Tartibning Caputo kasr hosilasi (AS) tomonidan aniqlanadi [18] qayerda va. Mittag-Leffler funktsiyasi Funktsiya Mittag-Leffler funksiyasi deyiladi [26], bu yerda, va

3.1.1-Ta’rif. Operator

kasr integral operatori deyiladi [18].

Tartibning Caputo kasr hosilasi (AS) tomonidan aniqlanadi [18] qayerda va. Mittag-Leffler funktsiyasi Funktsiya Mittag-Leffler funksiyasi deyiladi [26],

bu yerda , va .

--------------------------
3.1.1-Lemma. Agar , ixtiyoriy haqiqiy son bo'lsa, shunday bo'lsa va haqiqiy doimiy bo'lsa (qarang [26] teorema 1.6, 35-bet).

Mittag-Leffler tipidagi funktsiyalar uchun quyidagi oson tasdiqlangan xususiyatlar amalga oshiriladi:

Lemma 2 If the series , is uniformly convergent on , then its termwise fractional integration is admissible:

the series on the right-hand side being also uniformly convergent on . (see [18] Lemma 15.1, p.277).

3. Muammoni shakllantirish Grafikning har bir bog'lanishida biz kasrli differentsial tenglamani ko'rib chiqamiz (2) Bu erda Caputo kasr differentsial operatori va berilgan funktsiyalari.

dagi (2) tenglama uchun quyidagi masalani ko'rib chiqamiz. Muammo. Funktsiyalar sinfidagi (2) tenglamalarning yechimlarini toping , quyidagi dastlabki shartlarni qondiradi (3) tepalik shartlari (4) (5) va chegara shartlari (6) qaerda va yetarli darajada silliq berilgan funksiyalar, bundan tashqari (7) (8)

4. Muammoning yechimi Bir hil tenglama uchun o'zgaruvchilarni ajratish usulidan foydalanib, biz olamiz (9) va (10) Bundan tashqari, (4)-(6) shartlardan biz olamiz (11) (12) (13) Umumiy metrik grafiklar uchun spektral masala (9), (11)-(13) [5],[6], [8], [9] da oʻrganilgan. Bunday holda, grafik "kvant" grafigi va operatori (11)-(13) shartlar bilan birga grafikning har bir chetida aniqlangan, "qirraga asoslangan" Laplas deb ataladi (qarang [8]).

