication does not matter]    1.1.3  Factorisation and the use of brackets    a(b+c) = ab +ac            [expansion of brackets]    ab+ac = a(b+c)             [factorisation]    (a+b) (c+d) = (a+b)c+(a+b)d          = ac+bc+ad+bd    When expanding brackets, always perform the operation inside the brackets first. If there are  brackets within brackets, start from the inside and work outwards.     e.g.   3{5a+2(a+b)}  = 3{5a+2a+2b}                                  = 3{7a+2b}                                   = 21a+6b      2      1.1.4  Subtraction and negative values    The formal definition of a negative number is as follows. For any number, there exists a  corresponding ‘additive inverse’ number, such that the sum of the number and its additive  inverse number is zero.    e.g.   the additive inverse of 3 is –3, so 3+(–3) = 0.    In general, the additive inverse of any positive number is the corresponding negative number.  Subtraction of a number is the same as addition of that number’s additive inverse.        a+(b)  = a+b    a– (b)   = a–b        a+(–b) = a–b    a– (–b) = a+b    Rules     (a)   Two ‘minuses’ make ‘plus’  (b)   A minus sign outside a bracket changes the signs of all the terms inside the bracket          e.g.   a – (x+2y–3z) = a–x–2y+3z  (c)   ab is positive:                 either if ‘a’ and ‘b’ are both positive                       or if ‘a’ and ‘b’ are both negative  (d)    ab is negative if one of ‘a’ and ‘b’ is positive, and the other is negative    1.1.5  Division, reciprocals and fractions    The formal definition of a reciprocal is as follows: For any number except zero, there exists a  corresponding ‘multiplicative inverse’ number, or ‘reciprocal’ number, such that the product of  the number and its reciprocal is 1.    e.g.   the reciprocal of 2 is 1/2, also written as 2 –1             2  1/2 = 1, or 2  (2 –1 ) = 1    Division by a number is the same as multiplication by the reciprocal of that number.     a  b or a/b = a  (1/b) or a  (b –1 )    The number 0 can be used in the numerator of a fraction, but not in the denominator.    0/a = 0           a/0 is undefined           0/0 is undefined      3      Rules  Multiplication and division:      bd ac d c b a   ;    bc ad d c b a d c b a                                                        Cancellation of common factors:         c b ac ab      Addition and subtraction:   To add/subtract two fractions, put them over a ‘common                                                                  denominator’; then add or subtract the numerators; then (if                                                               possible) simplify by cancelling common factors.            bd bc ad bd bc bd ad d c b a                                                                  bd bc ad bd bc bd ad d c b a          1.1.6  Powers (exponents)    Let b be any number, and let n be any positive integer (whole number). The expression b n    (‘b raised to the power n’ where b is the base and n is the exponent) is defined as follows:    b 1  = b  b 2  = b  b  b 3  = b  b  b  :  b n  = b  b  ....  b            [n times]    Similar expressions can be defined for values of n that are not positive integers:    b 0  = b/b = 1  b –1  = b/(b  b) = 1/b  b –2  = b/(b  b  b) = 1/b 2   :  b –n  = b/(b  b  ...  b) = 1/b n      [n+1 times]    Expressions can also be defined for values of n which are fractional or decimal, provided b   is not negative:      4  b 1/2  = square root of b (  b) = the number c such that c 2  = b  b 1/3  = cube root of b ( 3  b)  =  the number d such that d 3  = b  :  b 1/n  = n’th root of b ( n  b)   =  the number k such that k n  = b    The following rules and examples may be useful when manipulating expressions containing  powers.    b 3/2  = (b 3 ) 1/2  or (b 1/2 ) 3   b 0.75  = b 3/4  = (b 3 ) 1/4  or  (b 1/4 ) 3  b m     b n  = b m+n  b m     b n  = b m–n  (b m ) n  = b mn   (ab) n  = a n  b n   (a + b) 2  = (a + b)(a + b) = a 2  + ba +ab + b 2  = a 2  + 2ab + b 2   (a – b) 2  = (a – b)(a – b) = a 2  – ba – ab + b 2  = a 2  – 2ab + b 2  (a + b)(a – b) = a 2  + ba – ab – b 2  = a 2  – b 2     1.1.7  Manipulation of equations    Rules for carrying terms across the ‘equals sign’:    If  a + b = c   then  a = c – b  If  a – b = c   then  a = c + b    Rules for cross-multiplication:    If  ab = cd  then   b cd a                                                  If   d c b a    then   d bc a    or  ad = bc                      5      1.1.8  Inequalities    a  b means ‘a is greater than or equal to b’  a>b means ‘a is greater than b’  a  b means ‘a is less than or equal to b’  a     Rules for addition and multiplication involving inequalities:    If  a>b  then  a+c>b+c  If  a>b  then  ac>bc      if   c>0                                   ac   Similar rules apply for the other inequalities: <,    and    .        