Tema: Laplas operatori ushin Grin funkciyasi Joba

TEMA: Laplas operatori ushin Grin funkciyasi
Joba:
1.Bap.
Kirisiw
2.Bap
Juwmaq
Paydalangan adebiyatlar dizimi

Ички икки ўлчовли Лаплас операторининг яшил функцияси

Dirichlet муаммоси мос равишда ортонормал қатор сифатида ифодаланади
Штурм-Лиувил муаммосининг ўзига хос функциялари ва ўзига хос қийматлари учун
Лаплас оператори:
Серия макон нормасига мувофиқ бирлашади . Тенглик
космик елементларнинг тенглиги деб тушуниш керак
(3.2-бўлимга қаранг). Тенглик (2.6.7) теоремадан келиб чиқади (2.3.1), чунки аслида, бери .Ҳармоник функция узлуксиз, кейин бор
бундай доимий C > 0,. Шунинг учун
ўзгарувчининг узлуксиз функцияси М, кейин интеграллар устида
(2.6.9) нинг ўнг томони бирлашади.
Нинг яшил функциясини қуриш учун ўзгарувчиларни ажратиш усули Dirichlet муаммоси икки ўлчовли доменда Д уч ўлчовли ҳолатда қандай бажарилишига ўхшаш тарзда қўлланилади (бўлимга қаранг
3.3). Яшил функция шаклга ега
бу ерда Қ. D. D. келиб чиқиш нуқтаси, М. D. D. кузатиш нуқтаси ва
функция в муаммонинг ечими
Polar координаталар тизимидаги муаммони (2.6.10) ҳал қилиб, биз оламиз
Коеффициентлар
чегара шартидан топилади.
Муаммонинг чегара ҳолатидаги бир хилликни (2.6.10) га ажратамиз
асосий тригонометрик тизим бўйича Фуре серияси. Бунинг учун
, биз Лаплас операторининг асосий ечимининг Фуре сериясини кенгайтиришдан фойдаланамиз:
(2.6.11) формуланинг ҳосиласи иловада келтирилган (Б. 0.14 га қаранг).
Мисол 2.6.9. Доимий чизиқли заряд зичлиги п0 бўлган чизиқли бўлмаган зарядланган filament томонидан яратилган майдоннинг потенциалини топинг