Keyinchalik [5] va [8] dan ba'zi natijalarni yaratishimiz kerak. Xo'sh qiymatni hisoblash funktsiyasini kvant grafigining dan kichik bo'lgan o'z qiymatlari soni sifatida aniqlaylik. Kvant grafigining spektri diskret va pastdan chegaralanganligi sababli bu raqam chekli bo'lishi kafolatlanadi ([5], [6]). Biz o'z qiymatlarini hisoblaymiz, chunki bu qulayroq va osonlik bilan qayta bog'lanishi mumkin. Hisoblash funktsiyasi chiziqli ravishda o'sib boradi, qiyaligi grafikning umumiy uzunligiga proportsionaldir. Ushbu turdagi natija Veyl qonuni sifatida tanilgan.
Lemma 3 [4] Har bir chegara cho'qqisida Neyman yoki Dirixlet shartlariga ega bo'lgan grafik bo'lsin. Keyin bu yerda - grafik chekkalarining umumiy uzunligi va qolgan a'zo yuqoridan va pastdan -ga bog'liq bo'lmagan doimiylar bilan chegaralangan. ga mos keluvchi (9), (11)-(13) masalalarning be vektor xos funksiyalarini qo'yamiz. Yuqoridagi lemmadan kelib chiqadiki, at . ning cheksiz differensiallanuvchi funksiyalar to'plami deganda, har bir chekka ichki chegarasi - marta bir xilda uzluksiz differensiallanuvchi (shu real intervalda funktsiya sifatida) har qanday =1,2, ... bo'lgan uzluksiz funksiyalar to'plamini tushunamiz. chegara cho'qqilari to'plami qayerda. me'yor ostida yopilishi bo'lishi Endi biz [8] dan Laplasian (yoki kvant grafigi) "qirraga asoslangan" grafigining xos funktsiyalarining to'liqligi haqidagi teoremani shakllantiramiz.
1-teorema ([8] dagi 3.2. taklifga qarang). Chekli grafik bo'lsin. Kengaytirilgan Laplacian uchun xos juftliklar mavjud, shundayki: (1) (2) Dirixlet shartini qondirish, (3) va uchun toʻliq ortonormal asos hosil qiladi (4) . Keling, bitta aniq misolni ko'rsatamiz. Keling, ya'ni biz 7 ta qirrali metrik grafikni ko'rib chiqamiz va mos ravishda qirralar va cho'qqilar to'plamini kiritamiz. Biz taxmin qilamiz, bu. Teng bog'langan o'xshash daraxt grafiklaridagi to'lqin tenglamasi ( ) uchun IBVP [33] da ko'rib chiqiladi. Bizning holatimizda xos qiymatlarni olamiz , , . Biz funksiyalarning skalyar mahsulotini aniqlaymiz Grafikda quyidagi shaklda aniqlanadi: va norma quyidagi shaklda: Xususiy qiymatlar uchun xos funktsiyalarning ortonormal tizimi Xususiy qiymatlarga mos keladigan xos funksiyalar Umuman olganda, biz quyidagi teoremani olamiz. Muammoning yana bir xos qiymatlari bor. Tegishli xos funktsiyalarni xuddi shunday topish mumkin.

2-teorema Agar mutlaq integrallanuvchi funktsiyalardan tashqari va quyidagi shartlarda mos ravishda qo'shimcha bo'lsa. ushlab turishadi. U holda (2)-(8) masala yagona yechimga ega. Isbot. Biz o'z funksiyalari bo'yicha Furye qatoriga kengaytiramiz, ya'ni. (14) (2) tenglamaning yechimi ko’rinishda bo’lsin (15) (2) tenglamadan biz olamiz (16) [27] ko'rinishga ega bo'lgan da (16) tenglamaning umumiy yechimidan foydalanamiz: (17) Demak, (2) tenglamaning umumiy yechimini quyidagi shaklda yozish mumkin (18) Biz taxmin qilamiz, bu (19) Yechim (18) boshlang'ich shartlarni (3) qondirishi kerak, shuning uchun bizda mavjud (20) Qismlar bo‘yicha integrallash va teoremaning (7)-(8), (11)-(13) shartlari va shartlarini hisobga olgan holda qo‘lga kiritamiz. (21) (22) Endi , , domenidagi funksiyalarga mos keladigan Furye qatorining yaqinlashuvini isbotlash talab etiladi. Qo'shimcha tadqiqotlar uchun bizga quyidagi lemma kerak.

Lemma 5 Muammoni hal qilish uchun quyidagi taxminlar mavjud bu yerda va musbat doimiylar. Isbot. (2) tenglamani ga ko'paytiramiz va hosil bo'lgan munosabatni dan ga nisbatan integrallaymiz (27) Identity (27) va [2] dagi 1-lemmaga muvofiq atamalarni o'zgartirib, biz olamiz (28) Aynilikdan (28) bajarilgan o'zgarishlarni hisobga olib, biz tengsizlikni olamiz (29) Keyinchalik bu munosabatni dan ga integrallab, tengsizlikka erishamiz (30) bu yerda musbat konstantalar. (30) ga asoslanib, biz olamiz (31) Endi, umumlashtirilgan kasr tartibli Gronwall-Bellman tengsizligidan foydalanib, biz (qarang [2], [21]) bu yerda va musbat doimiylar. Bu lemmani isbotlaydi. Yechimning yagonaligi 5-lemmadan kelib chiqadi. Bu 2-teoremaning isbotini tugatadi.