If you are struggling with Section 1.1, then please be sure to revise it thoroughly, as it will  benefit you for the rest of the material in this module as well as others.                                                     6      1.2  Linear algebra    1.2.1  Linear equations with one unknown variable     Often we need to use the rules of algebra to solve an equation which contains one unknown  variable. A linear equation is one which has terms in the unknown variable itself, e.g. x, but no  terms in x 2 , x 3 , x 1/2  etc.     Question  You see a pack of six apples in the supermarket for 60 pence. What is the price of one apple?   Well this is simple as its 10 pence per apple. If you can work this out then you have just used  algebra!     We can write the problem down formally, let a stand for the cost of an apple, and then we have:          6a  = 60    Divide both sides by 6, and you get:          a  = 10    so cost of one apple is ten pence.     Important Rule: Whatever you do to one side of the equation, you must also do to the other side.  (look back to Section 1.1.7.)    Examples    Method    1.   If there are fractions, eliminate them by putting everything over a common denominator,  and then multiplying through by the denominator.     2.   If there are brackets, multiply them out.     3.   Collect all the terms in x on one side of the equation, and all the numerical terms on the  other side.     4.  Divide both sides through by the coefficient on x, to obtain the numerical solution for x.    5.  Substitute the solution back into the original equation and evaluate both sides, to check            whether the solution is correct.        7      Examples      Solve the following equations for x:     (i)   3x + 4 = 10  (ii)   3(x – 3) = 2(x – 5) + 7       Solutions      (i)   3x + 4 = 10           3x = 10 – 4                         3x = 6                          x = 6/3                          x = 2              [Check : 3(2) + 4 = 10    OK]    (ii)   3(x – 3) = 2(x – 5) + 7               3x – 9    =   2x – 10 + 7                                           3x – 2x  =  –10 + 7 + 9                                                                   x = 6   [Check : 3(6 – 3) = 2(6  – 5) + 7    OK]      1.2.2  Linear Algebra with two variables    Linear algebra with only one variable such as in Section 1.2.1 have little relevance to ‘real  world’ problems. What we usually have is problems where there are more than one variable of  interest. Such as the price and the quantity sold of a certain product.     A shop owner has worked out an equation that links the quantity (q) of t-shirts they sell and the  price (p) it’s sold at. The equation is as follows:              q   = 250 – 5p  By substituting different values for the price, p, we can work out  how much quantity of t-shirts sold as follows:    When p = 5, q   = 250 – 5*(5) = 225    Or when p = 10, q   = 250 – 5*(10) = 200                 Price (£) Quantity sold 0 250 5 225 10 200 15 175 20 150 25 125 30 100 35 75 40 50 45 25 50 0   8  The data in the above table graphed in Excel:  Note the ‘quantity sold’ is on the y-axis (or vertical axis) and the ‘price’ is on the x-axis  (or horizontal axis)    The data draws a straight-line graph. This means that price and quantity sold have a ‘linear’  relationship. As price is increased then quantity sold goes decreases. There is an ‘inverse’  relationship here.     This is a very simple example, because we have not factored in any costs involved. Because if  we follow the line left, beyond the £0 price, then the quantity sold would keep going up, but this  would obviously yield a loss for the shop owner!     We can draw this type of graph very easily in Excel.     Straight-line graphs can always be represented by the equation:        y = mx + c or y = c + mx             c is the intercept, i.e.  the value of y at which the line cuts the y-axis  m is the slope, where    m>0    the line is upward sloping                                      m=0    the line is flat                                      m<0    the line is downward sloping.    The ‘coordinates’ of any point on a graph can be represented in the form (x-value, y-value).      e.g. (5,8) means ‘x = 5 and y = 8’    In our example the slope, m = -5, hence the downward sloping line, and the intercept, c = 250.         9  Some examples                      0 10 20 30 40 50 60 70 80 0 2 4 6 8 10 12 14 y- ax is x-axis y = 5x + 10 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 y- ax is x-axis y = 4-2x   10  1.2.3  Simultaneous linear equations with two unknown variables    A slightly more complicated situation arises when we have more than one equation, and there is  more than one unknown variable to solve for.  