Случайные процессы и их числовые характеристики

Министерство Развития Информационных Технологий и

Телекоммуникаций Республики Узбекистан

САМАРКАНДСКИЙ ФИЛИАЛ ТАШКЕНТСКОГО УНИВЕРСИТЕТА ИНФОРМАЦИОННЫХ технологий ИМЕНИ АЛ-ХОРАЗМИЙ

Самостоятельная работа 4


Предмет: Системы и обработка сигналов

Тема: Случайные процессы и их числовые характеристики.

Выполнил: РАХМАТОВ Ж
Группа: С103-19 Б «КИ»

Случайные процессы и их характеристики.

Детерминированные сигналы, которые рассматривались выше, являются лишь частным случаем возможных сигналов связи. Они соответствуют известным переданным сообщениям и, следовательно, не могут нести информация. Сигналы, способные передать получателю какие-либо сведения, заранее не могут быть известными и представляют собой случайный процесс (последовательность импульсов в системе телеграфной связи или некоторую непрерывную функцию при передаче телефонных сообщений).
Случайными сигналами (процессами) называются сигналы, математическим описанием которых являются случайные функции времени. Случайной называется функция, значения которой при каждом значении аргумента являются случайными величинами. Следовательно, в отличие от детерминированных или регулярных процессов, течение которых определено однозначно, случайный процесс представляет собой изменения во времени какой-либо физической величины, которые заранее предсказать невозможно. Наиболее известным примером случайного процесса являются флуктуационные (дробовые и тепловые) шумы в радиотехнических устройствах. При наблюдении теплового напряжения на выходах идентичных устройств обнаруживается, что функции времени, описывающие эти напряжения, различны. Объясняется же это тем, что в любой момент времени ток в цепи обусловлен большим, но случайным числом вылетающих электронов. Аналогично, напряжение на выходе приемника при передаче речи или музыке также является случайной функцией времени, так как зависит от содержания передачи, исполнителя и многих других факторов.
Таким образом, реальные сигналы и помехи представляют собой случайные процессы. Более того, между сигналами и помехами нет принципиальной разницы: сигнал, предназначенный для одного корреспондента, является помехой для другого.
Случайная функция времени  , описывающая случайный процесс, в результате опыта может принять ту или иную конкретную форму , неизвестную заранее (рис. 3.1). Эти возможные формы случайной функции называются реализациями случайного процесса. Совокупность всех возможных реализаций случайного процесса называется ансамблем. Отметим, что каждая из реализаций случайного процесса является уже не случайной, а детерминированной функцией. Однако, предсказать, какова будет реализация процесса в каком-либо единичном опыте, невозможно.
О чевидно, что детерминированный процесс имеет только одну единственную реализацию, описываемую заданной функцией времени .
Напомним, ч то в фиксированный момент времени  значения случайного процесса являются случайной величиной с определенным распределением вероятностей (3.1).
Случайные процессы могут быть непрерывными и дискретными. Реализации первых являются непрерывными функциями времени, а реализации последних – ступенчатыми (рис. 3.2).
Особым классом являются квазидетерминированные процессы, которые описываются детерминированными функциями времени, содержащими один или несколько случайных параметров. Примером такого процесса является процесс
(3.1.1)
где а, ω, φ – в отдельности или вместе являются случайными величинами.
Как уже отмечалось, невозможно заранее предсказать, как будет протекать случайный процесс в единичном опыте. Однако, если рассматривать не каждую реализацию в отдельности, а совокупность их большого числа, то окажется, что некоторые средние результаты обладают статистической устойчивостью, т.е. могут быть оценены количественно. Устойчивость средних результатов носит вероятностный характер. Отысканием вероятностных закономерностей, связывающих различные реализации случайных физических явлений занимается теория случайных процессов. Ниже рассматриваются способы описания случайных процессов.

ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

П усть имеется случайный процесс , который задан совокупностьюN реализации  (рис. 3.3). Произведем сечение случайного процесса в некоторый фиксированный момент времениt. Выделим из общего числа N те  реализаций, значения которых в момент времени меньше некоторого уровня . При достаточно большомN относительная доля  реализации, находящихся в момент времени ниже уровня , будет обладатьстатистической устойчивостью,
т.е. будет оставаться приблизительно постоянной, колеблясь при изменении N и  вокруг некоторого среднего значения. Это среднее значение определяет вероятность пребывания значений случайного процесса ниже уровня . Функция
(3.1.2)
определяющая вероятность нахождения значений случайного процесса момент времени  ниже уровня , называетсяодномерной интегральной функцией распределения вероятностей случайного процесса. Ее производная, если она существует,
(3.1.3)
называется одномерной плотностью вероятности или дифференциальной функцией распределения случайного процесса. Заметим, что приведенные определения для случайных процессов полностью совпадают с определениями, используемыми в теории вероятностей для случайных величин, так как значения процесса в фиксированные моменты времени являются случайными величинами.
Введенные функции  , и дают представление о процессе лишь для изолированных друг от друга моментов времени . Для более полной характеристики процесса необходимо учитывать статистическую связь между значениями случайного процесса в различные моменты времени, Эту связь для двух моментов времени учитывает двумерная интегральная функция распределения вероятностей
(3.1.4)
определяющая вероятность того, что значения случайного процесса в момент времени  , будут находиться ниже уровня , а в момент времени - ниже уровня . Частная производная второго порядка
(3.1.5)
называется двумерной плотностью вероятностей случайного процесса. Эти функции зависят уже от четырех аргументов.
Аналогично определяются многомерные интегральная и дифференциальная функции распределения случайного процесса
(3.1.6)
которые зависят от 2n -аргументов.
Вероятностные свойства случайного процесса характеризуются тем полнее, чем больше n. Если ограничитьсяn- мерной функцией распределения, то случайный процесс отождествляется фактически с совокупностьюnслучайных величин .
Если значения случайного процесса при любых значениях t зависимы, то многомерная функция распределения равна произведению одномерных
(3.1.7)
Аналогично тому, как при изучении случайных величин рассматриваются распределения совокупности случайных величин, так и при изучении случайных процессов приходится одновременно рассматривать совокупность нескольких процессов. Ограничимся здесь случаем двух процессов. Важнейшей вероятностной характеристикой в этом случае является двумерная совместная интегральная функция распределения,
(3.1.8)
равная вероятности того, что значения процесса  при , будут находиться ниже уровняx, а значения процесса  при - ниже уровняу. Вторая частная производная
(3.1.9)
называется двумерной совместной плотностью вероятностей случайных процессов  и . Если случайные процессы и независимы, то

(3.1.10)
Напомним, что интегральные функции распределения случайных процессов с плотностями вероятностей связаны соотношениями:
(3.1.11)
(3.1.12)
ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
Функции распределения (интегральная или дифференциальная) достаточно полно характеризуют случайный процесс. Однако часто они оказываются довольно сложными или требуют для своего определения обработки большого числа экспериментальных данных. Кроме того, часто подробного описания процесса не требуется. Потому в этих случаях ограничиваются при описании процессов лишь некоторыми числовыми характеристиками. К ним относятся средние значения, дисперсии и корреляционные функции. Числовые характеристики случайных процессов аналогичны числовым характеристикам случайных величин, которые используются в теории вероятностей, но имеют ту особенность, что представляют собой в общем случае не числа, а функции времени.
Простейшей характеристикой случайного процесса является его среднее значение или математическое ожидание, определяемое следующим образом. Рассмотрим сечение случайного процесса в некоторый момент времени t. В этом сечении имеем обычную случайную величину, для которой можно найти математическое ожидание. Очевидно, в общем случае оно зависит от выбора момента времени:
(3.1.13)
где прямая горизонталь нам черта означает условную запись усреднения по множеству и ли ансамблю возможных реализации.
Таким образом, средним значением случайного процесса называется неслучайная функцияa(t), которая при каждом значении аргумента t равна математическому ожиданию соответствующего сечения случайного процесса (рис. 3.4).
По смыслу среднее значение случайного процесса представляет собой среднюю функцию, около которой различным образом располагаются отдельные реализации процесса.
Аналогичным образом определяется среднее значение квадрата случайного процесса:
(3.1.14)
Дисперсией случайного процесса называется неслучайная функция, значения которой для каждого момента времени t равны дисперсиям соответствующих сечений случайного процесса, т.е. математическому ожиданию квадрата отклонения случайного процесса от его среднего значения:
(3.1.15)
Следовательно, дисперсия определяет степень разброса значений случайного процесса около среднего значения.
Среднее значение и дисперсия характеризуют поведение случайного процесса в отдельные моменты времени. В качестве характеристики, учитывающей статистическую зависимость между значениями случайного процесса в различные моменты времени, используется корреляционная (иначе - автокорреляционная) функция случайного процесса
(3.1.16)
определяемая как математическое ожидание от произведения значений процесса в два различных момента времени. Анализируя последнее выражение, замечаем, что величина интеграла будет больше в тех случаях, когда с увеличением (уменьшением) значений процесса в момент времени  , будут также увеличиваться (уменьшаться) значе ния процесса в момент времени . Следовательно, корреляционная функция определяет степень линейной зависимости между значениями случайного процесса в различные моменты времени. На рис. 3.5 и 3.6 показаны соответственно два случайных процесса с сильной и слабой статистической зависимостью их значений в моменты времени и .

