Теорема Коши. Интегральная формула Коши доцент Р. М. Тургунбаев

Koshi teoremasi. Aniqmas integral. Koshining integral formulasi. Analitik funksiyaning cheksiz marta differensiallanuvchanligi

Теорема Коши. Интегральная формула Коши доцент Р.М.Тургунбаев

План

• 
  Теорема Коши
  
• 
  Неопределенный интеграл
  
• 
  Интегральная формула Коши
  
• 
  Бесконечная дифференцируемость аналитической функции
  

Теорема Коши

Теорема. Интеграл по замкнутой кривой Г равен нулю, если кривая ограничивает односвязную область D, а подынтеграль­ная функция аналитическая не только внутри этой области, но и в области D', содержащей внутри себя область D и ее границу Г:

• 
  

EE
D’

Г
D

Док-во. Используем формулу Грина:

Док-во. Используем формулу Грина:

.

где D – область ограниченная замкнутым контуром .

тогда

• 
  

Г0
Г1

Г2
Гn

Теорема. (теорема Коши для многосвязной области). Если область D ограничена конечным числом кусочно-гладких кри­вых, а функция f(z) аналитическая внутри области D', содержащей D и ограничивающие ее кривые, то интеграл по внешнему контуру равен сумме интегралов по внутренним (все контуры обходятся против часовой стрелки):

Теорема. (теорема Коши для многосвязной области). Если область D ограничена конечным числом кусочно-гладких кри­вых, а функция f(z) аналитическая внутри области D', содержащей D и ограничивающие ее кривые, то интеграл по внешнему контуру равен сумме интегралов по внутренним (все контуры обходятся против часовой стрелки):

• 
  

Рассмотрим интеграл взятый по какой-нибудь кривой, соединяющей точки z0 и z. Пусть D - односвязная область, внутри которой подынтегральная функ­ция аналитическая, и обе точки z0 и z лежат внутри D .

• 
  Рассмотрим интеграл взятый по какой-нибудь кривой, соединяющей точки z0 и z. Пусть D - односвязная область, внутри которой подынтегральная функ­ция аналитическая, и обе точки z0 и z лежат внутри D .
  
• 
  В таком случае интеграл не зависит от пути интегрирования, лишь бы этот путь целиком лежал внутри D.
  

• 
  

Г
z

z0
Г
Г
1
2
Г

По теореме Коши: . Откуда

По теореме Коши: . Откуда

. значить,

поэтому, (1) можно переписать сл.образом:

• 
  

Теорема. Пусть аналитична в односвязной области и . Тогда функция

Теорема. Пусть аналитична в односвязной области и . Тогда функция

аналитична в и , где интеграл берется по кривой соединяющей точек и

Имеет место формула Ньютона - Лейбница:

• 
  

Интегральная формула Коши

Теорема. Если замкнутая кривая Г ограничивает односвязную область D, а функция f(z) аналитическая в области D', содержащей внутри себя D и ее границу Г, то для всякой внутрен­ней точки z области D справедлива формула:

(1)-интегральная формула Коши.

• 
  

Док-во. ,

Док-во. ,

• 
  

С


Z
Г

Тогда функция аналитична в двусвязной областиб ограниченной кривыми Г и С, т.к. .

Тогда функция аналитична в двусвязной областиб ограниченной кривыми Г и С, т.к. .

По теореме Коши

 

непрерывна в  

• 
  

С другой стороны,

• 
  

• 
  

Если в равенстве (2) перейти к пределу то

Если в равенстве (2) перейти к пределу то

Интеграл по контуру не зависит от . Откуда получим формулу (1).

• 
  

Интегральная формула Коши верна и в случае многосвязной области:

Интегральная формула Коши верна и в случае многосвязной области:

где = + ++...+.

• 
  

Г0
Г1

Г2
Гn

Бесконечная дифференцируемость аналитической функции

Теорема. Аналитическая функция бесконечно диффе­ренцируема, причем справедлива формула

• 
  

Самостоятельная работа

• 
  Последовательности и ряды ФКП.
  
• 
  Степенные ряды
  
• 
  Теорема Абеля.
  
• 
  Радиус и область сходимости степенного ряда
  
• 
  Формула Коши-Адамара
  
• 
  Аналитичность суммы степенного ряда
  
• 
  Конспектировать
  

http://fayllar.org