In general, we can always solve provided there are  as many equations as there are unknown variables; i.e. 2 equations in 2 unknown variables   (x and y); 3 equations in 3 unknown variables (x, y and z); and so on.    There are two methods of solution: algebraic and graphical.    Algebraic method    1.   Eliminate any fractions or brackets (as in section 1.2.1). Then rearrange both equations so  that the terms in x and y are on the left hand side, and the numerical terms are on the  right.    2.   Multiply each side of one (or both) of the equations through by a number (or numbers) so  that the coefficient on one of the variables (x or y) has the same numerical value in both   equations. The signs of the equalised coefficients can be the same or different.    3.   Eliminate the chosen variable by subtracting one equation from the other (if the signs of   the equalised coefficients are the same) or adding the two equations (if the signs are  different).    4.   Solve the resulting equation for the remaining variable.     5.   Substitute the solution back into one of the original equations, and solve for the other  variable.    6.   Check your solution by substituting both values back into the other original equation.    Examples    Solve algebraically the following pairs of simultaneous equations:    (i)   x + 2y = 5         x  – y  = 2      (ii)   2y + 14 = 6x          5x – 3y = 1    (iii)   4x + 2y = 14           2x –  y  = 1           11  Solutions     (i)                                                 x + 2y = 5                                                                  x – y   = 2                                –                                        3y = 3                                                 y = 1            substitute into                         x + 2  1 = 5                                                             x = 5 – 2     x = 3           check in                                 3 – 1 = 2         OK      (ii)   rearranging                               –6x + 2y = –14                                                                              5x – 3y  = 1                                   3                             –18x + 6y = –42                             2                               10x – 6y = 2                            +                                     –8x = –40                                     x = –40/–8      x = 5          substitute into                          5  5 – 3y = 1                                          24 = 3y                                    y = 24/3       y = 8          check in                            –6  5 + 2  8 = –14      OK      (iii)                                                        4x + 2y = 14                                                                                    2x  –  y =   1                                     2                                        4x – 2y  =  2                                  +                                               8x = 16                                                                                  x = 16/8                                         x = 2              substitute into                           4  2 + 2y = 14                                                                          2y = 14 – 8                                                                          2y = 6                                                                            y = 3    12              check in                                    2  2 – 3  = 1           OK     Graphical method    1.   Rearrange both equations so that y appears by itself on the left hand side of both (i.e. get  both equations in the form y = c+mx, where c and m are numbers).    2.   For the first equation, find the numerical value of y when x = 0, and plot the point on the   graph. Next find the numerical value of y for a second, arbitrarily chosen, value of x, and  plot on the graph.  Join the two points with a straight line.    3.   Repeat step 2 for the second equation.    4.   Locate the solution at the point of intersection of the two lines.  If the point of  intersection is off the graph, try again with different scales on the axes.    For any linear equation of the form y = c+mx or y = mx+c,              c is the intercept, i.e.  the value of y at which the line cuts the y-axis            m is the slope, where   m>0    the line is upward sloping                                      m=0    the line is flat                                      m<0    the line is downward sloping.    