Из определения корреляционной функции следует

(3.1.17)
т.е. она является симметричной относительно начала отсчета времени.
Для совокупности двух случайных  и статистическая зависимость между их значениями в различные моменты времени определяется функцией взаимной корреляции
(3.1.18)
Если случайные процессы  и статистически независимы, то согласно (3.1.10)
(3.1.19)
где  - средние значения случайных процессов и соответственно. Если хотя бы для одного из случайных процессов среднее значение равно нулю, то

Процессы, для которых взаимная корреляционная функция равна постоянной величине или нулю, называются некогерентными или некоррелированными. Независимые процессы всегда некоррелированы, однако, обратное утверждение в общем случае неверно.
В некоторых случаях вместо корреляционной функции вводится нормированная корреляционная функция или кратко коэффициент корреляции

Для совокупности двух случайных процессов средние значения каждого из них определяются по формулам
(3.1.20)
(3.1.21)
где внутренние интегралы представляют собой не что иное, как плотности вероятностей  и соответственно. Аналогичным образом можно определить дисперсию каждого из случайных процессов.
СТАЦИОНАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ
Важнейшим классом случайных процессов, встречающихся на практике, является класс стационарных случайных процессов. Случайный процесс называется стационарным в строгом (узком) смысле, если его функция распределения любого порядка не изменяется при сдвиге совокупности точек  на величину , т.е.
(3.1.22)
Другими словами, для стационарного процесса функция распределения любого порядка и, следовательно, его характеристики не зависят от положения начала отсчета времени. Стационарность означает статистическую однородность процесса во времени. Физически стационарный случайный процесс представляет собой случайный процесс в установившемся режиме, каковым является, например, шум на выходе усилителя через достаточно большой промежуток времени после его включения.
Если приведенное выше условие не выполняется, то процесс называется нестационарным. Нестационарный процесс будет наблюдаться, например, на выходе какого-либо генератора шумов непосредственно после его включения.
Из определения стационарного процесса следует, что
(3.1.23)

т.е. одномерная функция распределения вообще не зависит от времени, а двумерная функция распределения зависят только от разностей времен  . Отсюда следует, что для стационарного случайного процесса среднее значение и дисперсия являются постоянными величинами, т.е. не зависит от времени
(3.1.24)
а корреляционная функция такого процесса зависит только от одной переменной  :
(3.1.25)
В настоящее время существует хорошо разработанная корреляционная теория случайных процессов, изучающая только те свойства процесса, которые определяются средними значениями, дисперсиями и корреляционными функциями. Эта теория не использует многомерных законов распределения. В рамках этой теории случайный процесс называют стационарным в широком смысле, если его среднее значение и дисперсия не зависят от времени, а корреляционная функция зависит только от разности времен  . Стационарность в широком смысле не тождественна строгому определению стационарности. Случайные процессы, стационарные в строгом смысле, всегда стационарны в широком смысле, но не наоборот.
Корреляционная функция характеризует случайный процесс далеко не полностью. Более того, различным процессам могут соответствовать одинаковые корреляционные функции. Равенство корреляционных функций не означает тождественность процессов. Практическая ценность корреляционной теории возрастает в связи с тем, что существует одно полезное исключение. В радиотехнических и других устройствах наиболее распространенными являются нормальные случайные процессы, для которых понятия стационарности в строгом и широком смысле совпадают, а задание корреляционной функции, как будет показано ниже, полностью определяет многомерное распределение процесса. |
Отметим теперь, что во многих случаях на практике допущение стационарности случайного процесса можно считать достаточно точным. Вместе с тем часто приходится сталкиваться с нестационарными процессами. Простейший пример нестационарного процесса - сумма стационарного случайного и детерминированного процессов. Нестационарными являются и модулированные колебания, когда модуляция осуществляется случайным процессом.