Решение задачи Коши методом Даламбера состоит и определении общего решения уравнения

Решение задачи Коши методом Даламбера состоит и определении общего решения уравнения
(1)
и удовлетворении начальным условиям
(2)
путем подстановки найденного общего решения в начальные условия.
Осуществим это в несколько этапов.
1-этап. Уравнение (1) – это уравнение гиперболического типа, оно имеет две действительные характеристики. Решая уравнения характеристик (dx)²-a²(dt)²=0 для (1), получаем характеристики вида
.

Преобразование координат

(3)
приводит уравнение (1) к виду или откуда или или где w(𝜉)-произвольная функция аргумента 𝝃. Рассматривал 𝜼 как параметр и интегрируя полученное уравнение по 𝝃, имеем: . Возвращаясь к исходным переменным, получаем общее решение уравнения (1) в виде
(4)
где g(𝜉) и h(𝜂) – произвольные дважды непрерывно дифференцируемые функции.
Решение (4) называют решением Даламбера, а метод получения этого решения методом Даламбера или методом характеристик, или методом бегущих волн.
2-этап. Рассмотрим задачу Коши (2). Положим в (4) t=0:


(2)
Таким образом, функции g и h удовлетворяют следующей системе:

Проинтегрируем второе равенство:

Имеем ;

(5)
Подставляя (5) в (4), будем иметь

или окончательно
(6)
Формула (6) дает решение задачи Коши (2), если имеет непрерывные производные до второго порядка включительно, a 𝜓(x)-до первого. Задача Коши (1),(2) подставлена корректно.

Физическая интерпретация решений вольного уравнения
В ыясным физический смысл решения (4), которое представим так:


(7)
Если то . При фиксированном значении t график функции является формой колеблющейся струны в момент времени t (рис.1.1). Для точки x₀ при t=0 отклонение выразится формулой .
Предложим, что по оси Ох из положения х₀ движется точка в положительном направлении этой оси со скоростью а(а-параметр, входящий в уравнение (1) и функцию (4)). Закон этого движения выражается формулой x=x₀+at. Так как в этом случае x-at=x₀, то через момент времени t для точки x получаем отклонение . Это значит, что отклонение для точки x через момент времени t будем тем же, что и для точки x₀ в момент t=0.
Следовательно, если мысленно перемещаться вдоль оси Ox в положительном направлении этой оси с постоянной скоростью a, то отклонение струны все время будет казаться постоянным.
Построим графики функции при различных значениях (рис. 1.1). Каждый последующий из них получается сдвигом предыдущего вдоль оси Ox на определенную величину. Если эти рисунки по очереди проектировать на неподвижные экран, то первый график <<побежит>> вправо. Процесс передвижения отклонения вдоль прямой, на которой находилась струна в положении равновесия, называется волной. Скорость распространения волны равна а, где а определяется формулой и входит в уравнение (1). Волна распространяется в положительном направлении оси Ox. Явление, описываемое функцией , называется распространением обратной вольны.
Следовательно, решение (4) представляет сумму прямой и обратной волн. Отсюда вытекает следующий графический способ построения формы струны в любой момент времени t. Строим графики функций , , изображающие прямую и обратную волны в начальный момент времени t=0. Не изменяя формы построенных графиков, передвигаем их со скоростью а вдоль оси Ох; первый-вправо, второй-влево. Чтобы получить график струны, достаточно построить алгебраические суммы ординат точек раздвинутых графиков.