The ‘coordinates’ of any point on a graph can be represented in the form (x-value, y-value).      e.g. (5,8) means ‘x = 5 and y = 8’      Please look at the other notes available in Blackboard for examples how to draw line graphs in  Excel.       Examples    Solve graphically the following pairs of simultaneous equations (taken from the previous  example):    (i)   x + 2y = 5      (iii)   4x + 2y = 14         x –   y = 2        2x –   y  = 1      13  Solutions (to locate two points on each line)      (i)    x + 2y = 5          2y = 5 – x             2 x 2 5 y                     x  –  y = 2          –y = 2 – x            y = x – 2                                              when x = 0, y = 5/2 = 2.5                                                                                     when x = 5, y = 5/2 – 5/2 = 0                                                                          when x = 0, y = –2                                 when x = 5, y = 5 – 2 = 3                                                  (iii)    2y + 4x = 14              2y = 14 – 4x            y = 7 – 2x                       2x –   y =   1               –y = 1 – 2x             y = 2x – 1                                    when x = 0, y = 7                                  when x = 3, y = 7–6 = 1                         when x = 0, y = –1  X X X X 3 5 1 2.5 3 2 x 2 5 y   y = x  2 x y  2 (3,1)   14                                  when x = 3, y = 6–1 = 5                                                1.2.4  Economics application: supply and demand under conditions of perfect competition    Example    The quantity demanded of a certain product (q d , measured in kilos per week) depends on the  market price (p per kilo, in £’s), while the quantity supplied (q s , measured in kilos per week)  depends on the price producers receive (p *  per kilo, in £’s), as follows:-               q d  = 40–4p        q s  = 2p * –8    The market price is the price which producers receive, plus any tax, minus any government   subsidy, so:            p = p * +t, where  t>0    tax  t<0    subsidy    X X X X 3 7 1  1 5 y=7  2x y=2x  1 2 3 y x (2,3)   15  Using algebraic methods, find the equilibrium values of p, p *  and q d  (=q s )    (i) When there are no taxes or subsidies,  (ii) When a tax of £3 per kilo is imposed,  (iii) When a subsidy of £1.50 per kilo is awarded.     Solution    If   p = p * +t            p *  =   p – t              q s  = 2(p–t) – 8    (i) When t=0,  q d  = 40 – 4p                          q s   = 2p   – 8         For market clearing, let q d  = q s  = q               40 – 4p = 2p – 8                     48  = 6p                       p = 48/6                       p = 8          From demand equation, q = 40 – 4  8                       q = 40 – 32                        q = 8         Check in supply equation            2  8 – 8 = 8          OK       (ii) When t=3,  q d  = 40 – 4p                          q s   = 2(p – 3) – 8             q s   = 2p – 14         For market clearing, let q d  = q s  = q               40 – 4p = 2p – 14                     54  = 6p                       p = 54/6                       p = 9      16       From demand equation, q = 40 – 4  9                       q = 40 – 36                        q = 4         Check in supply equation            2  9 – 14 = 4         OK       (iii) When t=–1.5,  q d  = 40 – 4p                                 q s   = 2(p + 1.5) – 8           q s   = 2p – 5         For market clearing, let q d  = q s  = q               40 – 4p = 2p – 5                     45  = 6p                       p = 45/6                                                  p = 7.5          From demand equation, q = 40 – 4  7.5                       q = 40 – 30                       q = 10         Check in supply equation            2  7.5 – 5 = 10         OK       In order to show the graphical solution, note that economists’ graphs of demand and supply  curves are constructed differently to the normal mathematician’s graphs of the relationship  between two variables, y and x. Essentially, the x-axis and y-axis are swapped!                             17                                                                                              q d =40  4p q s =2p  8 8 8 p q (8,8) q d =40  4p q s =2p  8 8 8 p q (8,8) q s =2p  14 9 4 Effect of tax of £3 per unit y x p q y=3  2x x=1 y=1 q d =40  4p p=6 q=16 read anti-clockwise read clockwise   18                                          Note: We will cover how to draw these types of graphs in Excel during the lecture. And we will  see how we can draw an ‘economic’ style graph by swapping over the x and y-axis. All this  information will be made available in Blackboard.           