Совершенно аналогично, из

Совершенно аналогично, из 496, 2) и 3) получим:

и

. Интеграл

.
Рассмотрим интеграл

Вычислим его с помощью дифференцирования по параметру . Однако непосредственное применение правила Л е й б н и ц а приводит здесь к расходящемуся интегралу

Поэтому мы введем «множитель сходимости» и станем искать значение интеграла

Для него дифференцирование по под знаком интеграла уже дозволительно, ибо соблюдены условия теоремы 3: под интегральная функция и ее частная производная по и для и , а интеграл, получаемый в результате дифференцирования:

сходится равномерно относительно , так как мажорируется интегралом , не содержащим .
Итак, для

Интегрируя по , найдем

(постоянного слагаемого здесь вводить не приходится, так как оба эти выражения при обращаются в нуль).
Эта формула выведена в предположении, что . Но, при , интеграл оказывается функцией от , н е п р е р ы в н о й и п р и ; это следует по теореме 2 из равномерной сходимости интеграла относительно при . Иными словами,

Если , то

В частности (при ) и

. Интеграл Э й л е р а – П у а с с о н а

.
Положив здесь , где – любое положительное число, получим

Умножим теперь обе части этого равенства на и проинтегрируем по от 0 до :

Нетрудно видеть, что перестановка интегралов ведет здесь весьма быстро к результату. В самом деле, после перестановки получим

откуда (так как, очевидно, )

Для оправдания произведенной перестановки интегралов попробуем прибегнуть к следствию из теоремы 5 521. Но в то время как интеграл

есть непрерывная функция от для всех , интеграл

непрерывен лишь для , а при обращается в 0, терпя в этой точке р а з р ы в. Поэтому применить следствие непосредственно к прямоугольнику нельзя! Мы его применим к прямоугольнику где , пользуясь тем, что интеграл

является непрерывной функцией от для всех Этим оправдывается равенство

Остается лишь, уменьшая , перейти здесь к пределу при , что в правой части можно выполнить под знаком интеграла – на основании следствия 518.
. Интегралы Л а п л а с а (P.S.Laplace):

Полагая в первом из них

получим

Переставим здесь, по теореме 5, интегрирования по и по

Но внутренний интеграл нам известен

так что


Вспоминая 497, 8), окончательно находим

Второй интеграл Л а п л а с а получается из первого дифференцированием по параметру :

Применение правила Л е й б н и ц а оправдывается тем, что интеграл сходится равномерно относительно для .
. Интегралы Ф р е н е л я (A.J.Fresnel):

Полагая , получим:

станем искать первый из этих интегралов в преобразованной форме.
Заменяя (под знаком интеграла) выражение равным ему интегралом

приведем искомый интеграл к виду:

Перестановка интегралов здесь сразу привела бы к окончательному результату:

Так как непосредственное обоснование такой перестановки требует кропотливых преобразований и оценок, мы предпочтем и здесь (ср. ) прибегнуть к «множителю сходимости»
Имеем


На этот раз возможность перестановки интегралов устанавливается с помощью теоремы 5. Остается, наконец, перейти к пределу при что – как легко проверить – может быть проведено под знаком интеграла.
Итак, окончательно

То же значение получается и для интеграла . Отсюда