силиндрсимон қатлам ичида жойлашган

кесимлари radius доиралари бўлган иккита консентрик ўтказувчан тупроқли силиндрсимон юзалар билан чегараланган а ва б (а < б).
Ип тизимнинг ўқига parallel.
қарор. Муаммони ҳар қандай ҳолатда икки ўлчовли деб ҳисоблаш мумкин
силиндрсимон қатламнинг кесими. Ип ўтишига рухсат bering
М0 нуқтаси орқали
, баъзи кесмаларда ётиш.
Ип томонидан яратилган майдоннинг потенциали шаклга ега
Silindrsimon qatlamning tanlangan kesimida biz qutb koordinatalarini kiritamiz. Keling, kelib chiqishini eksa ustiga qo'yamiz
mintaqaning simmetriyalari va biz qutb o'qini shunday yo'naltiramiz
u M0 nuqtasini yotqizdi. Ushbu tizimda M nuqtasi koordinatalarga ega
(r, r) va M0 nuqtasi- koordinatalar (0, 0). Funktsiya uchun vazifa
v (M ) shaklga ega:
Laplas tenglamasining halqadagi yechimi quyidagicha yozilishi mumkin [2]:
Noma'lum koeffitsientlar An va Bn chegaralardan toping
shartlar. Buning uchun chegaradagi heterojenlikni tasavvur qiling
formulalardan foydalangan holda funktsiyalarning trigonomet-Rika tizimi bo'yicha Fourier ketma-ket parchalanishi ko'rinishidagi muammo shartlari (sin nψ, cos nψ)
(2.6.11):
V funktsiyasi uchun qatorni muammoning chegara shartlariga almashtirish,
biz olamiz:
Shunday qilib, potentsial shaklga ega:
Agar r bo'lsa0 =14π, topilgan potentsial ifodalaydi
Poisson tenglamasi uchun Dirichlet muammosining yashil funktsiyasi
tanlangan koordinatalar tizimidagi a 6 r 6 b halqasi qutb o'qi M0 nuqtadan o'tadigan tarzda yo'naltirilgan. Ichida m va nuqtalari bo'lgan o'zboshimchalik bilan qutbli koordinatalar tizimi M0 ularning koordinatalari (r, r) va (r0, ψ0) shunga ko'ra, funktsiya Yashil ko'rinishga ega:
6.4. Uchun konformal xaritalardan foydalanish
Laplas operatorining yashil funktsiyasini qurish.
Konformalning ta'rifi va ba'zi xususiyatlarini eslang
xaritalar [10].
Ta'rif 2.6.1 kompleks tekislikning D mintaqasini birma-bir xaritalash z mintaqaga D kompleks
agar bu xaritalash bo'lsa, W tekisliklari konformal deb ataladi
barcha nuqtalarda z ∈ D burchaklarni saqlash xususiyatlariga ega va cho'zilishning doimiyligi.
Teorema 2.6.1 [10] funktsiya bo'lsin h(z) domendagi bitta va bitta bargli analitik funktsiya D va
h′((z) 6 \ u003d 0 da z \ u003d D. keyin h (z) funktsiyasi D mintaqasining mintaqaga konformal ko'rinishini hosil qiladi
Funktsiya qiymatlari mintaqasini ifodalovchi W kompleks tekisligining D
z ∈ D uchun w = h(z)
Shunday qilib, konformal xaritalash burchaklarni saqlash va cho'zilishning doimiyligi xususiyatlariga ega. Ya'ni, orasidagi burchak nuqtada kesishgan har qanday ikkita silliq egri chiziq z0, ularning tasvirlari orasidagi mutlaq burchakka teng
W nuqtada tekisliklar 0 = h(z0) va cheksiz kichik chiziqli
∆z elementlari 1 = z1 − z0 va ∆z2 = z2 − z0 shunga o'xshash tarzda o'zgartiriladi
shunday qilib cheksiz kichik chiziqli elementlar ∆w1 \ u003d w1-w0 va ∆w= w 2 − w0. O'xshashlik koeffitsienti
Konformal xaritalashda D maydonining chegarasi o'tadi
viloyat chegarasiga eD .Konformal xaritalash W \ u003d h(z) \ u003d p (x, y) + iη (x, y) ana-litik funktsiyasi yordamida amalga oshirilsin, bu erda z \ u003d x + iy .
Keyin o'zgaruvchilarni almashtirish
bu bu degenerativ emas va yakobian eski o'zgaruvchilardan (x, y) yangi o'zgaruvchilarga (p, η) o'tish [10]degenerativ emas va yakobian eski o'zgaruvchilardan (x, y) yangi o'zgaruvchilarga (p, η) o'tish [10]
Boshlang'ich koordinatalarda M nuqta koordinatalarga ega bo'lsin
(x, y) va M0 nuqtasi
- koordinatalar (x0, y0), va almashtirishda bo'lsin o'zgaruvchilar (2.6.12) ular f M (p , η) va f M0 nuqtalariga o'tadi (ξ0, η0)shunga ko'ra.
Keling, tenglik borligini ko'rsatamiz
F ga ruxsat bering (M , M0)- r-dagi yakuniy funktsiyalar 2 har biri bilan
belgilangan ε \ u003e 0, shartlarni qondirish
F Ga Ruxsat Bering ε(M, M0)- r-dagi yakuniy funktsiyalar 2 har biri bilan
belgilangan ε \ u003e 0, shartlarni qondirish
belgilar qayerda ishlatiladi e f ε ( f M , f M0) = f εh−1( f M ), h−1( f M0)va eψ( f M ) = ψh−1( f M ), h−1 (f M) - m nuqtaning prototipi va D ⊂ R 2- natijada D maydoni o'tadigan maydon
o'zgaruvchilarni almashtirish (2.6.12).
Tenglik tufayli (2.6.14) biz quyidagilarni olamiz
har qanday ε > 0 uchun. Beri
bu va
Shunday qilib, funktsiyalar E f ε ( f M , f M0) D(x, y) D(ξ , η) zaif birlashadi δ( f M , f M0), ya'ni har qanday funktsiya uchun непрерыв( f M), uzluksiz f M0 nuqtasi, tenglik mavjud
Beri
кейин функциялар
e
f
ε
(ф М, ф М0
) да 0 га заиф яқинлашади

Д (х, й)
Ф М0

-1