This graph has been drawn in  Excel:                                    q d =40  4p q s =2p  8 8 8 p q (8,8) q s =2p  5 7.5 10 Effect of a subsidy of £1.50 per unit   19  1.3  Quadratic equations    Quadratic equations are equations in one variable (x), which take the form:    ax 2 +bx+c = 0 , where a, b, c are constants (b or c, but not a, could be equal to zero)    Normally there are two solutions for x (but in some cases there can be one solution or no  solutions).    Two methods for solving are:-    (a) Factorisation.   This is easy if you can spot how to do it, but sometimes you can’t! Also,  the method of factorisation will not help identify a case for which there is  no solution.    (b) Formula method.   This takes longer and can be tedious, but it is guaranteed to work if you do                                      it right, and it will always identify cases for which there is no solution.    (a) Method of factorisation      Rewrite the equation as the product of two factors:    ax 2 +bx+c = (mx+p)(nx+q) = 0         where  mn = a                                          mq+np = b          pq = c    Then, if ax 2 +bx+c = 0,     either  mx+p = 0            x = –p/m            or           nx+q  = 0            x = –q/n    These expressions give the two solutions. The two factors (i.e. the numerical values of m, n   and p) have to be determined by trial and error.    If it helps, the original equation can be ‘multiplied or divided through’ by any number to  simplify the factorisation.    Examples    Solve the following for x:    (i)    x 2 +4x+3 = 0        (vi)     x 2 +6x+9 = 0  (ii)   x 2 –5x+4 = 0        (vii)    2x 2 –x–3 = 0  (iii)  x 2 +2x–8 = 0        (viii)   6x 2 +x–12 = 0  (iv)  2x 2 +2x–40 = 0        (ix)     x 2 +8x+4 = 0  (v)   x 2 –9 = 0        (x)       x 2 –2x+7 = 0        20  Solutions    (i)    x 2 +4x+3 = 0             (x+3)(x+1) = 0        x = –3 or x = –1    (ii)   x 2 –5x+4 = 0                   (x–4)(x–1) = 0              x = 4  or  x = 1    (iii)  x 2 +2x–8 = 0            (x+4)(x–2) = 0             x = –4 or x = 2    (iv)  2x 2 +2x–40 = 0               x 2 +x–20 = 0             (x+5)(x–4)=0          x = –5 or x = 4    (v)   x 2 –9 = 0                         (x+3)(x–3) = 0            x = –3 or x = 3    [(a 2 –b 2 ) = (a+b)(a–b)]     (vi)   x 2 +6x+9 = 0                 (x+3)(x+3) = 0           x = –3                  [only one solution]     (vii)  2x 2 –x–3 = 0                   (2x–3)(x+1) = 0          x = 3/2 or x = –1    (viii) 6x 2 +x–12 = 0                (2x+3)(3x–4) = 0        x = –3/2 or x = 4/3    (ix)    x 2 +8x+4 = 0      There is no obvious factorisation which will solve this. In fact, there is a                                         solution, but the formula method is needed to find it (see below).         (x+0.5359)(x+7.4641) = 0         x = –0.5359, x = –7.4641    (x)     x 2 –2x+7 = 0       Again, there is no obvious factorisation. In this case, application of the                                           formula method will show that there is no solution (see below).          (b) Formula method    For any quadratic equation of the form:    ax 2 +bx+c = 0    the solution can be obtained by substituting the numerical values of the coefficients a, b and c  into the following formula:    a 2 ac 4 b b x 2         A solution exists only if b 2 –4ac    0, because the square root of a negative number is undefined.                  21  Examples    Solve the following for x:    (i)    x 2 +4x+3 = 0  (ii)   x 2 –5x+4 = 0  (v)   x 2 –9 = 0  (ix)  x 2 +8x+4 = 0  (x)   x 2 –2x+7 = 0    Solutions    (i)    x 2 +4x+3 = 0      a = 1, b = 4, c = 3    1 2 3 1 4 4 4 x 2        = 2 12 16 4    = 2 4 4   = 2 2 4           x = –6/2 or x = –2/2  x = –3 or x = –1    (ii)   x 2 –5x+4 = 0             a = 1, b = –5, c = 4        1 2 4 1 4 5 5 x 2        = 2 16 25 5   = 2 9 5  = 2 3 5      x = 8/2 or  x = 2/2                               x = 4    or  x = 1      22  (v)   x 2 –9 = 0                   a = 1, b = 0, c = –9      2 6 0 2 36 0 1 2 9 1 4 0 0 x 2                x = 3 or x = –3    (ix)  x 2 +8x+4 = 0           a = 1, b = 8, c = 4        2 9282 . 6 8 2 48 8 2 16 64 8 1 2 4 1 4 8 8 x 2                      x = –7.4641 or x = –0.5359    (x)   x 2 –2x+7 = 0            a = 1, b = –2, c = 7    2 24 2 2 28 4 2 1 2 7 1 4 2 2 x 2                        There is no solution because the square root of a negative number [  –24] is undefined.    Graphical representation of quadratic equations    Although not recommended as a method for solving quadratic equations, it is sometimes useful  to draw a sketch-diagram to get a visual representation of the solution. For the equation   ax 2 +bx+c = 0, we write:           y = ax 2 +bx+c     i.e. ‘let the expression ax 2 +bx+c equal y’      To obtain a graphical representation, the steps are as follows:    1.   Find y when x = 0, and plot the point.    2.   Find the values of x at which y = 0 [by solving the original quadratic equation] and plot  the points.    3.   Join the plotted points with a curve.    Note : If a > 0, curve is ‘U-shaped’. If a < 0, curve is ‘dome-shaped’.      23  Example    Produce a graphical representation of the solution to the following quadratic equation:    (ii)    x 2 –5x+4 = 0    Solution    Let y = x 2 –5x+4    When x=0, y = 0 2  – 5  0 + 4 = 4    When y=0, x=4 or x=1 (solutions obtained above, by factorisation or by the formula method).          This can be quite hard to draw by hand! But Excel allows you to do it easily. Please find Excel  material in Blackboard.     You will not be asked to draw a detailed curved graph in the exam for this module. But you may  be asked to draw a rough graph.                             24  1.3.1  Economics application: Demand, revenue, cost and profit equations for a  monopolist     Consider a monopolist with a linear demand equation, q = 16–p, where q = quantity demanded  and p = price.      To obtain an expression for the monopolist’s total revenue, TR, in terms of the quantity of output  which it produces and sells, start by rearranging the demand equation:                                        q = 16 – p            p = 16 – q    By definition, total revenue = price  quantity          TR = pq = (16–q)   q = 16q–q 2    So total revenue is a quadratic expression in q, of the form TR = aq 2 +bq+c,   with a = –1, b = 16 and c = 0.                                                          Suppose now the firm’s total cost, TC, in terms of the quantity of output which it produces is the  following:  TC = 4q+20    By definition profit,   , is the difference between total revenue, TR, and total cost, TC.    Therefore we can write:    = TR – TC    = (16q – q 2 ) – (4q + 20)    = –q 2  + 12q – 20    Profit is a quadratic expression in q, where a = –1, b = 12 and c = –20.    To find the firm’s break-even levels of production, i.e. the values of q at which    = 0, we  should solve the following quadratic equation for q:    –q 2  + 12q – 20 = 0    Simplify by multiplying through by –1:          q 2  – 12q + 20 = 0         (q – 2)(q – 10) = 0     [using the method of factorisation]               q = 2 and q = 10 are the break-even levels of output at which profit,    = 0.     Alternatively, using the formula method with a =1, b = –12, c = 20:      25    2 8 12 2 64 12 2 80 144 12 1 2 20 1 4 12 12 q 2                    q = 2 or q = 10 as above.    Numerical evaluation of TR, AR, TC and      q  TR = 16q – q 2      AR = 16 – q  TC = 4q + 20    = –q 2  + 12q – 20  0  0  -  20  –20  1  15  15  24  –9  2  28  14  28  0  3  39  13  32  7  4  48  12  36  12  5  55  11  40  15  6  60  10  44  16  7  63  9  48  15  8  64  8  52  12  9  63  7  56  7  10  60  6  60  0  11  55  5  64  –9    The shaded areas represent the break-even levels of production.                                        q TR, TC,    =   q 2 +12q  20 10 2 TR=16q  q 2 TC=4q+20   26  Example    A monopolist is faced with the demand equation, q = 100 – p,  where q = quantity demanded   and p = price.    The total cost equation is:  TC = q 2  + 36q +120, where q = quantity supplied.    (i)   By manipulating the demand equation, show that the total revenue equation is:    TR = 100q – q 2    (ii)   Write down an expression for the firm’s profit (   = TR–TC) in terms of q, and find the  firm’s two break-even levels of production,  i.e. the values of q at which    = 0.    Solution    (i)   By definition, TR = price  quantity    Rearranging the demand equation,     q = 100 – p                           p = 100 – q                                                                                                           TR = pq = (100 – q)  q                        TR = 100q – q 2    (ii)   By definition,                                   = TR – TC                                                                =  (100q – q 2 ) – (q 2  + 36q + 120)                                                                 = –2q 2  + 64q – 120              At break-even levels of production,    = 0           –2q 2  + 64q – 120 = 0                          q 2  – 32q + 60  = 0   [dividing  through by –2]               (q – 2)(q – 30) = 0            Therefore the break-even levels of production are q = 2 and q = 30.            27                                                            q TR, TC,    =   2q 2 +64q  120 30 2 TR=100q  q 2 TC=q 2 +36q+120 Download 434.83 Kb.Do'stlaringiz bilan baham:

Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2020
ma'muriyatiga murojaat qiling